Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 8 pdf

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 08 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số: 3 2 2 2 7 1 5 2 3 2 4 8 8 z x x y xy x y= − − − + − 1. Tìm điểm cực trị của hàm. 2. Tại điểm 1 1 ( , ) 2 2 N , hàm z tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox một góc 0 30 . 3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất . Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Trong không gian Oxyz, dùng tích phân mặt tìm trọng tâm của tam giác phẳng đồng nhất ABC với A (0, -3, 0), B (-2, 0, 0) và C (0, 1, 3). Câu 3: Tính ( ) ( ) 2 2 2 L I x xy dx xy y y dy = − + − + ∫ Ñ L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B (0, 0), C (1, 1) trong đó đoạn AB là đường thẳng, đoạn BC là đường 2 y x= và đoạn CA là đường thẳng bằng 2 cách: Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2. Cách 2: Áp dụng công thức Green. Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân: ' ' 2 3 2 1 2 x y y z z y z e − = + =− + +    thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: 2 -2 y x 1/2 1/2 N Bài 1: ' 2 ' 5 2 7 0 8 2 0 2 8 x y z x x y y z x = − + − = =− − − =    → 4 2 8 y x= − − Suy ra ' 2 2 5 4 9 2 7 2 2 5 0 8 8 8 x z x x x x x= − + + + = − + = 1 1 9 25 8. 16 4 8 5 4 9 18 4 36 4 5 4 4 4 8 8 x y ∆ = − = → ∆ = ± + + → = = → = − − = − = − 2 2 5 4 1 2 4 1 4 4 4 8 x y − = = → = − − = − M 1 ( 9 4 , -5) , M 2 ( 1 4 , -1) M 1 ( 9 4 , -5) M 2 ( 1 4 , -1) '' 4 7 xx z x r = − = 2 -6 '' 1 xy z s = − = -2 -1 '' 1 2 yy z t =− = - 1 2 - 1 2 s 2 - rt 1-2. 1 2 − =3 1-(-6).( 1 2 − )=-2 Không cực trị Có cực trị r = -6 cực đại 2. ' 1 1 5 1 23 ( ) 2. 7. 4 2 8 2 8 x z N = − + − = − ' 1 2 1 ( ) 1 4 8 2 y z N = − − − = − 23 23 3 1 os 1. os . 0 8 6 3 8 2 2 z l c c π π ∂ ∂ − − = + = + < Vậy hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox một góc 0 30 . 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là 23 8 i j − − z x y C B O A Bài 2: 1. * Vẽ hình *Tìm toạ độ D để viết phương trình mặt phẳng. Phương trình đường AC: 3 9 4 4 z y= + Vậy 9 4 D z = Phương trình mặt phẳng: 1 9 2 3 4 9 9 3 9 3 4 9 2 8 4 4 x y z x y z z x y + + = − → − + = → = − + + * Phương trình đường thẳng AB: 3 3 2 y x= − − * Phương trình đường thẳng BC: 1 2 x y = + 2. Diện tích S: 2 2 3 9 1 4 8 181 181 181 . .4 . 8 8 2 xy xy S D D ds dxdy S     = = + +  ÷  ÷     = = = ∫∫ ∫∫ 3.Tính x G ( ) ' 2 2 0 2 0 3 2 2 0 2 2 3 9 181 181 1 . 4 8 8 8 181 181 2 181 8 181 2 4 2 . 8 8 3 8 3 3 2 3 xy xy C B S D D AB G xdxdy xdxdy xdxdy dx xdy x x x dx x x − − −       = + + = =  ÷  ÷  ÷  ÷         − − = + = + = =  ÷   − → = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 4 2 -2 y 5 x C A B -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1 1 x y A B C 1 0 2 3 2 3 2 2 2 0 2 181 181 8 8 181 3 1 3 8 2 2 181 16 2 181 . 8 3 3 1 3 xy x G D x G y dxdy dx ydy x x dx y + − − − − = =       = + − − −    ÷  ÷           = − = −  ÷   = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 2 3 0 2 2 1 2 2 3 2 0 181 181 9 3 9 . 8 8 8 4 4 181 9 3 9 8 8 8 4 181 2 1 xy x G x D x y x y G z z dxdy dx x y dy xy y y dx z − + =− + =   = = − + +  ÷     = − + +  ÷   = → = ∫∫ ∫ ∫ ∫ Bài 3: ( ) ( ) 2 2 2 L I x xy dx xy y y dy = − + − + ∫ Ñ Trên đoạn AB : , 1 0y x x = − − ≤ ≤ , nên dy = -dx. Do đó : ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 1 0 2 3 2 1 2 [( 2 ) ( )] 0 5 1 5 1 7 (5 ) ( ) 1 3 2 3 2 6 AB I x xy dx xy y y dy x x x x x dx x x dx x x − − = − + − + = + − − − − = + = + = − = − ∫ ∫ ∫ Trên cung BC : 2 , 2 ,0 1y x dy xdx x= = ≤ ≤ Do đó: ( ) ( ) 1 2 2 2 3 3 4 2 0 1 5 4 2 6 5 3 0 2 [( 2 ) ( ).2 ] 1 1 2 1 2 ( 2 2 ) ( ) 0 3 5 3 5 BC I x xy dx xy y y dy x x x x x x dx x x x dx x x x = − + − + = − + − + − = − + + = + + = ∫ ∫ ∫ Trên đoạn AC có: y = 1, 1 1x − ≤ ≤ . Do đó : ( ) ( ) 2 2 1 3 2 2 1 2 1 1 1 2 ( 2 ) ( ) 1 1 1 3 3 3 3 CA I x xy dx xy y y dy x x x dx x − = − + − + − − = − = − = − − − + = ∫ ∫ Vậy 7 2 2 9 6 5 3 10 I = + − = Áp dụng công thức Green 2 2P x xy= − 2 P x y ∂ = − ∂ 2 Q xy y y= − + Q y x ∂ = ∂ Vậy ( ) 1 1 5 2 2 0 0 1 2 1 9 2 ( 2 ) ( ) ( ) 0 5 2 10 y D y I y x dxdy dy y x dx y y y dy y y − = + = + = + = + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ Bài 4: ' ' 3 2 1 2 x y y z z y z e = + =− + +    '' ' ' ' ' ' ' '' ' 3 2 3 2 2 . 3 3 2 . 4 4 2 . 4 4 2 . x x x x y y z y y z e x y y y y e x y y e x y y y e x = + = − + + = − + − + = − + → − + = Phương trình thuần nhất: '' ' 4 4 0y y y− + = Phương trình đặc trưng: 2 1 2 2 1 2 2 4 4 0 2 x x y e y xe λ λ λ λ − + = → = = → = → = Phương trình không thuần nhất: { ' 2 ' 2 1 2 ' 2 ' 2 2 1 2 0 2 ( 2 ) 2 . x x x x x x c e c xe c e c e xe e x + = + + = ' ' 1 2 ' ' 1 2 0 1 ( ) . 2 x c c x c c x e x − + = + + =  →   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' * * 2 2 2 2 ' ' 2 1 2 2 2 * 1 1 2 * 2 * 2 1 2 * 2 * 2 2 2 1 2 * * 1 2 1 . 2 . 2 . 2 1 2 .2. 2 2 4 2 2 2 2 2 1 . 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x c x e c x e dx c x e e x e c c xc x xe x e c x e dx x x e c y x x e c e x e c xe c e c xe x x x x e y c c x e − − − − − − − − − − → = → = + = − − = − + + → = − = − = − = − = + + +     = − − + + + − + +     = + + − − + + + = + ∫ ∫ ( ) 2 2 2 x x x e + + Thay vào tìm z ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' * * * 2 2 * * 2 2 1 2 2 1 2 2 * * * 2 2 1 2 * * * 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 4 1 2 2 x x x x x x x x z y y c c x c e x x e c c x e x e e c c c x e x x z c c c x e x x e = − = + + + + + − + − + = − + + − + − = − + − − + Khi x=0, y=0, z=0 ( ) * * 1 1 * * * 2 1 2 0 2 2 1 0 2 2 2 c c c c c → = + → = − → = − − → = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 x x x x y x e x e z x e x x e = − + + = + − − + Thang điểm Bài 1(1.5đ) : * PT tìm x,y: 1 2 2 y x= − − 2 9 2 5 0 8 x x− + = (0.25) * M 1 ( 9 4 , -5) , M 2 ( 1 4 , -1) (0.25) * Tại M 1 s 2 -rt=3 không cực trị (0.25) Tại M 2 s 2 -rt=-2, r=-6 →Cực trị. (0.25) 2. Hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox một góc 0 30 . (0.25) 3. Hướng thay đổi nhanh nhất là 23 8 i j − − (0.25) Bài 2(3đ): *Vẽ hình, (0.5) *PT mặt phẳng: 9 3 9 8 4 4 z x y= − + + (0.5) AB= 3 3 2 x + BC ’ = 1 2 x + *Tính diện tích, S= 2 2 3 9 181 181 1 .4 4 8 8 2 xy D dxdy     + + = =  ÷  ÷     ∫∫ (0.5) * ' 1 0 0 2 3 2 2 3 2 181 181 181 2 8 8 3 3 x C B G G AB x x dx xdy dx xdy x + − − − + = = = − → = − ∫ ∫ ∫ ∫ (1/2) ' 0 2 181 2 181 1 8 3 3 C D G G AB y dx ydy y − = = − → = − ∫ ∫ (1/2) 181 181 8 2 1 G G z z = = → = (1/2) Bài 3(2đ): Trên đoạn AB : 0 2 2 2 2 1 7 [( 2 ) ( )] 6 I x x x x x dx − = + − − − − = ∫ (1/2) Trên cung BC : 1 2 3 3 4 2 0 2 [( 2 ) ( ).2 ] 5 I x x x x x x dx = − + − + = ∫ (1/2) Trên đoạn AC có 1 2 1 2 ( 2 ) 3 I x x dx − − = − = ∫ (1/2) Áp dụng công thức Green ( ) 1 1 5 2 2 0 0 2 1 2 1 9 ( 2 ) ( ) ( ) 0 5 2 10 D y y I y x dxdy dy y x dx y y y dy y y − = + = + = + = + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ (1/2) Bài 4(3.5đ): * '' ' 4 4 2 . x y y y e x − + = (1/2) * 2 1 2 2 1 2 2 4 4 0 2 x x y e y xe λ λ λ λ − + = → = = → = → = (1/2) * PT hằng số: { ' 2 ' 2 1 2 ' 2 ' 2 2 1 2 0 2 ( 2 ) 2 . x x x x x x c e c xe c e c e xe e x + = + + = (1/2) 4 4 1 1 1 2 8 x x c xe e − −   → = − +  ÷   (1/2) 4 2 1 2 x c e − =− (1/2) ( ) * * 2 2 1 2 1 8 x x y c c x e e − → = + + (1/2) ( ) ( ) * * * 2 2 2 1 2 1 2 2 x x z c c c x e x x e = − + − − + (1/2) . .4 . 8 8 2 xy xy S D D ds dxdy S     = = + +  ÷  ÷     = = = ∫∫ ∫∫ 3. Tính x G ( ) ' 2 2 0 2 0 3 2 2 0 2 2 3 9 181 181 1 . 4 8 8 8 181 181 2 181 8 181 2 4 2 . 8 8 3 8 3 3 2 3 xy. =  ÷   − → = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 4 2 -2 y 5 x C A B -1 .5 -1 -0 .5 0.5 1 1.5 -1 1 x y A B C 1 0 2 3 2 3 2 2 2 0 2 181 181 8 8 181 3 1 3 8 2 2 181 16 2 181 . 8 3 3 1 3 xy x G D x G y dxdy dx ydy x x. TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 08 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số: 3 2 2 2 7 1 5 2 3 2