bài tập tóan cao cấp các phép tính vi phân

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆP BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆI NHA Mu.c lu.c a liˆ en tu.c cu’a h` am sˆ o´ Gi´ o.i ha.n v` 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen c´ac `e gi´o.i ha.n y vˆ di.nh l´ `eu 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆ y kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ Bolzano-Weierstrass) `eu 7.1.4 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆ `an v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ y hˆo.i tu kiˆe.n cˆ 7.2 7.3 7.4 Bolzano-Cauchy) Gi´o i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n `e gi´o.i ha.n y co ba’n vˆ 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´ H`am liˆen tu.c `eu biˆe´n Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆ 11 17 25 27 27 41 51 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t biˆ e´n 60 - a.o h`am 61 8.1 D - a.o h`am cˆa´p 61 8.1.1 D - a.o h`am cˆa´p cao 62 8.1.2 D 8.2 Vi phˆan 8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 75 75 MU C LU C 8.3 8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao `e h`am kha’ vi Quy t˘a´c l’Hospital y co ba’n vˆ C´ac di.nh l´ Cˆong th´ u.c Taylor `e h`am kha’ vi y co ba’n vˆ 8.3.1 C´ac d i.nh l´ 8.3.2 Khu’ c´ac da.ng vˆo di.nh Quy t˘a´c Lˆopitan (L’Hospitale) 8.3.3 Cˆong th´ u.c Taylor `eu biˆ Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am nhiˆ e´n - a.o h`am riˆeng 9.1 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p 9.1.1 D - a.o h`am cu’a h`am ho p 9.1.2 D 9.1.3 H`am kha’ vi - a.o h`am theo hu.´o.ng 9.1.4 D - a.o h`am riˆeng cˆa´p cao 9.1.5 D `eu biˆe´n 9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p ´ du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆ `an d´ ung 9.2.2 Ap 9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan 9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao 9.2.5 Cˆong th´ u.c Taylor 9.3 9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n `eu biˆe´n Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 9.3.1 Cu c tri `eu kiˆe.n 9.3.2 Cu c tri c´o diˆ 9.3.3 Gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am 77 84 84 88 96 109 110 110 111 111 112 113 125 126 126 127 127 129 130 145 145 146 147 Chu.o.ng a liˆ en tu.c cu’a Gi´ o.i ha.n v` h` am sˆ o´ 7.1 ay sˆ o´ Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ 7.1.1 C´ ac b` to´ an liˆen quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ o.i ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trˆen `e gi´ c´ ac di.nh l´ y vˆ o.i ha.n 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a `eu kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ trˆen diˆ ay hˆ o.i tu (nguyˆen Bolzano-Weierstrass) 7.1.4 11 l´ y 17 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trˆen `an v` `eu kiˆe.n cˆ diˆ a du’ dˆe’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyˆen l´ y hˆ o.i tu Bolzano-Cauchy) 25 7.2 Gi´ o.i ha.n h` am mˆ o.t biˆ e´n 27 `e gi´ 7.2.1 C´ ac kh´ niˆe.m v` a di.nh l´ o.i ha.n 27 y co ba’n vˆ 7.3 H` am liˆ en tu.c 41 `eu biˆ Gi´ o.i ha.n v` a liˆ en tu.c cu’a h` am nhiˆ e´n 51 7.4 Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 7.1 ay sˆ o´ Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho p N du.o c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n D˜ay sˆo´ thu.`o.ng du.o c viˆe´t du.´o.i da.ng: a1, a2, , an , (7.1) ho˘a.c {an }, d´o an = f (n), n ∈ N du.o c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng d˜ay `an lu.u y Ta cˆ ´ c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay: i) D˜ay (7.1) du.o c go.i l`a bi ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | M; v`a go.i l`a khˆong bi ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M ii) Sˆo´ a du.o c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u: ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε (7.2) iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u: ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε (7.3) iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., tru.`o.ng ho p ngu.o c la.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k` y v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c` ung b´e nˆe´u lim an = v`a go.i l`a d˜ay n→∞ vˆo c` ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v`a viˆe´t lim an = ∞ `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ d˜ay hˆo.i tu l`a d˜ay d´o pha’i bi ch˘a.n vi) Diˆ Ch´ u ´y: i) Hˆe th´ u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i: −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε (7.4) 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay Hˆe th´ u.c (7.4) ch´ `eu n˘a`m khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan hˆo.i tu dˆ cˆa.n cu’a diˆe’m a u Nhu vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr` `eu n˘`am ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k` y b´e bao mˆo.t sˆo´ h˜ u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆ nhiˆeu t` uy y ´ cu’a diˆe’m a ´ r˘`ang d˜ay sˆo´ vˆo c` ung l´o.n khˆong hˆo.i tu v`a k´ y hiˆe.u ii) Ta lu.u y ung l´o n v`a k´ y hiˆe.u d´o lim an = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c` ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n 7.1.1 C´ ac b` to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ o.i ha.n `an tiˆe´n Dˆe’ ch´ u.ng minh lim an = a b˘a`ng c´ach su’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆ h`anh theo c´ac bu ´o c sau dˆay: i) Lˆa.p biˆe’u th´ u.c |an − a| `eu d´o c´o lo i) cho |an − a| bn ∀ n v`a ii) Cho.n d˜ay bn (nˆe´u diˆ y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n: v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k` bn < ε (7.5) ˜e d`ang Gia’ su’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f (ε), c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆ `an f (ε) > Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l`a [f (ε)], d´o [f (ε)] l`a phˆ nguyˆen cu’a f (ε) ´ V´I DU CAC n V´ı du Gia’ su’ an = n(−1) Ch´ u.ng minh r˘`ang: i) D˜ay an khˆong bi ch˘a.n ung l´o.n ii) D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c` Gia’i i) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong bi ch˘a.n Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi ch˘a.n n v`a l´o.n ho.n M Diˆ Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ ii) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’i l`a vˆo c` ung l´o.n Thˆa.t vˆa.y, ta x´et khoa’ng (−2, 2) Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’ `eu thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı n le’ th`ı ta c´o: dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) u d´o, Nhu vˆa.y kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay T` ung l´o.n theo di.nh ngh˜ıa suy an khˆong pha’i l`a vˆo c` u.ng minh r˘`ang: V´ı du D` ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´ 1) lim n→∞ (−1)n−1 = n 2) lim n→∞ n = n+1 `an ch´ Gia’i Dˆe’ ch´ u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha.n l`a a, ta cˆ u.ng minh r˘a`ng dˆo´i v´o.i mˆ˜o i sˆo´ ε > cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o c sˆo´ N (N phu thuˆo.c ε) cho n > N th`ı suy |an − a| < ε Thˆong thu.`o.ng ta ˜e n N qua ε c´o thˆe’ chı’ cˆong th´ u.c tu.`o.ng minh biˆe’u diˆ 1) Ta c´o: |an − 0| = (−1)n−1 = · n n Gia’ su’ ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t` uy y ´ Khi d´o: 1 · n ε `eu kiˆe.n: V`ı thˆe´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆ N> 1 ⇒ < ε ε N `an nguyˆen (Ch˘a’ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/ε], d´o [1/ε] l`a phˆ cu’a 1/ε) Khi d´o ∀ n N th`ı: |an − 0| = n < ε N 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ (−1)n `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a lim = Diˆ n→∞ n 2) Ta lˆa´y sˆo´ ε > bˆa´t k` y v`a t`ım sˆo´ tu nhiˆen N (ε) cho ∀ n > N (ε) th`ı: n − < ε n+1 u.c Bˆa´t d˘a’ng th´ |an − 1| < ε ⇔ 1 < ε ⇔ − n+1 ε `an nguyˆen cu’a Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N (ε) l`a phˆ − 1, t´ u.c l`a: ε N (ε) = E((1/ε) − 1) Khi d´o v´o.i mo.i n N ta c´o: 1 n n −1 = < ε ⇒ lim = n→∞ n + n+1 n+1 N +1 y: V´ı du Ch´ u.ng minh r˘`ang c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k` n∈N 1) an = n, 2) an = (−1)n , 3) n∈N an = (−1)n + · n (7.6) (7.7) (7.8) Gia’i 1) Gia’ su’ d˜ay (7.6) hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y ε = `on ta.i sˆo´ hiˆe.u N cho ∀ n > N th`ı Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆ u d´o −1 < n − a < ta c´o |an − a| < ngh˜ıa l`a |n − a| < ∀ n > N T` ∀ n > N ⇔ a − < n < a + ∀ n > N u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´ y v`ı tˆa.p ho p c´ac Nhu.ng bˆa´t d˘a’ng th´ sˆo´ tu nhiˆen khˆong bi ch˘a.n 2) C´ ach Gia’ su’ d˜ay an hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y lˆan 1 cˆa.n a − , a + cu’a diˆe’m a Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng: 2 {an } = −1, 1, −1, 1, (7.9) Chu.o.ng Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 1 l`a b˘a`ng nˆen hai diˆe’m −1 V`ı dˆo d`ai cu’a khoa’ng a − , a + 2 1 `ong th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.n a − , a + cu’a diˆe’m a, v`a +1 khˆong thˆe’ dˆ 2 `eu d´o c´o ngh˜ıa l`a o’ ngo`ai v`ı khoa’ng c´ach gi˜ u.a −1 v`a +1 b˘a`ng Diˆ 1 c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´ u lˆan cˆa.n a − , a + 2 y ´ o’ trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay C´ ach Gia’ su’ an → a Khi d´o ∀ ε > (lˆa´y ε = ) ta c´o |an − a| < ∀ n N V`ı an = ±1 nˆen |1 − a| < , | − − a| < ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| ⇒2 < 1, |1 − a| + |a + 1| 1 + =1 2 vˆo l´ y `e v´o.i n´o Sˆo´ ha.ng kˆ 3) Lu.u y ´ r˘a`ng v´o.i n = 2m ⇒ a2m = + 2m c´o sˆo´ hiˆe.u le’ 2m + (hay 2m − 1) v`a a2m+1 = −1 + 1 < (hay a2m−1 = −1 + 2m + 2m − 0) T` u d´o suy r˘a`ng |an − an−1 | > `au t` Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (an ) th`ı b˘´at dˆ u sˆo´ hiˆe.u n`ao u.c |an − a| < Khi d´o d´o (an ) tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ng th´ 1 |an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 2 `e bˆa´t k` u.a hai sˆo´ ha.ng kˆ y cu’a d˜ay d˜a cho luˆon luˆon Nhu.ng hiˆe.u gi˜ `eu mˆau thuˆa˜ n n`ay ch´ u.ng to’ r˘a`ng khˆong mˆo.t sˆo´ thu c l´o.n ho.n Diˆ n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay d˜a cho 7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ ˆP ` TA BAI H˜ay su’ du.ng di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n dˆe’ ch´ u.ng minh r˘`ang 2n − 1 lim an = nˆe´u an = n→∞ 2n + 3n2 + ´ lim an = nˆeu an = n→∞ 5n − `au t` B˘´at dˆ u sˆo´ hiˆe.u N n`ao th`ı: |an − 3/5| < 0, 01 lim an = nˆe´u an = n→∞ (DS N = 5) 3n + 3n cos n = n→∞ n 2n + · 6n = 5 lim n→∞ 3n + 6n √ n2 sin n2 = lim n→∞ n+1 Ch´ u.ng minh r˘a`ng sˆo´ a = khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an = n2 − 2n2 − Ch´ u.ng minh r˘`ang lim n2 + 2n + + sin n lim = n→∞ n2 + n + y Ch´ u.ng minh r˘`ang d˜ay: an = (−1)n + 1/n phˆan k` 10 Ch´ u.ng minh r˘`ang d˜ay; an = sin n0 phˆan k` y 11 T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; , 0, 22 2, ˜ ˜e n an du.´o.i da.ng Chı’ dˆ a n Biˆe’u diˆ an = 0, 22 = 22 2 + + ··· + n 10 10 10 n (DS lim an = 2/9) `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 144 ˜ Chı’ dˆ a n X´et h`am f = ln(x3 + y ), M0(0, 1) ii) b = 5e0,02 + (2, 03)2 ˜ Chı’ dˆ a n X´et h`am f = (DS ≈ 3, 037) 5ex + y 2, M0 (0, 2) ´.ng du.ng dˆe’ t´ınh 35 T´ınh vi phˆan cu’a h`am f (x, y) = x3 + y U xˆa´p xı’ (1, 02)3 + (1, 97)3 (DS ≈ 2, 95) Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (36-38) h˜ay t´ınh vi phˆan cˆa´p cu’a ´.ng h`am ˆa’n z(x, y) x´ac di.nh bo’.i c´ac phu.o.ng tr`ınh tu.o.ng u 36 z + 3x2 z = 2xy (DS dz = (2y − 6xz)dx + 2xdy ) 3(x2 + z 2) 37 cos2 x + cos2 y + cos2 z = (DS dz = − sin 2xdx + sin 2ydy ) sin 2z 38 x + y + z = e−(x+y+z) (DS dz = −dx − dy) 39 Cho w l`a h`am cu’a x v`a y x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh w x = ln + w y T´ınh vi phˆan dw, d2 w (DS dw = w(ydx + wdy) , y(x + w) d2 w = − w2 (ydx − xdy)2 ) y (x + w)2 40 T´ınh dw v`a d2 w nˆe´u h`am w(x, y) du.o c x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh y w − x = arctg w−x (w − x)dy , (w − x)2 + y + y 2(y + 1)(w − x)[(w − x)2 + y 2] dy ) d2 w = − [(w − x)2 + y + y]3 (DS dw = dx + `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 9.3 9.3.1 145 `eu biˆ am nhiˆ e´n Cu c tri cu’a h` Cu c tri H`am f (x, y) c´o cu c da.i di.a phu.o.ng (ho˘a.c cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng) b˘`ang `on ta.i δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m M0 f (x0, y0 ) ta.i diˆe’m M0 (x0, y0 ) ∈ D nˆe´u tˆ cho v´o.i mo.i diˆe’m M = M0 thuˆo.c lˆan cˆa.n ˆa´y ta c´o f (M) < f (M0 ) (tu.o.ng u ´.ng : f (M) > f (M0 )) Go.i chung cu c da.i, cu c tiˆe’u cu’a h`am sˆo´ l`a cu c tri cu’a h`am sˆo´ `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ tˆ `on ta.i cu c tri di.a phu.o.ng: Nˆe´u ta.i diˆe’m M0 h`am Diˆ f (x, y) c´o cu c tri di.a phu.o.ng th`ı ta.i diˆe’m d´o ca’ hai da.o h`am riˆeng cˆa´p `eu b˘a`ng ho˘a.c ´ıt nhˆa´t mˆo.t hai da.o h`am `on ta.i) dˆ (nˆe´u ch´ ung tˆ `on ta.i (d´o l`a nh˜ u.ng diˆe’m t´ o.i ha.n ho˘a.c diˆe’m d` u.ng cu’a riˆeng khˆong tˆ `eu l`a diˆe’m cu c tri u.ng dˆ h`am f (x, y)) Khˆong pha’i mo.i diˆe’m d` `eu kiˆe.n du’: gia’ su’ Diˆ fxx (M0 ) =, fxy (M0 ) = B, fyy (M0 ) = C Khi d´o: i) Nˆe´u ∆(M0) = A B > v`a A > th`ı ta.i diˆe’m M0 h`am f c´o B C cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng ii) Nˆe´u ∆(M0 ) = A B > v`a A < th`ı ta.i diˆe’m M0 h`am f c´o B C cu c da.i di.a phu.o.ng A B < th`ı M0 l`a diˆe’m yˆen ngu a cu’a f , t´ u.c B C l`a ta.i M0 h`am f khˆong c´o cu c tri iii) Nˆe´u ∆(M0 ) = A B = th`ı M0 l`a diˆe’m nghi vˆa´n (h`am f c´o B C thˆe’ c´o v`a c˜ ung c´o thˆe’ khˆong c´o cu c tri ta.i d´o) iv) Nˆe´u ∆(M0) = `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 146 9.3.2 `eu kiˆ o diˆ Cu c tri c´ e.n `eu kiˆe.n cu’a h`am f (x, y) Trong tru.`o.ng ho p do.n gia’n nhˆa´t, cu c tri c´o diˆ `eu kiˆe.n c´ac biˆe´n l`a cu c da.i ho˘a.c cu c tiˆe’u cu’a h`am d´o da.t du.o c v´o.i diˆ ang buˆ o.c) x v`a y tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh ϕ(x, y) = (phu.o.ng tr`ınh r` `eu kiˆe.n v´o.i diˆ `eu kiˆe.n r`ang buˆo.c ϕ(x, y) ta lˆa.p Dˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆ h` am Lagrange (h` am bˆ o’ tro ) F (x, y) = f (x, y)λϕ(x, y) d´o λ l`a h˘`ang sˆo´ nhˆan chu.a du.o c x´ac di.nh v`a di t`ım cu c tri thˆong ap th` u.a sˆ o´ bˆ a´t di.nh thu.`o.ng cu’a h`am bˆo’ tro n`ay Dˆay l`a phu.o.ng ph´ Lagrange `eu kiˆe.n cˆ `an dˆe’ tˆ `on ta.i cu c tri c´o diˆ `eu kiˆe.n l`a gia’i T`ım diˆ hˆe phu.o.ng tr`ınh  ∂f ∂ϕ ∂F   = +λ =0    ∂x ∂x  ∂x ∂f ∂ϕ ∂F (9.15) = + λ =0   ∂y ∂y ∂y    ϕ(x, y) = T` u hˆe n`ay ta c´o thˆe’ x´ac di.nh x, y v`a λ `e tˆ `on ta.i v`a d˘a.c t´ınh cu’a cu c tri di.a phu.o.ng du.o c minh di.nh Vˆa´n dˆ trˆen co so’ x´et dˆa´u cu’a vi phˆan cˆa´p hai cu’a h`am bˆo’ tro ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F d F = dxdy + dx + dy ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 `eu du.o c t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri x, y, λ thu du.o c gia’i hˆe (9.15) v´o.i diˆ kiˆe.n l`a ∂ϕ ∂ϕ dx + dy = (dx2 + dy = 0) ∂x ∂y Cu thˆe’ l`a: `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 147 `eu kiˆe.n i) Nˆe´u d2 F < h`am f (x, y) c´o cu c da.i c´o diˆ `eu kiˆe.n ii) Nˆe´u d F > h`am f (x, y) c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ `an pha’i kha’o s´at iii) Nˆe´u d2 F = th`ı cˆ Nhˆ a.n x´et `eu ho.n du.o c tiˆe´n h`anh i) Viˆe.c t`ım cu c tri cu’a h`am ba biˆe´n ho˘a.c nhiˆ tu.o.ng tu nhu o’ `eu kiˆe.n cu’a h`am ba biˆe´n ho˘a.c ii) Tu.o.ng tu c´o thˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆ `eu phu o ng tr`ınh r`ang buˆo.c (sˆ `eu ho n v´o i mˆo.t ho˘a.c nhiˆ o´ phu.o.ng nhiˆ `an lˆa.p h`am bˆo’ tro v´o.i o´ biˆe´n) Khi d´o cˆ tr`ınh r` ang buˆ o.c pha’i b´e ho.n sˆ sˆo´ th` u.a sˆo´ chu.a x´ac di.nh b˘a`ng sˆo´ phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c iii) Ngo`ai phu.o.ng ph´ap th` u.a sˆo´ bˆa´t di.nh Lagrange, ngu.`o.i ta c`on `eu kiˆe.n ap khu’ biˆe´n sˆ o´ dˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆ d` ung phu.o.ng ph´ 9.3.3 a´t v` a b´ e nhˆ a´t cu’a h` am Gi´ a tri l´ o.n nhˆ `en d´ong bi ch˘a.n da.t gi´a tri l´o.n nhˆa´t (nho’ nhˆa´t) H`am kha’ vi miˆ `en u.ng ho˘a.c ta.i diˆe’m biˆen cu’a miˆ ho˘a.c ta.i diˆe’m d` ´ V´I DU CAC V´ı du T`ım cu c tri di.a phu.o.ng cu’a h`am f (x, y) = x4 + y − 2x2 + 4xy − 2y `en x´ac di.nh cu’a h`am l`a to`an m˘a.t ph˘a’ng R2 Gia’i i) Miˆ ii) T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng fx v`a fy v`a t`ım c´ac diˆe’m t´o.i ha.n Ta c´o fx = 4x3 − 4x + 4y, fy = 4y + 4x − 4y Do d´o 4x3 − 4x + 4y = 4y + 4x − 4y = `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 148 v`a t` u d´o x1 = y1 = √ x2 = − √ y2 = √ x3 = √ y3 = − `on ta.i v´o.i mo.i diˆe’m Nhu vˆa.y ta c´o ba diˆe’m t´o.i ha.n V`ı fx , fy tˆ M(x, y) ∈ R2 nˆen h`am khˆong c`on diˆe’m t´o.i ha.n n`ao kh´ac ung ta.i c´ac iii) Ta t´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p hai v`a gi´a tri cu’a ch´ diˆe’m t´o i ha.n fxx (x, y) = 12x2 = 4, fxy = 4, fyy = 12y − Ta.i diˆe’m O(0, 0): A = −4, B = 4, C = −4 √ √ Ta.i diˆe’m M1(− 2, + 2): A = 20, B = 4, C = 20 √ √ Ta.i diˆe’m M2(+ 2, − 2): A = 20, B = 4, C = 20 iv) Ta.i diˆe’m O(0, 0)ta c´o A B −4 = = 16 − 16 = B C −4 Dˆa´u hiˆe.u du’ khˆong cho ta cˆau tra’ l`o.i Ta nhˆa.n x´et r˘`ang lˆan `on ta.i nh˜ u.ng diˆe’m m`a f (x, y) > v`a nh˜ u.ng cˆa.n bˆa´t k` y cu’a diˆe’m O tˆ diˆe’m m`a f (x, y) < Ch˘a’ng ha.n do.c theo trung c Ox (y = 0) ta c´o f (x, y) y=0 = f (x, 0) = x4 − 2x2 = −x2(2 − x2 ) < `an (0, 0), v`a do.c theo du.`o.ng th˘a’ng y = x ta.i nh˜ u.ng diˆe’m du’ gˆ f (x, y) y=x = f (x, x) = 2x4 > u.ng diˆe’m kh´ac cu’a mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a Nhu vˆa.y, ta.i nh˜ `an ∆f (x, y) khˆong c´o c` ung mˆo.t dˆa´u v`a diˆe’m O(0, 0) sˆo´ gia to`an phˆ d´o ta.i O(0, 0) h`am khˆong c´o cu c tri di.a phu o ng √ √ Ta.i diˆe’m M1(− 2, 2) ta c´o A B 20 = = 400 − 16 > B C 20 `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 149 √ √ v`a A > nˆen ta.i M1 (− 2, 2) h`am c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a fmin = −8 √ √ Ta.i diˆe’m M2 ( 2, − 2) ta c´o AC − B > v`a A > nˆen ta.i d´o h`am c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a fmin = −8 V´ı du Kha’o s´at v`a t`ım cu c tri cu’a h`am f (x, y) = x2 + xy + y − 2x − 3y Gia’i i) Hiˆe’n nhiˆen Df ≡ R u.ng Ta c´o ii) T`ım diˆe’m d` fx = 2x + y − fy = x + 2y − ⇒ 2x + y − = 0, x + 2y − = 4 Hˆe thu du.o c c´o nghiˆe.m l`a x0 = , y0 = Do d´o , l`a diˆe’m 3 3 u.ng d´o h`am f khˆong c´o diˆe’m d` u.ng n`ao kh´ac v`ı d` u.ng v`a ngo`ai diˆe’m d` `on tˆa.i ∀(x, y) fx v`a fy tˆ iii) Kha’o s´at cu c tri Ta c´o A = fx2 = 2, B fxy = 1, C = fy2 = Do d´o ∆(M0) = = > v`a A = > nˆen h`am f c´o cu c tiˆe’u ta.i diˆe’m M0 ( , 3 `eu kiˆe.n l`a V´ı du T`ım cu c tri cu’a h`am f (x, y) = − 4x − 3y v´o.i diˆ x v`a y liˆen hˆe v´o.i bo’.i phu.o.ng tr`ınh x2 + y = Gia’i Ta lˆa.p h`am Lagrange F (x, y) = − 4x − 3y + λ(x2 + y − 1) Ta c´o ∂F = −4 + 2λx, ∂x ∂F = −3 + 2λy ∂y `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 150 v`a ta gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh −4 + 2λx = −3 + 2λx = x2 + y = Gia’i ta c´o λ1 = , x1 = , y1 = 5 λ2 = − , x = − , y2 = − 5 V`ı ∂ 2F = 2λ, ∂x2 ∂ 2F = 0, ∂x∂y ∂ 2F = 2λ ∂y nˆen d2 F = 2λ(dx2 + dy 2) 4 Nˆe´u λ = , x = , y = th`ı d2 F > nˆen ta.i diˆe’m , h`am 5 5 `eu kiˆe.n c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ Nˆe´u λ = − , x = − , y = − th`ı d2 F < v`a d´o h`am c´o cu c 5 `eu kiˆe.n ta.i diˆe’m − , − da.i c´o diˆ 5 Nhu vˆa.y 16 + = 11, 5 16 fmin = − − = 5 `eu kiˆe.n cu’a h`am V´ı du T`ım cu c tri c´o diˆ 2 1) f (x, y) = x + y + xy − 5x − 4y + 10, x + y = 2) u = f (x, y, z) = x + y + z fmax = + z − x = 1, y − xz = `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 151 Gia’i 1) T` u phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c x + y = ta c´o y = − x v`a f (x, y) = x2 + (4 − x)2 + x(4 − x) − 5x − 4(4 − x) + 10 = x2 − 5x + 10, ta thu du.o c h`am mˆo.t biˆe´n sˆo´ g(x) = x2 − 5x + 10 `eu kiˆe.n cu’a ung ch´ınh l`a cu c tri c´o diˆ v`a cu c tri di.a phu.o.ng cu’a g(x) c˜ ´ du.ng phu.o.ng ph´ap kha’o s´at h`am sˆo´ mˆo.t biˆe´n sˆo´ dˆo´i h`am f (x, y) Ap v´o.i g(x) ta t`ım du.o c g(x) c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng gmin = g Nhu.ng cu c tiˆe’u d´o 15 = · h`am f (x, y) `eu kiˆe.n diˆ (y = − x ⇒ y = − = ) v`a 2 c´o fmin = f ta.i d˜a diˆe’m cho c´o , 2 15 , = · 2 2) T` u c´ac phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c ta c´o z =1+x y = x2 + x + v`a thˆe´ v`ao h`am d˜a cho ta du.o c h`am mˆo.t biˆe´n sˆo´ u = f (x, y(x), z(x)) = g(x) = 2x2 + 4x + ˜e d`ang thˆa´y r˘a`ng h`am g(x) c´o cu c tiˆe’u ta.i x = −1 (khi d´o y = 1, Dˆ `eu kiˆe.n ta.i diˆe’m z = 0) v`a d´o h`am f (x, y, z) c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ (−1, 1, 0) v`a fmin = f (−1, 1, 0) = `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 152 u.a sˆo´ bˆa´t di.nh Lagrange t`ım cu c tri V´ı du B˘`ang phu.o.ng ph´ap th` `eu kiˆe.n cu’a h`am c´o diˆ u = x + y + z2 `eu kiˆe.n v´o.i diˆ z−x = y − xz = (9.16) (xem v´ı du 4, ii)) Gia’i Ta lˆa.p h`am Lagrange F (x, y, z) = x + y + z + λ1 (z − x − 1) + λ2 (y − zx − 1) v`a x´et hˆe phu.o.ng tr`ınh                        ∂F = − λ1 − λ2 z = ∂x ∂F = + λ2 = ∂y ∂F = 2z + λ1 − λ2 x = ∂z ϕ1 = z − x − = ϕ2 = y − xz − = Hˆe n`ay c´o nghiˆe.m nhˆa´t x = −1, y = 1, z = 0, λ1 = v`a λ2 = −1 ngh˜ıa l`a M0 (−1, 1, 0) l`a diˆe’m nhˆa´t c´o thˆe’ c´o cu c tri cu’a `eu kiˆe.n r`ang buˆo.c ϕ1 v`a ϕ2 h`am v´o.i c´ac diˆ u.c T` u c´ac hˆe th´ z−x = y − xz = ta thˆa´y r˘`ang (9.16) x´ac di.nh c˘a.p h`am ˆa’n y(x) v`a z(x) (trong tru.`o.ng ˜e d`ang r´ ho p n`ay y(x) v`a z(x) dˆ ut t` u (9.16)) Gia’ su’ thˆe´ nghiˆe.m `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 153 `ong nhˆa´t y(x) v`a z(x) v`ao hˆe (9.16) v`a b˘a`ng c´ach lˆa´y vi phˆan c´ac dˆ th´ u c thu du o c ta c´o dz − dx = ⇒ dy − xdz − zdx = dz = dx dy = (x + z)dx (9.17) Bˆay gi`o t´ınh vi phˆan cˆa´p hai cu’a h`am Lagrange d2 F = 2(dz)2 − 2λ2 dxdz (9.18) Thay gi´a tri λ2 = −1 v`a (9.17) v`ao (9.18) ta thu du.o c da.ng to`an phu.o.ng x´ac di.nh du.o.ng l`a d2 F = 4dx2 `eu kiˆe.n ta.i diˆe’m T` u d´o suy h`am d˜a cho c´o cu c tiˆe’u c´o diˆ M0(−1, 1, 0) v`a fmin = V´ı du T`ım gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a h`am f (x, y) = x2 + y − xy + x + y `en miˆ D = {x 0, y 0, x + y −3} `en D d˜a cho l`a tam gi´ac OAB v´o.i dı’nh ta.i A(−3, 0), Gia’i Miˆ B(0, −3) v`a O(0, 0) u.ng: i) T`ım c´ac diˆe’m d` fx = 2x − y + = fy = 2y − x + = T` u d´o x = −1, y = −1 Vˆa.y diˆe’m d` u.ng l`a M(−1, −1) Ta.i diˆe’m M ta c´o: f (M) = f (−1, −1) = −1 `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 154 ii) Ta c´o A = fxx (−1, −1) = B = fxy (−1, −1) = −1 C = fyy (−1, −1) = Vˆa.y AC − B = − = > 0, nˆen h`am c´o biˆe.t th´ u.c AC − B > v`a A = > Do d´o ta.i diˆe’m M n´o c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a fmin = −1 `en D iii) Kha’o s´at h`am trˆen biˆen cu’a miˆ +) Khi x = ta c´o f = y + y Dˆo´i v´o.i h`am mˆo.t biˆe´n f = y + y, −3 y ta c´o (fln ) x=0 (fnn ) x=0 = ta.i diˆe’m (0, −3) −1 ta.i diˆe’m 0, − = +) Khi y = ta c´o h`am mˆo.t biˆe´n f = x2 + x, −3 tu.o.ng tu : (fln ) y=0 (fnn ) y=0 x v`a = ta.i diˆe’m (0, −3) −1 ta.i diˆe’m − , = +) Khi x + y = −3 ⇒ y = −3 − x ta c´o f (x) = 3x2 + 9x + v`a (fnn ) x+y=−3 (fln ) x+y=−3 −3 3 ta.i diˆe’m − , − 2 = ta.i diˆe’m (0, −3) v`a (−3, 0) = iv) So s´anh c´ac gi´a tri thu du.o c dˆo´i v´o.i f ta kˆe´t luˆa.n fln = ta.i u.ng (−1, −1) (0, −3) v`a (−3, 0) v`a gi´a tri fnn = −1 ta.i diˆe’m d` ` TA ˆ P BAI `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 155 H˜ay t`ım cu c tri cu’a c´ac h`am sau dˆay f = + 6x − x2 − xy − y (DS fmax = 13 ta.i diˆe’m (4, −2)) f = (x − 1)2 + 2y (DS fmin = ta.i diˆe’m (1, 0)) f = x2 + xy + y − 2x − y (DS fmin = −1 ta.i diˆe’m (1, 0)) f = x3y (6 − x − y) (x > 0, y > 0) (DS fmax = 108 ta.i diˆe’m (3, 2)) f = 2x4 + y − x2 − 2y (DS fmax = ta.i diˆe’m (0, 0), fmin = − ta.i c´ac diˆe’m M1 fmin = − ta.i c´ac diˆe’m M3 f = (5x + 7y − 25)e−(x +xy+y ) −1 , −1 v`a M2 ,1 2 −1 , −1 v`a M4 , −1 ) 2 (DS fmax = 3−13 ta.i diˆe’m M1 (1, 3), −1 −3 , ) fmin = −26e−1/52 ta.i diˆe’m M2 26 26 50 20 + , x > 0, y > (DS fmin = 30 ta.i diˆe’m (5, 2)) x y 2 f = x + xy + y − 6x − 9y (DS fmin = −21 ta.i diˆe’m (1, 4)) √ f = x y − x2 − y + 6x + (DS fmax = 15 ta.i diˆe’m (4, 4)) √ 10 f = (x2 + y) ey (DS fmin = − ta.i (0, −2)) e 11 f = + (x − 1) (y + 1) (DS fmin = ta.i diˆe’m (1, −1)) f = xy + ˜ `an kha’o s´at dˆa´u Chı’ dˆ a n Ta.i diˆe’m M0 (1, −1) ta c´o ∆(M0) = Cˆ cu’a f (M) − f (M0 ) = f (1 + ∆x, −1 + ∆y) − f (1, −1) 12 f = − (x − 2)4/5 − y 4/5 (DS fmax = ta.i diˆe’m (2, 0)) ˜ Chı’ dˆ a n Ta.i diˆe’m (2, 0) h`am khˆong kha’ vi Kha’o s´at dˆa´u cu’a f (M) − f (M0 ), M0 = (2, 0) 156 `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ `eu kiˆe.n cu’a c´ac h`am sau dˆay T`ım cu c tri c´o diˆ `eu kiˆe.n x + y = 13 f = xy v´o.i diˆ 1 , ) (DS fmax = ta.i diˆe’m 2 `eu kiˆe.n x2 + y = 14 f = x + 2y v´o.i diˆ (DS fmax = ta.i diˆe’m (1, 2)) x y `eu kiˆe.n + = 15 f = x2 + y v´o.i diˆ 36 18 12 ta.i diˆe’m , ) (DS fmin = 13 13 13 `eu kiˆe.n x2 + y + z = 16 f = x − 2y + 2z v´o.i diˆ (DS fmin = −9 ta.i diˆe’m (−1, 2, −2); fmax = ta.i (1, −2, 2).) `eu kiˆe.n 2x + 3y = 17 f = xy v´o.i diˆ 25 5 ta.i diˆe’m , ) (DS fmax = 24 x y `eu kiˆe.n r`ang buˆo.c + = 18 1) f = x2 + y v´o.i diˆ 144 36 48 ta.i , ) (DS fmin = 25 25 25 `eu kiˆe.n x + y = 2) f = exy v´o.i diˆ 1 , ) (DS fmax = e1/4 ta.i diˆe’m 2 ˜ Chı’ dˆ a n C´o thˆe’ su’ du.ng phu.o.ng ph´ap khu’ biˆe´n `eu kiˆe.n x − y + z = 19 f = x2 + y + 2z v´o.i diˆ (DS fmin = 0, ta.i diˆe’m (0, 4; −0, 4; 0, 2)) `eu kiˆe.n x + y − z = 20 f = x3 + y − z + v´o.i diˆ 10 (DS fmin = ta.i diˆe’m (0, 0, 0) v`a fmax = ta.i diˆe’m − , , ) 27 3 `eu biˆe´n 9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆ 157 `eu kiˆe.n x + y + z = 5, xy + yz + zx = 21 f = xyz v´o.i c´ac diˆ 4 7 4 ta.i , , ; , , ; , , (DS fmax = 27 3 3 3 3 fmin = ta.i (2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2)) T`ım gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a c´ac h`am sˆo´ sau 22 f = x2y(2 − x − y), D l`a tam gi´ac du.o c gi´o.i ha.n bo’.i c´ac doa.n th˘a’ng x = 0, y = 0, x + y = (DS fln = ta.i diˆe’m (1, 2); fnn = −128 ta.i diˆe’m (4, 2)) 23 f = x + y, D = {x2 + y 1} √ √ √ 2 , ; (DS fln = ta.i diˆe’m biˆen √2 √ √ 2 ,− ) fnn = − ta.i diˆe’m biˆen − 2 24 T` u mo.i tam gi´ac c´o chu vi b˘`ang 2p, h˜ay t`ım tam gi´ac c´o diˆe.n t´ıch l´o.n nhˆa´t ˜ Chı’ dˆ a n D˘a.t a = x, b = y ⇒ c = 2p − x − y v`a ´ap du.ng cˆong th´ u.c Heron S= p(p − x)(p − y)(x + y − p) `eu) (DS Tam gi´ac dˆ 25 X´ac di.nh gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a h`am f = x2 − y , D = {x2 + y 1} (DS fln = ta.i (1, 0) v`a (−1, 0); fnn = −1 ta.i (0, 1) v`a (0, −1)) 26 X´ac di.nh gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a h`am f = x3 − y − 3xy, D = {0 x 2, −1 y 2} 158 `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ (DS fln = 13 ta.i diˆe’m (2, −1); fnn = −1 ta.i diˆe’m (1, 1) v`a (0, −1))