dạng thức trong đề thi toán cao cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc DẠNG THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP CHO TUYỂN SINH ĐÀO TẠO TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ (Theo Quyết định số 128 /QĐ-ĐHNT ngày 10/02/2015) Cấu trúc thi: thi gồm câu hỏi dạng tập Thang điểm: thang điểm 10 Thời gian làm bài: 180 phút Nội dung thi: TT Phần Dạng thức thang điểm Phép tính vi phân Thí sinh biết vận dụng: giới hạn bản, vô bé, vô lớn, quy tắc L’hospital để tính giới hạn xét tính liên tục hàm biến hàm số (1 điểm) Vận dụng đạo hàm, vi phân để giải toán ứng dụng như: Tính gần giá trị biểu thức; tìm cực trị hàm biến; khảo sát hàm số (1 điểm) Khai triển Tay lor; khai triển Maclaurin hàm số (1 điểm) Phép tính tích phân Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng; tính giới hạn dãy số (1 điểm) hàm biến Thí sinh sử dụng đạo hàm riêng cấp 1, cấp để tính giá trị Phép tính vi phân biểu thức (1 điểm) hàm nhiều biến Thí sinh giải toán như: tìm cực trị tự do; tìm cực trị có điều kiện; toán max-min tập đóng giới nội hàm hai biến số (1,5 điểm) Tìm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng phương trình vi phân Phương trình vi cấp Thí sinh giải phương trình vi phân dang tách biến phân phương trình vi phân tuyến tính cấp (1 điểm) Thí sinh sử dụng phương pháp biến thiên số Langarange phương pháp đồng hệ số để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số số (1,5 điểm) Phần tự chọn: thí sinh biết vận dụng kiến thức toán học Phần tự chọn để giải toán ứng dụng đơn giản (1 điểm) Yêu cầu: Thí sinh phải đạt tối thiểu 5,0 điểm đủ điều kiện xét tuyển BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG ĐỀ THI MẪU ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP Thời gian làm bài: 180 phút    e x  cos mx  1 ; x    x  x Câu (1.0 điểm) Cho hàm số f  x    , (m tham số thực)   3m x   1 ;  Xác định m để hàm số f (x) liên tục R Câu (1.0 điểm) Cho hàm số f  x   ln(1  x) Khai triển Maclaurin hàm số f (x) đến cấp n Câu (1.0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x 1 x2  x 1 Câu (1.0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x , x  y Câu (1.0 điểm) Cho hàm số u  u ( x, y )  x  y , tính giá trị biểu thức a) A  2.u x (2,1)  uy ( 2,1)  ( 2,1)  5.u yy  (2,1) b) B  4.u xy Câu (1.5 điểm) Tìm cực trị tự hàm số f  x, y    x  y  xy  x  y  , Câu (1.0 điểm) Giải phương trình vi phân y   2x x 1   y  xe x x  ; y 0  Câu (1.5 điểm) Giải phương trình vi phân y   y   y  12e 3x (3x  2) Câu (1.0 điểm) Thí sinh chọn hai câu sau: Sử dụng câu 6, giải toán sau: Giả sử xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Giả sử đơn giá bán loại sản phẩm thị trường thứ P1  , thị trường thứ hai P2  Hàm tổng chi phí TC  Q1 , Q2   Q12  Q1Q2  2Q2  Q1  Ở Q1 , Q2 lượng sản phẩm bán hai thị trường thứ thứ hai Hãy tìm lượng hàng phân phối hai thị trường cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 9.2 Tìm quỹ đạo trực giao họ đường cong y  Cx ( C: số) ……………HẾT……………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG ĐÁP ÁN Môn thi: TOÁN CAO CẤP Câu Nội dung +) Với x  , f ( x)  e x  1(cos mx  1) hàm sơ cấp nên liên tục x5  x3 3m +) Để f  x  liên tục R lim f x   f 0    (*) x 0 (1,0đ) e  1(cos mx  1)  lim x +).Ta có lim x 0 2x  x +) Từ (*) (**) suy  +) Ta có f ( x)  f ( k ) ( x)  (1,0đ) 0,25 0,25 22 (1) 23 (1)( 2) ( x)  ; f ( x)  , f ,  2x (1  x)2 (1  x)3 0,25 (1  x)k +) Nên f ( k ) (0)  ( 1) k 1 2k (k  1)! f ( n 1) (c)  k 0 n   1k 1 k 0 (1,0đ) ( mx) 2   m (**) x3 (1)k 1 2k (k  1)! +) Vậy f  x   0,25 0,25 m2 3m    m  1 2 n (1,0đ)  x x 0 +) Công thức Maclaurin f  x    (1.0đ) Thang điểm k k 0,25 (1  2c) n 1 f  k    k f  n 1  c  n 1 x  x ; c   0, x  k!  n  1! x k   1n +) Miền xác định D=R y  (1) n 2n 1 n! 2n 1 x n 1 0,25 ; y   x  0,5 n 1 1  2c   x 1 0,25 ( n  1) ( x  x  1) +) Tiệm cận: T/c ngang: y  1 & lập BBT +) Vẽ đồ thị +) Phương trình hoành độ giao điểm suy x  0, x  + Hình vẽ +) S  (đvdt) 6x +) Tacó u  u ( x, y )  x  y  ux  ; uy  2 6x  y u u 12 Suy A  (2,1)  ( 2,1)    x y 5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 y x2  y 0,5   +) uxy  xy 2 x2   ; uyy (6 x  y ) 2 ; (6 x  y ) 0,5  2u  2u (12) 24 72 Suy B  (2,1)  ( 2,1)    xy 125 125 125 y (1,5đ)  f x   x  y    16 10  +).Xét hệ     ,  điểm dừng  f   x  y   7 7 y     2, B  f xy   1, C  f yy   4    7 +) A  f xx  16 10  +) Hàm số đạt cực đại  ,  7 7 0,5 0,25   2x 2x +) Ta có px       px dx   dx  ln x   C (C  0) x 1 x 1 2x Vậy nghiệm pt y  y  y  C ( x  1) x 1 +) Tìm nghiệm pt không nhất, xem C  C (x ) Suy (1,0đ) 0,75 C ( x)( x  1)  x.e x ( x  1)  C ( x)  x.e x ; (H số)  C ( x)  ( x.e x  e x )  H +) Vậy nghiệm tổng quát ph trình cho y  (( x.e x  e x )  H )( x  1) ; x x 0,25 0,5 0,25 Từ điều kiện y(0) = 0, suy H = nên y  (( x.e  e )  1)( x  1) nghiệm riêng PT cho +).Giải phương trình y  y  y   k  6k    k  3 (1,5đ) +) Nghiệm tổng quát ptrình yTN  C1e 3 x  C2 xe 0,25 3 x +) Tìm nghiệm riêng yR  e3 x ( Ax  B ) (vì   không nghiệm phương trình đặc trưng), thay vào phương trình cho đồng hai vế 0,75 0,25 3x Ta A= 1; B = -1 yR  e ( x  1) +) Thay vào ta nghiệm tổng quát y  e3 x ( x  1)  C1e3x  C2 xe3 x 0,25 (1.0đ) +) Hàm tổng doanh thu TR  7Q1  8Q2 9.1 9.2 0,5 Hàm lợi nhuận   TR  TC  Q12  2Q2  Q1Q2  6Q1  8Q2  +) Áp dụng kết câu 6, suy Q1  2,285; Q2  1,42 (đv hàng hóa) lợi nhuận công ty đạt tối đa +) y   2Cx , khử C ta y   y / x (1) 0,25 +) Để tìm quỹ đạo trực giao, (1) suy  / y   y / x 0,25 +)  xdx  ydy   x /  y  H (hằng số) quỹ đạo trực giao cần tìm 0,25 0,5 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG ĐỀ THI MẪU ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP Thời gian làm bài: 180 phút    e x  cos mx  1 ; x    x  x... không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG ĐÁP ÁN Môn thi: TOÁN CAO CẤP Câu Nội dung