giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1

Bài giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1 08-09 Bài 1 arctgx ln x acrtgx = lim arctgx ln x = lim L lim + x a) I = lim x →0 x →0 x→0 x →0 1 − ln x ln x x ln x ln x x = lim ln x I = − lim lim L − lim C1 x → + x x →0 x→0 x →0 1 − x x x I L lim x = lim ( −2 x ) = x →0 x →0 − x 1 ln x ln x ln x x = lim x = lim −2 x = L − lim L lim C2 I = − lim x →0 x →0 x →0 x →0 x →0 + x 1 +x − +1 −x − −1 x x x x b) 1 x − sin x − cos x sin x  I = lim  − ÷ = lim L lim L lim =0 x →0 sin x x  x→0 x sin x x →0 sin x + x cos x x→0 cos x + cos x − x sin x  Bài Vẽ hình Diện tích hình phẳng: π π S = ∫ ( cos x − sin x ) dx = ( sin x + cos x ) = − 0 Bài Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: ∞ ∞ ∞ − cos x 2sin x dx dx = dx < ∫0 + x ∫0 + x ∫0 + x ∞ π dx = arctgx = (hội tụ) ∫0 + x 2 Theo tiêu chuẩn so sánh 1, suy tích phân cho hội tụ Bài Khảo sát hội tụ chuỗi số tg ∞ ∞ 1 n = a) ∑ tg Ta có lim phân kì ∑ n →∞ n n =1 n =1 n n ∞ Theo tiêu chuẩn so sánh 2, ∑ tg phân kì n n =1 ∞ Mà: ∞ b) 2− n ∑ n ln n n=2 un +1 2− n −1 n ln n n ln n = = Xét −n un n + ln ( n + 1) ( n + 1) ln ( n + 1) u n ln n n ln n lim n +1 = lim = lim lim = Suy n →∞ u n →∞ n + ln ( n + 1) n→∞ n + n→∞ ln ( n + 1) n Theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi số cho hội tụ Bài Khảo sát hội tụ chuỗi lũy thừa 2n ∞ x − 2) ( a) ∑ 2n n =1 Đặt X = ( x − ) , chuỗi cho trở thành ∞ Xn ∑ n =1 2n Bán kính hội tụ R= =1 2n lim n →∞ ( n + 1) Suy ra, miền hội tụ X < ⇔ ( x − ) < ⇔ x − < ⇔ < x < Khi x = 1, chuỗi cho trở thành chuỗi số 2n ∞ ( −1) = ∞ : chuỗi phân kì ∑ ∑ 2n n =1 n =1 2n Khi x = 3, chuỗi trở thành chuỗi số: 2n ∞ ( 1) = ∞ : chuỗi phân kì ∑ ∑ n =1 2n n =1 2n Miền hội tụ chuỗi lũy thừa < x < ∞ xnnn b) ∑ n2 n =1 ( + n ) Bán kính hội tụ R = lim n n →∞ nn ( 1+ n) n = lim n →∞ nn ( 1+ n) n = lim n →∞ n  1 1 + ÷  n = e 1 Miền hội tụ − < x < e e Khi x = , chuỗi trở thành chuỗi số e ∞ e− n nn e −1n n = < , hội tụ Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, lim ∑ n n n →∞ n =1 ( + n ) ( 1+ n) e Khi x = − chuỗi trở thành chuỗi số e ( −e ) n n ∑ n n =1 ( + n ) ∞ −n 2 ( −e ) n n ∑ n n =1 ( + n ) ∞ Xét chuỗi trị tuyệt đối −n 1 Vậy miền hội tụ chuỗi lũy thừa − ≤ x ≤ e e 2 ∞ =∑ n =1 e− n nn ( 1+ n) n2 hội tụ