ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP ĐẠI HỌC

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM Mã môn học: MATH130101 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Ngày thi: 30/12/2014- Giờ thi: 9g45 BỘ MÔN TOÁN -* - ĐỀ THI: Câu I (2,5đ) Giải phƣơng trình z12  z  Tìm m để hàm số f  x   x  sin x liên tục e2 x  m Câu II (2,5đ) Tính đạo hàm hàm f  x   xe  x  1 ln x x  x  arctan x Cho hàm f  x    x  1 e x  1 Tính f  2014   Câu III (2,0đ)  Tính tích phân suy rộng I   xe 2 x dx x  ln x 2 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng  x2  5x  dx Câu IV (3,0 đ) Khảo sát hội tụ chuỗi số 3n  2n  n 1  n  1 !  Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n x n n 1 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f  x  tuần hoàn với chu kì T  2 đƣợc xác 3  1  x  định f  x    1 3  x  2  ĐÁP ÁN Câu Đáp án I (2,5đ) (1,5đ) (1đ) II (2,5đ) (1,25đ) Điểm z  z  z12  z    11   11 z  z  1  cos  i.sin k 2 k 2 , với k  z  11  z  cos  i.sin 11 11 f  x  hàm sơ cấp nên liên tục tập xác định f  x  liên tục  e2 x  m  0, x  0,5 0,5 0,5 0,5  m  ( e2 x  0, x  ) 0,5 0,5 e 1 e 1  f ' 1  1  1  f  x   x e x  e x  x  0,75 x.e x  1 ln x  f  x   f 1 lim  lim x 1 x 1  x  1  x  4arctan x  x 1    n 1 x n  x n    x2  n ! n1 n ! (A) (B) Xét chuỗi (A):  2014   x2014 0,25 0,5 0,5 x n2  n  2012 , 2014! n! 2014!  2014  2013.2014  0  (1,25đ) f 2012! f  Xét chuỗi (B): f  2014   x 2014 x n   n  2014 , 2014! n! f  2014    Vậy f  2014  0  2013.2014  b III (2đ) I  lim  x.e2 x dx b  (1đ) 0,25 du  dx   2 x v   e b b   1 I  lim   x.e2 x   e 2 x dx   b   0   b  1 b   1 b   lim  2b  e2 x   lim  2b   e2b  e0     b  e b   e 4  0  u  x Đặt  , suy 2 x dv  e dx 0,25 0,5 x  ln x f  x  (1đ) x  5x  Khi x  2 : x  ln x x  ln x  x2  5x    x   x  Mà  0,5  0, x  [1, 2) 2  ln 2 x 0,5 1 dx hội tụ (do    ) nên tích phân suy rộng đề cho 2 x hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh IV (3đ) Khi n   , (1đ) Mà chuỗi 3n  2n  n  1! 0,5 3n  n  1!  3n hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert nên  n 1  n  1 ! chuỗi cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Bán kính hội tụ R  , suy khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa (-1,1) Tại x  , chuỗi (1đ)  n phân kì không thỏa điều kiện cần để 0,5 0,5 0,25 n 1 chuỗi hội tụ Tại x  1 , chuỗi    1 n n phân kì không thỏa điều kiện cần 0,25 n 1 để chuỗi hội tụ Vậy miền hội tụ chuỗi lũy thừa (-1,1) (1đ) 3 /2 2  1 a0    dx   dx    3 /2  3 /2 2  1 3n an    cos nxdx    cos nxdx   sin  3 /2  n 3 /2 2   1 3n bn    sin nxdx    sin nxdx   1  cos  3 /2  n  0,25 0,25    Gọi S  x  chuỗi Fourier f  x  , ta có :   3n  3n   sin cos nx  1  cos n 1  n n  3 Tại x  k 2 x   k 2 , S  x   f  x  S  x  0,25 0,25    sin nx   