Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (12)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Trường THCS Phương Trung ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2015 – 2016 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm)  x −3  x+2 x  :  + − Cho A =  x −   x + x − x +   x −1 a Rút gọn A b Tìm giá trị x A = x − c Tính giá trị A x = 3 + + 125 125 − −3+ 9+ 27 27 Cho n ∈ N * chứng minh A = n + 11n − 2 n − n chia hết cho 14 Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình x − x − 1000 + 8000 x = 1000 Cho x > 0, y > 0, z > x + y + 3z ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+ y+z+ + + x 2y z Câu 3: (4 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y x + x + y + = x + y + xy Cho a, b, c > chứng minh a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b Câu 4: (5 điểm) Cho BC dây cung (o) bán kính R ( ( BC ≠ R) Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm ∆ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt H a, Chứng minh ∆AEF ∆ABC b, Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh AH = A’O c, A1 trung điểm EF Chứng minh RAA1 = AA’ OA’ d, Tìm vị trí điểm A để chu vi ∆DEF có giá trị lớn Câu 5: (1 điểm) Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ dội biết số đấu thủ đội số lẻ Hỏi đội có đấu thủ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung Câu 1: 6đ a, Rút gọn A: Điểm A= x điểm x +1 b, Tìm x / A = x − ⇔ x x +1 = x −1 ⇒ x −1 = x ⇒ x = + điểm c, Tính x = A= =2 điểm A = n + 11n − 2 n − n = n − n + 11n − n = 11n − n − (9 n − n ) = (11 − 4).B − (9 − 2).C = (7.B − 7.C ) : ⇒ A2 A số chẵn ⇒ A14 điểm điểm Câu 2: 1.Giải phương trình 4đ x − x − 1000 + 8000 x = 1000 Đặt + 8000 x + = y ⇒ + 8000 x = y − ⇒ + 8000 x = y − y + y − y = 8000 x ⇒ y − y = 2000 x Ta có x − x = 2000 y y − y = 2000 x ⇒ ( x − y )( x + y − + 2000) = ( x − y )( x + y + 1999) = Từ hệ phương trình suy x + y − ( x + y ) = 2000( x + y ) 2001( x + y ) = x + y 〉 ⇒ x+ y >0 ⇒ x + y + 1999 > ⇒ x− y =0 ⇒x= y Ta x − x = 2000 x ⇒ x( x − 2001) = x=0 (Loại) x = 2001 Vậy phương trình có nghiệm x = 2001 2điểm + + x 2y z  1 3  1 + z+ =  + x  +  y + y   x  2 P = x+ y+z+   x y 3z  + + +  z 4  Áp dụng BĐT cô si điểm 3x + ≥3 x y+ ≥3 2y z+ ≥2 z x y 3z + + = ( x + y + 3z ) ≥ 4 ⇒ P ≥ 13 Min P = 13  Câu x=0 y=3 z=4 1.Tìm nghiệm nguyên y x + x + y + 1+ = x + y + xy điểm ⇔ x + y + xy − y x − x − y = ( x − 1) ( − y + y + x ) = ⇔ x −1 = − 2y2 + y + x = ⇒ ( x; y ) = ( 2;1) ; ( 0;1) x − = −1 − y + x + y = −1 2.Áp dụng BĐT cô si a + ( b + c) ≥ a( b + c ) > 2 ⇒ ≤ ⇒ a+b+c a( b + c ) ⇒ 1điểm a a( b + c ) ≥ 2a a+b+c a 2a ≥ b+c a+b+c b 2b ≥ c+a a+b+c Tương tự c 2c ≥ a+b a+b+c ⇒ a b c + + ≥ 2(1) b+c c+a a+b a a+c − bc − = BHCK hình bình hành BH ⊥ AC BK ⊥ AB => BK // CH CH ⊥ AB Nên BC ∩ HK trung điểm đường Có A’ trung điểm BC  A’ trung điểm HK Vậy điểm H, A’, K thẳng hàng Xét ∆ AHK có O trung điểm AK 0.5 điểm A’ trung điểm HK  OA’ đường trung bình => AH=2OA’ 1điểm 1điểm điểm A, E, H, F ∈ đường tròn đường kính AH => Bán kính AH = OA’ = r ∆ AEF ∆ ABC r AA => = => R.AA1 = AA’ r R AA' R AA1 = AA’ OA’ ∆ AEF ∆ ABC r EF => = => R EF = BC OA’ = SBOC R BC 1điểm Chứng minh tương tự ∆ BDF ∆ BAC OB' DF = => R DF = AC OB’ = 2SOAC R AC ∆ CDE ∆ CAB OC' DE = => R DE = OC’ AB = 2SBOA R AB SABC = SBOC + SAOB + SAOC SABC = REF + R OF + R DE => SABC = R ( EF + DF DE) SABC = R Chu vi ∆ DEF AD BC = R Chu vi DEF Chu vi ∆ DEF có giá trị lớn  AD lớn ( BC, R cố định)  AD lớn  A trung điểm cung lớn AB Câu Gọi x, y số đấu thủ Có xy = ( x+ y)  ( x - 4) (y – ) = 16 = 1.16 = = 4.4 x–4=1 x=5 => y – = 16 => y = 20 x – = 16 x = 20 y–4=1 y=5 1điểm XÁC NHẬN CỦA BGH Tổ chuyên môn Người đề Phạm Thị Kim Hoa Đỗ Thị Xuân Đỗ Thị Xuân ... )( x + y − + 2000) = ( x − y )( x + y + 199 9) = Từ hệ phương trình suy x + y − ( x + y ) = 2000( x + y ) 2001( x + y ) = x + y 〉 ⇒ x+ y >0 ⇒ x + y + 199 9 > ⇒ x− y =0 ⇒x= y Ta x − x = 2000 x ⇒...ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung Câu 1: 6đ a, Rút gọn A: Điểm A= x điểm x +1 b, Tìm x / A = x − ⇔ x x +1... + điểm c, Tính x = A= =2 điểm A = n + 11n − 2 n − n = n − n + 11n − n = 11n − n − (9 n − n ) = (11 − 4).B − (9 − 2).C = (7.B − 7.C ) : ⇒ A2 A số chẵn ⇒ A14 điểm điểm Câu 2: 1.Giải phương trình