TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 05 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số : 2 3 2 1 5 3 2 2 4 z x x xy y y y − = − + + − + 1. Tìm cực trị của hàm. 2. Tại A(0,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc 0 150 3. Tại A(0,1) hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất, biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, dung tích phân mặt tính khối lượng của tam giác phẳng ABC với A(5,1,3), B(1,6,2), C(5,0,4). Với hàm mật độ ( , )x y x ρ = . Câu 3: Tính ar OmAnO y I ctg dy dx x = − ∫ i trong đó OmA là cung parabol 2 y x= ; OnA là đường thẳng y x = . Áp dụng công thức Green kiểm chứng kết quả. Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân: , , 3 8 2 x x y y z e z y z e − = + + = + + thoả mãn điều kiện x=0 thì y=0 và z=0 Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: x y z C A B O Câu 1: Tìm cực trị: , , 2 5 0 5 4 4 3 6 2 0 x y z y x x y z y y x = − − = ⇔ = − = − + + = Thay vào ta được 2 2 5 3 3 6 2 0 3 5 0 4 4 y y y y y − + − + = ⇔ − + = 2 2 1 13 6 12 y x − = → = 2 1 3 1 2 4 y x= → = Vậy hàm số có 2 điểm tới hạn là 1 13 1 ( , ), 12 6 M − 2 1 3 ( , ) 4 2 M 1 13 1 ( , ), 12 6 M − 2 1 3 ( , ) 4 2 M ,, 1 xx z r = − = -1 -1 ,, 1 xy z s = = 1 1 ,, 6 6 yy z y t = − = -5 3 2 s rt− 1-5=-4 1+3=4>0 có cực trị không cực trị Do r=-1 <0 nên hàm số đạt cực đại tại 1 13 1 ( , ), 12 6 M − 2. , 1 ( ) 4 x z A − = , ( ) 1 y z A = − 1 5 3 1 . os 1. os 0 4 6 3 8 2 z c c l π π ∂ − = − = − < ∂ Vậy hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc 0 150 3. Vậy hướng thay đổi nhất là: 1 4 i j − − Câu 2: + Vẽ hình + Lập phương trình mặt phẳng ABC: 5 1 3 4 5 1 0 0 1 1 x y z − − − ÷ − − = ÷ ÷ − 2 y x A -2 -1 1 2 3 4 5 6 -2 2 4 6 x y B A C -0.5 0.5 1 1.5 -0.5 0.5 1 1.5 x y O A n m 4( 5) 4( 1) 4( 3) 0 5 1 3 0 9 0 9 x y z x y z x y z z x y ⇔ − + − + − = ⇔ − + − + − = ⇔ + + − = ⇔ = − − + Khối lượng của tam giác: ' 2 ' 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3 x y S D D D m xds x Z Z dxdy x dxdy xdxdy= = + + = + − + − = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ Trong đó D là hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Z= 0. Phương trình đường thẳng BC: 2 6 3 15 6( 1) 4( 6) 4 6 2 2 x y x y x y − − − = ⇔ − − = − ⇔ + = − Phương trình đường thẳng AB: 5 1 5 29 4 5 4 4 x y x y − − − = ⇔ + = − Vậy: 5 29 5 5 4 4 2 3 15 1 1 2 2 3 2 1 1 3 3 ( ) 2 4 5 1 1 53 3( ) 3 1 6 8 3 x x m xdx dy x x dx x x − + − + = = − = − = ∫ ∫ ∫ Câu 3: ar ar OmA OnA y y I ctg dy dx ctg dy dx x x = − − − ∫ ∫ Trên cung OmA: 2 , :0 1y x x= → 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 (ar .2 1) 1 ar 1 0 1 1 2 2 4 1 2 I ctgx x dx x x ctgx dx x dx x π π = − = − − + = − + = − + ∫ ∫ ∫ Trên cung OnA : , : 0 1y x x = → ,ar ar 1 4 y dy dx ctg ctg x π ⇒ = = = 1 0 ar ( 1) 1 4 4 OnA y ctg dy dx dx x π π − = − = − ∫ ∫ Vậy 1 2 2 1 1 2 4 4 I I I π π π = + = − − + = − + Áp dụng công thức Green : 1, ar y p Q ctg x = − = 2 1 2 2 2 2 0 1 2 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 ln( ) 2 1 1 1 [ln(1 ) ln 2] ln(1 ) ln 2 2 2 2 y x D y x y y I dxdy dx dy x y x y x x y dx x x dx x dx = = − − = = + + − = + = + − = + − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt 2 2 2 ln( 1) 1 x u x du dx x = + ⇒ = + , dv dx v x = ⇒ = 1 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln 2 ln 2 1 ar ln 2 1 0 0 2 1 2 2 2 4 x I x x dx ctgx x π = + − − = − + − = − + ∫ Câu 4: , , 3 8 2 x x y y z e z y z e − = + + = + + ,, , , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 2 3 2( 8 ) 3 16 2 3 2 15 2 4 x x x x x x x x z y z e y z e z e z z e z e z e z z e e − − − − − = + − = + + + − = − − + + + − = + + − ,, , 3 2 15 2 4 x x z z z e e − ⇔ − − = − (1) + Giải phương trình thuần nhất : ,, , 2 15 0z z z − − = Phương trình đặc trưng : 2 1 2 2 15 0 3, 5 λ λ λ λ − − = ⇔ = − = Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 3 5 1 2 x x C e C e − + . + T ìm nghiệm của (1) bằng phương pháp biến thiên hằng số: ' 3 ' 5 1 2 ' 3 ' 5 3 1 2 ' 5 3 2 0 3 5 2 4 8 2 4 x x x x x x x x x C e C e C e C e e e C e e e − − − − + = − + = − ⇒ = − ' 4 8 2 4 8 * 2 2 4 8 * 2 2 1 (2 4 ) 8 1 (2 4 ) 8 1 1 16 2 x x x x x x C e e C e e dx C C e e C − − − − − − ⇔ = − ⇔ = − + − ⇔ = + + ∫ ' 4 4 * 1 1 1 4 * 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 2 4 2 1 1 16 2 x x x C e C e dx C C e x C = − + ⇔ = − + + ⇔ = − + + ∫ 3 3 * 3 * 5 1 2 , 3 3 3 * 3 * 5 1 2 3 3 * 3 * 5 1 2 1 1 1 8 2 2 1 1 3 3 3 5 8 2 2 2 5 2 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x z e xe e C e C e z e e xe e C e C e y e xe C e C e − − − − − − − − − − ⇒ = − + + + + ⇒ = − + − − − + − ⇒ = − − + + Thay vào điều kiện: * * * 1 2 1 * * * 1 2 2 1 1 1 0 8 2 8 5 1 2 2 0 4 2 C C C C C C − + + + = = ⇔ − − − + = = Vậy nghiệm của hệ là: 3 3 5 1 1 4 4 x x x y e xe e − − − = − + 3 5 1 1 1 8 2 8 x x x z e xe e − = − + + Câu 1: (1.5) , , 2 5 0 5 4 4 3 6 2 0 x y z y x x y z y y x = − − = ⇔ = − = − + + = 0.25 Tìm ra 2 điểm tới hạn 1 13 1 ( , ), 12 6 M − 2 1 3 ( , ) 4 2 M 0.25 Do r=-1 <0 nên hàm số đạt cực đại tại 1 13 1 ( , ), 12 6 M − Hàm số không đạt cực trị tại 2 1 3 ( , ) 4 2 M 0.5 hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc 0 150 hướng thay đổi nhất là: i j− 0.25 0.25 Câu 2: (2đ) + Vẽ hình 0.5 + Lập phương trình mặt phẳng ABC: 9z x y ⇔ = − − + 0.5 ' 2 ' 2 1 ( ) ( ) 3 x y S D D m ds Z Z dxdy dxdy= = + + = ∫∫ ∫∫ ∫∫ 0.5 5 29 5 4 4 3 15 1 2 2 53 3 3 3 x x m xdx dy − + − + = = ∫ ∫ 0.5 Câu 3: (3.5 đ) Trên cung OmA: 2 , :0 1y x x= → 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 (ar .2 1) 1 ar 1 0 1 1 2 2 4 1 2 I ctgx x dx x x ctgx dx x dx x π π = − = − − + = − + = − + ∫ ∫ ∫ 0.25 0.25 0,5 Trên cung OnA 1 0 ar ( 1) 1 4 4 OnA y ctg dy dx dx x π π − = − = − ∫ ∫ 0.5 + Áp dụng công thức Green 2 2 D y I dxdy x y − = + ∫∫ 0.5 1 2 0 1 1 ln(1 ) ln 2 2 2 I x dx = + − ∫ 1.0 1 4 I π = − 0.5 Câu 4: (3đ) ,, , 3 2 15 2 4 x x z z z e e − = + + − 0.5 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 3 5 1 2 x x C e C e − + . 0.5 ' 4 8 2 4 8 * 2 2 1 (2 4 ) 8 1 1 16 2 x x x x C e e C e e C − − − − ⇔ = − − ⇔ = + + 0.25 0.25 ' 4 4 * 1 1 1 4 * 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 2 4 2 1 1 16 2 x x x C e C e dx C C e x C = − + ⇔ = − + + ⇔ = − + + ∫ 0.25 0.25 3 3 * 3 * 5 1 2 3 3 * 3 * 5 1 2 1 1 1 8 2 2 5 2 2 4 x x x x x x x x x z e xe e C e C e y e xe C e C e − − − − − − ⇒ = − + + + + − ⇒ = − − + 0.25 0.25 * * * 1 2 1 * * * 1 2 2 1 1 1 0 8 2 8 5 1 2 2 0 4 2 C C C C C C − + + + = = ⇔ − − − + = = 0.25 0.25 3 3 5 1 1 4 4 x x x y e xe e − − − = − + 3 5 1 1 1 8 2 8 x x x z e xe e − = − + + 0.25 0.25 . TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 05 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số : 2 3 2 1 5 3 2 2. thẳng AB: 5 1 5 29 4 5 4 4 x y x y − − − = ⇔ + = − Vậy: 5 29 5 5 4 4 2 3 15 1 1 2 2 3 2 1 1 3 3 ( ) 2 4 5 1 1 53 3( ) 3 1 6 8 3 x x m xdx dy x x dx x x − + − + = = − = − = ∫ ∫ ∫ Câu 3: ar ar OmA. x x C e C e dx C C e x C = − + ⇔ = − + + ⇔ = − + + ∫ 3 3 * 3 * 5 1 2 , 3 3 3 * 3 * 5 1 2 3 3 * 3 * 5 1 2 1 1 1 8 2 2 1 1 3 3 3 5 8 2 2 2 5 2 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x z e xe e C e C e z