PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG Môn : Toán Năm học : 2015-2016 Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm) 1,Cho biểu thức: K = x +3 x + x + x − + : x − x + x − x + x − 1 a/ Rút Gọn K b/ Tính giá trị biểu thức K x = 24+ c / Tìm x để : − − 29 − 12 x +1 − ≥1 K 2,Cho số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện 3 2 x 1− y2 + y 1− z + z 1− x2 = chứng minh x + y + z = 2 Bài 2: (4điểm) a ) Giải phương trình − x + x + = x − x + 13 b ) Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn : a + b +c = Chứng minh : a + b+ c =2 a b c + + = 1+ a 1+ b 1+ c (1 + a )(1 + b)(1 + c) Bài 3: (3điểm) 2 Tìm GTNN A = x + y + z biết x, y, z > , a) x+y y+z z+x xy + yz + zx = b) Chứng minh a b c + + > với a, b, c > b+c a +c a+b Bài 4:(6 điểm).Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R>r) Dựng tiếp tuyến chung BC ( B nằm đường tròn tâm O C nằm đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vuôngtại A b) OE cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F; A nằm đường tròn c) Chứngtỏ BC = Rr Tính diện tích tứ giác BCIO theo R ;r Bài5: (1 điểm )Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = Hết -1 (Cán coi thi không giải thích thêm) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp N¨m häc 2015- 2016 M«n thi : To¸n TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG Bài Ý 1.(4đ) a)(2đ) Bài (6đ) NỘI DUNG CẦN ĐẠT a, Với x≥0 , x≠ ta có: x +1 K= x b,Ta có : x = 24+ = 24+ = 24+ = 24+ = 25 Thay x = 25 vào K ta có: 25 + = K= 25 ĐIỂM 0,5 0,75 0,75 0,5 b)(1 đ) c )(1đ ) x +1 x x +1 − x +6 x −9 − ≥1 ⇔ − −1 ≥ ⇔ ≥0 K 8 x +1 8( x + 1) (*) Do : 8( x + 1) ≥ 0∀x nên (*) ⇔ −( x − 3) ≥ ⇔ ( x − 3) ≤ mặtkhác 0,75 ( x − 3) ≥ ⇔ x = ⇔ x = 0,75 2)(2đ) Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm ta có x +1 − y y +1 − z 2 2 x 1− y + y 1− z + z 1− x ≤ + + 2 z +1 − x + = 2 x = − y x = − y 2 y = − z ⇔ y = − z ⇒ ( dpcm) Đẳngthứcsảyra : z = − x z = 1− x2 0,5 0,5 0,5 0,5 a,(2đ) a, ĐK: 0,5 −1 ≤ x ≤ Ápdụng BĐT Bunyakovsky Bài (4đ) tacó 0,5 ( − x + x + 1) ≤ 2(7 − x + x + 1) = 16 ⇔ − x + x + ≤ ) 0,5 lạicó x − x + 13 = ( x − 3) + ≥ 7−x = PT ⇔ x − = b(2đ) x +1 0,5 ⇔ x =3 Đặt x = a ; y = b ; z = c 0,5 x2 + y2 + z = x + y + z = 0,5 b) ⇒ 2( xy + yz + zx) = 2 − = ⇒ xy + yz + zx = 1 + a = xy + yz + zx + x = ( x + y )( x + z ) 0,5 Do : + b = xy + yz + zx + y = ( y + z )( y + x) + c = xy + yz + zx + z = ( z + x)( z + y ) Vìvậy 0,5 a b c x y z + + = + + + a + b + c ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x) ( z + x)( z + y ) 2( xy + yz + zx ) = = ( x + y )( y + z )( z + x) (1 + a)(1 + b)(1 + c) a(1,5đ ) x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ a: Theo bất đẳng thức x+y y+z z+x Cauchy : x+y y+z z+x x+y+z ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên ≥ 2 2 1 A = ⇔ x = y = z = Bài (3đ) b )Theo bấtđẳngthức Cauchy : b(1,5) 0,5 0,5 xy + yz + zx = 2 0,5 0,5 b+c b+c+a b+c ≤ + 1÷: = a 2a a a 2a ≥ Do : Tươngtự : b+c a+b+c b 2b c 2c ≥ ; ≥ a+c a+b+c a+b a+b+c a b c 2(a + b + c) + + ≥ =2 Cộngtừngvế : b+c c+a a+b a+b+c a = b + c Xảyradấuđẳngthức : b = c + a ⇒ a + b + c = , tráivớigiảthiết c = a + b 0,5 0,5 a, b, c > Vậydấuđẳngthứckhôngxảyra a(1,5đ ) Hìnhvẽ B C Bài (6đ) E N F O A I 0,5 0,5 a )Ta có : BE AE tiếptuyếncắtnhau⇒AE = BE Tươngtự ta có AE =EC ⇒ AE = BE = EC = BC ⇒ tam giác ABC vuông tai A b(1,5đ ) b) Theo tínhchất tiếptuyếncắtnhauthì EO làphângiáccủa tam giáccân AEB ⇒OE làtrungtrực AB hay ∧ OE ⊥ AB ⇔ ENA = 90 0,5 0,5 0,5 ∧ Tươngtự EÈA = 90 ∧ Mà NAF = 90 ⇒ tứgiác FANE hìnhchữnhật điểm F ;A ; N ;E cùngnằmtrênđườngtròn 0,5 c )tứgiác FANE hìnhchữnhật 0,5 0,5 c(1,5) d(1,5) Bài 1đ ⇒ ∆OEI vuôngtại E EA ⊥ OI ( tínhchấttiếptuyến ) Ápdụnghệthứclượngtrongtamgiácvuông ta có AE = OA AI BC BC Mà AE = ; OA = R; AI = r ⇒ = Rr ⇔ BC = Rr d/SBCIO=? Ta cótứgiác BCIO hìnhthangvuông 0,5 ⇒SBCIO= 0,5 OB + IC × BC (r + R ) rR ⇒S= 0,5 Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = ⇔ x(y + 1)2 = 243y (1) 0,5 Từ (1) vớichú ý (y + 1; y) = ta suy (y + 1) làướccủa 243 Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8) 0,5 ...(Cán coi thi không giải thích thêm) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp N¨m häc 2015- 2016 M«n thi : To¸n TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG Bài Ý 1.(4đ)... EO làphângiáccủa tam giáccân AEB ⇒OE làtrungtrực AB hay ∧ OE ⊥ AB ⇔ ENA = 90 0,5 0,5 0,5 ∧ Tươngtự EÈA = 90 ∧ Mà NAF = 90 ⇒ tứgiác FANE hìnhchữnhật điểm F ;A ; N ;E cùngnằmtrênđườngtròn 0,5 c... b,Ta có : x = 24+ = 24+ = 24+ = 24+ = 25 Thay x = 25 vào K ta có: 25 + = K= 25 ĐIỂM 0,5 0,75 0,75 0,5 b)(1 đ) c )(1đ ) x +1 x x +1 − x +6 x 9 − ≥1 ⇔ − −1 ≥ ⇔ ≥0 K 8 x +1 8( x + 1) (*) Do : 8(