PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN – LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1(6đ): Cho biểu thức: A = 1− ( x x −1 − − ): + x 4x −1 − x 4x + x +1 a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên 2, Tính giá trị biểu thức B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 + 2 + 3 − 2 Bài ( điểm) Câu ( 1,5 điểm) Cho số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y + 2012 +1 =0 3y - 2z - z − 2013 + = 3z - 2x - x − - = 0; Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Câu (1,5 điểm) Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn đồng thời: a + b + c + d = a + b + c + d = 13 Hỏi a nhận giá trị lớn bao nhiêu? Bài 3: (3đ) a) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1 + + = Chứng minh rằng: x y z x + yz + y + zx + z + xy ≥ xyz + x + y + z b)Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + là số chính phương Bài ( điểm) Câu (3 điểm) Từ điểm K đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx đường tròn Giả sử góc KAB α độ ( < α < 90 ) a, Tính KA, KB, KH theo R α b, Tính KH theo R α c, Chứng minh rằng: cos α = – 2sin2 α cos α = cos2 α - Câu (4 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, A điểm cố định đường tròn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (B tiếp điểm) Gọi I trung điểm MA, BI cắt đường tròn K, tia MK cắt đường tròn C Chứng minh rằng: a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM b, BC song song với MA c, Khi điểm M di động Ax trực tâm H tam giác MAB thuộc đường tròn cố định Câu (1,0 điểm): Cho A n = với n∈ ¥ * (2n +1) 2n −1 Chứng minh rằng: A1 + A + A + + A n < ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN LỚP Bài 1a) a/(2đ)Cho biểu thức (2,5đ) x x −1 − − A= 1 1+ x 4x −1 − x ÷ ÷: x + x + ĐK: x ≥ 0; x ≠ ; x ≠ x ÷ x −1 − + : A= 1- x + x + (2 x − 1) x − ÷ x + ( ) ( ) 0,25 0,75 A=1- x − − x + x + (2 x + 1) (2 x + 1)(2 x − 1) x −1 0,75 A=1- x −1 x +1 x +1 = 1− = x −1 x −1 x −1 − x 0,75 1b) Ta có : (1,5đ) b/(2đ) Tìm x ∈ Z để A nguyên ∈ Z ⇒ − x ∈ Ư(2) 1− x Do x ≥ 0; x ≠ 1; x ∈ Z ⇒ x = A∈ Z ⇒ Vậy x=0 A có giá trị nguyên Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), 2.(2đ) Đặt a= 3 + 2 , b= 3 − 2 Ta có ⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b) => x3 = + 3x ⇒ x3- 3x = 6Suy B = 2006 0,75 0,75 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Bài (3điểm) Câu (1.5 điểm) b) 3x - 2y - y + 2012 +1 =0 (1) 3y - 2z - z − 2013 + = (2) 3z - 2x - x − - = (3) Cộng vế với vế của (1), (2), và (3) ta được: x + y + z - y + 2012 - z − 2013 - x − = ⇔ ( x - - x − + 1) + ( y + 2012 - y + 2012 + 1) + ( z - 2013 - z − 2013 + 1) = ⇔ ( x − - ) + ( y + 2012 - 1) + ( z − 2013 - 1) = ⇔ x−2 - = ⇔ x = y + 2012 - = ⇔ y = - 2011 z − 2013 - = ⇔ z = 2014 Vậy P = ( - 4) 2011 + ( - 2011 + 2012) 2012 + ( 2014 - 2013) 2013 ⇒ P = -1 + +1 = 0,50 0,50 0,25 0,25 Câu (1.5 điểm) Từ a +b+c+d = ⇒ b+c+d = – a (b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd mà (b – c )2 ≥ ; (c - d )2 ≥ ;(d - b )2 ≥ ; ⇒ b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + d2 ≥ 2cd; d2 + b2 ≥ 2bd; Từ (b+c+d)2 ≤ 3(b2 + c2 + d2) ⇒ (7 - a)2 ≤ 3(13 – a2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ (a – 1)(a- ) ≤ Tìm ≤ a ≤ 0,25đ 0,25đ a nhận giá trị lớn 0,25đ Bài 3(3điểm) a) Bất đẳng thức cho tương đương với (1.5đ) a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca , 1 với a = , b = , c = , a + b + c = x y z Tacó : a + bc = a ( a + b + c) + bc 0,5 0,5 = a + a (b + c) + bc ≥ a + 2a bc + bc = a + bc Tương tự: b + ca ≥ b + ca ; c + ab ≥ c + ab Từ ta có đpcm Dấu xảy x = y = z = b) 1.5đ A = n + n + là số chính phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) 0,5 0,5 ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 2 2 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔ 2k − n − = 0,5 (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔ 2k − n − = n = 0,25 Vậy với n = thì A là số chính phương 0,25 Bài (7 điểm) Câu (3 điểm) x K H α A O C B a, (1 điểm) Lập luận để có ∠ AKB = 900 (0,25đ); ∠ KAB = ∠ KBH (0,25đ); Xét ∆ AKB vuông H có KA = AB cos α = 2R cos α (0,25đ); KB = AB sin α = 2R sin α (0,25đ); Xét ∆ KHB vuông H có KH = KB sin α (0,25đ) = 2R sin2 α (0,25đ); b, (0.75 điểm) Vẽ KO; KC ⊥ AB xét ∆ KCO vuông C có OC = OK cos2 α (0,25đ); Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ); c, (1,25 điểm) Theo câu a có KH = 2R sin2 α theo câu b có KH = R(1 - cos2 α ) (0,25đ); nên 2R sin2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ) cos2 α = - 2sin2 α (0,25đ); Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông K chứng minh sin2 α + cos2 α = nên sin2 α = - cos2 α (0,25đ); Từ có cos2 α = – 2(1 – cos2 α ) = cos2 α - (0,5đ); Câu (4 điểm) x M I K B A O C a, (2 điểm) Chứng minh ∆ IAK đồng dạng với ∆ IBA (0,5đ) ⇒ IA2 = IK.IB , mà I trung điểm AM nên IM2 = IK.IB (0,5đ) Chứng minh ∆ MIK đồng dạng với ∆ BIM (1đ) b, (1điểm) Từ câu a ⇒ ∠ IMK = ∠ MBI , lại có ∠ MBI = ∠ BCK(0,5đ); ⇒ ∠ IMK = ∠ BCK ⇒ BC // MA(0,5đ); c, (1 điểm) H trực tâm ∆ MAB ⇒ tứ giác AOBH hình thoi (0,5đ); ⇒ AH = AO =R ⇒ H ∈ (A;R) cố định Câu (1điểm) 2n − A = = n (2n + 1) 2n − (2n + 1) ( 2n − 1) 2n − 1 2n − 1 1 − + − ÷= ÷ ÷ 2n − n + 2n − 2n + 2n − 2n + 1 1 − > + < Vì nên An < 2n − 2n + 2n − 2n + 2n − 1 − (∀n ∈ ¥ *) 2n − 2n + 1 1 1 + − + ×××+ − Do đó: A1 + A2 + A3 + + An < − 3 2n − 2n + 1 A1 + A2 + A3 + + An < − ...ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN LỚP Bài 1a) a/(2đ)Cho biểu thức (2,5đ) x x −1 − − A= 1 1+ x 4x −1 − x ÷... ⇔ 2k − n − = n = 0,25 Vậy với n = thi A là số chính phương 0,25 Bài (7 điểm) Câu (3 điểm) x K H α A O C B a, (1 điểm) Lập luận để có ∠ AKB = 90 0 (0,25đ); ∠ KAB = ∠ KBH (0,25đ); Xét... 2R sin2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ) cos2 α = - 2sin2 α (0,25đ); Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông K chứng minh sin2 α + cos2 α = nên sin2 α = - cos2 α (0,25đ); Từ có cos2