Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (14)

PHềNG GD&T THANH OAI TRNG THCS THANH MAI THI CHN HC SINH GII LP NM HC 2015 - 2016 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt Cõu 1: (6 im) x+2 x x + + ữ ữ: x x x + x +1 x Cho A = a Rỳt gn A b Tỡm x A Z Cho abc , bca , cab l cỏc s t nhiờn cú ch s Chng minh rng: nu abc M 37 thỡ bca v cab cng chia ht cho 37 Cõu 2: (4 im) Gii phng trỡnh: x + x + x + x =1 Cho x, y, z tha xyz = 2015 Chng minh rng: 2015 x y z + + =1 xy + 2015 x + 2015 yz + y + 2015 zx + z + Cõu 3: (3 im) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x4 + x2 + = y2 Cho a,b,c số dơng a+b+c=2015 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= a2 b2 c2 + + b+c c+a a +b Cõu (6.0 iờm) Cho iờm M nm trờn na ng tron tõm O ng kinh AB = 2R (M khụng trung vi A va B) Trong na mt phng cha na ng tron co b la ng thng AB, ke tiờp tuyờn ã Ax ng thng BM ct Ax tai I; tia phõn giac cua IAM ct na ng tron O tai E, ct IB tai F; ng thng BE ct AI tai H, ct AM tai K a) Chng minh iờm F, E, K, M cung nm trờn mụt ng tron b) Chng minh HF BI c) Xac inh vi tri cua M trờn na ng tron O chu vi AMB at gia tri ln nhõt va tim gia tri o theo R? Cõu 5: (1 im) Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 1! + 2! + + x! = n ( x! = 1.2.3 x) - Ht - PHềNG GD&T THANH OAI HNG DN CHM THI CHN HSG LP NM HC 2015 - 2016 TRNG THCS THANH MAI Mụn: Toỏn Cõu 1: (6 im) a) K: x 0; x 0.5 1.5 Rỳt gn A = x + x +1 0.5 b) Vỡ x nờn < A v A Z => A = hoc A = 2 =1 x + x =0 x = x + x +1 2 +) A = => =2 x + x =0 x = x + x +1 Ta cú: abc + 11 bca = 111a + 1110b + 111c M 37 (vỡ 111 M 37) M abc M 37 => 11 bca => bca M 37 (vỡ (11; 37) =1) Ta cú: abc M 37 => 11 abc M 37 Xột tng: 11 abc + cab = 1110a+111b+111c => cab M 37 +) A = => 0.5 1.0 1.0 M 37 Cõu 2: (4 im) (2) x + x + x + x =1 ( x ) + ( x ) =1 0.5 x + x =1 p dng: a + b a + b Du bng xy a.b0 => (2) x + x =1 x 5x10 y xy xy = = yz + y + 2015 xyz + xy + 2015 x 2015 + xy + 2015 x xyz 2015 z = = xyzx + xyz + xy1 2015 x + 2015 + xy zx + z + 2015 x y 2015 x z Do ú + + = + xy + 2015 x + 2015 yz + y + 2015 zx + z + xy + 2015 x + 2015 xy 2015 + = (pcm) 2015 + xy + 2015 x 2015 x + 2015 + xy Ta cú : 0.5 0.5 0.5 Cõu 3: (3 im) (1,5d) Vỡ x2 vi x nờn (x4+x2+1) -(x2+1) < x4+x2+1 (x4+x2+1)+x2 (x2)2 (x2+1)2 = x4+x2+1 x=0 suy y= Vy nhim nguyờn (x;y) cn tỡm l: (0;1), (0;-1) (1,5đ) 0.5 0.5 0.5 b+c a2 + a ( Bt Cụsi cho hai s dng ) b+c c+a a+b c2 Tng t: + b; + c 4 a+b Ta có: 0.5 0.5 a+b+c a b c + + b+c c + a a +b Cng v vi v ta c: 2 0.5 Vy Min A = 2015/2 Du bng xy a=b=c = 2015/3 Cõu (6.0 iờm) Hinh ve x I F M H E K A O B ã Ta co M, E nm trờn na ng tron ng kinh AB nờn FMK = 900 va ã FEK = 900 Võy iờm F, E, K, M cung nm trờn ng tron ng kinh FK Ta co HAK cõn tai A nờn AH = AK (1) K la trc tõm cua AFB nờn ta co FK AB suy FK // AH (2) ã ã ã ã Do o FAH (gt) cho nờn ãAFK = FAK = ãAFK ma FAH = FAK Suy AK = KF, kờt hp vi (1) ta c AH = KF (3) T (2) va (3) ta co AKFH la hinh binh hanh nờn HF // AK Ma AK IB suy HF IB Chu vi cua AMB = CAMB = MA + MB + AB ln nhõt chi MA + MB ln nhõt (vi AB khụng ụi) ( Ap dung bõt ng thc ( a + b ) a + b 2 ) dõu "=" xay a = b , 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ta co ( MA + MB ) 2( MA2 + MB ) = AB 2 Nờn MA + MB at gia tri ln nhõt bng AB va chi MA = MB hay M nm chinh gia cung AB Võy M nm chinh gia cung AB thi CAMB at gia tri ln nhõt 0.5 Khi o 0.5 CAMB = MA + MB + AB = AB + AB = (1 + 2) AB = R(1 + 2) Cõu 5: (1 im) 1! + 2! + + x! = n2 x=1 suy n2 = => n = x=2 suy n2 = => n Z ( loi) x=3 suy n2 = => n=3 x=4 suy n2 = 33 => n Z ( loi) Ta chng minh x5 phng trỡnh vụ nghim Tht vy x5 thỡ 1! + 2! + + x! = 33+ 5! + + x! cú ch s tn cựng l m n2 khụng cú tn cựng l Vy phng trỡnh cú nghim nguyờn dng ( x;n) l (1;1) , (3;3) - Ht DUYT CA T NGI RA ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THCS THANH MAI Môn: Toán Câu 1: (6 điểm) a) ĐK: x 0; x 0.5 1.5 Rút gọn A = x + x +1 0.5... vẽ x I F M H E K A O B · Ta có M, E nằm nửa đường tròn đường kính AB nên FMK = 90 0 và · FEK = 90 0 Vậy điểm F, E, K, M cùng nằm đường tròn đường kính FK Ta có ∆HAK cân tại... nhất bằng AB và chỉ MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB Vậy M nằm chính giữa cung AB thi C∆AMB đạt giá trị lớn nhất 0.5 Khi đó 0.5 C∆AMB = MA + MB + AB = AB + AB = (1 + 2) AB