Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 4 pptx

6 552 2
Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 4 pptx

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số:04 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số 2 2 2 2 2 4 3 1 ( 1)z x y x y= + + − + + . 1. Tìm cực trị của hàm số. 2. Tại điểm P(-1,-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dich chuyển ra khỏi P theo hướng lập với trục Ox một góc 45 o 3. Tại điểm P đó tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, dùng tích phân mặt, tính khối lượng của tam giác phẳng ABC với mật độ 2 x ρ = với A(-1,1,2),B(-1,2,0), C(-3,1,0). Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, đương cong kín L theo chiều dương tạo bởi 2 đường: + Trục Ox, 0 2x ≤ ≤ . + Đường 1 1y x = − − với 0 2x ≤ ≤ . Tính 2 2 2 2 ( ) ( ) L I x y dx x y dy = + + − ∫ Ñ Kiểm chứng kết quả thông qua việc sử dụng công thức Green. Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân: , , 8 2 x y y x e z y z  = + +   = +   Với điều kiện x=0 thì y=0 và z=0 Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2: Câu 1: 1. 2 2 2 2 2 4 3 1 ( 1)z x y x y= + + − + + ' 2 2 2 2 8 2.2 ( 1) 4 (1 ) x Z x x x y x x y = − + + = − + ' 2 2 2 2 6 2.2 ( 1) 2 (1 2 2 ) y Z y y x y y x y = − + + = − − Giải hệ phương trình ' ' 0 0 x y Z Z  =   =   ta được hệ tương đương với 4 hệ sau: • 0, 0x y = = • 2 2 0 1 0, 1 2 2 0 2 x x y x y =  ⇔ = = ±  − − =  • 2 2 0 1, 0 1 0 y x y x y =  ⇔ = ± =  − + =  • 2 2 2 2 1 0 1 2 2 0 x y x y  − + =   − − =   hệ vô nghiệm. Vậy hàm số có 5 điểm tới hạn là (0,0),O 1 1 (0; ) 2 M , 2 1 (0; ) 2 M − , 3 (1;0)M , 4 ( 1;0)M − (0,0)O 1 1 (0; ) 2 M 2 1 (0; ) 2 M − 3 (1;0)M 4 ( 1;0)M − '' 2 2 12 4 4 xx Z x y r= − − + = 4 2 2 -8 -8 '' 8 xy Z xy s= − = 0 0 0 0 0 '' 2 2 12 4 2 yy Z y x t= − − + = 2 -4 -4 -2 -2 2 s rt− -8 8 8 -16 -16 Vậy hàm số đạt cực đại tại 3 (1;0)M và 4 ( 1;0)M − . Hàm số đạt cực tiểu tại (0,0)O . 2. ' ( ) 4(1 1 1) 4 x z P = − − + = − ' ( ) 2(1 2 2) 6 y z P = − − − = 4cos 6cos 2 0 4 4 z l π π ∂ = − + = > ∂ Vậy hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi P theo hướng lập với trục Ox một góc 45 o 3. Hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất là :-4j+6j 6 4 2 -2 -4 y -5 x j P 2 y x O A B z y x C B A -2 -1 -1 3 2 2 1 2 1 Câu 2: +Vẽ hình: + Lập phương trình mặt phẳng ABC: 1 1 2 0 1 2 0 2 0 2 x y z + − −    ÷ − =  ÷  ÷ − −   2( 1) 4( 1) 2( 2) 0 1 2 2 2 0 2 5 0 2 5 x y z x y z x y z z x y ⇔ − + + − + − = ⇔ − − + − + − = ⇔ − + + − = ⇔ = − + + Khối lượng của mặt phẳng ABC. 2 2 ' 2 ' 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 (1) ( 2) 6 x y S D D D m x ds x Z Z dxdy x dxdy x dxdy = = + + = + + − = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ Trong đó D là hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Z= 0. Ta có: 1 5 1 1 2 2 2 2 4 3 3 1 3 1 1 3 1 1 6 6 ( ) 6( ) 4 6 3 2 2 8 2 y x y m x dx dy x x dx x x = + − − − = − − = = + = + = − ∫ ∫ ∫ Câu 3: AO OB BA I = + + ∫ ∫ ∫ + Trên đoạn AO : ,0 1y x x = ≤ ≤ 0 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 3 AO x y dx x y dy x dx − + + − = = ∫ ∫ + Trên đoạn OB: 0 2, 0x y ≤ ≤ = 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) 3 OB x y dx x y dy x dx+ + − = = ∫ ∫ + Trên đoạn BA: 2 , : 2 1y x dy dx x = − ⇒ = − → 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) [ (2 ) (2 ) ] 3 BA x y dx x y dy x x x x dx − + + − = + − − + − = ∫ ∫ 2 y x C B A Vậy 2 2 8 4 3 3 3 3 I − − = + + = Áp dụng công thức Green 2 2 P x y = + , 2 2 Q x y = − 2 1 1 2 3 2 0 0 1 1 4 (2 2 ) 2 ( ) 2 (2 4 2) 4( ) 0 3 3 y D y I x y dxdy dy x y dx y y dy y y y − = − = − = − + = − + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ Câu 4: Giải hệ phương trình , , 8 2 x y y x e z y z  = + +   = +   ,, , , , , , , ,, , 2 2( 8 ) 16 2 2 15 2 2 15 2 (*) x x x x z y z y x e z z z z e z z z e z z z e = + = + + + = − + + + = + + ⇔ − − = + Phương trình vi phân thuần nhất: ,, , 2 15 0z z z − − = Phương trình đặc trưng 2 1 2 2 15 0 3, 5 λ λ λ λ − − = ⇔ = − = Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 3 5 1 2 x x C e C e − + +Tìm nghiệm của phương trình (*) bằng phương pháp biến thiên hàm số ' 3 ' 5 1 2 ' 3 ' 5 1 2 . . 0 3 . 5 . 2 x x x x x C e C e C e C e e − −  + =   − + =   => 4 * ' 4 1 1 1 ' 4 4 * 2 2 2 1 1 16 4 1 1 4 16 x x x x C e C C e C e C e C − − − −   = + =     =>   −   = = +     => * 3 * 5 1 2 * 3 * 5 1 2 1 1 16 16 1 8 x x x x x x x z e e C e C e e C e C e − − − − = − + + − = + + Và ( ) * 3 * 5 1 2 1 4 4 2 x x y C e C e − = − + Từ điều kiện ta có: * * 1 2 * * 1 2 * * 1 2 4 4 0 1 1 16 0 8 C C C C C C  − + =  => = =  − + + =   => 3 5 3 5 1 1 8 8 1 1 1 16 16 8 x x x x x y e e z e e e − − −  = +     = + −   Điểm Câu 1: (2.5đ) giải hệ ' ' 0 0 x y Z Z  =   =   cho 5 điểm tới hạn: (0,0),O 1 1 (0; ) 2 M , 2 1 (0; ) 2 M − , 3 (1;0)M , 4 ( 1;0)M − 0.5 0.5 Vậy hàm số đạt cực đại tại 3 (1;0)M và 4 ( 1;0)M − . Hàm số đạt cực tiểu tại (0,0)O . Hàm số không đạt cực trị tại những điểm còn lại Hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi P theo hướng lập với trục Ox một góc 45 o Hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất là :-4j+6j 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2: (1.5đ) Vẽ hình 0.25 Lập phương trình mặt phẳng ABC: 2 5z x y⇔ = − + 0.5 Khối lượng của mặt ABC: 2 2 ' 2 ' 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 (1) ( 2) 6 x y S D D D m x ds x Z Z dxdy x dxdy x dxdy = = + + = + + − = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 0.5 4 6m = 0.25 Câu 3: (3Đ) Trên AO 0 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 3 AO x y dx x y dy x dx − + + − = = ∫ ∫ 0.5 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) 3 OB x y dx x y dy x dx+ + − = = ∫ ∫ 0.5 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 [ (2 ) (2 ) ] 3 BA x y dx x y dy x x x x dx + + − − = + − − + − = ∫ ∫ 0.5 Áp dụng công thức Green (2 2 ) D I x y dxdy= − ∫∫ Tính 4 (2 2 ) 3 D I x y dxdy= − = ∫∫ 0.5 1.0 Câu 4: (3đ) ,, , , , ,, , 2 2( 8 ) 2 15 2 (*) x x z y z y x e z z z z e = + = + + + ⇔ − − = 0.5 + PGiải phương trình ,, , 2 15 0z z z − − = Ph Phương trình đặc trưng 2 1 2 2 15 0 3, 5 λ λ λ λ − − = ⇔ = − = Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : 3 5 1 2 x x C e C e − + Tìm nghiệm của phương trình bằng phương pháp biến thiên hằng Số 4 * ' 4 1 1 1 ' 4 4 * 2 2 2 1 1 16 4 1 1 4 16 x x x x C e C C e C e C e C − − − −   = + =     =>   −   = = +     0.5 0.25 0.25 3 5 1 2 1 8 x x x Z C e C e e − = + − , 3 5 1 2 1 1 ( ) ( 4 4 ) 2 2 x x y z z C e C e − ⇒ = − = − + 0.25 0.25 1 2 1 2 1 2 2 2 0 1 1 16 0 8 C C C C C C − + =   ⇔ = =  + − =   0.5 3 5 1 1 1 16 16 8 x x x z e e e − = + − 3 5 1 1 ) 8 8 x x y e e − = − + 0.25 0.25 . TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 04 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số 2 2 2 2 2 4 3 1 (. + = 4 2 2 -8 -8 '' 8 xy Z xy s= − = 0 0 0 0 0 '' 2 2 12 4 2 yy Z y x t= − − + = 2 -4 -4 -2 -2 2 s rt− -8 8 8 -1 6 -1 6 Vậy hàm số đạt cực đại tại 3 (1;0)M và 4 ( 1;0)M. khỏi P theo hướng lập với trục Ox một góc 45 o 3. Hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất là : -4 j+6j 6 4 2 -2 -4 y -5 x j P 2 y x O A B z y x C B A -2 -1 -1 3 2 2 1 2 1 Câu 2: +Vẽ hình: + Lập phương

Ngày đăng: 08/08/2014, 03:21

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan