TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 09 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số : 2 3 2 4 2 3 2 x x y y z xy y= − + + − − 1. Tìm cực trị của hàm 2. Tại điểm N(1;-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 30 3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng nhất ABC với A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,3). Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy chọn 3 điểm A(-1,1), B(0,0) và C(2,1). L là đường cong kín theo chiều dương, trong đó : • Đoạn nối A với B có phương trình 2 y x = • Đoạn nối B với C có phương trình 2 2x y= • Đoạn thẳng nối C với A là đường thẳng. Tính 2 2 3 (2 1) 2( ) L I x y dy x y dx = + + + ∫ i Kiểm chứng kết quả thông qua việc sử dụng công thức Green Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân: { ' ' 2 2 2 3 x x y y z e z y z e − =− + + = − + thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: z x y 3 2 B C 2 1 3 A 1 O 2 -2 y x N Bài 1: 1.Tìm cực trị: ' ' 2 2 2 1 1 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 0 2 0 1 1 2 5 x y x z y x y z y y x y y y y y y x y x = − − = → = + = + − − ⇒ + − − − = ⇒ − − = = − → = − = → = ( ) 1 2 ( 1, 1), 5,2M M− − 1 ( 1, 1)M − − ( ) 2 5,2M '' 1 2 xx z r = = 1 2 1 2 '' 1 xy z s = − = -2 -1 '' 2 1 yy z y t = += -1 5 s 2 - rt (-1) 2 + 1 2 >0 (-1) 2 - 5 2 <0 Không cực trị Có cực tiểu 2.Ta có: ' ' ( ) 1 1 1 1 2 1 1 ( ) 1 1 2 2 y x z N z N = − − − = − = + − = 0 0 3 cos30 2cos60 1 0 2 z l ∂ = − = − < ∂ <0 Vậy hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 0 30 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là : i-2j Bài 2: +) Hình vẽ : Hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Oxy là miền tam giác OAB. Phương trình mặt phẳng ABC: 2 1 2 3 x y+ + = Phương trình đường thẳng AB: 1 2 x y+ = 1. Khối lượng của tam giác ABC: ( ) 1 2 2 2 2 0 0 3 7 7 7 7 1 3 .1 2 2 2 2 2 xy xy x S D D ds dxdy dxdy dx dy − = + + = = = = ÷ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 2. Tìm x G : 1 2 2 2 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 3 2 0 0 0 7 7 7 . . 2 2 2 7 7 7 7 4 7 . 1 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3 3 xy x x y y S D xds x dxdy dx xdy dx xy x x x x dx x x dx − = − = = = = = − = − = − = − = ÷ ÷ ÷ ÷ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 7 2 3 7 3 2 G x→ = = 3. Tìm y G : 1 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 7 7 7 . . 2 2 2 2 7 1 7 7 . 1 1 2 2 2 4 4 6 xy x x y y S D y yds y dxdy dx ydy dx x x dx x dx − = − = = = = = − = − + = ÷ ÷ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 7 1 6 7 3 2 G y→ = = 4. Tìm z G : 2 2 1 2 0 0 2 2 2 3 2 0 0 7 3 7 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 7 3 3 3 7 3 3 3 7 2 2 4 8 2 2 4 8 2 7 2 1 7 2 xy x y y S D G xy y ds x y dxdy dx y x x x x x dx z = − = = − − = − − ÷ ÷ = − − = − − = ÷ ÷ → = = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ Bài 3: L BA AC CB = + + ∫ ∫ ∫ ∫ i -2 -1 1 2 -2 2 x y A B C 1.Trên đoạn AB: 2 , : 1 0y x x= − → 0 2 2 2 4 2 1 0 3 4 2 1 0 4 2 5 3 1 3 (2 1) 2( ) [3 (2 1)2 2( )]dx [(6x 3 ).2 2 2 ] 0 14 8 14 8 82 (14x 8 ) ( ) 1 5 3 5 3 15 AB x y dy x y dx x x x x x x x x x dx x dx x x − − − + + + = + + + = + + + = = + = + = + = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Trên đoạn CA: 1, :1 1y x = → − 1 2 2 2 3 1 1 2 16 3 (2 1) 2( ) 2(1 ) (2 ) 1 3 3 CA x y dy x y dx x dx x x − − − + + + = + = + = ∫ ∫ 3. Trên đoạn BC: , : 0 1y x x= → 1 1 2 2 2 2 0 0 3 3 2 2 1 3 3 (2 1) 2( ) [2(x ) 3(2 +1). ] (2x 5 ) 2 2 1 2 5 2 5 25 ( ) 1 0 3 2 3 2 6 BC x y dy x y dx x x dx x x dx x x x x + + + = + + = + + = + + = + + = ∫ ∫ ∫ Vậy 2 2 82 16 25 43 3 (2 1) 2( ) 15 3 6 10 L x y dy x y dx+ + + = − + = ∫ i . Dùng công thức Green: 2 2 2( )P x y= + , 3 (2 1)Q x y = + 6 3 4 2 3 Q P y y y x y ∂ ∂ − = + − = + ∂ ∂ 2 1 0 1 5 3 2 4 3 2 2 0 (2 3) (2 3) 1 2 4 (2 3)( ) ( 2 ) 0 4 5 2 4 43 1 2 4 5 10 y D y y dxdy dy y dx y y y dy y y y y − + = + = + + = + + + = + + + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ Bài 4: ( ) '' ' ' ' 2 2 2 2 2 3 x x x y y z e y y z e e − = − + + = − + − + + ' 2 ' ' 2 ' 2 '' ' 2 2 6 2 2 2 6 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 x x x x x x x x x y y z e e y y y y e e e y y e e y y y e e − − − − =− + − + + = + − − + + + =− + + + ⇒ + − = + Phương trình thuần nhất: '' ' 3 4 0y y y + − = 2 4 1 2 1 2 3 4 0 1, 4 , x x y e y e λ λ λ λ − + − = → = = ⇒ = = Phương pháp biến thiên hằng số: { ' ' 4 1 2 ' ' 4 2 1 2 0 4 2 2 x x x x x x c e c e c e c e e e − − − + = − = + ' 4 2 2 5 2 2 x x x c e e e − − ⇒ = − − ' 5 2 5 2 * 2 2 2 2 2 2 1 5 5 25 5 x x x x c e e c e e c= − − ⇒ = − − + ' 2 ' 3 3 * 1 1 1 1 2 2 2 2 5 2 2 5 5 5 15 x x x x x c e e e c e c x e c − − − = + → = + → = − + Vậy nghiệm tổng quát: 3 * 5 2 * 4 1 2 2 * 2 * 4 1 2 * 2 * 4 1 2 2 2 2 1 5 15 25 5 2 2 2 1 5 15 25 5 2 2 1 5 25 15 x x x x x x x x x x x x x x x y x e c e e e c e xe e c e e e c e xe c e e c e − − − − − − − = − + + + + ÷ ÷ = − + + + + = + + + + ÷ Thay vào tìm được z. * * 4 1 2 3 3 3 5 2 25 x x x z xe c e c e − = + − − ÷ Từ điều kiện ban đầu ta có: * * * 1 2 1 * * * 1 2 2 11 1 75 75 3 9 4 2 50 25 C C C C C C − + = = ⇒ − − = = Thay vào ta có: 2 4 2 7 1 4 5 25 15 25 x x x x y xe e e e − − = + + − ÷ , 4 3 4 4 5 25 25 x x x z xe e e − = − + Thang điểm: Bài 1: (1.5đ) ' ' 2 2 2 1 1 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 0 2 0 1 1 2 5 x y x z y x y z y y x y y y y y y x y x = − − = → = + = + − = ⇒ + − − − = ⇒ − − = = − → = − = → = 0.5 Hàm số không đạt cực trị tại 1 ( 1, 1)M − − Hàm số đạt cực đại tại ( ) 2 5,2M Hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng hợp với trục Ox một góc 0 30 Hướng thay đổi nhanh nhất là : i-2j 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 2 (2.5 đ ) Vẽ hình 0.25 Phương trình mặt phẳng ABC 0.25 Lập công thức ,tính khối lượng ( ) 2 2 3 1 3 2 7 7 7 .1 2 2 2 xy xy S D D ds dxdy dxdy = + + ÷ = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ 0.25 0.25 Lập công thức ,tính 7 2 3 7 3 2 G x→ = = 0.25 0.25 Lập công thức ,tính 7 1 6 7 3 2 G y→ = = 0.25 0.25 7 2 2 7 2 1 7 2 S G ds z = → = = ∫∫ 0.25 0.25 Bài 3: (3 đ) Trên AB 0 2 2 2 4 2 1 3 (2 1) 2( ) [3 (2 1)2 2( )]dx 82 15 AB x y dy x y dx x x x x x − + + + = + + + = ∫ ∫ 0.5 0.5 Trên BC 1 2 2 2 0 1 3 (2 1) 2( ) [2(x ) 3(2 +1). ] 2 25 6 BC x y dy x y dx x x dx x + + + = + + = ∫ ∫ 0.5 0.5 Trên CA 1 2 2 2 3 1 1 2 3 (2 1) 2( ) 2(1 ) (2 ) 1 3 16 3 CA x y dy x y dx x dx x x − − + + + = + = + − = ∫ ∫ 0.5 0.5 Bài 4 (3 đ) '' ' 2 3 4 2 2 x x y y y e e − ⇒ + − = + 0.5 Phương trình thuần nhất: Nghiệm tổng quát 4 1 2 x x y C e C e= + 0.5 ' 5 2 2 2 2 5 5 x x c e e= − − 5 2 * 2 2 2 1 25 5 x x c e e c= − − + 0.25 0.5 ' 2 ' 3 1 1 3 * 1 1 2 2 5 2 2 5 5 2 2 5 15 x x x x x c e e e c e c x e c − − − = + → = + → = − + 0.25 0.5 Tìm ra y 0.25 Tìm ra Z 0.25 . TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 09 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số : 2 3 2 4 2 3 2 x. = − + = ÷ ÷ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 7 1 6 7 3 2 G y→ = = 4. Tìm z G : 2 2 1 2 0 0 2 2 2 3 2 0 0 7 3 7 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 7 3 3 3 7 3 3 3 7 2 2 4 8 2 2 4 8 2 7 2 1 7 2 xy x y y S D G xy. = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ Bài 3: L BA AC CB = + + ∫ ∫ ∫ ∫ i -2 -1 1 2 -2 2 x y A B C 1.Trên đoạn AB: 2 , : 1 0y x x= − → 0 2 2 2 4 2 1 0 3 4 2 1 0 4 2 5 3 1 3 (2 1) 2( ) [3 (2 1)2 2( )]dx [(6x 3 ).2 2 2 ] 0 14