BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN 8 VÀ 9 (CÓ ĐÁP ÁN)

Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐẾ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 MƠN TỐN HỌC Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (4đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 Bài (4đ) Cho A= x2 − x − 2x − + − x − x − x + 10 x − a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình a) x + = 3x − b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm M BC b) ∆ABC ~ ∆AEF ˆ C ˆ c) BDF = DE d) H cách cạnh tam giác ∆DEF Bài (1đ) Cho ba số thực x, y z cho x + y + z = Chứng minh Bài (1đ) Giải bất phương trình 2007 < 2008 −x HẾT GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC Gợi ý đáp án Bài 1a) 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7) Bài 1b) x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa x ≠5và x ≠2 x2 − x − 2x − x2 − x − 2x − A= + − = + − = x − x − x + 10 x − x − ( x − 5)( x − 2) x − x − + x − x − − (2 x − 4)( x − 2) = ( x − 5)( x − 2) = Điểm (1 đ) (1đ) (1đ) (1đ) (0,5đ) (2đ) − x + x − 15 −( x − 5)( x − 3) − x + = = ( x − 5)( x − 2) ( x − 5)( x − 2) x−2 2b) A = (1,5đ) −( x − 2) + 1 = −1 + , với x nguyên, A nguyên x−2 x−2 nguyên, x-2=1 x-2 =-1 nghĩa x=3, x=1 x−2 Bài 3a) Ta xét trường hợp sau (1đ) TH1: x ≥ − ⇔ x + ≥ ⇒ x + = 3x − 2 ⇔ x + = 3x − ⇔ x = Ta thấy x=3 thuộc khoảng xét nghiệm phương trình TH2: x < − ⇔ x + < ⇒ x + = 3x − 2 ⇔ −2 x − = x − ⇔ x = ⇔ x = 0,2 Ta thấy x=0,2 khơng thuộc khoảng xét khơng nghiệm (1đ) phương trình Kết luận phương trình có nghiệm x=3 (2đ) Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 ⇔x2-25=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 ⇔(x+5) [x-5 –(2x+3)] = ⇔(x+5)(-x-8)=0 ⇔ x-5=0 x+8 =0 ⇔ x=-5 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán Điểm Gợi ý đáp án x=-8 Bài 4a) Ta có BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên BG //CH, tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có cặp cạnh đối sơng song nên hình bình hành Do hai đường chéo GH BC cắt trung điểm đường Vậy GH qua trung điểm M BC (2đ) A E F B H D M C G 4b) Do BE CF đường cao tam giác ABC nên tam giác ABE ACF vuông Hai tam giác vng ABE ACF có chung góc A nên AB AE AB AF = ⇒ = (1) chúng đồng dạng Từ suy AC AF AE AC Hai tam giác ABC AEF có góc A chung (2) Từ (1) (2) ta suy ∆ABC ~ ∆AEF 4c) Chứng minh tương tự ta ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy · · ∆BDF~∆DEC⇒ BDF = CDE · · · · BDF = CDE ⇒ 900 − BDF = 900 − CDE 4d) Ta có · · ⇒· AHB − BDF = · AHC − CDE ⇒ · ADF = · ADE Suy DH tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH tia phân giác góc EFD Từ suy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H ba cạnh tam giác DEF Bài 5) Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 2 2 2 =  x − xy + y + ( y − yz + z ) + ( x − xz + z )    2 2 = ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − x )  dpcm  2 ( ) Bài 6) Điều kiện x ≠ , bất phương trình ⇔ (2008 x + 2007) x > x > ⇔  x < − 2007 2008  Hoặc biểu diễn trục số : GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật (1,5đ) (1,5đ) (1đ) 1đ 2007 + 2008 x 2007 < 2008 ⇔ >0 −x x 1đ − 2007 2008 Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán Trong phần, câu, thí sinh làm cách khác cho kết đúng, hợp logic cho điểm tối đa phần, câu tương ứng ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: Toán Thời gian: 150 phút Bài 1: a) Giải phương trình: x - x + x - 11x +10 = b) Tìm x, y thoả mãn: x - x - =- y + y - Bài Rút gọn A = 3- 2- +2 + +3 2+ - 2 Bài Tìm GTNN (nếu có) biểu thức sau: P = x +12 x + + x - 20 x + 25 Q = x + y + xy - x + 2008 Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I J đối xứng qua O M điểm (khác A B) (O); đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) E, F, G; FG cắt AB C Đường thẳng qua F song song AB cắt MO, MJ D K Gọi H trung điểm FG a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp b) Chứng minh CE tiếp tuyến đường tròn (O) ĐÁP ÁN Bài 1: a) x - x + x - 11x +10 = Û ( x - 1)( x - 2)( x + x + 5) = Û ( x - 1)( x - 2) = (vì x + x + = ( x +1) + > 0, " x Ỵ ¡ ) é =1 x Û ê ê =2 x ë b) x - x - =- y + y - Û ( x - - 1) + ( y - - 2) = ì x - =1 ï ì x =2 ï Û ï Û ï í í ï y - = ï y =8 ï ỵ ï ỵ Bài A = 3- + +3 2- +2 2+ - 2 2( - 3) 2( + 3) = + 4- +4 +2 - GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- 24 = =- - = Bài P = x +12 x + + x - 20 x + 25 = 2x +3 + - 2x ³ 2x +3 +5 - 2x = Vậy, Pmin=8 (2 x + 3)(5 - x) ³ Û - £ x £ 2 2 Q = x + y + xy - x + 2008 = ( x + y ) - 2( x + y ) +1 + y + y +1 + 2006 = ( x + y - 1) + ( y +1) + 2006 ³ 2006; " x, y ì x + y - 1= ì x = ï ï Û ï Vậy, Qmin=2006 ï í í ï y +1 = ï y =- ï ï ỵ ỵ Bài M a) Ta có: OI = OJ Þ DF = DK C A · · Þ DH // GK Þ HDE = GME J B · · · · mà GME = GFE Þ HDE = GFE D Þ DHEF nội tiếp K · · b) Từ câu a suy DEH = DFH H · · G mà DFH = OCH Þ OHEC nội tiếp · · Þ OEC = OHC = 900 Vậy CE tiếp tuyến (O) I O F E ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 90 phút(khơng kể thời gian phát đề) B Phần Tự luận(7,0 điểm) Cho x + x + y + y + = Tính giá trị biểu thức A = x + y ( )( ) (1,0 điểm) Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1,0 điểm) GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 1    x+  −x +  − x  x   B= 1  x+  + x + x x  Giải phương trình: x + + x +1 + x + − x +1 = Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = - m(x -2) ; (d2): y + - m(x + 2) = (2,0 điểm) a Tìm điểm cố định A (d1), B (d2) Viết phương trình đường thẳng AB (1,0 điểm) b Tìm quỹ tích giao điểm M (d1) (d2) c Xác định m để điểm M trùng điểm A Cho đường thẳng (d), đường thẳng vng góc với (d) H(H nằm (d)), lấy điểm A, (d) lấy điểm T( T khác H) (2,0 điểm) a Dựng tâm O đường tròn (O) qua A tiếp xúc (d) T b Đường thẳng qua T vng góc với AT cắt AH B, cắt (O) C, Cho AH =h, HT = x Tính bán kính đường tròn (O) theo h x c Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt (d) tai E, AC cắt (d) D Xác định x để T trung điểm ED HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MƠN: TỐN LỚP B Phần Tự luận(7,0 điểm) Cho x + x + y + y + = (1) Tính giá trị biểu thức A = x + y ( )( ) ( ) Nhân hai vế (1) cho x − x + ta có (2) −3 y + y2 +3 =3 x − x2 + ( ) ( ( ) ) Nhân hai vế (1) cho y − y + ta có (3) −3 x + x2 +3 =3 y − y2 +3 ( ) ( ) ( ) ( Cộng (2) (3) ta có: − y + y + + x + x + = x − x + + y − y + ) 6(x + y) = x + y = Kết luận: A = Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 6 1   1     x+  −x +  − x+  −x +  x  x  x  x    B= => B = => 3 1 1   3 x+  + x + x+  + x + x x x x   B=   x +   1      −x +  x   x   1  x+  + x + x x  1  1  => B =  x +  − ( x + ) => B = 3 x +  => B ≥ x x x   Vậy : B = x = Giải phương trình: x + + x +1 + x + − x +1 = (1) Điều kiện: x ≥ −1 (*) (1) => => ( ) x +1 +1 x+ + + 1 + ( ) x +1 −1 x + − =2 1 =2 (2) * Nếu (2) => x + −1 ≥ ⇒ x + ≥1 ⇒ x ≥ * Nếu (2) => x +1 −1 < ⇒ x + < ⇒ x < x +1 +1 + x + − = ⇒ x + = ⇒ x = (**) x +1 +1 +1 − x + = ⇒∀x < (***) Từ (*), (**), (***) phương trình có nghiệm: − ≤ x ≤ Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = - m(x -2) ; (d2): y + - m(x + 2) = a Tìm điểm cố định A (d1), B (d2) Viết phương trình đường thẳng AB (1,0 điểm) m Ta có: Giả sử A(x; y) điểm cố định (d1) y = - m(x -2) ∀ x − = x = ⇔ y = 3 − y =  Vậy A(2; 3) m Ta có: Giả sử B(x; y) điểm cố định (d2) y + - m(x + 2) = ∀ x 2= x − {= {+ ⇔ y+ 3= y= − Vậy B(- 2; - 3) Phương trình đường thẳng AB: y = x b Tìm quỹ tích giao điểm M (d1) (d2) Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán  y = − m ( x − 2)  ⇔  y + − m( x + 2) =     x = ,m ≠  m  y = − m ( x − 2)  Khử tham số ta có quỹ tích điểm M có phương trình y = ,x ≠ x Xác định m để điểm M trùng điểm A 3 Để M trùng A m = ⇔ m = Thay x = 2, Vậy m = m = ta có y = thoả mãn tốn a Dựng tâm O đường trịn (O) qua A tiếp xúc (d) T Dựng đường thẳng (a) qua O vng góc với (d) Dựng đường trung trực (b) đoạn AT Giao điểm (a) (b) tâm O đường tròn (O) cần dựng Đường thẳng qua T vng góc với AT cắt AH B, cắt (O) C, Cho AH =h, HT = x Tính bán kính đường trịn (O) theo h x Ta có (a) // AB O trung điểm AC => T trung điểm BC => tam giác ABC cân A => AB = AC = 2R Xét tam giác vuông HAT: AT2 = AH2 + HT2 = h2 + x2 Xét tam giác vuông TAB: AT2 = AH.AB = h.2R => 2hR = h2 + x2 => R = h2 + x2 2h b Tiếp tuyến đường tròn (O) cắt (D) tai E, AC cắt (d) D Xác định x để T trung điểm ED Để T trung điểm ED => AT = => AH = ED ⇒ ∆AET ET , ET = x 2 3 x⇒x= h 3 Vậy x = h T trung điểm ED => h = GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán (a) A O (b) C H E D x T B ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MƠN: TỐN LỚP Thời gian:90 phút(khơng kể thời gian phát đề) Phần Tự luận(7,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 (1,0 điểm) Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, chia cho x2 - dư x + (1,0 điểm) Chứng minh đẳng thức x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) yz + zx + xy = (1,0 điểm) x+ y+ z x ( y − z) + y ( z − x) + z ( x − y) 3( x + 1) Cho biểu thức : A = Tìm x để A lớn (1,0 điểm) x + x2 + x + Giải phương trình: x x +1 x + x + x + x + x + x + x + + + + + + + + + = (1,5 điểm) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Tốn Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC Từ trung điểm I CD, kẻ đường thẳng d // AB, AH ⊥ d , BE ⊥ d Chứng minh SABEH = SABCD (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MƠN: TỐN LỚP Phần Tự luận(7,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử (1,0 điểm) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b => x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a Ta có:(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y + z)3 – x3 ] – (y3 + z3) (0,25 điểm) = (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 ] - (y + z)(y2 - yz + z2) = (y + z)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 - y2 + yz - z2 ] (0,25 điểm) 2 2 2 = (y + z)(x +y +z +2xy+2yz+2zx+x +xy+xz+x - y + yz - z ) = (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3zx) = 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)] (0,25 điểm) = 3(y + z)(x + y)(x + z) = 2c.2b.2a = 24abc (0,25 điểm) Vậy (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 = 24abc Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, chia cho x2 - dư x + (1,0 điểm)  f (−2) = −8a + 4a + c = a =    Ta có:  f (1) = ⇔  a + b + c = ⇔  b = (0,75 điểm)  f (−1) =  −a + b + c = c =    Vậy f(x) = x3 + x2 + Chứng minh đẳng thức x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) yz + zx + xy = x+ y+ z x ( y − z) + y ( z − x) + z ( x − y) 2 2 2 Xét tử thức vế trái: x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) = x3(y2 – z2) + y3 [(z2 – y2) + (y2 – x2)] + z3(x2 – y2) = x3(y2 – z2) + y3(z2 – y2) + y3(y2 – x2) + z3(x2 – y2) = (y2 – z2)(x3 – y3) + (x2 – y2)(z3 – y3) = (y – z)(x – y)[(y + z)(x2 + xy + y2) – (x + y)(y2 + yz + z2)] = (y – z)(x – y)(x2y+xy2+y3+x2z+xyz+y2z-xy2-xz2-xyz-y3-yz2-y2z) = (y – z)(x – y)(x2y – yz2 + x2z – xz2) = (y – z)(x – y)[y(x2 – z2) + xz(x – z)] = (y – z)(x – y)(x – z)[y(x + z) + xz] = (y – z)(x – y)(x – z)(xy + yz + zx) Xét mẫu thức vế trái: x3(y – z) + y3(z – x) + z3(x – y) = x3(y – z) + y3 [(z – y) + (y – x)] + z3(x – y) = x3(y – z) + y3(z – y) + y3(y – x) + z3(x – y) = (y – z)(x3 – y3) + (x – y)(z3 – y3) = (y – z)(x – y)(x2 + xy + y2 - y2 - yz - z2) = (y – z)(x – y)(x2 – z2 + xy – yz) = (y – z)(x – y)(x – z)(x + y + z) GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật (0,25 điểm) (1,0 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Trang 10 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán ( y − z )( x − y )( x − z )( xy + yz + zx ) xy + yz + zx = ( y − z )( x − y )( x − z )( x + y + z ) x+ y+z Vậy đẳng thức chứng minh 3( x + 1) Cho biểu thức : A = Tìm x để A lớn x + x2 + x + 3( x + 1) 3( x + 1) 3( x + 1) = = = Ta có: A = 2 x + x + x + x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1)( x + 1) x + ≤3 Mà x + ≥ ⇒ x +1 A đạt giá trị lớn x = Giải phương trình: VT = (0,25 điểm) (1,0 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) x x +1 x + x + x + x + x + x + x + + + + + + + + + = (1)(1,5 điểm) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Ta có: (1) x x +1 x +2 x +3 x+4 x +5 x +6 − 1) + ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 x +7 x +8 +( − 1) + ( − 1) = 2007 2008 ⇔( (0,5 đ) x − 2000 x − 2000 x − 2000 x − 2000 x − 2000 x − 2000 x − 2000 x − 2000 x − 2000 ⇔ + + + + + + + + =0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 1 1 1 1 ⇔ ( x − 2000)( + + + + + + + + ) = (0,5 điểm) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 ⇔ x − 2000 = ⇔ x = 2000 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2000 (0,5 điểm) Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC Từ trung điểm I CD, kẻ đường thẳng d // AB, AH ⊥ d , BE ⊥ d Chứng minh SABEH = SABCD (1,5 điểm) Gọi J, K giao điểm đường thẳng d với BC, AD ∆IKD = ∆IJC (c.g c) ⇒ S ∆IKD = S ∆IJC ⇒ S ABCD = S ABJK (1) (0,5 điểm) ∆EBJ = ∆HAK ⇒ S ∆EBJ = S ∆HAK Và (0,5 điểm)  S ABEH = S ABEK + S HAK ⇒ S ABEH = S ABJK Mà  (2) (0,25 điểm)  S ABJK = S ABEK + S EBJ Từ (1) (2) ta có: SABEH = SABCD (0,25 điểm) (d) C B J I K A E D H GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Trang 11 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán ĐỀ ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2007 -2008 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) So sánh số thực sau ( Khơng dùng máy tính gần đúng) x2 −1 − x2 + = x2 − Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ A = x +1 Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 2x2 + 3y = 3x2 - 2y = Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, có 32 bạn nam Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có bạn nam, bạn nữ - Số bạn bạn nam, bạn nữ chia vào tổ - Số người tổ khơng q 15 người khơng chín người Em tính xem giáo xếp có tất tổ ? Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P nằm đường tròn b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) CM.CN = 2R2 d) Khi M di chuyển đoạn AB P di chuyển đâu ? Câu 7: ( 3điểm) Cho đường trịn (O, R), đường kính AB C điểm đường tròn (O, R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = CB Khi C chuyển động đường trịn (O, R) D chuyển động đường nào? HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP 9, NĂM HỌC 2007 -2008 Câu (1,5đ) Nội dung – yêu cầu Giả sử > ⇔ ( ⇔3 >2 3⇔ GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật ( ) ( ) > ( 3) 2 > ) Điểm ⇔ 18 > 12 (BĐT đúng) 0,5 1,0 Trang 12 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 0,5 x2 −1 − x2 + = ⇔ x2 − = x2 − x − ≥ x ≥   ⇔ 2 ⇔  2 x − = ( x − 1) ( x − 1) − ( x − 1) =      x ≤ −1 hay x ≥  x ≤ −1 hay x ≥ (3đ)  ⇔ ⇔ 2   ( x − 1) ( x − 1) − 1 =  x − = 0hay x − =   x ≤ −1 hay x ≥  ⇔  x = hay x = −1 hay x = hay x = −  x2 −1 x2 + − 2 A= = =1− 2 x +1 x +1 x +1 −2 Do x + ≥ ⇒ ≤1⇒ ≥ −2 Ta có x +1 x +1 (1,5đ) Suy A ≥ −1 A =1⇔ x = (2đ) Vậy GTNN A x = Đặt u = x2 ≥ 0, ta có: 2u + 3y = ⇔ 3u - 2y = Do đó: u= 13 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 13 0,25 ⇔ 2 26 =± 13 13 y =− 13 x=± Hệ PT có nghiệm là: 26 −2 26 ( x, y ) = ( , − ); ( ,− ) 13 13 13 13 (4đ) 1,0 0,25 y =− x = 13 y =− 13 1,0 * Gọi số bạn nam chia vào tổ x, 0,5 0,25 0,5 số bạn nam chia vào tổ y, x, y nguyên dương Theo đề ta có hệ: 32 24 = x y GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật (1) 0,75 Trang 13 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán 9 ≤ x + y ≤ 15 (2) y 3x – 4y = => x = Từ (1) ta có: Đặt y = 3t, t > t ∈ z, ta có: 0,5 x = 4t 0,25 Từ (2), ta có: ≤ 3t + 4t ≤ 15 hay ≤ 7t ≤ 15 => 0,5 2 15 < t ≤ 7 7 0,5 Vì t ∈ z nên giá trị t cần tìm t = 2, ta tính x = 8; y = 0,5 Như vậy, tổ có bạn nam, bạn nữ Số tổ chia là: (5đ) 56 = tổ +8 0,5 C a) M A O B 0,5 N E P D F * Tam giác OMP vuông M nên O, M, P thuộc đường trịn đường kính OP * Tam giác ONP vng N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP * Vậy O, M, N, P thuộc đường trịn đường kính OP b) MP//OC (vì vng góc với AB) · · NMP = NCD (hai góc đồng vị) · · ONC = OCN (hai góc đáy tam giác cân ONC) · · NMP = NOP (hai góc nội tiếp chắn cung NP) · · Suy MNO = NOP ; đó, OP//MC Vậy tứ giác MCOP hình bình hành 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) ∆CND : ∆COM ( g g ) OC CM = Nên hay CM.CN = OC.CD = 2R2 CN CD (3đ) 0,25 0,5 0,5 d) Vì MP = OC = R khơng đổi 0,5 Vậy P chạy đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chạy đoạn AB nên P chạy EF thuộc đường thẳng song nói 0,5 D 0,5 C A GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật O B Trang 14 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG *· ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => AC vng góc với BD CD = CB (gt)  Tam giác ABC cân A  AD = AB = 2R (không đổi) AD = AB = 2R (khơng đổi) A cố định Do D chuyển động đường tròn (A; 2R) GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật Toán 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Trang 15 ...Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Tốn KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 20 08 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC Gợi ý đáp án Bài 1a) 4x2- 49- 12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)- 49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)... Trang Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán (a) A O (b) C H E D x T B ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-20 08 MƠN: TỐN LỚP Thời gian :90 phút(khơng kể thời gian phát đề) Phần Tự luận(7,0 điểm)... Trang 11 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Toán ĐỀ ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2007 -20 08 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) So sánh