Hướng dẫn Bài tập toán cao cấp có lời giải chi tiết1. Tích phân bất định2. Tích phân xác định Riemann3. Tích phân hàm nhiều biến4. Lý thuyết chuỗi5. Phương trình vi phân6. Phương trình vi phân đạo hàm rieng
Trang 1B ` AI T ˆ A P
Tˆ a.p 3 Ph´ ep t´ınh t´ıch phˆ an L´ y thuyˆ e´t chuˆ o ˜i.
Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an
NH ` A XU ˆ A ´T BA’N DA.I HO.C QUˆO´C GIA H`A NˆO.I
Trang 210 T´ ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh 4
10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 410.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 410.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n 1210.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t`u.ng phˆ` n a 2110.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch trong l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 3010.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜u.u ty’ 3010.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 3710.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 48
11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 5811.1.1 D- i.nh ngh˜ıa 5811.1.2 D- iˆe`u kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch 5911.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 5911.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh 6111.3 Mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 7811.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ 7811.3.2 T´ınh dˆo d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay 8911.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 9811.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n 9811.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi ch˘a.n 107
Trang 312 T´ ıch phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 117
12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p 118
12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n ch˜u nhˆa.t 118
12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 118
12.1.3 Mˆo.t v`ai ´u.ng du.ng trong h`ınh ho.c 121
12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p 133
12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n h`ınh hˆo.p 133
12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 134
12.2.3 136
12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 136
12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng 144
12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 144
12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 146
12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 158
12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 158
12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 160
12.4.3 Cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski 162
12.4.4 Cˆong th´u.c Stokes 162
13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o ˜i 177 13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 178
13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 178
13.1.2 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 179
13.2 Chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t dˆo´i 191
13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 191
13.2.2 Chuˆo˜i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 192
13.3 Chuˆo˜i l˜uy th`u.a 199
13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 199
13.3.2 D- iˆe`u kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 201 13.4 Chuˆo˜i Fourier 211
13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 211
Trang 413.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆe` su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i Fourier 212
14 Phu.o.ng tr` ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 225
14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226
14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d ˘a’ng cˆa´p 231
14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237
14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244
14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ` n 247a 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259
14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep ha thˆa´p cˆa´p 260
14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 2 v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264
14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ` n nhˆa´ta cˆa´p n n n (ptvptn cˆ a´p n n n) v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 273
14.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 1 v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng290 15 Kh´ ai niˆ e.m vˆe ` phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an da.o h` am riˆ eng 304 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng 306
15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p 2 d o.n gia’n nhˆa´t 310 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´y to´an co ba’n 313
15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n s´ong 314e 15.3.2 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n nhiˆe.t 317e 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace 320
T` ai liˆ e.u tham kha’o 327
Trang 5T´ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh
10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ ınh t´ ıch phˆ an 4
10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 410.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n 1210.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t`u.ng phˆ` n 21a
10.2 C´ ac l´ o.p h` am kha ’ t´ıch trong l´ o.p c´ ac h` am
so cˆ a ´p 30
10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜u.u ty’ 3010.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 3710.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 48
10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a ´t di.nh
D- i.nh ngh˜ıa 10.1.1 H`am F (x) du.o c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am
f (x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi
Trang 6ta.i mˆo˜i diˆe’m trong cu’a khoa’ng v`a F0(x) = f (x).
D- i.nh l´y 10.1.1 (vˆe` su tˆo`n ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h`am liˆen tu.c trˆen
doa n [a, b] dˆ `u c´ e o nguyˆ en h` am trˆ en khoa’ng (a, b).
D- i.nh l´y 10.1.2 C´ac nguyˆen h`am bˆa´t k`y cu’a c`ung mˆo.t h`am l`a chı’
kh´ ac nhau bo ’ i mˆ o t h˘ a `ng sˆ o´ cˆ o ng.
Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so cˆa´p khˆong pha’i bao
gi`o c˜ung l`a h`am so cˆa´p Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e −x2,
x , l`a nh˜u.ng h`am khˆong so cˆa´p.
D- i.nh ngh˜ıa 10.1.2 Tˆa.p ho p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen
khoa’ng (a, b) du.o c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng
(a, b) v`a du.o c k´y hiˆe.u l`a
Z
f (x)dx.
Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng
(a, b) th`ı theo di.nh l´y 10.1.2
Z
f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R
trong d´o C l`a h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y v`a d˘a’ng th´u.c cˆ` n hiˆe’u l`a d˘a’ng th´a u.c gi˜u.a
hai tˆa.p ho p
C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh:
T`u di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ut ra ba’ng c´ac t´ıch phˆan co.
ba’n (thu.`o.ng du.o c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay:
Trang 71 + x 1 − x
+ C, |x| 6= 1.
C´ac quy t˘a´c t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh:
Trang 8khoa’ng bˆa´t k`y khˆong ch´u.a diˆe’m x = 0 v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen
mo.i khoa’ng ch´u.a diˆe’m x = 0.
Gia’i 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k`y khˆong ch´u.a diˆe’m x = 0 h` am y = signx
l`a h˘a`ng sˆo´ Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), 0 < a < b ta c´o signx = 1
v`a do d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng
F (x) = x + C, C ∈ R.
2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m` a a < 0 < b Trˆ en khoa’ng (a, 0) mo.i
nguyˆen h`am cu’a signx c´ o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b)
nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2 V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘a`ng sˆo´ C1
v`a C2 ta thu du.o..c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = 0.
Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o c h`am liˆen tu.c y = |x| + C
nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = 0 T`u d´o, theo di.nh ngh˜ıa 1 h`am
signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < 0 < b N
V´ ı du 2 T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) = e |x| trˆen to`an tru.c sˆo´
Gia’i V´ o.i x > 0 ta c´ o e |x| = e x v`a do d´o trong miˆ`n x > 0 mˆo.te
trong c´ac nguyˆen h`am l`a e x Khi x < 0 ta c´ o e |x| = e −x v`a do vˆa.y
trong miˆ`n x < 0 mˆo.t trong c´ac nguyˆen h`am l`a −ee −x
+ C v´o.i h˘a`ng
sˆo´ C bˆa´t k`y
Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e |x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o
Trang 9pha’i tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.ne
l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng F (x) l`a nguyˆen
h`am cu’a h`am e |x| trˆen to`an tru.c sˆo´ Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > 0 ta c´o
F0(x) = e x = e |x|, v´o.i x < 0 th`ı F0(x) = e −x = e |x| Ta c`on cˆ` n pha’iach´u.ng minh r˘a`ng F0
x Do vˆa.y, nguyˆen h`am cu’a f l`a h`am F (x) = ln|x| + C,
C ∈ R H˘a`ng sˆo´ C du.o c x´ac di.nh t`u diˆe`u kiˆe.n F (−2) = 2, t´u.c l`a ln2 + C = 2 ⇒ C = 2 − ln2 Nhu vˆa.y
F (x) = ln|x| + 2 − ln2 = ln
x2