Bài 1: ( 2 điểm) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx +2 1 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của m. 2 Xác định m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác AOB ứng với giá trị của m vừa tìm được. Bài 2: ( 2 điểm) 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có n3 + 5n chia hết cho 6. 2 Cho x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 – 3x + a = 0; x3 và x4 là nghiệm của phương trình x2 – 12x + b = 0 và biết rằng . Tìm a và b.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: ( 2 điểm) Cho parabol (P): 2 1 2 y x= và đường thẳng (d): y = - mx +2 1/ Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của m. 2/ Xác định m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác AOB ứng với giá trị của m vừa tìm được. Bài 2: ( 2 điểm) 1/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có n 3 + 5n chia hết cho 6. 2/ Cho x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình x 2 – 3x + a = 0; x 3 và x 4 là nghiệm của phương trình x 2 – 12x + b = 0 và biết rằng 2 3 4 1 2 3 x x x x x x = = . Tìm a và b. Bài 3: ( 2 điểm) Cho a, b, c ≠ 0 và các số x, y, z thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c + + = + + + + . Tính giá trị biểu thức: 2011 2011 2011 S x y z= + + Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp trong nửa đường tròn (O; R) và có đường cao CH. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của H qua CA và CB. 1/ Chứng minh : a/ Ba điểm M, C, N thẳng hàng. b/ Các đường thẳng AM, BN và AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. 2/ Tìm vị trí của C trên (O) để tích AM.BN lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại E và F. Đường thẳng BI cắt EF tại M. Chứng minh tam giác MBC vuông. HẾT Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2011 – 2012 Chuyên Toán Bài Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 (2 đ) 1/(1.0) Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 1 2 2 4 0 2 x mx x mx= − + ⇔ + − = Có ∆ = + > ∀ / 2 4 0,m m Kết luận: 0.25 0,5 0,25 2/(1,0) Gọi A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) ta có: 2 2 2 4 4 2 A A x m m y m m m= − − + ⇒ = + + + 2 2 2 4 4 2 B B x m m y m m m= − + + ⇒ = − + + = − + − = + + + = + + ≥ 2 2 2 2 2 2 4 2 ( ) ( ) 4( 4) 4 ( 4) 4 20 16 16 A B A B AB x x y y m m m m m Vậy MinAB 2 = 16, MinAB = 4 khi và chỉ khi m = 0 Khi đó A(-2; 2), B(2; 2) S AOB = 4 0,25 0,25 0,25 0.25 Bài 2 ( 2 đ) 1/ (1,0) Ta có n 3 + 5n = (n 3 – n) + 6n Vì n 3 – n = n(n-1)(n +1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Và vì (2, 3) =1 nên n 3 – n chia hết cho 6 Do đó n 3 – n + 6n chia hết cho 6 Vậy n 3 + 5n chia hết cho 6 0,25 0,25 0,25 0,25 2/ (1,0) Đặt 3 2 4 1 2 3 x x x x x x = = = k 2 3 2 1 3 2 4 3 3 1 4 1 ; ; ;x kx x kx x kx x k x x k x⇒ = = = ⇒ = = Ta có : 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 5 2 3 4 1 (1 ) 3 (1) (1 ) 12 (2) . (3) . (4) x x x k x x k x k x x kx a x x k x b + = + = + = + = = = = = Từ (1) và (2) ta có : k 2 = 4 2k⇒ = ± • k = 2 1 1 2; 32x a b⇒ = ⇒ = = • k = -2 1 3 18; 288x a b⇒ = − ⇒ = − = − 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 ( 2 đ) Từ gt ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 x x y y z z a a b c b a b c c a b c − + − + − = + + + + + + ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0x y z a a b c b a b c c a b c − + − + − = + + + + + + (*) Do 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0; 0; 0 a a b c b a b c c a b c − > − > − > + + + + + + . Nên (*) ⇔ x = y = z = 0 Vậy S = 0 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Bài 4 (3 đ) Bài 5 (1đ) 1/ a/ Ta có : 2( )MCA ACH HCB BCN MCN ACH HCB ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ + + + = = + = 2v Nên ba điểm M, C, N thẳng hàng. b/ CM = CH = CN nên C là tâm đường tròn đường kính MN từ CH AB⊥ suy ra AM ⊥ MN và BN ⊥ MN nên AM, BN và AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. 2/ Ta có : AM.BN = AH.BH = CH 2 ≤ R 2 Vậy AM.BN = R 2 lớn nhất ⇔ AM = BN = CH =R C là điểm chính giữa cung AB . Nếu M thuộc tia đối FE : 2 B C MIC ∧ ∧ ∧ + = = 90 0 – 2 A ∧ = AFE MFC ∧ ∧ = Suy ra tứ giác MFIC nội tiếp và ta có IF ⊥ AC nên IM ⊥ MC do đó tam giác BMC vuông tại M Nếu M thuộc đoạn EF : Tương tự MIC AFE ∧ ∧ = nên MIC MFC ∧ ∧ + = 2v do đó tứ giác MFCI nội tiếp và ta có IF ⊥ AC nên IM ⊥ MC hay tam giác BMC vuông tại M. 1.0 0.75 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Toán) Thời gian:. AB, AC tại E và F. Đường thẳng BI cắt EF tại M. Chứng minh tam giác MBC vuông. HẾT Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2011 – 2012 Chuyên Toán Bài Đáp án và hướng dẫn. Tìm a và b. Bài 3: ( 2 điểm) Cho a, b, c ≠ 0 và các số x, y, z thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c + + = + + + + . Tính giá trị biểu thức: 2011 2011 2011 S