Bài tập chương 1 Bài 1.1. Cho A = 2 1 −1 0 1 −4 , B = −2 1 0 −3 2 2 . Tính 3A ± 2B; A A; A A . Bài 1.2. Tìm x, y, z và w biết rằng 3 x y z w = x 6 −1 2w + 4 x + y z + w 3 . Bài 1.3. Tính các tích a) 1 −3 2 3 −4 1 2 −5 3 2 5 6 1 2 5 1 3 2 ; b) 5 0 2 3 4 1 5 3 3 1 −1 2 6 −2 7 4 ; Bài 1.4. Tính AB − BA nếu a) A = 1 2 4 −1 , B = 2 −3 −4 1 ; b) A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 , B = 7 5 3 0 7 5 0 0 7 . Bài 1.5. Tính A A và AA với (a) A = 1 2 1 3 4 −1 5 −1 ; (b)A = −1 −2 3 1 0 −1 −1 −2 2 −1 3 −2 ; 1 Bài 1.6. Cho A = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , tính A 2 và A 3 . Bài 1.7. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với A = 1 2 0 1 . Bài 1.8. Tìm tất cả các ma trận cấp 3 giao hoán với A = 1 0 1 0 1 −2 0 0 2 . Bài 1.9. Hãy xác định f(A) trong các trường hợp sau: a) A = 2 −1 3 −2 ; f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 7x + 5. b) A = 1 3 2 4 ; f(x) = 3x 3 − 2x 2 − x + 2. c) A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ; f(x) = 4x 2 − 3x + 4. d) A = 1 −1 0 0 1 −1 −1 0 1 ; f(x) = x 2 + 4x − 5. Bài 1.10. Tính A k , k ∈ N biết rằng: a) A = 2 −1 3 −2 ; b) A = 1 α 0 1 ; 2 c) A = α β 0 α ; d) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; e) A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ; f) A = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 . Bài 1.11. * Cho A ∈ M n (K) có tất cả các phần tử đều bằng α (α ∈ K). Hãy tính A k , k ∈ N. Bài 1.12. Xác định hạng của các ma trận sau: a) 3 5 7 1 2 3 1 3 5 ; b) 1 1 3 2 1 4 1 2 5 ; c) 1 1 −3 −1 0 2 −3 5 0 ; d) 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 ; e) 4 3 2 2 0 2 1 1 0 0 3 3 ; f) 1 2 3 6 2 3 1 6 3 1 2 6 ; g) 1 −1 5 −1 1 1 −2 3 3 −1 8 1 1 3 −9 7 ; h) 1 3 −2 −1 2 5 −2 1 1 1 6 13 −2 −6 8 10 . Bài 1.13. Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m, n ∈ K: a) 1 1 −3 2 1 m 1 m 3 ; b) m 5m −m 2m m 10m −m −2m −3m ; c) 3 1 1 4 m 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 1 ; d*) m 0 0 n n m 0 0 0 n m 0 0 0 n m . Bài 1.14. Dùng Thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan, giải các hệ phương trình sau: 3 a) 2x 1 + x 2 − 2x 3 = 10; 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 1; 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 4. b) x 1 − 2x 2 + x 3 = 7; 2x 1 − x 2 + 4x 3 = 17; 3x 1 − 2x 2 + 2x 3 = 14. c) x 1 + 2x 2 − x 3 = 3; 2x 1 + 5x 2 − 4x 3 = 5; 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 12. d) 2x 1 + x 2 − 3x 3 = 1; 5x 1 + 2x 2 − 6x 3 = 5; 3x 1 − x 2 − 4x 3 = 7. e) 2x 1 + x 2 − 2x 3 = 8; 3x 1 + 2x 2 − 4x 3 = 15; 5x 1 + 4x 2 − x 3 = 1. f) x 1 + 2x 2 − 3x 3 = 1; 2x 1 + 5x 2 − 8x 3 = 4; 3x 1 + 8x 2 − 13x 3 = 7. g) x 1 + 2x 2 − 2x 3 = −1; 3x 1 − x 2 + 2x 3 = 7; 5x 1 + 3x 2 − 4x 3 = 2. h) 2x 1 − 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 4; 3x 1 − 7x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 9; 5x 1 − 10x 2 − 5x 3 + 7x 4 = 22. i) x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 2; 2x 1 + 5x 2 − 2x 3 + x 4 = 1; 5x 1 + 12x 2 − 7x 3 + 6x 4 = 7. j) x 1 + x 2 = 7; x 2 − x 3 + x 4 = 5; x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 6; x 2 − x 4 = 10. 4 k) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 14; 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 10; x 1 + x 2 + x 3 = 6; 2x 1 + 3x 2 − x 3 = 5; x 1 + x 2 = 3. Bài 1.15. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: a) x 1 + 2x 2 + x 3 = 0; 2x 1 + 5x 2 − x 3 = 0; 3x 1 − 2x 2 − x 3 = 0. b) x 1 + x 2 − 2x 3 + 3x 4 = 0; 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 − x 4 = 0; 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + x 4 = 0. c) 2x 1 − 2x 2 + x 3 = 0; 3x 1 + x 2 − x 3 = 0; x 1 − 3x 2 + 2x 3 = 0. d) 3x 1 − 2x 2 − 5x 3 + x 4 = 0; 2x 1 − 3x 2 + x 3 + 5x 4 = 0; x 1 + 2x 2 − 4x 4 = 0; x 1 − x 2 − 4x 3 + 9x 4 = 0. e) x 1 + x 2 − 3x 3 + 2x 4 = 0; x 1 − 2x 2 − x 4 = 0; x 2 + x 3 + 3x 4 = 0; 2x 1 − 3x 2 − 2x 3 = 0. f) x 1 + 3x 2 − 2x 3 + x 4 = 0; x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 0; 4x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 0; 4x 1 + 3x 2 − 4x 3 − x 4 = 0. g) 6x 1 − 5x 2 + 7x 3 + 8x 4 = 0; 6x 1 + 11x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0; 6x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0; x 1 + x 2 + x 3 = 0. 5 h) x 1 + 2x 2 + x 3 = 0; x 2 + 3x 3 + x 4 = 0; 4x 1 + x 3 + x 4 = 0; x 1 + x 2 + 5x 4 = 0. Bài 1.16. Giải các phương trình sau: a) x 1 + 2x 2 + 3x 3 − 2x 4 = 1; 2x 1 − x 2 − 2x 3 − 3x 4 = 2; 3x 1 + 2x 2 − x 3 + 2x 4 = −5; 2x 1 − 3x 2 + 2x 3 + x 4 = 11, b) x 1 − x 2 + 2x 3 − 3x 4 = 1; x 1 + 4x 2 − x 3 − 2x 4 = −2; x 1 − 4x 2 + 3x 3 − 2x 4 = −2; x 1 − 8x 2 + 5x 3 − 2x 4 = −2, c) 2x 1 − 5x 2 + 3x 3 + x 4 = 5; 3x 1 − 7x 2 + 3x 3 − x 4 = −1; 5x 1 − 9x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 7; 4x 1 − 6x 2 + 3x 3 − x 4 = 8, d) 2x 1 − 2x 2 + x 3 − x 4 + x 5 = 1; x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 − 2x 5 = 1; 4x 1 − 10x 2 + 5x 3 − 5x 4 + 7x 5 = 1; 2x 1 − 14x 2 + 7x 3 − 7x 4 + 11x 5 = −1. Bài 1.17. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số m ∈ R: a) x 1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = m; x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2m + 1; x 1 + 7x 2 − 5x 3 − x 4 = −m, b) 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 − 17x 4 = 11m + 7; 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 − 12x 4 = 8m + 5; 5x 1 + 6x 2 + 8x 3 − 27x 4 = 18m + 10; 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 + (m − 20)x 4 = 13m + 8, c) x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 1; 2x 1 + 4x 2 − 7x 3 + 9x 4 = 2; 5x 1 + 10x 2 − 17x 3 + 23x 4 = 1; 3x 1 + 6x 2 − 10x 3 + mx 4 = 13 − m, 6 d) x 1 − 2x 2 + x 3 − x 4 + x 5 = m; 2x 1 + x 2 − x 3 + 2x 4 − 2x 5 = 3m; 3x 1 − 2x 2 − x 3 + x 4 − x 5 = m + 1; 2x 1 − 5x 2 + x 3 − 2x 4 + 2x 5 = m − 1. Bài 1.18. Cho hệ phương trình x 1 + x 2 − x 3 = 1; 2x 1 + 3x 2 + kx 3 = 3; x 1 + kx 2 + 3x 3 = 2. Xác định trị số k ∈ K sao cho: a) hệ có một nghiệm duy nhất; b) hệ không có nghiệm; c) hệ có vô số nghiệm. Bài 1.19. Cho hệ phương trình kx 1 + x 2 + x 3 = 1; x 1 + kx 2 + x 3 = 1; x 1 + x 2 + kx 3 = 1. Xác định trị số k ∈ K sao cho: a) hệ có một nghiệm duy nhất; b) hệ không có nghiệm; c) hệ có vô số nghiệm. Bài 1.20. Cho hệ phương trình 5x 1 − 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 3; 4x 1 − 2x 2 + 3x 3 + 7x 4 = 1; 8x 1 − 6x 2 − x 3 − 5x 4 = 9; 7x 1 − 3x 2 + 7x 3 + 17x 4 = λ. Xác định tham số λ ∈ K sao cho: a) hệ vô nghiệm; b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm. 7 Bài 1.21. Cho hệ phương trình 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 3; 2x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 8x 4 = 5; x 1 − 6x 2 − 9x 3 − 20x 4 = −11; 4x 1 + x 2 + 4x 3 + λx 4 = 2. Xác định tham số λ ∈ K sao cho: a) hệ vô nghiệm; b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm. Bài 1.22. Bằng phương pháp Gauss-Jordan, hãy tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có): a) A = 3 5 2 3 ; b) A = 1 0 2 2 −1 3 4 1 8 ; c) B = 1 −2 2 2 −3 6 1 1 7 ; d) A = 1 2 −4 −1 −1 5 2 7 −3 ; e) B = 1 3 −4 1 5 −1 3 13 −6 ; f) A = 2 5 7 6 3 4 5 −2 −3 ; g) A = 3 2 2 1 3 1 5 3 4 ; h) A = 5 3 −2 −1 2 4 7 3 6 ; i) A = 13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5 ; j) A = 3 1 0 −1 −1 2 1 1 1 ; k) A = 0 0 1 −1 0 3 1 4 2 7 6 −1 1 2 2 −1 ; l) A = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 0 0 0 0 1 −1 ; m) A = 0 0 1 −1 0 3 1 4 1 −1 0 0 0 0 1 1 ; n) A = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 ; 8 o) A = 1 1 1 −3 0 1 0 0 1 1 2 −3 2 2 4 −5 ; p) A = sin α cos α − cos α sin α . Bài 1.23. Cho A = 1 1 0 1 , B = 2 1 3 2 . Hãy tính (B −1 AB) k , k ∈ N. Bài 1.24. Cho A = 5 4 −4 −3 ∈ M 2 (R). a) Chứng minh A 2 − 2A + I 2 = 0. Suy ra A khả nghịch và tìm A −1 . b) Với mỗi n ∈ N, đặt B = I 2 + A + A 2 + · · · + A n . Tính A n và B theo A; I 2 và n. Bài 1.25. Giải các phương trình ma trận a) 1 2 3 4 X = 3 5 5 9 ; b) X 3 −2 5 −4 = −1 2 −5 6 ; c) 3 −1 5 −2 X 5 6 7 8 = 14 16 9 10 ; d) 1 2 −3 3 2 −4 2 −1 0 X = 1 −3 0 10 2 7 10 7 8 ; e) 1 2 −2 3 2 −4 2 −1 0 X = 7 3 0 6 8 4 1 0 5 ; f) X 13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ; 9 g) 3 1 0 −1 −1 2 1 1 1 X 1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 = 0 0 1 1 1 0 0 1 −1 . Bài 1.26. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: a) x 1 + x 2 − 3x 3 = −2; x 1 + 2x 2 − 3x 3 = 6; 2x 1 + 4x 2 − 5x 3 = −6. b) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1; x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1; x 1 − x 2 = −1; x 3 − x 4 = −1. c) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = −1; x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1; x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = −1; x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 1. 10 . 1 ; m) A = 0 0 1 1 0 3 1 4 1 1 0 0 0 0 1 1 ; n) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 8 o) A = 1 1 1 −3 0 1 0 0 1 1 2 −3 2 2 4 −5 ;. = 13 −8 12 12 −7 12 6 −4 −5 ; j) A = 3 1 0 1 1 2 1 1 1 ; k) A = 0 0 1 1 0 3 1 4 2 7 6 1 1 2 2 1 ; l) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 ; m). = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; e) A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ; f) A = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 . Bài 1. 11. * Cho A ∈ M n (K) có tất cả các phần tử đều bằng α (α ∈ K). Hãy tính A k , k ∈ N. Bài 1. 12.