[File Word] 15 Đề Thi HSG Toán 8 Cấp Huyện Có Đáp Án

(Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuông).. Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d bất kỳ đi qua G và cắt AB, AC lần lượt tại M, N.. Trên tia HC lấy[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn

Thời gian: 120 phút(không kể thời gian phát đề)

Khóa thi: Ngày 2/05/2019

Bài (6,0 điểm)

a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x32019x22019x2018 b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x2y2 4x 2y 5

c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 Bài (4,0 điểm)

a Chứng minh a2 b2 c2 2abbcca với số thực a, b, c.

b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương x+5 x+7    9  11 + 16.

P x x

Bài 3 (3.0 điểm):

Cho biểu thức: 2 2

1 1 1

3 12 20

P

x x x x x x x x x x

    

        

a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P

Bài (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A AC AB  Vẽ đường cao AH H BC  Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P.

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.

b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK. Bài (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC có Aˆ Bˆ Trên cạnh BC lấy điểm H cho HACˆ ABCˆ Đường

phân giác góc BAHˆ cắt BH E Từ trung điểm M AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F Chứng minh rằng: CF // AE.

Hết

\ĐÁP ÁN

Câu 1: a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x32019x22019x2018

3

A = x 2019x 2019x2018

3

A = x  1 2019(x  x 2019)

2

A = (x - 1)(x  x 1) 2019( x  x 1)  

A = x  x (x 1 2019)

2

A = (x + x + )(x2018)

2 4 2 5 0 ( 4 4) ( 2 1) 0 x y  x y   x  x  y  y 

2

(x 2) (y 1)

    

2 x

  y1

c Chứng minh với số tự nhiên n A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) 59.5n 59 vaø 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59

vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 Câu 2:

a Chứng minh a2 b2 c2 2abbcca với số thực a, b, c. Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:

0a b c   a2 ab ca ; 0  b c a  b2 bc ab

0  c a b  c2 ca bc

Do đó, suy ra: a2b2c2 2(ab bc ca  )

b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương Ta có: Px+5 x+7   x9 x11 + 16.

( 5)( 11)( 7)( 9) + 16

P x x x x

     

2

( 16 55)( 16 63)+ 16

P x x x x

     

2 2

( 16 55) 8( 16 55)+ 16

P x x x x

      

2 2

( 16 55) 2( 16 55).4+

P x x x x

      

2

( 16 59)

P x x

    Vơi x số nguyên P số CP. Bài 4 (3.0 điểm):

Cho biểu thức: 2 2

1 1 1

3 12 20

P

x x x x x x x x x x

    

        

a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P

a) Tìm điều kiện đúng: x0; x1; x2; x3; x4; x5

b) Rút gọn đúng:

1 1 1

( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5)

P

x x x x x x x x x x

    

        

=

1 1 1 1 1

1

x x x x x x x x x x

         

        

         

        

         

 

1

5

x x x x

  

 

Câu 4

1 1

Q I

K

H

A C

B

P

b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK.

Ta có: 2

PB AQ KQ 

(Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền tam giác vng). Lại có: HK HA (Giả thiết) Do đó: QH đường trung trực AK.

5 (2đ)

Ta có: CEA B BAE HAC EAHˆ  ˆ ˆ  ˆ  ˆ CAEˆ

 CAEcân C  CA = CE (1)

0,5đ

Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF K Ta có:

(2)

BE MB MA FA

EH KH KH FH 0,5đ

AE phân giác ABH (3)

BE AB

EH AH

  0,25

đ

CAH CBA đồng dạng

AB CA CE

AH CH CH

  

(theo (1)) (4)

0,25 đ

Từ (2), (3), (4)

FA CE

FH CH

 

hay

AH EH

AE CF

FH CH   (đpcm) 0,5đ PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HL

TRƯỜNG THCS NG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC: 2019 – 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. (3,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x5x4 1 b)  

2

x – 36

c)    

2

2 2

x  x – 5x x – x 1  4x

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: A =    

2

a b c   b c 2ab 2ac

b) Rút gọn:

2

3

x x x 4x 18x

 

  

c) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 2  2      2   x 1  x 2 x x 3   2x 3  16x Câu 3. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình:

a) x35x2  4x 20 0 

b)

2 2x

x

x x x



 



  

2) Một người xe đạp, người xe máy, người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 ngày với vận tốc theo thứ tự 10km/h, 30km/h, 50km/h Hỏi đến tơ vị trí cách xe đạp xe máy?

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G Đường thẳng d qua G cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng:

AB AC

3 AM AN  .

Câu 5. (6,0 điểm) Cho ABC cân A, hai đường cao AI BD cắt H.

a) Chứng minh rằng: AIC ∽ BDC

b) Gọi E giao điểm CH AB Chứng minh: BE.BA CH.CE BC 

c) Gọi T giao điểm DE AH Chứng minh:

1

AT AI AH

Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A (x 2019)  (x 2020) b)  

2

x y

B x, y

y x

  

 

-Hết -(Học sinh không sử dụng máy tính)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

Câu 1 3 điểm

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x5 x41x5  x2x4 2x2 1 x2

   2

2 2

x x  x x 

    

 

 

x2 x x  x 1

    

b)  

2

x –  36

x 16x 100

  

x420x2100 16x

   

2

x 4x 10 x 4x 10

    

1 điểm

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

c)   

2

2 2

x – x – 5x x – x 4x   x2 x 5x    6x 1 

     

2

x x x 5x

    

1 điểm Câu 2

3 điểm a) Rút gọn biểu thức: A =    

2

a b c   b c 2ab 2ac

a

 

b) Rút gọn:

2

3

x x x 4x 18x

 

  

   

   

x x x

x 7x x x 7x

  

 

 

  

c) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 2  2      2  

3 x 1  x 2 x x 3   2x 3  16x   30

1 điểm 1 điểm

1 điểm Câu 3

4 điểm

1) Giải phương trình:

a) x35x2  4x 20 0 

   

2

x x x

    

x x  4

   

x 5; x

  

Vậy pt có tập nghiệm S  5; 2 

b)

2 2x

x

x x x



 



   (ĐK: x1)

 

2 x x x 2x

      

2

x x

   

x

  (tm) x1 (loại) Vậy pt có tập nghiệm S 2

2) Gọi thời gian từ ô tô xuất phát đến cách xe đạp xe máy là: x (giờ; x 0 )

Thì thời gian xe đạp là: x + (giờ) Thời gian xe máy là: x + (giờ) Quãng đường ô tô là: 50x (km);

Xe máy là: 30.(x+1) (km); Xe đạp là: 10.(x+2) (km)

Vì tơ cách xe đạp xe máy nên quãng đường ô tô nhiều xe đạp quãng đường xe máy nhiều tơ Ta có phương trình: 50x 10 x 30 x 2   =     50x



4 x

3

 

(tm) Vậy đến

4

10h h 11h20'

 

ô tô cách xe đạp xe máy

1 điểm

1 điểm

2 điểm

Câu Hướng dẫn chấm Điểm 2 điểm

- Kẻ BE, CF//MN

AB AC AE AF AE AF 2AD

3

AM AN AG AG AG AG



      

điểm

1 điểm Câu 5

6 điểm

a) Chứng minh AIC ∽ BDC(g-g)

b)

- Chứng minh được: BE.BA BH.BD BI.BC 

CH.CE CI.CB  BE.BA CH.CE BC BI IC     BC2

c) Gọi T giao điểm DE AH Chứng minh:

1

AT AI AH

- Chứng minh EH; EA phân giác trong, ETI

đỉnh E

AT HT ET AI HI EI

  

HT HI AT AI

  HT HI

AT AI

   HT 1 HI

AT AI

    

HT AT AI HI

AT AI

 

  

AH AH AT AI

  

1

AT AI AH

  

HV: 0,5 điểm 1 điểm

2,5 điểm

2 điểm Câu 6

2 điểm Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a)    

2

A x 2019 x 2020

2

2

2x 2x 8156761 x 8156760,5 8156760,5

 

         

 

Dấu “=” xảy

1 x

2

 

b)  

2

x y

B x; y

y x

  

 

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

Đặt

 

a x

a;b b y

  

 

  

a 12 b 12 4a 4b a b

B 4.2

b a b a b a

   

         

 

Dấu “=” xảy  a b 1   x y 2 

1 điểm PHÒNG GD & ĐT KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH MŨI NHỌN Đề thi thức Mơn : Tốn lớp 8

Thời gian làm 120 phút Đề thi có câu

Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A =

3

1 1

x x x

x x x x

 

 

   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ - 1 Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình:

a) x2 3x 2 x1 0

b)  

2 2

2

2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

       

Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ x + y = 1.

Chứng minh rằng:

 

3 2

2

1

xy

x y

y x x y



 

   = 0

Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với x  Q giá trị đa thức : M = x2 x4 x6 x816 bình phương số hữu tỉ.

Câu (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (HBC)

Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E. 1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE

theo m AB .

2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM

3. Tia AM cắt BC G Chứng minh:

GB HD

BC AH HC .

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8

Câu Nội dung Điểm

1

a - Rút gọn: A =

2

3

1 1

x x x

x x x x

 

 

    =

     

  

2

2

1 3

1

x x x x x x

x x x

      

  

=   

  

  

2

3 2

2

2

1

2 1

1

1 1

x x x

x x x x x

x x

x x x x x x

  

    

 

 

     

1điểm

1điểm

b Với x ≠ - A =

2

1

x x x x

    =

2

1

2

1

2

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

Vì

2

1 3

0; 0, 0,

2 4

x x x A x

   

           

   

   

1điểm

1điểm 2

a

* Với x (*)  x -   x1  x 1 ta có phương trình

x2 -3x + + x-1 =  x2 2x  1 x12  0 x1( Thoả mãn điều kiện *)

* Với x< (**)  x -   x1 1  x ta có phương trình x2 -3x + + - x =  x2 4x  3 x1 x 3 0 + x - =  x1( Không thỏa mãn điều kiện **)

+ x - =  x3 ( Không thoả mãn điều kiện **)

Vậy nghiệm phương trình : x = 1

1điểm

1điểm

b

* Điều kiện x ≠ (1)

* pt 

 

2

2

2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

 

       

         

       

        



 

2

2

2 2

2 2

1 1

8 x x x x x

x x x x

 

       

          

       

        

    

16 x4  x x8  0 x0hoặc x = -8

So sánh với điều kiện (1) , suy nghiệm phương trình x = -

0.5điể m

1điểm

0.5điể m 3

 y-1 x-1  0

    

3

3 2

3

1

1

1

1 1

1

x

y y y

y

x x x x y x x

x x x



 

  



         

  

3 2

1

1 1

x y

y x y y x x

 

   

     

   

   

     

 

2

2

2

2 2

2 3 2

2

1

1

2

4

0

3 1

x y xy x y

x x y y

x x y y x y x y xy xy x y xy x y

xy

xy x y

x y y x x y

             

 

   

 

              

 

 

 

    

   

1điểm

1điểm

1điểm

4

Ta có: M = x210x16 x210x2416

Đặt a = x2 - 10x + 16 suy M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 M = x2 - 10x + 20 )2 ( đpcm)

1điểm 1điểm 1điểm 5

a + Hai tam giác ADC BEC có:

Góc C chung CD CA

CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BECADC 1350(vì tam giác AHD vng cân H theo giả

thiết).

Nên AEB450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra:

2

BEAB m

1.5điể m

1điểm

b

Ta có:

1

2

BM BE AD

BC  BC  AC (do BECADC)

mà ADAH 2 (tam giác AHD vuông vân H)

nên

1

2 2

BM AD AH BH BH

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC1350  AHM 450

1.5điể m

1điểm

c

Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC. Suy ra:

GB AB

GC AC , mà    // 

AB ED AH HD

ABC DEC ED AH

AC DC   HC HC

Do đó:

GB HD GB HD GB HD

GC HC  GB GC HD HC  BC AH HC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP 8

THỜI GIAN LÀM BÀI:150 phút

(không kể thời gian phát đề)

ĐỀ BÀI Bài (4 điểm)

Cho biểu thức A =

3

2

1 1 :

1 1

x x x

x x

x x

 

  

  

 

  

với x khác -1 1. a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tính giá trị biểu thức A x

 

. c, Tìm giá trị x để A < 0.

Bài (3 điểm)

Cho a b b c c a  a2 b2 c2  ab ac bc

2

.

4 .

Chứng minh a b c. Bài (3 điểm)

Giải toán cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số đó.

Bài (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4  2a3 3a2  4a 5. Bài (3 điểm)

Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo

thứ tự trung điểm BD, BC, CD.

a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh.

b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI. Bài (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N.

a, Chứng minh OM = ON.

b, Chứng minh AB CD MN

2 1

 

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

Bài 1( 4 điểm ) a, ( điểm )

Với x khác -1 :

A= (1 )(1 ) (1 )

) )( ( : 1 2 x x x x x x x x x x x            0,5đ

= (1 )(1 )

) )( ( : ) )( ( 2 x x x x x x x x x x           0,5đ

= (1 )

1 : ) ( x x   0,5đ

= (1x2)(1 x)

KL

0,5đ

b, (1 điểm)

Tại x =



=



A = 

               ) ( ) (

1 0,25đ

= 3)

5 )( 25

(   0,25đ

27 10 27 272 34    KL 0,5đ c, (1điểm)

Với x khác -1 A<0 (1x2)(1 x)0 (1) 0,25đ

Vì 1



x với x nên (1) xảy 1 x0 x1 KL

0,5đ 0,25đ

Bài (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để được

bc ac ab c b a ac a c bc c b ab b

a2 2 2 2 2 4 4 4

              0,5đ

Biến đổi để có (a2 b2  2ac)(b2 c2  2bc)(a2 c2  2ac)0 0,5đ

Biến đổi để có (a b)2 (b c)2 (a c)2 0 (*) 0,5đ

Vì (a b)2 0;(b c)2 0;(a c)2 0; với a, b, c

nên (*) xảy (a b)2 0;(b c)2 0 (a c)2 0;

0,5đ 0,5đ

Từ suy a = b = c 0,5đ

Bài (3 điểm)

Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số

cần tìm x11

x

(x số nguyên khác -11)

0,5đ

Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số 15

  x

x (x khác -15)

Theo ta có phương trình x11

x

=

15

  x

x 0,5đ

Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) 1đ

Từ tìm phân số



KL

0,5đ

Bài (2 điểm)

Biến đổi để có A=a2(a2 2) 2a(a2 2)(a2 2)3 0,5đ

=(a2 2)(a2  2a1)3(a2 2)(a1)2 3 0,5đ

Vì 2

 

a a (a 1)2 0a nên (a2 2)(a 1)2 0a đó a

a

a 2)(  1) 33

( 2

0,5đ

Dấu = xảy a 10  a1 0,25đ

KL 0,25đ

Bài (3 điểm)

a,(1 điểm)

Chứng minh tứ giác AMNI hình thang 0,5đ

Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ

b,(2điểm)

Tính AD = cm

; BD = 2AD = cm

AM = 2BD

cm

3

0,5đ

Tính NI = AM = cm

4 0,5đ

DC = BC = cm

, MN = 2DC 

cm

3

4 0,5đ

Tính AI = cm

8 0,5đ

N

I M

D C

Bài (5 điểm)

a, (1,5 điểm)

Lập luận để có BD OD AB

OM 

, AC OC AB ON

 0,5đ

Lập luận để có AC OC DB OD

 0,5đ

 AB

ON AB OM



 OM = ON

0,5đ

b, (1,5 điểm)

Xét ABDđể có AD DM AB

OM 

(1), xét ADCđể có AD

AM DC

OM 

(2)

Từ (1) (2)  OM.(AB CD

1



)  1

 

AD AD AD

DM AM

0,5đ

Chứng minh tương tự ON. )

1

(  

CD AB

0,5đ

từ có (OM + ON). )

1

(  

CD

AB  AB CD MN

2 1



 0,5đ

b, (2 điểm)

OD OB S

S AOD AOB 

, OD

OB S

S DOC BOC 





AOD AOB S S

DOC BOC S S

 SAOB.SDOC SBOC.SAOD

0,5đ

Chứng minh SAOD SBOC 0,5đ

 SAOB.SDOC (SAOD)2

Thay số để có 20082.20092 = (S

AOD)2  SAOD = 2008.2009

0,5đ

Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị

DT) 0,5đ

TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x2 + 6x + 5 2) (x2 – 8)2 + 36 3)

(x2– x + 1)2– 5x(x2– x + 1) + 4x2

Câu 2. (3,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: A =    

2

2

a b c   b c  ab ac

O N

M

D C

B A

2) Rút gọn :

3

6

4 18

x x

x x x

 

  

3) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 2  2      2  

3 x1  x1 2 x x3  2x3  20 x Câu 3. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: a) x35x2 4x 20 0 b)

971 973 975 977 972 970 968 966

972 970 968 966 971 973 975 977

x x x x x x x x

      

c)

2

1 1

x

x x x x



 

   

2) Hai người làm chung cơng việc ngày xong Nhưng làm ngày , người làm công việc khác , người thứ hai làm tiếp ngày xong Hỏi người làm xong cơng việc ?

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G Đường thẳng d qua G cắt AB,AC M, N Chứng minh rằng:

AB AC AM AN  .

Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F hình chiếu B, D lên AC; H, K hình chiếu C AB AD

a) Tứ giác DFBE hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh: CHK ∽ BCA

c) Chứng minh: AC2 = AB AH + AD.AK Câu 6. (2,0 điểm)

1) Chứng minh n5 – 5n3 + 4n

 120 với  n N

2) Cho biÓu thøc A =

2

2

x

x x



  Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 3) Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: P(x 2012)2 (x2013)2

-Hết -(Học sinh không sử dụng máy tính)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1

4 điểm a)

2

2x 5x 2 x 6x x 

       

2x x x x 2x

      

b) x42009x22008x2009x4x2 1 2008x22008x2008

2 2

2 2

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 2008) ( 1)( 2009)

x x x x x x

x x x x x x x x

       

          

c) x2 x4 x6 x816x2 x8 x4 x616

x2 10x 16 x2 10x 24 16

     

Đặt

2 10 20

x  x t

t 4 t 4 16 t2 16 16 t2

       

x2 10x 202

  

0,5

0,5 0,5

Câu 2

3 điểm 1)        

2

2

x y z   z y  x y z  y z

          2 2

x y z x y z y z y z

x y z y z x                2)

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

                                          2

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

5 5 5 x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x                                                           0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu 3 4 điểm 1)

a) 3x2 x 6 0

                  2

3

3 2

3 2

2

2 3

x x

x x

x x x

x x x x                              

3

2

3 x x x x                  

Vậy tập nghiệm phương trình

3 2;

3

S   

 

 

0,25 0,25

b)

2

1 1

x

x x x x



 

   

ĐKXĐ:

1

x

 

   

 

2 2

2 1

2

2

1

1( ) 2( )

x x x x

x x x

x x

x x

x l

x n

S

     

   

   

   

    

 

2) Gọi số phải tìm x (x > 0)

Vì phần ngun x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x

Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có giá trị

20 10

x



Số nhận

9

10 số ban đầu nên ta có phương trình

20

10 10

2,5( )

x x

x n

  

Vậy số phải tìm 2,5

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Câu 4

2 điểm 1)

Do ADC B BAD    B ADC

Lấy E AC cho ADE B Khi AE < AC

ADE

 ABDđồng dạng (g-g)

2

AD AE

AD AB AE AB AC

AB AD

    

2)

0,25 0,25 0,25 0,25

A

B D C

A

B C

A'

B' C'

H H'

Gọi k tỉ số đồng dạng ABC A B C' ' ' Ta có ' ' ' '

AB BC

k

A B B C  (1)

Xét ABH A B H' ' ' có:   ' 900

H H  (GT)   '( )

B B GT

Suy ABH A B H' ' '(g-g)

' ' ' '

AB AH

k

A B A H

  

(2)

2 ' ' '

1

2 .

1

' ' ' '

2

ABC A B C

AH BC S

k k k

S  A H B C  

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 5

5 điểm

O F

E

K H

C

A

D B

a) Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEODFO g c g(   )

=> BE = DF

Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b) Ta có: ABCADC HBC KDC

Chứng minh : CBH CDK g g(  )

CH CK

CH CD CK CB

CB CD

   

c) Chứng minh : AFDAKC g g(  )

AF

A

AK

AD AK F AC

AD AC

   

Chứng minh : CFDAHC g g(  )

CF AH

CD AC

 

Mà : CD = AB

CF AH

AB AH CF AC

AB AC

   

Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

0,5 0,5 0,5

Câu 6 2 điểm

1)

Ta có

 

2 2

2 2

2 2

13 13 2.13

13 13 2.13

13 13 13 13 13

a k a k k

b l b l l

a b k k l l

     

     

      

2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

      

1 4

A x x  x  x  x x x  x Đặt x2 + x – = t

 2  2 4 4

A t t t  

Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =

   

2 2 0

1

1

x x

x x

x x

   

   

    



0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

HS làm cách khác, sử dụng phù hợp kiến thức chương trình chấm điểm tối đa. TRƯỜNG THCS PHAN BỘI

CHÂU

Đề Thi Thử 2

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2) 2x25x

3) x4 2009x22008x2009 4) x2 x4 x6 x816

Câu 2. (3,0 điểm)

4) Rút gọn biểu thức:

5) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

2

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x



 

   

          

 

Câu 3. (4,0 điểm)

3) Giải phương trình: d) 3x2  x 6 0.

e)

2

1 1

x

x x x x



 

   

4) Một số thập phân có phần nguyên số có chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên trái số đó, sau chuyển dấu phẩy sang trái chữ số số

9

10 số ban đầu Tìm số

thập phân ban đầu

Câu 4. (2,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Chứng minh rằng: AD2  AB AC

2) Chứng minh tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng

Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD

a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ?

b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2. Câu 6. (2,0 điểm)

4) Cho a b,   Chứng minh a chia 13 dư b chia 13 dư a2 b2

 chia hết cho 13

5) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 1 4 

A x x  x  x

-Hết -(Học sinh khơng sử dụng máy tính)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1

4 điểm

d) 2x25x 2 x26x x 

       

2x x x x 2x

      

e) x42009x22008x2009x4x2 1 2008x22008x2008

2 2

2 2

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 2008) ( 1)( 2009)

x x x x x x

x x x x x x x x

       

          

f) x2 x4 x6 x816x2 x8 x4 x616 x2 10x 16 x2 10x 24 16

     

Đặt

2 10 20

x  x t

t 4 t 4 16 t2 16 16 t2

       

x2 10x 202

   0,5 0,5 Câu 2 3 điểm

3)        

2

2

x y z   z y  x y z  y z

          2 2

x y z x y z y z y z

x y z y z x                4)

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

                                          2

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

5 5 5 x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x                                                           0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu 3 4 điểm 3)

c) 3x2 x 6 0

                  2

3

3 2

3 2

2

2 3

x x

x x

x x x

x x x x                              

3

2

3 x x x x                  

Vậy tập nghiệm phương trình

3 2;

3

S   

 

 

d)

2

1 1

x

x x x x

ĐKXĐ:

1

x

 

   

 

2 2

2 1

2

2

1

1( ) 2( )

x x x x

x x x

x x

x x

x l

x n

S

     

   

   

   

    

 

4) Gọi số phải tìm x (x > 0)

Vì phần ngun x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có

giá trị

20 10

x



Số nhận

9

10 số ban đầu nên ta có phương trình

20

10 10

2,5( )

x x

x n

  

Vậy số phải tìm 2,5

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Câu 4 2 điểm

3)

Do ADC B BAD    B ADC

Lấy E AC cho ADE B Khi AE < AC ADE

 ABDđồng dạng (g-g)

2 . .

AD AE

AD AB AE AB AC

AB AD

    

4)

0,25 0,25 0,25 0,25

A

B D C

A

B C

A'

B' C'

H H'

Gọi k tỉ số đồng dạng ABC A B C' ' ' Ta có ' ' ' '

AB BC

k

A B B C  (1)

Xét ABH A B H' ' ' có:   ' 900

H H  (GT)   '( )

B B GT

Suy ABH A B H' ' '(g-g)

' ' ' '

AB AH

k

A B A H

  

(2)

2 ' ' '

1

2 .

1

' ' ' '

ABC A B C

AH BC S

k k k

S  A H B C  

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 5 5 điểm

O F

E

K H

C

A

D B

d) Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF

Chứng minh : BEODFO g c g(   ) => BE = DF

Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành

e) Ta có: ABCADC HBC KDC

Chứng minh : CBH CDK g g(  )

CH CK

CH CD CK CB

CB CD

   

f) Chứng minh : AFDAKC g g(  )

AF

A

AK

AD AK F AC

AD AC

   

Chứng minh : CFDAHC g g(  )

CF AH

CD AC

 

Mà : CD = AB

CF AH

AB AH CF AC

AB AC

   

Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

0,5 0,5 0,5

Câu 6

2 điểm

3)

Ta có

 

2 2

2 2

2 2

13 13 2.13

13 13 2.13

13 13 13 13 13

a k a k k

b l b l l

a b k k l l

     

     

      

4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 1 4    4

A x x  x  x  x x x  x

Đặt x2 + x – = t

 2  2 4 4

A t t t  

Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =

   

2 2 0

1

1

x x

x x

x x

   

   

    



0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

HS làm cách khác, sử dụng phù hợp kiến thức chương trình chấm điểm tối đa.

TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009

6) 81x4 + 4 3)

(x2+ 3x + 2)(x2+ 11x + 30) – 5

Câu 2. (3,0 điểm) Cho phân thức:

2

3 2

3 1

1 1 5

x x x

P

x x x x x x

    

   

     

 

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P

Câu 3. (4,0 điểm)

5) Giải phương trình:

f)

1 968

99 97 95 98 96 975 94

x x x x x x x

     

g)

1 x2−5x+6+

2

x2−8x+15+

3

x2−13x+40=−

6) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60km thời gian định Nữa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định 6km/h Tính thời gian ô tô quãng đường AB biết người đến B

Câu 4. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, đương thẳng a qua A cắt BD, BC, DC E, K, G Chứng minh rằng:

a) AE2 = EK.EG b)

1 1

AE AK AG

c) Khi a thay đổi qua A BK.DG khơng đổi

Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB c¾t AI ë G

a) Chøng minh tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AF2 = FK FC.

c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Cõu 6. (2,0 điểm)

6) Chứng minh rằng: A=n3(n2−7)2−36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n.

7) Tìm x ngun để biểu thức y có giá trị nguyên Với

y=4x+3 x2+1

8) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x2+y2−xy−x+y+1 -Hết -(Học sinh không sử dụng máy tính)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1

4 điểm g)

2

2x 5x 2 x 6x x 

       

2x x x x 2x

      

h) x42009x22008x2009x4x2 1 2008x22008x2008

2 2

2 2

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 2008) ( 1)( 2009)

x x x x x x

x x x x x x x x

       

          

i) x2 x4 x6 x816x2 x8 x4 x616

x2 10x 16 x2 10x 24 16

     

Đặt

2 10 20

x  x t

t 4 t 4 16 t2 16 16 t2

       

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

x2 10x 202

  

Câu 2

3 điểm 5)        

2

2

x y z   z y  x y z  y z

          2 2

x y z x y z y z y z

x y z y z x                6)

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

                                          2

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

5 5 5 x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x                                                             0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu 3

4 điểm 5) e) 3x2 x 6 2 0

                      2

3

3 2

3 2

2

2 3

x x

x x

x x x

x x x x                              

3

2

3 x x x x                  

Vậy tập nghiệm phương trình

3 2;

3

S   

 

 

f)

2

1 1

x

x x x x

 

   

 

2 2

2 1

2

2

1

1( ) 2( )

x x x x

x x x

x x

x x

x l

x n

S

     

   

   

   

    

 

6) Gọi số phải tìm x (x > 0)

Vì phần nguyên x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x

Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có giá trị

20 10

x



Số nhận

9

10 số ban đầu nên ta có phương trình

20

10 10

2,5( )

x x

x n

  

Vậy số phải tìm 2,5

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Câu 4

2 điểm 5)

Do ADC B BAD    B ADC 

Lấy E AC cho ADE B Khi AE < AC

ADE

 ABDđồng dạng (g-g)

2

AD AE

AD AB AE AB AC

AB AD

    

6)

A

B C

A'

B' C'

H H'

0,25 0,25 0,25 0,25

A

B D C

Gọi k tỉ số đồng dạng ABC A B C' ' ' Ta có ' ' ' '

AB BC

k

A B B C  (1)

Xét ABH A B H' ' ' có:   ' 900

H H  (GT)   '( )

B B GT

Suy ABH A B H' ' '(g-g)

' ' ' '

AB AH

k

A B A H

  

(2)

2 ' ' '

1

2 .

1

' ' ' '

2

ABC A B C

AH BC S

k k k

S  A H B C  

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 5

5 điểm

O F

E

K H

C

A

D B

g) Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEODFO g c g(   )

=> BE = DF

Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành h) Ta có: ABCADC HBC KDC

Chứng minh : CBH CDK g g(  )

CH CK

CH CD CK CB

CB CD

   

i) Chứng minh : AFDAKC g g(  )

AF

A

AK

AD AK F AC

AD AC

   

Chứng minh : CFDAHC g g(  )

CF AH

CD AC

 

Mà : CD = AB

CF AH

AB AH CF AC

AB AC

   

Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

2 điểm Ta có

 

2 2

2 2

2 2

13 13 2.13

13 13 2.13

13 13 13 13 13

a k a k k

b l b l l

a b k k l l

     

     

      

6) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 1 4    4

A x x  x  x  x x x  x Đặt x2 + x – = t

 2  2 4 4

A t t  t 

Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =

   

2

2

1

1

x x

x x

x x

   

   

    



0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

HS làm cách khác, sử dụng phù hợp kiến thức chương trình chấm điểm tối đa.

UBND HUYỆN KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MƠN VĂN HĨA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 PHÒNG GD&ĐT

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI MƠN: Tốn

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI Câu 1: (4.0 điểm)

Cho biểu thức M =

4 2

6 4

2

1

x x x

x x x x x

  

 

    

1 Rút gọn M 2 Tìm x để M ≥

3 Tìm giá trị lớn biểu thức M. Câu 2: (4.0 điểm)

1 Cho số nguyên tố p > số nguyên dương a, b cho: p2 + a2 = b2 Chứng

minh a chia hết cho 12

2 Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn:

1 2

1

1

x y

x y

 

 

 

Chứng minh M =x +y -xy2 là bình phương số hữu tỷ. Câu 3: (4.0 điểm)

1 Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y) 40x1 2 Giải phương trình: 3x 2 x1 2 3x8 16.

Câu 4: (6.0 điểm)

Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M (0<MB<MA) cạnh BC lấy N cho MON=90 0 Gọi E giao điểm AN với

DC, gọi K giao điểm ON với BE 1 Chứng minh ΔMON vuông cân

2 Chứng minh: MN // BE CKBE

3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh:

KC KN CN+ + =1 KB KH BH Câu 5: (2.0 điểm)

Cho hai số không âm avà b thoả mãn a +b2 a+b Tìm giá trị lớn biểu thức:

2020

2019

1 1

a b

S

a b

 

   

 

 

-Hết -(Cán coi thi không giải thích thêm)

Họ tên thí sinh: ;, Số báo danh:

UBND HUYỆN KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MƠN VĂN HĨA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 PHỊNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: Tốn

Câu Nội Dung Điểm

Câu 1

Cho biểu thức M =

4 2

6 4

2

1

x x x

x x x x x

  

 

    

Rút gọn M 2 Tìm x để M ≥ 1

3 Tìm giá trị lớn biểu thức M.

4.0 đ

1 M =      

4 2

4

2 2

2

1

( 1) 1

x x x

x x

x x x x x

  

 

 

    

=  

4

4 2

2

2 1

1

( 1)

x x

x x x

x x x

 

 

  

  

=

     

   

4 2 4 4 4 2

2 2

2 1 2 1 1

( 1) ( 1)

x x x x x x x x x

x x x x x x

            



     

0.5

0.5 ĐỀ CHÍNH

=    

4 2 2

4

2 2

( 1)

1

( 1) ( 1)

x x x x x

x x

x x x x x x

            Vậy M=

4 1

x

x  x  với x

0.5

0.5

2 Để M ≥

2

4

2

1

1

x x x

x x x



 

   

 

2

2 1 0

x

  

Do  

2

2 1 0,

x   x Suy ra: x2 -1 =

Vậy x = ± 1

0.25 0.25 0.25 0.25

3 Ta có M=

2

4 1

x

x  x  với x

- Nếu x=0 ta có M=0

- Nếu x0, chia tử mẫu M cho x2 ta có M=

2 1 x x   Ta có 2 2

1 1

1 1

x x x x

x x x x

   

          

    với x0 Nên

ta có 2 1 1 M x x    

với x0, dấu “=” xảy x x    x = ±1

Vậy Mmax = x = ±1

0.25

0.25

0.25 0.25

Câu 2 Cho số nguyên tố p > số nguyên dương a, b cho: p 2 + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12

Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn:

1 2

1 1 x y x y      

Chứng minh M =x +y -xy2 bình phương số hữu tỷ

4.0 đ

1 Ta có: p2 + a2 = b2  p2 = (b + a)(b - a)

Mà ước p2 1; p p2

Do b + a > b – a với a, b nguyên dương p nguyên tố lớn 3 Nên không xảy trường hợp b + a = b – a = p

Do

2

2

2 (p 1)(p 1)

1

b a p

a p b a              (1)

Mà p nguyên tố p > 3, suy p lẻ nên p + p – hai số chẵn (2)

Từ (1) (2) suy (p + 1)(p -1) chia hết cho 8 Suy 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho (3)

Lại có p nguyên tố p > Nên p không chia hết cho p2 số

chính phương lẻ Do p2 chia dư 1

Suy a chia hết cho ( (2, 3) = 1) (4)

Tư (3) (4) suy a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm) 0.25

2 Ta có            

1 2

1 1 1

1

x y

x y y x x y

x y

 

          

 

 1 y 2x2xy 1 x 2y2xy 1 x y xy 

3

2

xy

x y 

  

Khi đó: M=  

2

2

2 3 3

2

xy xy

x y  xy x y  xy    xy   

   

Vì x, yQ nên

3

2

xy

số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ

0.5

0.5 0.5

0.5

Câu 3

Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y) 40x1 Giải phương trình:      

2

3x x1 3x8 16 4.0 đ

1 Ta có: (x y) 40x1(1)

Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + < 40x + 40y Suy 41 (x y)  40x40y

Nên 16 < (x + y)4 (x + y)3 < 40 Suy < x + y < 4

Mà x, y nguyên dương; nên x + y = (2)

Thay (2) vào (1) ta có: 40x + = 34  x = 2, thay vào (2) tìm y =

1

Vậy (x; y) = (2; 1)

0.5

0.5 0.5 0.5

2 -Ta có 3x 2 x1 2 3x8 16 3x 3  x3 2 3x8144 Đặt 3x  3 t 3x 2 t 5;3x  8 t 5 Ta có PT t 5 t t2 5144

   

2

4 2

2

9

25 144 16

4 16

t t

t t t t

t t

   

           

 

 



-Xét trường hợp t ta tìm x=0 ; x=2; x= 3 ; x=

7



-KL

0.5

0.5

0.5 0.5

Câu 4 Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O.

Trên cạnh AB lấy M ( < MB < MA) cạnh BC lấy N cho



MON=90 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm

của ON với BE

Chứng minh ΔMON vuông cân

Chứng minh: MN // BE CKBE

Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh:

KC KN CN

+ + =1

Hình vẽ:

H

E O

N M

K

D C

B A

6.0 đ

1 -Ta có BOC 900  CON BON  900;

vì MON 900  BOM BON 900 BOM CON -Ta có BD phân giác góc ABC

   450

2

ABC MBO CBO  

Tương tự ta có

   450

2

BCD NCO DCO  

Vậy ta có MBO NCO 

-Xét OBM OCN có OB=OC ; BOM CON ;MBO NCO  

OBM OCN OM ON

   

*Xét MON có MON 90 ;0 OM ON  MON vuông cân O

0.5

0.5

0.5

0.5 2 + OBM OCN MB NC ; mà AB=BC

AM BN

AB MB BC NC AM BN

MB NC

       

Ta có AB//CD / /

AN BN

AB CE

NE NC

  

/ /

AM AN

MN BE

MB NE

  

( theo định ký Ta- lét đảo )

0.25 0.25 0.25

0.25 + Vì MN//BE  BKN MNO 450 ( góc đồng vị có tam giác MON

vuông cân)

BNK ONC

   ( có BNK ONC BKN OCN  ;  450)

NB NO

NK NC

 

Xét BNO KNC; có BNO CNK  ;

NB NO

NK NC  BNOKNC 

  450

NKCNBO

Vậy ta có BKCBKN CKN  450450 900  CKBE

0.25

0.25

0.25

0.25 3 -Vì KH//OM mà ON OM  OK KH  NKH 900,

 450  450    450

Xét BKC có BKN NKC KN phân giác củaBKC, mà

KH KN  KH phân giác BKC

KC HC

KB HB

 

Chứng minh tương tự ta có

KN BN

KH BH

 

-Vậy ta có

KC KN NC HC BN CN BH

KB KH BH HBBH BH  BH 

0.5

0.5 0.5

Câu 5

Cho hai số không âm avà b thoả mãn a +b2 a+b Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:

2020

2019

1 1

a b

S

a b

 

   

 

 

2.0 đ

+ Ta có a2 1 ;a b2 1 2b a2b2 2 2a2b a b 2 (do a2 b2 a b

  

+ Chứng minh với hai số dương x y,

1

x yx y

+ Do

2020 2020

1

2019 2019 2020

1 1

S

a b a b

    

          

    

   

 

+ Kết luận: GTLN S 2020, đạt a b 1.

0.5

0.5

0.5

0.5

Điểm toàn bài 20 đ

Lưu ý chấm bài:

- Điểm tồn làm trịn đến 0,25 điểm

- Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIAO THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017Mơn: TỐN - Lớp 8

(Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài (5,0 điểm)

Cho biểu thức:

3

2

4

2

x x x

A

x x

  



 

a Rút gọn A

b Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên

Bài 2(3,0 điểm)

a Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với n chẵn.

b Tìm giá trị lớn biểu thức B =

1

x x

 

với x số nguyên

Bài 3(3,0 điểm)

Giải phương trình:

2

1

1

x x

x x



 

 .

Bài 4(3,0 điểm)

Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a 5x2 + y2 = 17 + 2xy.

b x2  x1 (  y2)2

Bài 5(6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M BD cho MB  MD Đường thẳng qua M

song song với AB cắt AD BC E F Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB CD K H

a Chứng minh: KF // EH

b Chứng minh: đường thẳng EK, HF, BD đồng quy c Chứng minh: SMKAE = SMHCF

………… Hết …………

Họ tên thí sinh:………

Số báo danh: ………

Họ, tên chữ ký GT1: ………

Họ, tên chữ ký GT2: ………

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

GIAO THỦY ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017Mơn: TỐN - Lớp 8

(Thời gian làm 120 phút)

Bài 1

(5,0điểm) Hướng dẫn giải Điểm

a) (3,0điểm)

Rút gọn A

- Phân tích 4x3 - 8x2 + 3x - = (x - 2)(4x2 + 3) 1,0

- Phân tích 2x2 - 3x - = (x - 2)(2x + 1) 1,0

- Rút gọn kết

2

4

2

x A

x

 

 1,0

b) (2,0điểm)

Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên

- Tìm ĐKXĐ:

1

;

2

x x

2

4

2

2

x

A x

x x



   

  1,0

-Lập luận để A có giá trị nguyên x Z 2x + ước lẻ 4  0,5

- Tìm x = 0; -1 0,25

Bài 2 (3,0điểm)

a) (1,5 điểm)

Vì n chẵn nên n = 2k (k  Z)

Do n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k

= 8k3 + 4024k 0,5

= 8k3 - 8k + 4032k 0,5

= 8k(k2 - 1) + 4032k

= 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k 0,25 lập luận suy điều phải chứng minh 0,25 b)

(1,5 điểm)

Nhận xét : B =

1

x x



 với x2 mà x

> với x2 nên: Nếu x + <  x < -1 B < 0

Nếu x + =  x = -1 B = 0 Nếu x + >  x > -1 B > 0

Suy B đạt giá trị lớn x > -1

0,5

Do x số nguyên, x2, x > -1 Nên ta xét trường hợp sau x = B =

1 2 (1)

x = B = (2) x > B =

1

x x

 

0,5

Với x > ta có B =

1

x x

  =

3

2

x 

 B lớn

3

x lớn mà > x >  x - > 0 nên:

3

x lớn x - nhỏ x - nguyên  x - =  x =  B = (3)

0,25

Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn x = 0,25

Bài 3 (3,0 điểm)

ĐKXĐ: x  0,25

Đặt

2 1

x y

x  

(y 0)

1

x

x y

 

 Khi ta có phương trình

1

2

y y

 

(2)

0,5

Giải (2) tìm y = (tmđk);

1

y

(tmđk)

Với y =

2 1

2

x x



 

Tìm x = (tmđk) 0,75

Với

1

y

2 1 1

2

x x



 

Lập luận chứng tỏ phương trình vơ nghiệm 0,75 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x = 0,25

Bài 4 (3,0 điểm)

a) (1,5 điểm)

2 2 2 17 17

5 17 ( ) 17

4

x y   xy x y  x   x   x  0,5

Do x nguyên nên x20;1;4 0,25

+ x2 = 0

(x - y)2 = 17 (loại)

+ x2 = 1

(x - y)2 = 13 (loại)

+ x2 = 4

(x - y)2 =

0,25 Với x = (2 - y)2 = tìm y = ; y = 3

Với x = - (- - y)2 = tìm y = -1 ; y = -3 0,25

Vậy cặp số nguyên (x; y) (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3) 0,25 b)

(1,5 điểm) Chứng tỏ x2  x1 3 với x

Dấu xảy  -2  x  0,25

Chứng tỏ

2

3 ( y2) 3với y 0,25

Do

2

2 ( 2)

x  x   y 

3 ( y2) 3 tìm y = - 2

2

x  x  khi -2

 x  mà x  Z  x = -2; -1; 0;

0,75

Vậy cặp số nguyên (x; y) là: (-2; -2); (-1; -2); (0; -2); (1; -2) 0,25

Bài 5 (6,0 điểm)

Hình vẽ

a,

(2,0 điểm) Chứng minh: KF // EH Chứng minh được:

BK MF

AK ME

Chứng minh được:

MF BF BF

ME DE FC (hệ định lý Ta - lét) 0,5 Suy

BK BF

AK FC  KF // AC (Định lý Ta - lét đảo) 0,25

Chứng minh tương tự ta có EH // AC 0,5

Kết luận KF // EH 0,25

b,

(2,0điểm) Chứng minh: đường thẳng EK, HF, BD đồng quy

Gọi giao điểm BD với KF HE O Q N giao điểm AC BD

Chứng minh

1

OK QE

OF QH 

0,75

Gọi giao điểm đường thẳng EK HF P, giao điểm đường thẳng EK DB P’

Chứng minh P P’ trùng

1,0 Kết luận đường thẳng EK, HF, BD đồng quy 0,25 c,

(2,0 điểm) Chứng minh: SMKAE = SMHCF

Kẻ EG FI vng góc với HK, I G thuộc HK

Chỉ : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI 0,5 Chứng minh được:

MK KB

MH HD 0,25

Suy

MK MF

MH ME 0,25

Chứng minh được:

MF FI

ME EG 0,25

Suy

MK FI

MH EG , suy MK.EG = MH.FI 0,5

Suy điều phải chứng minh 0,25

Chú ý:

- Học sinh có cách giải khác cho điểm tương đương.

- Nếu hình phần (a) sai chấm điểm phần (b,…).

UBND HUYỆN CẨM GIÀNG PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019- 2020

MƠN: TỐN LỚP 8 Thời gian: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu1 (2,0 điểm)

 x x    x    x      120 b) Rút gọn biểu thức:

2

x 10 x

A : x

x x x x

  

 

       

   

    tìm x cho

 A A

Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau:

a)

x x+1 x+2 x+3

+ + + =x +2016

2020 2019 2018 2017

b)      

2

3x x 6x 6    Câu (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 =

b) Chứng minh với số nguyên x, y

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương.

Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt H.

a) Chứng minh:

AE AB

AF AC ; AEF CED 

b) Gọi M điểm đối xứng H qua D Giao điểm EF với AM N Chứng minh: HN.AD=AN.DM.

c) Gọi I K hình chiếu M AB AC.Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng.

Câu (1,0 điểm)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn

biểu thức: P =  1  1  1

a b c

bc a ca b ab c

-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2019 - 2020

MƠN: TỐN 8

Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

Câu Nội dung Điểm

1 (2 điểm)

a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120 0,25

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120

= (x2 + 7x + 11)2 - 112

= (x2 + 7x)( x2 + 7x + 22)

0,25

= x(x + 7)( x2 + 7x + 22) 0,25

b)

2

2

x 2 1 10 x

A : x 2

x 4 2 x x 2 x 2

  

 

       

   

   

       



  

2

x 2(x 2) x 2 (x 2)(x 2) 10 x

A :

(x 2)(x 2) x 2

0,25

      



  

2

x 2x 4 x 2 x 4 10 x

A :

(x 2)(x 2) x 2

  

  

  

6 x 2 1

A

(x 2)(x 2) 6 x 2

0,25

Vậy

1 A

x 2

 

 với x2

0,25



         



1

A A A 0 x x

x

0,25

2 (2 điểm)

a)

x x+1 x+2 x+3

+ + + =x +2016

2020 2019 2018 2017



x x+1 x+2 x+3

+1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4

2020 2019 2018 2017

0,25



x+2020 x+2020 x+2020 x+2020

+ + + =x +2020

2020 2019 2018 2017

1 1 1 1

( 2020)( + + + 1) 0

2020 2019 2018 2017

x

   

0,25



x + 2020 =

1 1 1 1

+ + + 1 0

2020 2019 2018 2017   0,25



x = -2020

Vậy nghiệm phương trình cho là: x=- 2020.

0,25

b) (3x 4)(x 1)(6x 7)   6

 (6x 8)(6x 6)(6x 7)   72 (*) 0,25

Đặt 6x + = t, ta có:

(*)  (t 1)(t 1)t  72 t4  t2  72 0  t

0,25

- Với t = 3, ta có

2 6x 3 x

3 

    0,25

- Với t = -3, ta có

5

6x 7 3 x

3 

   

Vậy nghiệm phương trình cho là:

2 5

x ;x

3 3

 

 

3 (2 điểm)

a) x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0

 (x2 + 2x + 1) - (y2 + 4y + 4) – = 0 0,25

 (x+1)2 - (y + 2)2 = 7

 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 0,25

Vì x, y nguyên dương nên x + y + > x – y – >

 x + y + = x – y – = 1 0,25

 x = ; y = 1

Vậy phương trình có nghiệm dương (x,y) =(3;1) 0,25 b) Ta có B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 0,25

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t ¿ Z) thì

B = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 0,25

= (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z ¿ Z nên x2 ¿ Z, 5xy ¿ Z, 5y2 ¿ Z

⇒ x2 + 5xy + 5y2 ¿ Z

0,25

Vậy B số phương. 0,25

4 (3 điểm)

Vẽ hình phần a :

0,25

a) Xét AEB AFC có : 

EAB chung

 

AEB AFC( 90 ) 

0,25

Do AEB AFC( g.g)

AE AB AF AC

Xét AEF ABC có : BAC chung

AE AF ABAC(vì

AE AB

AF AC) Do AEF ABC (c.g.c)  AEF ABC 

0,25

Chứng minh tương tự ta : CED CBA  Do : AEF CED  0,25

b) Vì BEF AEF BED CED 90       0 nên BEF BED   EB tia phân giác góc DEF

Tam giác NED có EH tia phân giác DEN nên: 

HN EN

HD ED (1)

0,25

Vì EA EH nên EA tia phân giác ngồi đỉnh E DEN.

AN EN

AD ED

 

(2)

0,25

Từ ( 1) (2) suy :

HN AN

HD AD , mà HD=DM ( Do M điểm đối xứng của H qua D)

0,25

Nên

HN AN

HN.AD AN.DM

DM AD  0,25

c)

HN AN AN HN AH AN AH

DM AD AD DM AM AD AM



    

 AMI

 có HF//MI( AB )

AF AH

AI AM

 

(định lí Ta lét),

0,25

Mà

AN AH

AD AM nên

AF AN

AI AD  FN / /ID(định lí Ta lét đảo (3)) 0,25

AMK

 có HE//MK (cùng AC )

AE AH

AK AM

 

(định lí Ta lét),

AIK  có

AF AH AE

IK / /FE

AI AM AK  ( Định lí Ta lét đảo) (4) Từ (3) (4) suy I, K, D thẳng hàng

0,25

5

(1 điểm) Chứng minh

4 1

m n m n với m, n dương

Dấu xảy m = n 0,25

Áp dụng ta có:

 

1

1

a a a a

bc a abc bc ab bc ca bc ab bc ca bc

 

     

        ;

dấu xảy b = c

Tương tự:  

1

1

b b

ca b ab ca bc ca

 

   

     dấu xảy c = a

 

1

1

c c

ab c ab bc ca ab

 

   

     dấu xảy a = b

Suy ra

     

     

     

     

   

1 1

1 1 1

4 4

1 1

1 1 1

4 4

1 1

1 1

1

a b c

bc a ca b ab c

a b c

ab bc ca bc ab ca bc ca ab bc ca ab

a b c

bc a ca b ab c

a c a b b c

ab bc bc ca ca ab

a b c

bc a ca b ab c a b c

a b c

bc a ca b ab c

 

  

     

         

     

     

 

  

     

  

 

      

    

 

   

1

1 4



0,25

Dấu xảy a = b = c = 3

Vậy GTLN P=

1

4 a = b = c = 3

0,25 * Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa.

TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

7) x2 10xy9y2 2) x3 + 6x2 + 11x + 6 3) x42020x22019x2020 Câu 2. (3,0 điểm)

6) Rút gọn biểu thức: A=            

2 2

3x 3x 3x 9x 30x 25

7) Cho x + y + z = Rút gọn : 16

1 16

1 x1x1x 1x 1x 1x

8) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

x223 x x2 4 33 5x  x 6x x2 22315x

Câu 3. (4,0 điểm)

7) Giải phương trình:

h)    

2 2 3 12

x  x x  x 

i)

24 25 26 27 2036

0

1996 1995 1994 1993

x x x x x

    

j) 2 2

1 1 1

5 12 12 11 30

x  x x  x x  x x  x 

8) Tìm số tự nhiên có chữ số Biết tổng chữ số 10 đổi chỗ chữ số số lớn số cũ 36

Câu 4. (2,0 điểm) Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt BC , DC theo thứ tự K, G Chứng minh rằng:

a) AE2 EK EG b)

1 1

AE AK AG

Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M điểm đối xứng C qua P Gọi O giao điểm AC BD

d) Tứ giác AMDB hình gì? Vì sao?

e) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD, AB Chứng minh: EF // AC ba điểm E, F, P thẳng hàng

f) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P

g) Gi¶ sư CP  BD vµ CP = 2,4 cm,

9 16 PD

PB Tính cạnh hình ch÷ nhËt ABCD. Câu 6. (2,0 điểm)

9) Chứng minh n5 – n chia hết cho 30 với n N

10)Cho biÓu thøc A =

3

x

x x



  Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 11)Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: Dx1 x2 x3 x6

-Hết -(Học sinh không sử dụng máy tính)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1

4 điểm j)

2

2x 5x 2 x 6x x 

       

2x x x x 2x

      

k) x42009x22008x2009x4x2 1 2008x22008x2008

2 2

2 2

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 2008) ( 1)( 2009)

x x x x x x

x x x x x x x x

       

          

l) x2 x4 x6 x816x2 x8 x4 x616

x2 10x 16 x2 10x 24 16

     

Đặt

2 10 20

x  x t

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

t 4 t 4 16 t2 16 16 t2

       

x2 10x 202

  

0,5

Câu 2

3 điểm 7)        

2

2

x y z   z y  x y z  y z

          2 2

x y z x y z y z y z

x y z y z x                8)

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

                                          2

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

5 5 5 x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x                                                           0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu 3 4 điểm 7)

g) 3x2 x 6 0

                  2

3

3 2

3 2

2

2 3

x x

x x

x x x

x x x x                              

3

2

3 x x x x                  

Vậy tập nghiệm phương trình

3 2;

3

S   

 

 

h)

2

1 1

x

x x x x

 

   

 

2 2

2 1

2

2

1

1( ) 2( )

x x x x

x x x

x x

x x

x l

x n

S

     

   

   

   

    

 

8) Gọi số phải tìm x (x > 0)

Vì phần ngun x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x

Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có giá trị

20 10

x



Số nhận

9

10 số ban đầu nên ta có phương trình

20

10 10

2,5( )

x x

x n

  

Vậy số phải tìm 2,5

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Câu 4

2 điểm 7)

Do ADC B BAD    B ADC

Lấy E AC cho ADE B Khi AE < AC

ADE

 ABDđồng dạng (g-g)

2 . .

AD AE

AD AB AE AB AC

AB AD

    

8)

A

B C

A'

B' C'

H H'

0,25 0,25 0,25 0,25

A

B D C

Gọi k tỉ số đồng dạng ABC A B C' ' ' Ta có ' ' ' '

AB BC

k

A B B C  (1)

Xét ABH A B H' ' ' có:   ' 900

H H  (GT)   '( )

B B GT

Suy ABH A B H' ' '(g-g)

' ' ' '

AB AH

k

A B A H

  

(2)

2 ' ' '

1

2 .

1

' ' ' '

2

ABC A B C

AH BC S

k k k

S  A H B C  

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 5

5 điểm

O F

E

K H

C

A

D B

j) Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEODFO g c g(   )

=> BE = DF

Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành k) Ta có: ABCADC HBC KDC

Chứng minh : CBH CDK g g(  )

CH CK

CH CD CK CB

CB CD

   

l) Chứng minh : AFDAKC g g(  )

AF

A

AK

AD AK F AC

AD AC

   

Chứng minh : CFDAHC g g(  )

CF AH

CD AC

 

Mà : CD = AB

CF AH

AB AH CF AC

AB AC

   

Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

2 điểm Ta có

 

2 2

2 2

2 2

13 13 2.13

13 13 2.13

13 13 13 13 13

a k a k k

b l b l l

a b k k l l

     

     

      

8) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 1 4    4

A x x  x  x  x x x  x Đặt x2 + x – = t

 2  2 4 4

A t t t  

Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =

   

2 2 0

1

1

x x

x x

x x

   

   

    



0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

HS làm cách khác, sử dụng phù hợp kiến thức chương trình chấm điểm tối đa. TRƯỜNG THCS PHAN BỘI

CHÂU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8) 5x2 – 26x + 24

9) x5 + x + 1

10)( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 Câu 2. (3,0 điểm)

9) Rút gọn biểu thức:

A= (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ( 2256 + 1) + 1

10)Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

2x 3 x 2 x 2 2x 33 x 43 x 3x2 3x 9 9x2 110x

            

Câu 3. (4,0 điểm)

9) Giải phương trình:

k) x1 x2 x4 x5 40 l)

2

98 96 94 92

x x x x

  

m)

3

1

1 3

x x

x x x x

 

  

   

10)Lúc sáng ô tô xuất phát từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h Cũng thời gian xe máy xuất phát từ tỉnh B tỉnh A với vận tốc 50 km/h Biết hai tỉnh A B cách 220 km Hỏi sau xe gặp gặp lúc ?

Câu 4. (2,0 điểm)

3) Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD tứ giác lồi ABCD CMR:

 2

1

ABCD

S  AM AN

4) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE vng góc với AB CF vng góc với AD CMR: AB.AE + AD.AF = AC2.

Câu 5. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M, N,

I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD

h) Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh

i) Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI

Câu 6. (2,0 điểm)

12)Chứng minh với n  Z, n chẵn, ta có số n3 + 20n ln chia hết cho 48.

13)Tìm giá trị nguyên x để A =

1

5

x

x x

có giá trị nguyªn 14)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 5 x22x 4y2 4y

-Hết -(Học sinh khơng sử dụng máy tính)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu

1 4 điể

m

m) 5x2 – 26x + 24 = 5x2 – 20x – 6x + 24 = 5x(x – 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(5x – 6)

n)          

5 4 2

3 2 2

1

1 1 1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

          

             

o) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) –

Đặt x2 2x t

         

             

    

2

2 2 2

2

1 6 3

2 2 3 2 3 2

3 2

t t t t t t t t t t t t

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x

               

                 

    

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 2 3 điể

m

1) A= (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ( 2256 + 1) + 1

        

             

   

2 256

2 256 4 256

256 256 512 512

2 2 2 1

2 2 1 2 1

2 1 1

      

          

       

2)               

3 2 2

2x x2 x  x3  x  x x 3x9  9x 110x

          

3 3

2 27 27 12 48 64 27 110

2 12 18 54 54 12 48 64 27 110

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

              

               

Câu 3 4 điể m 9)

i) x1 x2 x4 x5 40

                              2 2 2 2 2

1 40

6 40

3 40 oi t=

3 40 40 8

8

3

8 13

5 5 6

0

x x x x

x x x x

t t v x x

t t t t t t t t

t t

x Voli

t x x x x

t x x x x x x

x x                                                                            

Vậy tập nghiệm phương trình S 0; 6  j)

2

98 96 94 92

x x x x

  

 

2

1 1

98 96 94 92

100 100 100 100

98 96 94 92

1 1

100

98 96 94 92 100

100

x x x x

x x x x

x x x                               

 100

S  

k)

3

1

1 3

x x

x x x x

 

  

   

ĐKXĐ: x1; 3 

       

   

   

   

       

2 2

3

1 3

3

3 3

3

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x                                   

x (loại) S 

10)Lúc sáng ô tô xuất phát từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h Cũng thời gian xe máy xuất phát từ tỉnh B tỉnh A với vận tốc 50 km/h Biết hai tỉnh A B cách 220 km Hỏi sau xe gặp gặp lúc ?

S v t

Ơ tơ x 60

Xe máy 220 – x 50 220 50

x

 Gọi quãng đường ô tô đến gặp xe máy x (km); < x < 220 Quãng đường xe máy đến gặp ô tô 220 – x (km)

Thời gian ô tô 60

x

(km/h) Thời gian xe máy

220 50

x



(km/h) Theo ta có phương trình 60

x

=

220 50

x

 5x = 6(220 – x)

x = 120 (nhận)

Thời gian ô tô gặp xe máy 120:60 = 2(h) Vậy sau xe gặp gặp lức 9h

0,2

0,2 0,2

5

Câu 4

2 điể

m

9) Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD tứ giác lồi ABCD CMR:

 2

1

ABCD

S  AM AN

A B

C D

M

N

10)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE vng góc với AB CF vng góc với AD CMR: AB.AE + AD.AF = AC2.

0,2 0,2 0,2 0,2

A

B C

D F

E

   

 

2 2 2 2

2 2

AC AE CE AE BC BE AE BE AE BE BC

AB AE BE BC AB AE AB BE BC AB AE CD BE AD

        

         (3)

Ta cần chứng minh CD BE AD  AD AF (1)

Thật

BE BC

EBC FDC BE DC BC DF

DF DC

     

Do CD BE AD  BC DF AD  AD DF AD  AD DF AD  AD AF (2) Từ (1), (2), (3) suy đpcm

0,2 0,2 0,2

Câu 5

5 điể

m

O F

E

K H

C

A

D B

m) Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEODFO g c g(   )

=> BE = DF

Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành n) Ta có: ABC ADC HBC KDC 

Chứng minh : CBH CDK g g(  )

CH CK

CH CD CK CB

CB CD

   

o) Chứng minh : AFDAKC g g(  )

AF

A

AK

AD AK F AC

AD AC

   

Chứng minh : CFDAHC g g(  )

CF AH

CD AC

 

Mà : CD = AB

CF AH

AB AH CF AC

AB AC

   

Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

0,5 0,5 0,5

Câu 6 2 điể

m 9)

Ta có

 

2 2

2 2

2 2

13 13 2.13

13 13 2.13

13 13 13 13 13

a k a k k

b l b l l

a b k k l l

     

     

      

10)Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 1 4    4 A x x  x  x  x x x  x

Đặt x2 + x – = t

 2  2 4

A t t t  

Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =

   

2

2

1

1

x x

x x

x x

   

   

    



0,2 0,2

5 0,5 0,2 0,2

5 0,2

5

0,2

HS làm cách khác, sử dụng phù hợp kiến thức chương trình chấm điểm tối đa.

TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

11)3x2 – 7x + 2 2) x8 + x4 + 1 3) x x( 2)(x22x2) 1

Câu 2. (3,0 điểm)

11)Rút gọn biểu thức: A=           

2 16 32

3 3 3    1 1

12)Cho x + y + z = Rút gọn :

x2+ y2+z2

(y−z)2+ (z−x)2+ (x− y)2

13)Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

x2 2 x4 2x2 4 x2 23 6x x2 2 10

       

Câu 3. (4,0 điểm)

11)Giải phương trình: n) x32x2  x o)

x 241 x 220 x 195 x 166 10

17 19 21 23

   

   

p)

49 50 49 50

50 49 50 49

x x

x x

 

  

 

12)Một xí nghiệp dự định ngày sản xuất 120 sản phẩm Trong thực tế ngày xí nghiệp sản xuất 130 sản phẩm nên hoàn thành kế hoạch sớm ngày Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phẩm ?

Câu 4. (2,0 điểm)

5) Cho tam giác ABC Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác cắt cạnh BC kéo dài phía C cạnh CA, AB theo thứ tự A1, B1, C1 C/m rằng: 1

1 1

GA GB GC .

6) Cho tam giác ABC có A300 Dựng bên ngồi tam giác BCD Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2.

Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh :

j) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi

k) Δ AEF ∽ Δ CAF AF2 = FK.FC.

l) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi

Câu 6. (2,0 điểm)

15)Chứng minh 1110 – chia hết cho 100

16)Cho biÓu thøc A =

2x2 +3x +3

2x + 1 Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên

17)Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    

2

2

B x  x

-Hết -(Học sinh khơng sử dụng máy tính)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1

4 điểm p)

2

2x 5x 2 x 6x x 

       

2x x x x 2x

      

q) x42009x22008x2009x4x2 1 2008x22008x2008

2 2

2 2

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 2008) ( 1)( 2009)

x x x x x x

x x x x x x x x

       

          

r) x2 x4 x6 x816x2 x8 x4 x616

x2 10x 16 x2 10x 24 16

     

Đặt

2 10 20

x  x t

t 4 t 4 16 t2 16 16 t2

       

x2 10x 202

   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2

3 điểm 9)        

2

2

x y z   z y  x y z  y z

          2 2

x y z x y z y z y z

x y z y z x                10)

2 2 2

1 1 1

3 12 20

x x

x x x x x x x x x x

                                          2

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

5 5 5 x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x                                                           0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu 3 4 điểm 11)

l) 3x2 x 6 0

                  2

3

3 2

3 2

2

2 3

x x

x x

x x x

2

3

2

3

x x x x

  

 

  

   

   

 

Vậy tập nghiệm phương trình

3 2;

3

S   

 

 

m)

2

1 1

x

x x x x



 

   

ĐKXĐ:

1

x

 

   

 

2 2

2 1

2

2

1

1( ) 2( )

x x x x

x x x

x x

x x

x l

x n

S

     

   

   

   

    

 

12)Gọi số phải tìm x (x > 0)

Vì phần ngun x có chữ số nên viết thêm chữ số vào bên trái số tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa ta có số có giá trị 20 + x

Vì dịch dấu phẩy sang trái chữ số số giảm 10 lần, nên dịch dấu phẩy số có giá trị 20 + x sang trái số có giá trị

20 10

x



Số nhận

9

10 số ban đầu nên ta có phương trình

20

10 10

2,5( )

x x

x n

  

Vậy số phải tìm 2,5

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Câu 4

2 điểm 11)

Do ADC B BAD    B ADC

Lấy E AC cho ADE B Khi AE < AC

ADE

 ABDđồng dạng (g-g)

2 . .

AD AE

AD AB AE AB AC

AB AD

    

0,25 0,25 0,25 0,25

A

B D C

12)

A

B C

A'

B' C'

H H'

Gọi k tỉ số đồng dạng ABC A B C' ' ' Ta có ' ' ' '

AB BC

k

A B B C  (1)

Xét ABH A B H' ' ' có:   ' 900

H H  (GT)   '( )

B B GT

Suy ABH A B H' ' '(g-g)

' ' ' '

AB AH

k

A B A H

  

(2)

2 ' ' '

1

2 .

1

' ' ' '

2

ABC A B C

AH BC S

k k k

S  A H B C  

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 5

5 điểm

O F

E

K H

C

A

D B

p) Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEODFO g c g(   )

=> BE = DF

Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành

Chứng minh : CBH CDK g g(  )

CH CK

CH CD CK CB

CB CD

   

r) Chứng minh : AFDAKC g g(  )

AF

A

AK

AD AK F AC

AD AC

   

Chứng minh : CFDAHC g g(  )

CF AH

CD AC

 

Mà : CD = AB

CF AH

AB AH CF AC

AB AC

   

Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 6 2 điểm

11) Ta có

 

2 2

2 2

2 2

13 13 2.13

13 13 2.13

13 13 13 13 13

a k a k k

b l b l l

a b k k l l

     

     

      

12)Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 1 4    4

A x x  x  x  x x x  x Đặt x2 + x – = t

 2  2 4 4

A t t t  

Vậy giá trị nhỏ A -4 Dấu xảy t =

   

2 2 0

1

1

x x

x x

x x

   

   

    



0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

HS làm cách khác, sử dụng phù hợp kiến thức chương trình chấm điểm tối đa.

PHỊNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8 Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.(5 điểm)

Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < x + y = 1.

a) Rút gọn biểu thức

A=y−x

xy :[ y2

(x−y)2−

2x2y

(x2

−y2)2+

x2 y2−x2] . b) Chứng minh rằng: A < - 4.

Bài (2 điểm)

Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,

Tính gia trị biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.

Bài 3.(2 điểm)

Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiên n cho cách viết thập phân của số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống

nhau.

Bài 4.( điểm)

Cho hình vng ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vng góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF. a) Chứng minh CE = CF;

b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;

c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC;

d) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho tứ giác ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vng ABCD.

Bài (3 điểm)

a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1

b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện ≤ a, b, c ≤ a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2.

- Hết

-(Giám thị coi thi khơng giải thích thêm)

Họ tên thí sinh: Số báo danh:

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bà

i

Nội dung Biểu

điểm Bà

i 1

a) Với x + y = 1, biến đổi thu gọn A.

A=y−x

xy :[ y2

(x−y)2−

2x2y

(x2−y2)2+

x2 y2−x2]

M

F E

B A

D C

N =y−x

xy :

y2(x+y)2−2x2y−x2(x2−y2) (x−y)2(x+y)2

=y−x

xy :

y2.1−2x2 y−x2(x−y) (x−y)2.1

=y−x

xy :

y2−x2(x+y) (x−y)2 =

y−x

xy :

y2

−x2 (x−y)2=

(y−x) (x−y)2

xy(y2−x2)

=(x−y)

2

xy

b) A+4= (x-y)2

xy +4=

(x+y)2

xy =

xy <0 (vì x > 0; y < x + y = 1)

Suy A < -

2(điểm)

Bà i 2

4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0

 [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = 0

 (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = 0

…

 y = 3; z = 5; x = 4

Khi T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = 2.

2(điểm)

Bà i 3

Do p số nguyên tố p > nên p không chia hết cho (*)

pn có 20 chữ số Các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

gồm 10 chữ số đơi khác nhau.

Nếu khơng có nhiều chữ số giống chữ số phải có mặt lần cách viết số pn Như tổng chữ số

của số pn là: 2(0 + + + + + + + + + 9) = 90  3 nên pn  3

Điều mâu thuẫn (*).

Vậy số pn phải có chữ số giống nhau.

2(điểm)

Bà i 4

a) Chứng minh được CDE = CBF (g.c.g)  CE = CF.

2(điểm)

b) Chỉ AM=MC=

1

2EF  M thuộc đường trung trực BD

đoạn AC Vậy B, D, M thẳng hàng. 2(điểm)

c) Chỉ ACE = BCM  EAC ~ MBC (g.g)

Chỉ CAE = CBM 2(điểm)

d) Đặt BN = x  AN = a – x.

*)Tính SAEFC = SACE + SECF =

1

2DC AE+ 2CE

2

- Tính AE: Lý luận để có

AE ED=

AN

DC ⇔

AE

AE+AD=

AN

DC ⇔

AE AE+a=

a−x

a ⇔AE.a=AE(a−x)+a(a−x)

⇔AE=a(a−x) x

- Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2



CE2=a2+(a+a(a−x)

x )

2

=a2+a

4

x2

Do SAEFC =

a3(a+x) 2x2

*) Tính SABCD = a2.

Lý luận với SAEFC = 3SABCD để có

6x2 – ax – a2 =  (2x – a)(3x + a) =  x=

a

2 (vì a, x > 0).

KL: N trung điểm AB SAEFC = 3SABCD.

Bà i 5

a) 3x – y3 =  3x = y3 + (1)

- Dễ thấy x = y = nghiệm (1).

- Nếu x < 3x =

1

3n ( n nguyên dương, n = - x)

suy < 3x < Mà y3 + số ngun, suy (1) khơng có nghiệm

nguyên.

- Nếu x > 3x  3

(1)  3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1)  (y + 1)3  3 nên y +  3

Đặt y + = 3k ( k nguyên), suy y = 3k – Thay vào (1) ta được: 3x = (3k – 1)3 + = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + ước của

3x mà 3k2 – 3k +  3 3k2 – 3k + 1= 3(k−

1 2)

2

+1

4>0

nên 3k2 – 3k + =  3k(3k – 1) =  k = k = 1.

Với k = y = - suy 3x = phương trình vơ nghiệm.

Với k = y = suy 3x = nên x = 2.

Vậy cặp số nguyên (x, y)  {(0; 0), (2; 2)}.

1.5(điểm )

b) Từ giả thiết ≤ a, b, c ≤ suy (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0  – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0

 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ (vì a + b + c = 3)  2ab + 2bc + 2ac ≥ 4

 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ + a2 + b2 + c2

 ( a + b + c)2 ≥ + a2 + b2 + c2

 a2 + b2 + c2 ≤ (vì a + b + c = 3)

Dấu đẳng thức xảy  (a; b; c) = (0; 1; 2) hoán vị số này.

Vậy P có GTLN  (a; b; c) = (0; 1; 2) hoán vị của bộ số này.

1.5(điểm )

Chú ý: - Điểm lấy đến 0.25.