Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn Bài tập toán cao cấp có lời giải chi tiết1. Tích phân bất định2. Tích phân xác định Riemann3. Tích phân hàm nhiều biến4. Lý thuyết chuỗi5. Phương trình vi phân6. Phương trình vi phân đạo hàm rieng
˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆP BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆ I NHA Mu.c lu.c 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 10.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n `an u.ng phˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t` 4 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜ u.u ty’ 10.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 10.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 12 21 11 T´ıch phˆ an x´ ac di.nh Riemann 11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac d i.nh - i.nh ngh˜ıa 11.1.1 D - iˆ `eu kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch 11.1.2 D 11.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 11.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3 Mˆo.t sˆo´ u ´.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ 30 30 37 48 57 58 58 59 59 61 78 78 11.3.2 T´ınh dˆo d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 89 98 11.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n 98 11.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi ch˘a.n 107 MU C LU C `eu biˆ 12 T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p `en ch˜ u nhˆa.t 12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.1.3 Mˆo.t v`ai u ´.ng du.ng h`ınh ho.c 12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p `en h`ınh hˆo.p 12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.2.3 12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 12.4.3 Cˆong th´ u.c Gauss-Ostrogradski 12.4.4 Cˆong th´ u.c Stokes 117 118 118 118 121 133 133 134 136 136 144 144 146 158 158 160 162 162 ˜i 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o 13.1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.1.2 Chuˆo˜ i sˆo´ du.o.ng 13.2 Chuˆ˜o i hˆo.i tu tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t d ˆo´i 13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.2.2 Chuˆo˜ i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 13.3 Chuˆ˜o i l˜ uy th` u.a 13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n - iˆ `eu kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 13.3.2 D 13.4 Chuˆo˜ i Fourier 13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 177 178 178 179 191 191 192 199 199 201 211 211 MU C LU C `e su hˆo.i tu cu’a chuˆ˜o i Fourier 212 13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆ 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d ˘a’ng cˆa´p 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237 14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244 `an 247 14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep thˆa´p cˆa´p 260 14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264 `an nhˆa´t 14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ cˆa´p n (ptvptn cˆa´p n ) v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 273 14.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng290 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆ 15 Kh´ niˆ e.m vˆ an da.o h` am riˆ eng 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng 15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p d o.n gia’n nhˆa´t y to´an co ba’n 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ `en s´ong 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `en nhiˆe.t 15.3.2 Phu o ng tr`ınh truyˆ 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace T` liˆ e.u tham kha’o 304 306 310 313 314 317 320 327 Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ 10.1.1 Nguyˆen h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1.2 Phu.o.ng ph´ ap dˆ o’i biˆe´n 12 `an 21 10.1.3 Phu.o.ng ph´ ap t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ 10.2 C´ ac l´ o.p h` am kha’ t´ıch l´ o.p c´ ac h` am so cˆ a´p 30 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` am h˜ u.u ty’ 30 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ o.t sˆ o´ h` am vˆ o ty’ do.n gia’n 37 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o ng gi´ ac 48 10.1 ap t´ınh t´ıch phˆ an C´ ac phu.o.ng ph´ 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh - i.nh ngh˜ıa 10.1.1 H`am F (x) du.o c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am D f (x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan ta.i mˆo˜ i diˆe’m cu’a khoa’ng v`a F (x) = f (x) - i.nh l´ `on ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h` `e su tˆ am liˆen tu.c trˆen D y 10.1.1 (vˆ `eu c´ doa.n [a, b] dˆ o nguyˆen h` am trˆen khoa’ng (a, b) - i.nh l´ D y 10.1.2 C´ ac nguyˆen h` am bˆ a´t k`y cu’a c` ung mˆ o.t h` am l` a chı’ `ng sˆ kh´ ac bo’ i mˆ o.t h˘ a o´ cˆ o.ng Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so cˆa´p khˆong pha’i bao ung l`a h`am so cˆa´p Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x , gi`o c˜ cos x sin x , , , l`a nh˜ u.ng h`am khˆong so cˆa´p cos(x2), sin(x2), lnx x x - i.nh ngh˜ıa 10.1.2 Tˆa.p ho p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen D khoa’ng (a, b) du.o c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng y hiˆe.u l`a (a, b) v`a du.o c k´ f (x)dx Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) th`ı theo di.nh l´ y 10.1.2 f (x)dx = F (x) + C, C∈R `an hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ u.a d´o C l`a h˘a`ng sˆo´ t` uy y ´ v`a d˘a’ng th´ u.c cˆ u.c gi˜ hai tˆa.p ho p C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: 1) d f (x)dx = f (x)dx 2) f (x)dx 3) df (x) = = f (x) f (x)dx = f (x) + C T` u di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ ut ba’ng c´ac t´ıch phˆan co ba’n (thu.`o.ng du.o c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t d inh I 0.dx = C II 1dx = x + C xα+1 + C, α = −1 α+1 III xαdx = IV dx = ln|x| + C, x = x V axdx = ax + C (0 < a = 1); lna VI sin xdx = − cos x + C VII cos xdx = sin x + C VIII IX X XI ex dx = ex + C dx π = tgx + C, x = + nπ, n ∈ Z cos x dx = −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z sin2 x arc sin x + C, dx √ −1 < x < = − x2 −arc cos x + C arctgx + C, dx = + x2 −arccotgx + C √ dx = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± u th`ı x < −1 ho˘a.c x > 1) (trong tru.`o.ng ho p dˆa´u tr` XII XIII √ 1+x dx + C, |x| = = ln 1−x 1−x C´ac quy t˘´ac t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 1) kf (x)dx = k 2) [f (x) ± g(x)]dx = 3) Nˆe´u f (x)dx, k = f (x)dx ± g(x)dx f (x)dx = F (x) + C v`a u = ϕ(x) kha’ vi liˆen tu.c th`ı f (u)du = F (u) + C ´ V´I DU CAC V´ı du Ch´ u.ng minh r˘`ang h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen mo.i khoa’ng ch´ u.a diˆe’m x = Gia’i 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = h`am y = signx l`a h˘`ang sˆo´ Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), < a < b ta c´o signx = v`a d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng F (x) = x + C, C ∈ R 2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m`a a < < b Trˆen khoa’ng (a, 0) mo.i nguyˆen h`am cu’a signx c´o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b) nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2 V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘a`ng sˆo´ C1 v`a C2 ta thu du.o c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o c h`am liˆen tu.c y = |x| + C u d´o, theo di.nh ngh˜ıa h`am nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = T` signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < < b V´ı du T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) = e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ `en x > mˆo.t ta c´o e|x| = ex v`a d´o miˆ Gia’i V´o.i x c´ac nguyˆen h`am l`a ex Khi x < ta c´o e|x| = e−x v`a vˆa.y `en x < mˆo.t c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x + C v´o.i h˘a`ng miˆ sˆo´ C bˆa´t k` y Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t d inh `eu kiˆe.n pha’i tho’a m˜an diˆ lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 t´ u.c l`a = −1 + C ⇒ C = Nhu vˆa.y ex nˆe´u x > 0, F (x) = nˆe´u x = 0, −e−x + nˆe´u x < l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´ Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng F (x) l`a nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > ta c´o `an pha’i F (x) = ex = e|x|, v´o.i x < th`ı F (x) = e−x = e|x| Ta c`on cˆ ch´ u.ng minh r˘`ang F (0) = e0 = Ta c´o F (x) − F (0) ex − = lim = 1, x→0+0 x→0+0 x x F (x) − F (0) −e−x + − F− (0) = lim = lim = x→0−0 x→0−0 x x Nhu vˆa.y F+ (0) = F− (0) = F (0) = = e|x| T` u d´o c´o thˆe’ viˆe´t: ex + C, x[...]... ty’ (hay phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ khˆong thu c su ; nˆe´u m < n th`ı du.o c go.i l`a phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ thu c su Pm (x)/Qn (x) du.o c go.i l`a phˆan th´ u.u ty’ khˆong thu c su th`ı nh`o ph´ep chia Nˆe´u R(x) l`a phˆan th´ u.c h˜ `an nguyˆen W (x) l`a da th´ u.c ta c´o thˆe’ t´ach phˆ u.c sao cho da th´ R(x) = Pm (x) Pk (x) = W (x) + Qn (x) Qn (x) (10.5) u.c bˆa.c m − n trong d´o k < n v`a W