Trường ĐH Sư phạm kĩ thuật TP HCM Khoa KHCB-Bộ môn Toán Đề thi môn Toán cao cấp A1 (MATH130101) Ngày thi: 15/8/2014 Thời gian: 90 phút Câu I (3.5 điểm) Cho số phức z = Cho hàm số √ 1+i √ Tính z 2016 z − 3i x · ln(3x + 1) f (x) = ex2 − 3 cos x + x x > x ≤ a Khảo sát liên tục hàm f (x) x = b Tính f (1) Câu II (1.5 điểm) √ Khảo sát vẽ đường cong r = + sin φ tọa độ cực Câu III (2.0 điểm) Tính tích phân suy rộng I = √ x dx 2−x Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng +∞ x3 + −x+3 x5 Câu IV (3.0 điểm) n(n+1) n n+1 xn +∞ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 n +n Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) tuần hoàn với chu kì T = 2π xác định Khảo sát hội tụ chuỗi số +∞ n=1 f (x) = khi0 < x < 3π 3π ≤ x ≤ 2π ĐÁP ÁN Câu I Ý 2a Nội dung √ √ 7π z = 1−4 + 1+4 i = z = √12 cos 7π 12 + i sin 12 z 2016 = (√2)12016 cos 7π·2016 + i sin 7π·2016 12 12 7π 7π √ +2kπ +2kπ 12 12 +i z = 10√2 cos 3x 3x+1 (ex −1 Với x > 0, f (x) = (ln 4+ 34 )(e−1)−2e ln f (1) = (e−1)2 TXĐ: R, T = 2π cos φ , r = ⇔ φ = π2 , 3π r = √ 2 + sin φ + sin φ tan w = , tan w = ∞ ⇔ φ = π2 , 3π cos φ φ π/2 3π/2 r + 0 √ √ Bảng biến thiên r tan w ∞ ∞ Vẽ đồ thị a x I = lima→2− √2−x dx I = lima→2− I = lima→2− I= √ 0.5 (ex2 −1 )2 0.25 0.25 0.5 0.25 2π + √ √ 2−a √ (2t2 − 4) √ 2−a 2t √ − 4t | 3 r= 0.25 0.25 0.25 0.25 nên chuỗi hội tụ 0.25 0.25 x3 + f (x) , g(x) = , limx→+∞ =1 f (x) = x −x+3 x g(x) +∞ dx hội tụ x2 x +2 +∞ dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh x −x+3 n+1 √ n limn→+∞ n un = limn→+∞ n+1 = 1e < n limn→+∞ aan+1 0.25 0.25 0.25 0.25 ) − 2x2 · ex · ln(3x + 1) 2b Câu II Câu IV 0.5 với k = 0, 1, 2, 3, limx→0+ f (x) = limx→0+ x ln(3x+1) = limx→0+ 3x x2 = ex2 −1 limx→0− f (x) = limx→0− (3 cos x + x) = f (0) = limx→0− f (x) = limx→0+ f (x) = f (0) nên hàm số liên tục ln(3x + 1) + Câu III Điểm 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 = limn→+∞ n n+3n+2 +n n =1 (−1) +∞ đan dấu, giảm → n → +∞ Tại x = 1, n=1 n +n n +n nên hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 1 +∞ Tại x = −1, n=1 có ∼ hi n → +∞, n +n n +n n +∞ +∞ hội tụ n=1 hội tụ nên n=1 n n +n Vậy miền hội tụ [−1, 1] 3π/2 3x 3π/2 2π f (x)dx = 3dx = = a0 = |0 0 π π π 2π an = f (x) cos(nx)dx, n ≥ π 3nπ 3π/2 3π/2 3 an = π1 cos(nx)dx = nπ sin(nx) |0 = nπ sin 2π bn = π1 f (x) sin(nx)dx, n ≥ 3nπ 3π/2 3π/2 bn = π1 sin(nx)dx = −3 = −3 cos −1 nπ cos(nx) |0 nπ a0 +∞ x = 3π/2 + 2kπ, 2kπ: f (x) = + n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] x = 3π/2 + 2kπ, 2kπ, S(x) = 3/2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Đồ thị câu II