Bài giảng, Bài tập toán cao cấp A2 Thầy Đặng Văn Vinh Trường Bách Khoa

Bài giảng, Bài tập file ppt toán cao cấp A2 của Thầy Đặng Văn Vinh Trường Đại học Bách Khoa Tp.hcm bao gồm:Số phứcma trậnđịnh thứchệ phương trìnhkhông gian vectorkhông gian euclidánh xạ tuyến tínhtrị riêng vector riêngdạng toàn phươngBÀI TẬP ÁP DỤNG

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn ứng dụng - Chương 1: Ma trận • Giảng viên: Ts Đặng Văn Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn NỘI DUNG - I Đònh nghóa ma trận ví dụ II Các phép biến đổi sơ cấp III Các phép toán ma trận IV Hạng ma trận V Ma trận nghòch đảo I Các khái niệm ví dụ - Định nghĩa ma trận Ma trận cở mxn bảng số (thực phức) hình chử nhật có m hàng n cột Cột j Ma trận A cở mxn  a11 a1 j     A   ai1 aij     am1 amj a1n     ain     amn  Hàng i I Các khái niệm ví dụ - Ví dụ  1 A   23 Đây ma trận thực cở 2x3 Ma trận A có hàng cột Phần tử A: a11  3; a12  4; a13  1; a21  2; a22  0; a23  Ví dụ 1  i 2 A    i i 22 I Các khái niệm ví dụ Ma trận A có m hàng n cột thường ký hiệu A  aij mn Tập hợp tất ma trận cở mxn trường K ký hiệu Mmxn[K] Định nghĩa ma trận khơng Ma trận có tất phần tử khơng gọi ma trận khơng, ký hiệu 0, (aij = với i j)  0 0 A   0 0 I Các khái niệm ví dụ - Phần tử khác khơng hàng kể từ bên trái gọi phần tử sở hàng Định nghĩa ma trận dạng bậc thang Hàng khơng có phần tử sở (nếu tồn tại) nằm Phần tử sở hàng nằm bên phải (khơng cột) so với phần tử sở hàng I Các khái niệm ví dụ - Ví dụ 2   A 0  0  2   2   0 0 45  1  2   B  0 0  0 0    Khơng ma trận bậc thang Khơng ma trận bậc thang I Các khái niệm ví dụ - Ví dụ 1   A 0  0  2  Là ma trận dạng bậc  thang 0 2   0 0  45   2   B  0  0 0    Là ma trận dạng bậc thang I Các khái niệm ví dụ -Định nghĩa ma trận chuyển vị Chuyển vị A  aij  ma trận AT  aij  cở nXm mn nm thu từ A cách chuyển hàng thành cột Ví dụ  1 3 A    23  4   T A   1   9  32 I Các khái niệm ví dụ -Định nghĩa ma trận vng Nếu số hàng cột ma trận A n, A gọi ma trận vng cấp n   1 A    22 Tập hợp ma trận vng cấp n trường số K ký hiệu M n [K] II Các phép biến đổi sơ cấp - Các phép biến đổi sơ cấp hàng Nhân hàng tùy ý với số khác khơng hi   hi ;  Cộng vào hàng hàng khác nhân với số tùy ý hi  hi   h j ;  Đổi chổ hai hàng tùy ý hi  h j Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp cột Chú ý: phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi bản, thường dùng nhất!!! II Các phép biến đổi sơ cấp - Định lý Mọi ma trận đưa ma trận dạng bậc thang phép biến đổi sơ cấp hàng Chú ý Khi dùng phép biến đổi sơ cấp hàng ta thu nhiều ma trận bậc thang khác II Các phép biến đổi sơ cấp - Ví dụ Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận sau ma trận dạng bậc thang  1 1   1     3   1 3    Bước Bắt đầu từ cột khác khơng từ bên trái Chọn phần tử khác khơng tùy ý làm phần tử sở 1 2  3  1  1 1 3 3 1 5  4  II Các phép biến đổi sơ cấp - Bước Dùng bđsc hàng, khử tất phần tử lại cột  1 1   1 1  h2 h2  h1  1     0 1 3 h  h  h   3 A   h  h  h 4  3   1 1   1 3   1      Bước Che tất hàng từ hàng chứa phần tử sở hàng Áp dụng bước cho ma trận lại 1 0 h3 h3  h2   h4 h4  h2 0 0  1 1 1 0  1  0  h4 h4  h3 1    0 1 4 0  1 1 4   1 3  4  II Các phép biến đổi sơ cấp - Định nghĩa Nếu dùng biến đổi sơ cấp đưa A ma trận bậc thang U, U gọi dạng bậc thang A Định nghĩa Cột ma trận bậc thang A gọi cột sở cột chứa phần tử sở  2    A 0   0 0    III Các phép tốn ma trận - Sự hai ma trận Hai ma trận nếu: 1) cở; 2) phần tử vị trí tương ứng (aij = bij với i j) Phép cộng hai ma trận Cùng cở Tổng A + B: Các phần tử tương ứng cộng lại Ví dụ  1  3  6 A ; B     5 1   10  A B     4 12  III Các phép tốn ma trận - Phép nhân ma trận với số Nhân ma trận với số, ta lấy số nhân với tất phần tử ma trận Ví dụ  1  A   5 Tính chất: a) A + B = B + A; c) A + = A; e) k (mA) = (km) A;   2 A     10  b) (A + B) + C = A + ( B + C); d) k(A + B) = kA + kB; f) (k + m)A = kA + mA; III Các phép tốn ma trận - Phép nhân hai ma trận với A  (aij )m  p ; B  (bij ) p n AB  C  (cij ) mn với   AB  ai1  cij  ai1b1 j  2b2 j   aip b pj  b1j    *     * b2 j *   aip    cij          *   bpj  Để tìm phần tử c2,3 ma trận tích: lấy hàng A nhân với cột B (coi nhân tích vơ hướng hai véctơ với nhau) Ví dụ III Các phép tốn ma trận - 1  2    1  A ; B     0  3   Tính AB  2  c 13   c711 cc12  1   12 c13  A B          c c c c c c  21 22 23    21 22 23   2 3 1 c11   1       (1)       2   III Các phép tốn ma trận - Ví dụ  1  1 A ;B     4   3 Tìm ma trận X, thỏa AX = B a  Xác định cở ma trận X 2x1 Đặt X    b   2a  b     1 a      AX=B          4a  b      b     2a  b  2 / 3    a  ,b  Vậy X    a  b  3  1/   III Các phép tốn ma trận Tính chất phép nhân hai ma trận a A(BC) = (AB)C; b A(B + C) = AB + AC; c (B + C)A = BA + CA; d ImA = A = AIm e k (AB) = (kA)B = A(kB) Chú ý: Nói chung AB  BA AB  AC AB  BC A  0 B  III Các phép tốn ma trận - Nâng ma trận lên lũy thừa Qui ước: A  I A3  A A A A  A A An A A A  A    n f ( x)  an x n  an 1 x n1   a1 x  a0 ; A  (aij ) nn f (A )  an A n  an 1A n 1   a1A  a0 I III Các phép tốn ma trận - Ví dụ  1 A ; f ( x )  x  4x   3  Tính f(A) f (A )  2A  4A  3I  1 1  1   f (A )    4  3     4         6   4    f (A )        18 13 12 16        3 8  f (A )    24 13   III Các phép tốn ma trận - Ví dụ  3 A   1 Tính A2; A3, từ suy A200      A  A A       1            A  A A      1      A 200  200       III Các phép tốn ma trận - Ví dụ  3 A   2 Tính A200  3  3/  1 a A     2    1       n  a   na  Ta có:     1     A 200  2200    300  2200   200  [...]... - Vớ d 1 3 A 0 1 Tớnh A2; A3, t ú suy ra A20 0 1 3 1 3 1 6 A A A 0 1 0 1 0 1 2 1 6 1 3 1 9 A A A 0 1 0 1 0 1 3 2 A 200 1 200 3 0 1 III Cỏc phộp toỏn i vi ma trn - Vớ d 2 3 A 0 2 Tớnh A20 0 2 3 1 3/ 2 1 a A 2 2 0 2 0 1 0 1 n 1 a 1 na Ta...I Cỏc khỏi nim c bn v vớ d -Cỏc phn t a11, a22 ,,ann to nờn ng chộo chớnh ca ma trn vuụng A 2 3 3 4 2 1 2 1 1 1 0 5 3 7 6 8 I Cỏc khỏi nim c bn v vớ d -nh ngha ma trn tam giỏc trờn Ma trn vuụng A aij c gi l ... n, A gọi ma trận vng cấp n   1 A    22 Tập hợp ma trận vng cấp n trường số K ký hiệu M n [K] I Các khái niệm ví dụ -Các phần tử a11, a22 ,…,ann tạo nên đường...  4; a13  1; a21  2; a22  0; a23  Ví dụ 1  i 2 A    i i 22 I Các khái niệm ví dụ Ma trận A có m hàng n cột thường ký hiệu A  aij mn Tập hợp tất ma... tùy ý hi  h j Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp cột Chú ý: phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi bản, thường dùng nhất!!! II Các phép biến đổi sơ cấp