Đây là một bộ đề thi được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 8 củng cố và nâng cao kiến thức môn toán học. Bên dưới mỗi đề được kèm theo đáp án và thang điểm chấm chi tiết không những giúp các thầy cô có căn cứ để hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh mà còn giúp cho các em tự học, tự kiểm tra và so sánh đối chiếu kết quả làm bài của mình khi không có sự trợ giúp của các thầy cô giáo. Hy vọng bộ đề thi sẽ giúp ích cho các thầy cô trong việc bồi dưỡng HSG và giúp các em học sinh lớp 8 học tập tốt bộ môn sinh học lớp 8.
Trang 1ĐỀ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết
A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3
c) Cho x + y = 1 và x y 0 Chứng minh rằng
3 3 2 2
2
0
x y
x y
y x x y
Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b) 2008x12007x22006x3 2005x42004x52003x6
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F
sao cho AE = CF
a) Chứng minhEDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
AB, AC sao cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
Trang 2HD CHẤM Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ)
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét A 10x2 7x 5 5x 4 7
(0,25đ) Với x Z thì A B khi 7
2x 3 Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ)
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ)
c) (1,5đ) Biến đổi 3 3
y 1 x 1= 43 34
=
4 4
xy(y y 1)(x x 1)
( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) = 2 2x y x y x2 2 22 y2 (x y)2
(0,25đ) =
(0,25đ) =
x y x(x 1) y(y 1)
(0,25đ) = 2 2
x y x( y) y( x)
x y ( 2xy)
(0,25đ) = 2 2
2(x y)
x y 3
Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x
y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)
* x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
b) (1,75đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 (x 1 1) (x 2 1) (x 3 1) (x 4 1) (x 5 1) (x 6 1)
Trang 3
2003
2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
2009 2008
x
x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009
0
2008 2007 2006 2005 2004 2003
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1 )(
2009
2008 2005 ; 1 1
2006 2003
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1
-2009
Bài 3: (2 điểm)
a) (1đ)
Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c) EDF cân tại D
Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) Eˆ1 Fˆ2
Mà Eˆ 1Eˆ 2Fˆ 1 = 900 Fˆ2 Eˆ2 Fˆ1= 900
EDF= 900 VậyEDF vuông cân
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD
MàEDF vuông cân DI =12EF Tương tự BI =12EF DI = BI I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 điểm)
a) (1đ)
DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
= 2(x –a42 )2 + a22
2 a
Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x =2a (0,25đ)
A
B
D
C
O
F
2 1
1 2
A D B
C E
Trang 4 BD = AE =a2 D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
Ta có: SADE =12AD.AE =12AD.BD =12AD(AB – AD)=12(AD2 – AB.AD) (0,25đ)
= –12(AD2 – 2AB2 AD + AB42 ) + AB82 = –12(AD – AB4 )2 + AB22
2 AB
8 (0,25đ) Vậy SBDEC = SABC – SADE
2 AB
2 – AB82 = 38AB2 không đổi (0,25đ)
Do đó min SBDEC =38AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)