TUYỂN tập các bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC TRONG đề THI học SINH GIỎI

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎICâu 1... Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thứcP = a Bảng biến thiên của f x:... Tìm giá trị lớn nhất của f xtrên đoạn này Câu 2

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Câu 1. Cho các số thực dươngx, y, zthỏa mãnx2+ y2+ z2=3

4 Chứng minh rằng1

x+1

y+1

z− 2 (x + y + z) ≥ 3TRÍCH ĐỀ THI HSG 12 TỈNH LÀO CAI 2016-2017

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

1

x+ 4x ≥ 41

y+ 4y ≥ 41

z+ 4z ≥ 4Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta có:

µ1

x+1

y+1z

¶+ 4 (x + y + z) ≥ 12 (1)

x(z + y) ≥ 2(1 +p1 + x2)y(x + z) ≥ 2(1 +p1 + y2)Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

x(z + y) ≥ 2(1 +p1 + x2)y(x + z) ≥ 2(1 +p1 + y2)Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

( y − z)2+ z + x

(z − x)2≥ 9

x + y + z.Trích đề thi HSG 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018

y + z( y − z)2+

z + x(z − x)2

¶thìF ≥ (x + y)

µ

x + y(x − y)2+

1

y+1x

y+1

x= (x + y)

µ

1(x + y)2− 4x y+

12x y+ 12x y

µ

x + y(x − y)2+1

y+1x

¶

≥ (x + y) 9

x + y= 9.Suy raF ≥ 9.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi( z = 0

P = (a + 6)(b + 6)(c + 6) = abc + 6(ab + bc + ca) + 36(a + b + c) + 216 = abc + M

Có:a2+ b2+ c2= 27 ≥ 3p3a2b2c2⇔ a2b2c2≤ 729 ⇒ abc ≤ 27 Dấu 00 =00 khi a = b = c = 3

Xét

M = 6(ab + bc + ca) + 36(a + b + c) + 216 = 3[(a+b+c)2− a2− b2− c2] + 36(a + b + c) + 216

Nên(b + 6)(c + 6) = 36 + 6(b + c) + bc ≥ 36 + bc −6

2+ (b + c)22

2

2 = f (a) với−3 ≤ a ≤ 3

Ta tìm đượcmin P = 25 = f (−1) Dấu 00 =00 khi ví dụ :a = b = −1; c = −5 ä

Câu 6. Chox, y, z là các số thực dương thỏa mãn 1

x+1

y+1

z≤ 3 Chứng minh rằng:

12x + y + z+

Lời giải

Vớia, b > 0ta có4ab ≤ (a + b)2⇔ 1

a + b≤

a + b4ab ⇔ 1

a + b≤

14

µ1

a+1b

¶.Dấu00=00 xảy ra khi và chỉ khi a = b

Áp dụng kết quả trên ta có:

12x + y + z≤

14

µ12x+ 1

y + z

¶

≤14

µ12x+14

µ1

y+1z

¶¶

=18

µ1

x+ 1

2 y+ 12z

¶(1)

Dấu00=00 xảy ra⇔( 2x = y + z

y = z ⇔ x = y = z.Tương tự

1

x + 2y + z≤

18

µ1

y+ 12z+ 12x

¶(2)dấu00=00 xảy ra ⇔ x = y = z

Tương tự:

1

x + y + 2z≤

18

µ1

z+ 12x+ 1

2 y

¶(3)dấu00=00 xảy ra ⇔ x = y = z

Từ(1) , (2) , (3)ta có

12x + y + z+

µ1

x+1

y+1z

¶

≤34

y+1

z= 3 ⇔ x = y = z = 1.Vậy với x, y, zlà các số thực dương thỏa mãn 1

x+1

y+1

z≤ 3thì1

Câu 7. Cho ba số thực dươnga,b , cthỏa mãnabc = 1 Chứng minh rằng:

b2(ab + 2)(2ab + 1)+

c2(bc + 2)(2bc + 1)+

a2(ac + 2)(2ac + 1)≥

13Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017

2( y + 2z)(z + 2y)+

y2(z + 2x)(x + 2z)+

z2(x + 2y)(y + 2x)

Ta có: ( y + 2z)(z + 2y) = yz + 2y2+ 2z2+ 4yz = 2 (y + z)2+ yz ≤9

2¡ y2+ z2¢

2( y + 2z)(z + 2y)≥

2

9.

x2

y2+ z2 (1)Tương tự:

y2(z + 2x)(x + 2z) ≥

Lời giải

Ta có(a + b)2≥ 4ab > 0;¡a2+ b2¢ ≥ 2ab > 0

Nhân các vế tương ứng các BĐT trên ta suy ra điều cần chứng minh ä

Câu 9. Cho các số dươngx, y, z Chứng minh rằng:

z + x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khix = y = z ä

Câu 10. Cho các số dương x, y, z Chứng minh rằng:

00=00 xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ä

Câu 11. Cho x, y, zlà ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y + yz + zx = 2xyz

b2c2+ 1

abc+

vuuuut

1b2

c2a2+ 1

abc+

vuuuut

1c2

a2b2+ 1

abc

=p bc2a + bc+

cap2b + ca+

abp2c + ab

Từ cách đặt và giả thiếtx y + yz + zx = 2xyz suy raa + b + c = 2

12

(b + c)(a + b)≤

12

(c + a)(b + c) ≤

12

8

xz+ 2

y3Trích đề thi HSG tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức 1

a2+ 1

b2 ≥ 8(a + b)2 vớia, b > 0nên

1(x − y)2+

1( y − z)2≥

8(x − z)2 .Suy raP = 1

(x − y)2+

1( y − z)2+

8

xz+ 2

y3 ≥ 8(x − z)2+

m= b

n Ta có 1

(x − z)2+

44xz≥ (1 + 2)2(x − z)2+ 4xz =

9(x + z)2 .

Vì vậyP ≥ 8

µ

1(x − z)2+

44xz

¶+ 2

y3≥ 72(x + z)2+

2

y3= 72(1 − y)2+

2

y3 Xét hàm số f (t) = 36

¶

= 216.Vậy P nhỏ nhất bằng216khi y =1

3 , và x + z =2

3 ,(x − z)2= 2xz.Hay x + z =2

Câu 13. Cho tam giác ABC nhọn.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T =³cos A +pcos2A + 2´ ³cos B +pcos2B + 2´ ³cos C +pcos2C + 2´

Trích đề thi HSG Hưng Yên 2017-2018

³

y +p y2+ 2

´+ln

3(x + y + z) + 3ln2 − 1 ≤ 3ln2 ⇔ T ≤ 8 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1

2 ⇔ A =

B = C =π

3 .

Câu 14. Choa, b, c là các số thực dương thỏa mãna + b + c = a3+ b3+ c3

⇒ a + b + c ≥ a2+ b2+ c2 , dấu bằng xảy ra khia = b = c

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a ln a + b ln b + c ln c ≤ 0

Từ bảng biến thiên suy ra f (x) ≤ f (1) = 0 ⇒ ln x ≤ x − 1,∀x > 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Từ đó suy ra, a ln a + b ln b + c ln c ≤ a2− a + b2− b + c2− c ≤ 0

Vì vậy, aabbcc≤ 1 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia = b = c = 1 ä

Câu 15. Cho các số thựca,bthay đổi nhưng luôn thỏa ap

2 − b2+ bp2 − a2= 2 Tìm giátrị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thứcP = (a + b)3− 12 (a − 1) (b − 1) +pab

2 − 2xy

2 + xyĐặt x y = t Vì0 ≤ xy ≤ (x + y)

2

4 =1

4 nên0 ≤ t ≤1

4 .Khi đó,P =2 − 2t

2 + t .Xét hàm số f (t) =2 − 2t

2 + t , t ∈

·0;14

¸

f0(t) = −6

(2 + t)2 < 0, ∀t ∈

µ0;14

¶mặt khác f (t) liên tục trên

·0;14

¸nên f (t) nghịch biến trên

x + y = 1

⇔ x = y =1

2 .

y = 0.

Bảng biến thiên của f (x):

Từ bảng biến thiên ta được: f (x) ≥ f (1) = 0, ∀x > 0

Thay x lần lượt bằng a, b, c ta được:f (a) + f (b) + f (c) ≥ 0

Câu 18. Cho a, b , c là các số thực dương thỏa mãnabc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thứcP = a

Bảng biến thiên của f (x):

Từ bảng biến thiên ta được: f (x) ≥ f (1) = 0,∀x > 0

Thay x lần lượt bằnga, b, c ta được:f (a) + f (b) + f (c) ≥ 0

Câu 19. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x yz + x + z = y Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức

z1+ 1+

3z

¡ z2+ 1¢ p z2+ 1Trích đề thi HSG tỉnh THANH HÓA 2016-2017

Lời giải

Ta cóx yz + x + z = y ⇔ x + z = y(1 − xz) ⇔ y = x + z

1 − xz2

z2+ 1+

3z

¡ z2+ 1¢ p z2+ 1 =

−2zp

z2+ 1+

3z

¡ z2+ 1¢ p z2+ 1Đặt t =p z

z2+ 1(t > 0) ⇒ 1

t2 = 1 + 1

z2 ⇒ z2+ 1 = 1

1 − t2⇒ P ≤ t − 3t3.Xét hàm số f (t) = t − 3t3trên khoảng(0; +∞)

Lập bảng biến thiên ta được max

(0;+∞)f (t) = f

µ13

¶

=29

z2+ 1 =

13

y = x + z

1 − xz

z =1 − x

22x

x =

p22

y =p2

Câu 20. Choa, b, c là các số thực dương thỏa mãnab ≥ 1và c(a + b + c) ≥ 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P = b + 2c

1 + a +

a + 2c

1 + b + 6 ln(a + b + 2c)Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam 2017-2018

16(a + b + 2c)2

⇒ P + 2 ≥16(a + b + 2c + 1)

(a + b + 2c)2 + 6 ln(a + b + 2c)

Đặt t = a + b + 2c > 0ta cóP + 2 ≥16(t + 1)

t2 + 6 ln tXét hàm số f (t) =16(t + 1)

t2 + 6 ln t ⇒ f0(t) =6t

2− 16t − 32

t3 ⇒ f0(t) = 0 ⇔ t = 4

f (4) = 5 + 6ln4 ⇒ P ≥ 3 + 6ln4 ⇒ M inP = 3 + 6ln4khia = b = c = 1 ä

Câu 21. Trên đoạn[1 ; 4], các hàm số f (x) = x2+ px + q; g (x) = x + 4

x2 có cùng giá trị nhỏnhất và đạt tại cùng một điểm Tìm giá trị lớn nhất của f (x)trên đoạn này

Câu 22. Tìm tất cả các số thựca, b (a < b)sao cho trên đoạn[a ; b], hàm số f (x) =13 − x

22

4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Suy ra: f (x)min=

½

f (a) ; f

µ134

µ134

Thế(1)vào(2) ; ta được:

13 −

µ

13 − b24

Câu 24. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x yz + x + z = y Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thứcP = 2

x2+ 1−

2

y2+ 1−

4zp

z2+ 1+

3z(z2+ 1)pz2+ 1.Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018

z2+ 1+

3z(z2+ 1)pz2+ 1=

−2zp

z2+ 1+

3z(z2+ 1)pz2+ 1

z2+ 1=

13

y = x + z

1 − xz

z =1 − x

22x

x =

p22

Từ x yz + x + z = y ⇒ tan B = tan A + tan C

1 − tan A tan C= tan(A + C) ⇒ B = A + C

Ta có

P = 2cos2A − 2cos2B − 4sin C + 3sin C.cos2C = −2sin(A + B)sin(A − B) − sin C − 3sin3C

= 2 sin(A + B).sin C − sin C − 3sin3C

≤ sin C − 3sin3C

Dấu "=" xảy ra khi A + B =π

2.Xét hàm số f (t) = t − 3t3như trên ta đượcsin C − 3sin3C ≤2

9.Dấu "=" xảy ra khisin C =1

3⇒ tan C =

p2

2 ;

p2;

p24

·

−1

5;

13





s34

33+

s633





y =12





s34

33−

s633



hay





s34

33−

s633





y =12





s34

33+

s633

33+

s633

33−

s633



hay



−

s34

33−

s633





y =12



−

s34

33+

s633

Câu 26. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm số y = f0(x) ; đồ thị của hàm số

y = f0(x) được cho như hình vẽ sau và f (0) + f (1) − 2f (2) = f (4) − f (3) Hỏi trong các giátrị f (0), f (1), f (4)giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)trên đoạn[0; 4]?

Trích đề thi HSG Hà Tĩnh 2017-2018

Lời giải

Từ đồ thị của hàm số y = f0(x)ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x)như hình vẽ:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên đoạn[0; 4] giá trị lớn nhất của hàm số f (x)là f (2);giá trị nhỏ nhất chỉ có thể là f (0)hoặc f (4)

2; 1

¸ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x5y + xy5+ 6

x2+ y2− 3 (x + y)Trích đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018

Lời giải

2; 1

¸nên t ∈ [1;2] Ta có P ≥ f (t) =1

8(t − 1) t4+ 6

t2− 2t + 2− 3tHàm số f (t)xác định và liên tục trên[1; 2]và

8 − 12 (t − 1)

¡t2− 2t + 2¢2

3(t − 2) + 6¡t3− 8¢

¡t2− 2t + 2¢2 ≤ 0 ∀t ∈ [1; 2]

nên f (t)nghịch biến trên[1; 2]

Do đó f (t) ≥ f (2) = −1 Vậy P ≥ −1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng−1khi x = y = 1 ä

Câu 28. Cho các số thực dươnga, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a +pab +p3 abc−p 3

a + b + cTrích đề thi HSG tỉnh Sơn La 2017-2018

= a +a + 4b

4 +a + 4b + 16c

12 =4

3(a + b + c) Dấu bằng xảy ra khia = 4b = 16c

Suy raP ≥ 3

2(a + b + c)−

3p

a + b + cĐặt t =pa + b + c > 0 ⇒ P ≥ 3

2t2−3tXét hàm số f (t) = 3

f0(t) = 0 ⇔ t = 1.

Suy ramin f (t) = f (1) = −3

2⇒ P ≥ −3

2 .Dấu bằng xảy ra khi( a + b + c = 1

Lời giải

Từ giả thiết suy ra( 0 ≤ x, y, z ≤ 3

0 < x2+ y2+ z2≤ 9Xét hàm số g (t) = 4

´2017+

³y3

´2017+

³z3

´2017

≤

³x3

´2+

³y3

´2+

³z3

´2017+³z3

´2017+

³y3

´2017+

³z3

108u

4.Xét hàm số f (u) = 3 + u − 1

Dựa vào bảng biến thiên ta có f (u) ≤21

4 ,∀u ≥ 0.Suy raP ≤21

4 , dấu “=” xảy ra khix = 3, y = z = 0hoặc các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21

Ta có(a − 2)(b − 2)(c − 2) ≤ 0 ⇔ abc − 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) − 8 ≤ 0

⇔ abc ≤ 2 (ab + bc + ca) + 4 (a + b + c) − 8.(2)

Từ (1) và (2) suy raa4+ b4+ 5c2+ 5abc + 1 ≤ 25 + 2 (ab + bc + ca) (4)

Mặt khác, ta có(a − 1)(b − 1)(c − 1) ≥ 0

⇔ abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) − 1 ≥ 0

⇔ abc ≥ (ab + bc + ca) − 3.(5)

Từ (2) và (5) suy raab + bc + ca − 3 ≤ abc ≤ (ab + bc + ca) − 8

2

3 =16

3 ⇒ t ∈

·5;163

¸

Ta có f0(t) = −1 −25

t2 < 0, t ∈

·5;163

¸

Suy ra f (t)nghịch biến suy raP ≤ f (t) ≤ f (5) = 6

Vậymax P = 5khi a = b = 1, c = 2hoặca = c = 1, b = 2hoặca = 2; b = c = 1 ä

Câu 31. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9]và x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcP = y

10 y − x+

12

Áp dụng bất đẳng thức trên: P = 1

10 −xy

+12

+ 1

1 +xz

1 +

rxyĐặt

Từ Bảng biến thiên suy ra g (t) ≤ 0,∀t ∈ [0;3] ⇔ 4

t

3 ≤ t + 1,∀t ∈ [0;3](1)Lại có

³z3

´2017

≤

³x3

´2+

³y3

´2+

³z3

´2017+

³z3

´2017+

³y3

´2017+

³z3

108u

4 Xét hàm số f (u) = 3 + u − 1

4 , ∀u ≥ 0

Suy raP ≤21

4 ,dấu “=” xảy ra khi x = 3, y = z = 0hoặc các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21

Câu 33. a) Chứng minh rằng 3x4+ 1 ≥ 4x3 với mọi giá trị của x

b) Cho các số thực dươngx, y, z.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M =3x

4+ 4y3+ 16z3+ 1(x + y + z)3

4¡x3+ y3¢ + 16z3(+y + z)3Chwungs minh được : x

3+ y3

³x + y2

´3, ∀x, y ≥ 0Suy ra M ≥(x + y)

3+ 16z3(+y + z)3 =

µ

x + y

x + y + z

¶3+ 16

Từ BBT suy ra f (t) ≥ f

µ45

Áp dụng bất đẳng thức trên: P = 1

10 −xy

+12

+ 1

1 +xz

1 +

rxyĐặt

1( y − z)2+

1(z − x)2

¸Trích đề thi HSG Bắc Giang 2016-2017

≥¡2a2+ 2ab + b2¢¡a2+ ab + b2¢

a2b2(a + b) (1)Đẳng thức xảy ra khi x = 0

´2+ 2a

b+ 1

¸ ·

³ab

´2+a

b+ 1

¸2

³ab

Ã

1 +p52

!

=11 + 5p5

2 Do đóP ≥11 + 5

p52Đẳng thức xảy ra khi t =1 +

p5

Kết hợp với (1) suy ra P nhỏ nhất khi

Câu 36. Cho ba số thực dươnga,b, cthỏa mãnln¡b2

+ c2+ 1¢ −2ln(3a) = 9a2

− b2− c2−1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP =2 (b + c)

a +5a

2− 12a3Trích đề thi HSG tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018

Lời giải

ln¡b2+ c2+ 1¢ + b2+ c2+ 1 = ln¡9a2¢ + 9a2

Xét hàm số f (t) = ln t + 1,(t > 0) ⇒ b2+ c2= 9a2− 1 ⇒ a >1

3 .(b + c)2≤ 2¡b2+ c2¢ = 2¡9a2− 1¢ ⇒ b + c ≤p18a2− 2

Câu 37. Choa,b, clà các số thực dương vàa.b.c = 1, thỏa mãn:a3b + b3a + 1

ab= ab +2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP = 1

1 + a2+ 1

1 + b2− 3

1 + 2cTrích đề thi HSG Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017

Lời giải

Theo BĐT Cô–si ta có:a3b + ab3≥ 2a2b2⇒ ab + 2 ≥ 2a2b2+ 1

abĐặt t = a.b > 0 ⇒ t + 2 ≥ 2t2+1

t ⇔ 2t3− t2− 2t + 1 ≤ 0 ⇔1

2≤ t ≤ 1Vớia, b > 0; ab ≤ 1ta chứng minh 1

1 + a2+ 1

1 + b2 ≤ 2

1 + ab (*)Thật vậy:(∗) ⇔ ( 1

= 2

1 + t−

3t

t + 2Xét t ∈

Từ đó f (t) nghịch biến trên

·1

2; 1

¸

⇒ Max f (t) = f

µ12

¶

= 1115Dấu “=” xảy ra khi t =1

Vớia, b, c, m, n, k > 0 ta có: a

2+b

2+c2

≥(a + b + c)2

Thật vậy:

(a + b + c)2=

µ a

pm

p

m +pbn

p

n +pck

pk

¶(m + n + k)

V T(∗) = (x + 1)

2(x + 1)(x + y + 1)+

( y + 1)2( y + 1)(y + z + 1)+

(z + 1)2(z + 1)(z + x + 1)

≥ (x + y + z + 3)2(x + 1)(x + y + 1) + (y + 1)(y + z + 1) + (z + 1)(z + x + 1)Lại có:

(x + 1)(x + y + 1) + (y + 1)(y + z + 1) + (z + 1)(z + x + 1) = x2+ y2+ z2+ x y + yz + zx + 3(x + y + z) + 3

= 1

2£(x2+ y2+ z2+ 2x y + 2yz + 2zx) + 6(x + y + z) + (x2+ y2+ z2) + 6¤

2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khix = y = z = 1

(x + 1)(y + 1)(z + 1)≥ 2

3

s

x2y2z2(x + 1)2( y + 1)

Câu 40. Trên đoạn[1 ; 4], các hàm số f (x) = x2+ px + q; g (x) = x + 4

x2 có cùng giá trị nhỏnhất và đạt tại cùng một điểm Tìm giá trị lớn nhất của f (x)trên đoạn này

Câu 41. Cho ba số thực dương a,b , c thỏa mãnab + bc + ca = 3 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcQ = a

b3(c + b)(c + a)+

c3(a + b)(a + c)Mặt khác ta có :

b3(c + a)(c + b)+

c3(a + b)(a + c)≥

a + b + c4Mặt khác(a + b + c)2≥ 3(ab + bc + ca) = 9 → a + b + c ≥ 3

3

(b + a)(b + c)+

b3(c + a)(c + b)+

c3(a + b)(a + c)≥

34Dấu bằng xảy ra khia = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất củaQ là 3

Câu 42. Cho các số thựca, b, c thỏa mãna2+ b2+ c2= 27 Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thứcP = (a + 6)(b + 6)(c + 6)

P = (a + 6)(b + 6)(c + 6) = abc + 6(ab + bc + ca) + 36(a + b + c) + 216 = abc + M

Có:a2+ b2+ c2= 27 ≥ 3p3a2b2c2⇔ a2b2c2≤ 729 ⇒ abc ≤ 27 Dấu 00 =00 khi a = b = c = 3

Xét M = 6(ab + bc + ca) + 36(a + b + c) + 216 = 3[(a+b+c)2− a2− b2− c2] + 36(a + b + c) + 216

2

2 = f (a) với−3 ≤ a ≤ 3

Ta tìm đượcmin P = 25 = f (−1) Dấu 00 =00 khi ví dụ :a = b = −1; c = −5 ä

Câu 43. Cho các số thựca, b, c thỏa mãna2+ b2+ c2= 27 Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của biểu thứcP = (a + 6)(b + 6)(c + 6)

Trích đề thi HSG 12 Hà Nội – năm 2017-2018

Lời giải

* Tìm giá trị lớn nhất:

♀Cách 1:

Từ a2+ b2+ c2= 27 ⇒ a2≤ 27 ⇔ |a| ≤ 3p3 ⇒ a + 6 > 0 Tương tự có b + 6 > 0; c + 6 > 0

NênP = (a + 6)(b + 6)(c + 6) ≤ (|a| + 6)(|b| + 6)(|c| + 6) ≤µ |a| + 6 + |b| + 6 + |c| + 6

P = (a + 6)(b + 6)(c + 6) = abc + 6(ab + bc + ca) + 36(a + b + c) + 216 = abc + M

Có:a2+ b2+ c2= 27 ≥ 3p3a2b2c2⇔ a2b2c2≤ 729 ⇒ abc ≤ 27 Dấu 00 =00 khi a = b = c = 3

Xét M = 6(ab + bc + ca) + 36(a + b + c) + 216 = 3[(a+b+c)2− a2− b2− c2] + 36(a + b + c) + 216

2

2 = f (a) với−3 ≤ a ≤ 3

Ta tìm đượcmin P = 25 = f (−1) Dấu 00 =00 khi ví dụ :a = b = −1; c = −5 ä

Câu 44. Cho x > 0,y > 0thỏax4+ y4+ 4 = 6

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

, t ∈ (0;1]

Ta có f0(t) = −2

(2 + t)2−

4(5 − 2t)2 < 0, ∀t ∈ (0; 1]

Suy ra f (t)nghịch biến trên(0; 1]nênP ≥ f (t) ≥ f (1) = 1

¶4

Dấu bằng xảy ra khia = b = c = d =1

4Vậymin P =

µ

1716

Lời giải

Ta có: x2+ y2≥ 2x y > 0 ⇒ 1

x2+ y2≤

12x y ⇒ − 1

x2+ y2≥ −

12x y ⇒ − y

x2+ y2 ≥ −

12x .

x+1

y+1z

4 ¡x2+ y2+ z2¢ ≥9

2

µ1

x + y + z

¶+9

4(x + y + z)2 Đặt t = x + y + z,(t > 0)

4=27

4 .Giá trị nhỏ nhất củaP bằng 27

Trích đề thi HSG tỉnh THANH HÓA

≥ ¡x2+ y2¢2

x2+ y2+ 2x yz+

z3(1 + x)(1 + y)+

14(1 + z)p1 + x + y + xy

2+ y2

1 + z +

z3(1 + x)(1 + y)+

14(1 + z)p1 + x + y + xy

≥ (x + y)2

2 (1 + z)+

z3(1 + x)(1 + y)+

14(1 + z)p1 + x + y + xy

≥ (x + y)2

2 (1 + z)+

z3(1 + z)2+

28(1 + z)2 =

9z3− z2− z + 57

2 (z + 1)2Xét hàm số f (z) =9z

Lời giải

Ta có: x2+ y2≥ 2x y > 0 ⇒ 1

x2+ y2≤

12x y⇒ − 1

x2+ y2≥ −

12x y⇒ − y

x2+ y2≥ −

12x .

x+1

y+1z

¶

4 khi t = 1 ⇒ x = y = z =1

Câu 49. Chox, y, zlà các số thực dương thỏa mãn y+ z = x¡ y2

+ z2¢.Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thứcP = 1

(x + 1)2+

1( y + 1)2+

1(z + 1)2+

4(x + 1)(y + 1)(z + 1)

8( y + z + 2)2 ≥

8µ2

x+ 2

¶2= 2x

2(x + 1)2 .1

(x + 1)(y + 1)(z + 1)≥

4(x + 1)(y + z + 2)2 ≥

4(1 + x)

µ2

x+ 2

¶2= x

2(x + 1)3 .

Suy raP ≥ 1

(1 + x)2+

2x2(1 + x)2+

4x2(1 + x)3 =

2x3+ 6x2+ x + 1(1 + x)3Xét hàm số f (x) =2x

3+ 6x2+ x + 1(1 + x)3 với x > 0Tìm được giá trị nhỏ nhất của f (x)là 91

108 khi x = 1

5 .Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là 91

1(z + 1)2+

4(x + 1)(y + 1)(z + 1)Trích đề thi HSG HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017