Với khối lượng kiến thức khá lớn mà các bạn tìm hiểu trong giáo trình thì sẽ khó để hiểu và rèn luyện được các kỹ năng cần thiết. Vì vậy, mình đã biên soạn, tóm tắt lại các khối kiến thức đồ sộ trong giáo trình thành tập tài liệu trong tay các bạn đây, khiến cho nó dễ hiểu và nắm bắt được một cách tổng quát. Bên cạnh đó, mình đã tổng hợp bài tập theo các dạng cho các dễ học. Kul hy vọng tập tài liệu này sẽ hữu ích cho các bạn trong quá trình học tập và kiểm tra, thi cử.
Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 1 Xin chào tất cả các bạn đang cầm trên tay tập tài liệu “CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP I”! Lời đầu tiên khi mình muốn nói về tập tài liệu này đó là, môn học “Toán cao cấp” học phần I mà các bạn đang học là một học phần tương đối khó và mới so với các phương pháp toán đã được học ở trường phổ thông với không ít những bạn sinh viên (Kul trước đây cũng từng rất vất vả ^^). Với khối lượng kiến thức khá lớn mà các bạn tìm hiểu trong giáo trình thì sẽ khó để hiểu và rèn luyện được các kỹ năng cần thiết. Vì vậy, mình đã biên soạn, tóm tắt lại các khối kiến thức đồ sộ trong giáo trình thành tập tài liệu trong tay các bạn đây, khiến cho nó dễ hiểu và nắm bắt được một cách tổng quát. Bên cạnh đó, mình đã tổng hợp bài tập theo các dạng cho các dễ học. Kul hy vọng tập tài liệu này sẽ hữu ích cho các bạn trong quá trình học tập và kiểm tra, thi cử. Mọi ý kiến thắc mắc hay phản hồi xin các bạn vui lòng gửi tin nhắn cho Fanpage chính thức của Kul: https://www.facebook.com/ksg.com.vn, mình sẽ trả lời các bạn trong thời gian sớm nhất… Cuối cùng, mình muốn khuyên các bạn một lời khuyên khi học môn này, đó là các nên học – hiểu, đừng mặc định những gì giáo trình, hay giáo viên giảng là đúng 100%, hãy tự hỏi tại sao lại thế? Và cố gắng đưa ra câu trả lời sao cho chính xác nhất. Chúc các bạn có kết quả tốt nhất cho tất cả các môn học! Thân! CHƢƠNG 1 : VECTO VÀ KHÔNG GIAN VECTO Dạng 1 : Xét tính ĐLTT và PTTT của các vecto Bài toán : Cho hệ m Vecto, n chiều { X 1 X 2 ,… X m }. Xét tính ĐLTT và PTTT của các vecto Cách giải : o Cách 1 : Xét đẳng thức k 1 X 1 + k 2 X 2 +… k m X m = 0 (1) Nếu (1) xảy ra với ít nhất một hệ số k j ≠ 0 → Hệ PTTT Nếu (1) chỉ xảy ra khi k 1 = k 2 = … = k m = 0 → Hệ ĐLTT o Cách 2 : Lập ma trận A có các dòng ( cột ) là vecto đã cho → A = ( a ij ) m×n Nếu r(A) < m → Hệ PTTT Nếu r(A) = m → Hệ ĐLTT Tính chất cần nhớ : o Hệ có số vecto lớn hơn số chiều thì PTTT o Hệ con hệ ĐLTT thì PTTT o Hệ chứa hệ PTTT thì PTTT o Hệ chứa hai vecto tỷ lệ thì PTTT Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 2 Bài tập 1.3 (SGK / 9) Xét tính ĐLTT, PTTT của các vecto 1. X 1 (0,2,0) ; X 2 (1,-1,0) ; X 3 ( 0,4,0) C1. Xét hệ thức k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 = 0 k 1 (0,2,0) + k 2 (1,-1,0) + k 3 (0,4,0) = 0 ( pt vô số nghiệm ) (*) Từ phương trình ( * ) ta dễ tìm được 1 nghiệm có ít nhất 1k j ≠ 0 ( j = ) Chẳng hạn k 1 = -2 , k 3 = 1 → { X 1 , X 2 , X 3 } là hệ vecto PTTT C2. Lập ma trận A = Có = 2 ≠ 0 → r ( A ) = 2 3 → Hệ { X 1 , X 2 , X 3 } PTTT 2. X 1 = ( 1,0,0 ) ; X 2 = ( 2,3,-2 ) ; X 3 = ( 3,-3,2 ) C1. Xét hệ thức k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 = 0 k 1 (1,0,0) + k 2 (2,3,-2) + k 3 (3,-3,2) = 0 pt có vô số nghiệm (*) Từ phương trình (*) ta tìm được 1 nghiệm có ít nhất 1 k j ≠ 0 ( j = ).Chẳng hạn k 1 = -5 , k 2 = 1 → hệ vecto PTTT C2. Lập ma trận: Có = 3 ≠ 0 → r(A) = 2 3 → hệ PTTT Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 3 1.5(SGK/9 ) Với giá trị nào của λ thì vecto X là tổ hợp tuyến tính của hai vecto X 1 , X 2 biết X = ( 3, 0, λ-6 ), X 1 = ( 1, 0, 0 ), X 2 = (5, 1, 2 ) Giải : Vì X là tổ hợp tuyến tính của hai vecto X 1 , X 2 → Gọi X = k 1 X 1 + k 2 X 2 ( 3, 0, λ-6 ) = k 1 ×(1, 0, 0) + k 2 ×(5, 1, 2) → Vậy λ = 6 thì X(3, 0, 0) là tổ hợp tuyến tính của hai vecto X 1 , X 2 1.8(SGK/ 9) Lời giải : Xét hệ thức k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 = 0 k 1 ×( A 1 + 4A 2 + 6A 3 ) + k 2 ×( 3A 1 - 4A 2 - 6A 3 ) + k3×A1 = 0 (k 1 + 3k 2 + k 3 )×A 1 + ( 4k 1 – 4k 2 )×A 2 + ( 6k 1 – 6k 2 )×A 3 = 0 (*) Vì hệ ĐLTT do đó hệ thức (*) chỉ xảy ra khi PT(1) có vô số nghiệm → ta dễ tìm được 1 nghiệm có ít nhất 1 k j ≠ 0 ( j = ) Chẳng hạn k 1 = - 1 , k 3 = 4 → Hệ PTTT Dạng 2 : Tìm tọa độ của vecto trong cơ sở đã cho Bài toán : Cho một cơ sở của không gian p 1 = ( 1,2,0 ); p 2 = ( 1,3,0 ) ; p 3 = ( 3,10,1 ) Tìm tọa độ của vecto X = ( 1,4,2 ) trong cơ sở đã cho Giải : Gọi các tọa độ cần tìm là x 1 , x 2 , x 3 ta có X = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 x 1 ×( 1, 2, 0 ) + x 2 ×( 1, 3, 0 ) + x 3 ×( 3, 10, 1 ) = ( 1, 4, 2 ) Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 4 Vậy ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 1, -6, 2 ) là tọa độ của vecto X trong cơ sở đã cho Dạng 3 : Tìm hạng và 1 cơ sở của hệ vecto 1.6 (SGK/9) : Giải 1, Xét A = Có = 8 ≠ 0 → r( A ) = 3 → là một vecto cơ sở của hệ 2, X 1 = ( 3, -5, -5 ) , X 2 = ( 1, 0, 0 ) , X 3 = ( 5, 8, 8 ) Xét A = Có = 5≠ 0 → r ( A ) = 2→ là một cơ sở của hệ 1.7(SGK/ 9) 1, Xét hệ thức k 1 b 1 + k 2 b 2 + k 3 b 3 = 0 k 1 ×( a 1 + a 2 + a 3 ) + k 2 ×( a 2 + a 3 ) + k 3 ×( a 2 – a 3 ) = 0 k1×a1 + ( k 1 + k 2 + k 3 )×a 2 + ( k 1 – k 3 )×a 3 = 0 ĐLTT k 1 = k 2 = k 3 = 0 Vậy ĐLTT 2, Ta có : PTTT vì b 2 = a 2 + a 3 PTTT vì b 3 = a 2 – a 3 ĐLTT vì ĐLTT → là cơ sở của vecto đã cho → Hạng của là 2 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 5 CHƢƠNG II : MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Dạng 1 : Thực hiện các phép tính về ma trận Chú ý : o Phép trận hai ma trận A và B là hai ma trận cùng cỡ o Phép nhân hai ma trận Số cột của ma trận trước bằng số dòng của ma trận sau o Hai ma trận vuông A và B cùng cấp thì tích ( A×B ) và ( B×A ) nhưng ( A×B ) ( B×A ) o Ma trận đơn vị cấp n : E n với A = ( a ij ) n×n thì A×E n = E n ×A = A Bài tập : 2.1(SGK/32) ý e E = Giả sử n = 2 → = × = = Giả sử n = 3 → = × × = × = = Giả sử đúng với n = k Z + nghĩa là = Ta chúng minh đúng với n = k + 1 Thật vậy ta có = × Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 6 = × = Vậy E = Dạng 2 : Tính các định thức Các tính chất cơ bản cần nhớ: o Định thức có 1 dòng = 0 hoặc 2 dòng tỷ lệ thì bằng 0 o Đổi chỗ 2 dòng thì định thức đổi dấu o Khi nhân 1 số k vào 1 dòng thì định thức tăng lên k lần Cho A = ( a ij ) n×n và k = k n × o Nếu nhân một dòng với một số rồi cộng vào dòng khác thì định thức không đổi dấu o Cho A = ( a ij ) n×n → = o = Chú ý : Mọi tính chất của định thức đúng với dòng thì cũng đúng với cột Cho A = ( a ij ) n×n trong đó a ij i,j thì . ( Nghĩa là nếu các thành phần của định thức là nguyên thì kết quả tính định thức luôn luôn là số nguyên Bài tập 2.3(SGK/32) 1, 3 1 3 2 5 3 2 3 7 5 1 4 1 3 5 0 12 CC 1 3 3 2 3 5 2 3 5 7 1 4 3 1 5 0 - 1 3 3 2 0 4 7 3 0 8 14 6 0 8 14 6 = 0 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 7 2, 9 2 7 11 7 4 5 9 5 1 4 7 4 2 3 3 43 dd 9 2 7 11 7 4 5 9 1 1 1 4 4 2 3 3 13 dd 1 1 1 4 7 4 5 9 9 2 7 11 4 2 3 3 - 1 1 1 4 0 11 2 19 0 11 2 25 0 6 1 13 23 dd - 1 1 1 4 0 11 2 19 0 0 0 6 0 6 1 13 23 cc 1 1 1 4 0 2 11 19 0 0 0 6 0 1 6 13 24 dd - 1 1 1 4 0 1 6 13 0 0 0 6 0 2 11 19 24 2dd - 1 1 1 4 0 1 6 13 0 0 0 6 0 0 1 7 34 dd 1 1 1 4 0 1 6 13 0 0 1 7 0 0 0 6 = -6 3, = bc 2 + ab 2 +a 2 c – a 2 b – ac 2 – b 2 c = b 2 ( a– c ) + a 2 ( c– b ) +c 2 ( b– a ) 4, xaaa a x a a a a x a a a a x 2 3 4 1 ()d d d d 3333x a x a x a x a a x a a a a x a a a a x = ( x + 3a )× 1111 a x a a a a x a a a a x ( x + 3a )× 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xa xa xa = ( x + 3a )×1×( -1 ) 2 × = ( x + 3a )×( x – a ) 3 2.4(SGK/33) 1, 1 2 3 1 0 3 1 2 0 . . . . . 1 2 3 0 n n n 1 2 3 0 2 6 2 0 0 3 2 . . . . . 0 0 0 n n n n = n! Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 8 2, 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 . . . . . 2 2 2 3 2 3 4 1 ()d d d d 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 . . . . . 2 2 2 3 n n n n = (3 + 2n )× 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 3 2 . . . . . 2 2 2 3 × ( 3 + 2n )× 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 . . . . . 0 0 0 1 = 3 + 2n = 2m + 1 với m = n + 1 2.5(SGK/33) 1, Biến đổi vế trái ta có = ( z – x )( z – y )× 12 dd - × ×( z – x )( z – y ) - ×( z – x )( z – y ) = - ( z – x )×( z – y )×( x – y )× = ( z – x )×( y – z )×( x – y )×1×( -1 ) 2 × = ( z – x )×( y – z )×( x – y )×( y 2 – y 2 +zx +zy +xy ) = ( z – x )×( y – z )×( x – y )×( zx + zy + xy ) = VP ( ĐPCM ) 2, Biến đổi vế trái ta có Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 9 1 2 3 ()c c c = 2× 2× 2 3 1 ()c c c 2× = VP ( ĐPCM ) 3, Biến đổi vế trái ta có VT = 12 cc = ( 1 + x )× 12 cc ( 1+ x )× 21 cc ( 1 – x 2 )× = VP ( ĐPCM ) 5, Ta có = 100a 1 + 10a 2 + a 3 Vì 13 Giả sử = 100a 1 + 10a 2 + a 3 = 13d 1 = 100b 1 + 10b 2 + b 3 = 13d 2 = 100c 1 + 10c 2 + c 3 = 13d 3 Có : 1 2 3 (100 10 )d d d = = 13× Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2014 10 Vì a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 , d 1 , d 2 , d 3 nguyên nên cũng nguyên 13 ( ĐPCM ) Dạng 3 : Tìm hạng của ma trận Chú ý: o Nếu A = ( a ij ) m×n thì r(A) min o r(A) = r(A ’ ) Hai phương pháp tìm hạng của ma trận : o Phương pháp định thức Bao : Hạng của ma trận bằng k 1 định thức con cấp k khác 0 và định thức con cấp ( k + 1 ) bao nó đều bằng 0 o Phương pháp biến đổi sơ cấp : Dùng 3 phép biến đổi để đưa ma trận về dạng hình thang Ví dụ : Tính A = 2 1 3 2 1 0 2 3 1 2 3 5 7 0 2 4 4 9 5 4 PP1 : Ta có = = 4 ≠ 0 = = 28 + 9 – 18 – 30 = -11 ≠ 0 = 2 1 3 2 0 2 3 1 3 5 7 0 4 4 9 5 = - 1 2 3 2 2 0 3 1 5 3 7 0 4 4 9 5 = - 1 2 3 2 0 4 3 3 0 7 8 10 0 4 3 3 = -1 2 × = 0 vì ( 2d 1 + d 2 = d 4 ) [...]... 1 1 k 1 1 1 1 2 k 1 1 1 k 1 1 1 1 0 1 k 1 k 1 k 1 k d1 d 2 1 1 k 1 1 0 1 k k 1 0 1 k 1 1 0 1 1 k 1 0 k 1 0 1 1 1 k 1 0 1 k k 1 1 1 k 1 1 1 1 1 0 k 1 0 0 0 1 k k 1 0 0 1 k d 2 d3 0 1 k 2 1 k 1 k 1 k 0 0 k 2 k 2 1 k 1 k 0 k 1 0 0 1 k k 1 0 0 1 k 0 k 1 1 1 1 k 1 0 0... PTTT 1 2 2, Xét A = 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 2 1 3 2 7 2d3 d5 0 1 4 1 2 1 1 1 0 1 1 3 0 0 2 7 0 0 0 1 0 0 0 15 c4 c5 1 1 1 1 2 0 1 1 1 3 0 2 0 0 1 2d 2 d3 0 0 3 0 1 0 0 0 4 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 3... 3 .11 (SGK/58) Biện luận về nghiệm số và giải các hệ phương trình sau 24 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 a 1 1 1 1, ̅ = 1 a 1 1 d1 d 2 1 1 a 1 a 1 1 1 0 1 a 1 1 d 2 d3 0 1 1 0 HPT Kul Studies Group 08/2 014 1 a 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 a 1 1 1 2 0 1 a 1 a 1 a 0 1 a a 1 0 a 1 1 1 1 1 0 (1 a)d2 d3 0 0 1 a 1. .. trình là X = ( 1, -1, 0, -2 ) 17 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 0 0 2 4 12 0 0 4 8 24 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 1 1 5, ̅ = 1 1 2 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 3 2 5 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 3 0 5 0 0 2 0 4 2 0 0 7 1 1 7 1 1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 0... = ( -1) 5×| A 31 = ( -1) 4×| 12 | = 19 |=3 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2 014 | = - 31 A32 = ( -1) 5×| A 21 = ( -1) 3×| | = -2 A33 = ( -1) 6×| → A -1 = | = 12 += ×( ( ) C2 : Biến đổi ma trận khối, Xét ma trận khối sau 0 1 6 1 0 2 3 1 0 1 3 5 1 0 0 1 2 0 3d1 d3 0 1 6 0 1 1 1 2 0 0 0 1 6 1 1 0 0 1 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 5 1 5 1 5 0 0 1 ... 4 1 1 3 4 2 3 4 1 3 2 5 1 | 3 2 5 1 | | 1 2 5 c1 c4 1, Có A = det A = | 5 4 1 3 | | 3 4 1 5 4 1 3 2 4 1 5 5 4 1 2 4 1 5 1 0 3 5 4 1 2 5 2 3| 5| 2 5 1 5 = 1 ( -1) × 5 11 11 0 5 11 11 11 19 12 0 11 19 12 2 = -660 + 12 1 – 475 + 605 -60 + 10 45 = 576 ≠ 0 → Hệ là hệ Cramer , có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường X0 = ( 0, 0, … , 0 ) 2 0 1 3 1 1 0 1 2,... d 2 1 2 3 5 1 0 1 1 1 0 0 d 2 d3 0 3 2 1 1 0 0 2d 2 d1 3 2 5 5 31 5 18 5 3 5 6 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 d1 d 2 0 1 6 1 0 0 3 5 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 1 6 1 0 0 0 0 5 1 3 2 1 0 12 2 0 1 6 1 1 0 0 1 5 19 5 12 Vậy A -1 = 5 2 ( 5 1 0 3 5 1 0 2 5 ) Dạng 5... 0 1 k d3 d 4 (k 2)d3 d4 0 0 1 k k 1 0 0 k 2 k 2 1 k 1 k 0 k 1 1 1 1 0 0 0 1 k k 1 0 0 1 k k 1 0 0 0 k 2 2k 3 1 k 0 23 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2 014 1 0 + ) Nếu k = 1 ta có 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 → Hệ vô số nghiệm 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 + ) Nếu k ≠ 1 ta có 0 0 k 1 1 1 1 0 0 1 1 0... 1 1 2 1 0 0 1 5 5 4 0 0 2 1 6 → 0 0 5 3 2 0 0 4 2 12 11 1 1 2 1 0 0 1 5 5 4 0 0 5 3 2 0 1 7 4 2 0 1 9 3 8 1 1 1 2 0 0 1 5 5 4 0 0 1 2 6 0 0 3 5 2 0 0 2 4 12 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2 014 0 1 1 1 2 4 0 1 5 5 0 0 1 2 6 0 0 0 11 ... nghiệm duy nhất x = ( 3, 2, 1 ) 16 6 1 2 1 0 1 4 6 0 0 10 10 0 0 0 0 Các dạng bài tập toán cao cấp 1 Kul Studies Group 08/2 014 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 2, ̅= ⇔ 1 3 0 3 1 0 7 3 1 3 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 ⇔ 0 0 2 4 12 0 0 0 0 0 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 ⇔ 0 5 3 1 3 0 7 3 1 3 Có r(A) = r( ̅ = 3 ˂