de thi hsg toan 7 cap huyen co dap an 50194

de thi hsg toan 7 cap huyen co dap an 50194 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...

Đề thi chính thức Môn : Toán lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút Đề thi này có 6 câu Câu 1(3điểm): a) So sánh hai số : 3 30 và 5 20 b) Tính : A = 3 10 9 6 12 11 16 .3 120.6 4 .3 6 + + Câu 2(2điểm): Cho x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z Câu 3(4điểm):: a) Tìm x biết : 1 2 3 4 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + b) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x 1 , x 2 là hai giá trị bất kì của x; y 1 , y 2 là hai giá trị tơng ứng của y.Tính y 1 , y 2 biết y 1 2 + y 2 2 = 52 và x 1 =2 , x 2 = 3. Câu 4(2điểm):: Cho hàm số : f(x) = a.x 2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f M M M .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 Câu 5(3điểm):: Cho đa thức A(x) = x + x 2 + x 3 + .+ x 99 + x 100 . a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm củ A(x) b)Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1 2 Câu 6(6điểm):: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC . a) Chứng minh AM = AN và AH BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chứng minh MAN > BAM = CAN -------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Hớng dẫn chấm toán 7 Số báo danh: . Câu Nội dung Điểm 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 3 2 30 10 20 10 10 30 20 )3 3 27 ;5 5 25 27 3 5a = = = = < > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 9 10 2 12 10 12 10 10 12 6 12 12 11 11 11 11 2 11 12 12 10 11 11 11 11 11 11 2 .3 3.2.5.2 . 2.3 2 .3 1 5 2 .3 3 .2 .5 ) 2 .3 2 .3 2 3 2.3 1 2 .3 2.3 6.2 .3 4.2 .3 4 7.2 .3 7.2 .3 7 b P + + + = = = + + + = = = 1.5đ 1.5đ 2 Vì x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy ; ; x z y x z y x y z y x z y x z y z x = = = = = .áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 1 x y z x y z x y z y z x y z x + + = = = = = = + + 1đ 1đ 3 a 1 2 3 4 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 1 2 3 4 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 0 2009 2008 2007 2006 x x x x + = ( ) 1 1 1 1 2010 0 2009 2008 2007 2006 x + = ữ 2010 0 2010x x = = 1đ 1đ b Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 52 4 3 2 3 2 3 9 4 9 4 13 ) 36 6 x y y y y y y y y y y x y y y y + = = = = = = = = ữ ữ + + = = Với y 1 = - 6 thì y 2 = - 4 ; Với y 1 = 6 thì y 2 = 4 . 1đ 1đ 4 Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ( ) ( ) ) (0) 3 3 ) (1) 3 3 3 1 ) ( 1) 3 3 3 2 f c f a b c a b f a b c a b + + + + + + + M M M M M M M M Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2 3 3a a M M M vì ( 2; 3) = 1 3b M Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 1đ 1đ 5 a A(-1) = (-1)+ (-1) 2 + (-1) 3 + .+ (-1) 99 + (-1) 100 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + .(-1) + 1 = 0 ( vì có 50 số -1 và 50 số 1) Suy ra x = -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc A(x) b Víi x= 1 2 th× gi¸ trÞ cña ®a thøc A = 2 3 98 99 100 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 2 + + + + + + 2. 2A⇒ = ( 2 3 98 99 100 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ) = 2 3 98 ONTHIONLINE.NET đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán Phòng Giáo dục- Đào tạo (Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Bài 1: (3,5 điểm) Thực phép tính:  −3 4  −4 7 a)  + ÷: +  + ÷:  11  11  11  11 b) 1 1 − − − − − 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Bài 2: (3,5 điểm) Tìm x; y; z biết: a) 2009 – x − 2009 = x b) ( x − 1) 2008 2008 2  + y− ÷ 5  + x+ y−z =0 Bài 3: (3 điểm) Tìm số a; b; c biết: 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c = = a + b + c = – 50 Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Trên tia đối CA lấy điểm I cho CI = CA Câu 1: Chứng minh: a) ∆ABD = ∆ICE b) AB + AC < AD + AE Câu 2: Từ D E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự M; N Chứng minh BM = CN Câu 3: Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài (3 điểm): Tìm số tự nhiên a; b cho (2008.a + 3.b + 1).(2008 a + 2008.a + b) = 225 Đáp án Đề thi HSG môn Toán Bài 1: điểm Câu a: điểm (kết = 0) Câu b: điểm 1 1 − − − − − 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 1 1   = − + + + + ÷ 99.97  1.3 3.5 5.7 95.97  1 1 1 1  = − 1 − + − + − + + − ÷ 99.97  3 5 95 97  1  = − 1 − ÷ 99.97  97  48 = − 99.97 97 −4751 = 99.97 Bài 2: 3,5 điểm Câu a: điểm - Nếu x ≥ 2009 ⇒ 2009 – x + 2009 = x ⇒ 2.2009 = 2x ⇒ x = 2009 - Nếu x < 2009 ⇒ 2009 – 2009 + x = x ⇒ 0=0 Vậy với ∀ x < 2009 thoả mãn - Kết luận : với x ≤ 2009 2009 − x − 2009 = x Hoặc cách 2: 2009 − x − 2009 = x ⇒ 2009 − x = x − 2009 ⇒ x − 2009 = − ( x − 2009 ) ⇒ x ≤ 2009 Câu b: 1,5 điểm x= ; y= ; z= 10 Bài 3: 2,5 điểm 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c = = 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c ⇒ = = 25 áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c 15a − 10b + 6c − 15a + 10b − 6c = = = =0 25 38 a b 2 = 15a − 10b = 3a = 2b    a c ⇒ 6c − 15a = ⇒ 2c = 5a ⇒  = 10b − 6c = 5b = 3c 2   c b 5 =  a b c Vậy = =  a = −10  áp dụng tính chất dãy tỉ số ⇒ b = −15 c = −25  Bài 4: điểm A M O B C E D N I Câu 1: câu cho 1,5 điểm Câu a: Chứng minh VABD =VICE ( cgc ) Câu b: có AB + AC = AI Vì VABD =VICE ⇒ AD = EI (2 cạnh tương ứng) áp dụng bất đẳng thức tam giác VAEI có: AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC Câu 2: 1,5 điểm Chứng minh V vBDM = ⇒ BM = CN V CEN (gcg) v Câu 3: 2,5 điểm Vì BM = CN ⇒ AB + AC = AM + AN (1) có BD = CE (gt) ⇒ BC = DE Gọi giao điểm MN với BC O ta có: MO > OD   ⇒ MO + NO > OD + OE NO > OE  ⇒ MN > DE ⇒ MN > BC ( ) Từ (1) (2) ⇒ chu vi VABC nhỏ chu vi VAMN Bài 5: điểm Theo đề ⇒ 2008a + 3b + 2008a + 2008a + b số lẻ Nếu a ≠ ⇒ 2008a + 2008a số chẵn để 2008a + 2008a + b lẻ ⇒ b lẻ Nếu b lẻ ⇒ 3b + chẵn 2008a + 3b + chẵn (không thoả mãn) Vậy a = Với a = ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 225 Vì b ∈ N ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 45 = 9.25 3b + không chia hết cho 3b + > b + 3b + = 25 ⇒ ⇒b=8 b + =  Vậy a = ; b =  §Ò thi häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2009-2010 M«n: to¸n Líp 7 Thêi gian: 120 phót ĐỀ BÀI Bài 1(4 điểm) a/ Tính: A= 3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 − + − + + − + − + b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: z zyx y yxz x xzy −+ = −+ = −+ Hãy tính giá trị biểu thức: B = 1 1 1 x y z y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      . Bài 2 (4điểm) a/ Tìm x,y,z biết: 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10. Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết góc HBE bằng 50 0 ; góc MEB bằng 25 0 , tính các góc HEM và BME ? Bài 5(2điểm): Tìm x, y ∈ N biết: ( ) 2 2 36 8 2010y x− = − Híng dÉn chÊm Bµi ý Nội dung Điểm 1 4 ®iÓm a 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 4 3 +− +− + +− +− +       +− +− +       +−       +− 4 1 3 1 2 1 2 5 4 1 3 1 2 1 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 13117 1295 13114 1353 xx x xx x + 5 2 = 1295 13117 13114 1353 x xx x xx x + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5172 21725189 x xx + = 860 1289 2 b Ta có: y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = 1 1 1 y z z x x y x y z + + + ⇒ − = − = − ( ) 2 2 x y z y z z x x y x y z x y z + + + + + ⇒ = = = = + + 1 1 1      ⇒ = + + +  ÷  ÷ ÷      x y z B y z x . . x y y z z x y z x + + + = . . 2.2.2 8 x y z x y z z y x + + + = = = Vậy B=8 0,5 0,5 0,5 0,5 2 4 điểm a 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = Áp dụng tính chất A ≥ 0 ( ) 2 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3 0 0 x x y y x x z x xz   − = − =       ⇒ + = ⇒ + =       + = + =     1 2 2 3 1 2 x y z x  =    ⇒ = −    = − = −   Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0,25 1,5 0,25 b Ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n+ + + − + ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 2 1 n n = + − + 3 .10 2 .5= − n n = 10.(3 n – 2 n-1 ) Vì 10.(3 n – 2 n-1 ) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương Suy ra điều phải chứng minh. 0,75 0,5 0,5 0,25 3 4điểm Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6. Do đó ta có: 1 1 1 : : : : 12 :15:10 5 4 6 x y z = = . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z+ + = = = = = + + 180; 225; 150x y z⇒ = = = . Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150 . 0,5 1,0 0,75 0,75 0,75 0,25 a (2 điểm) Xét AMC ∆ và EMB∆ có : K H E M B A C I Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa. K H E M B A C I Đề thi học sinh giỏi toán 7 (Đề tr ờng THCS NAM MY ) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3 đ) Tìm x , y biết: a, 327 2+x + 326 3+x + 325 4+x + 324 5+x + 5 349+x =0 b, Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 7 c, Tìm số nguyên x và y biết : 8 1 4 5 =+ y x Câu2:(3 điểm) a, Tính tổng: 2007210 7 1 7 1 7 1 7 1 ++ + + =S b, CMR: 1 !100 99 !4 3 !3 2 !2 1 <++++ c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dơng n thì: 3 n+2 2 n+2 +3 n 2 n chia hết cho 10 Câu3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tơng ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào? Câu 4: (4điểm) Cho tam giác ABC có góc 0 60=B hai đờng phân giác AP và CQ của tam giác cắt nhau tại I. a, Tính góc AIC b, CM : IP = IQ Câu 5: (4điểm) Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú à 0 A 80= . Gi D l im nm trong tam giỏc sao cho ã ã 0 0 DBC 10 ,DCB 30= = . Tớnh s o ã BAD . Câu6: (4điểm) Cho 3)1(2 1 2 + = n B . Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất. b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là 1 số nguyên biết : A = 3 1 + x x (x 0 ) hết Đáp án Câu1: a, (1) 04 5 349 1 324 5 1 325 4 1 326 3 1 327 2 = + ++ + ++ + ++ + ++ + xxxxx (0,5 đ ) 0) 5 1 324 1 325 1 326 1 327 1 )(329( =+++++ x 3290329 ==+ xx (0,5đ ) b,.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 7 5 3 7x x = + (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 đ) ( ) ( ) 5 3 7 1 5 3 7 x x x x = + = + . (0,25 đ) Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x 1 = 5/2 ; x 2 = - 2/3 (0,25đ). c) 8 1 4 5 =+ y x , 8 1 8 2 5 =+ y x , 8 21 5 y x = x(1 - 2y) = 40 (0,5 đ ) 1-2y là ớc lẻ của 40 . Ước lẻ của 40 là : 1 ; 5 . (0,25 đ ) Đáp số : x = 40 ; y = 0 (0,25 đ x = -40 ; y = 1 x = 8 ; y = -2 x = -8 ; y = 3 Câu 2 a, 2007432 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 1 +++=S ; 200632 7 1 7 1 7 1 7 1 177 ++=S (0.5đ) 2007 7 1 78 =S 8 7 1 7 2007 = S (0,5đ) b, !100 1100 !3 13 !2 12 !100 99 !4 3 !3 2 !2 1 ++ + =++++ (0,5đ) 1 !100 1 1 <= (0,5đ) c, Ta có +2 3 n )22(33232 222 nnnnnnn +=+ +++ (0,5đ) ( ) 10231010.210.35.210.3 22 == nnnnnn (0,5đ) Câu 3: Gọi độ dài 3 cạnh là a , b, c, 3 chiều cao tơng ứng là x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) x S a 2 = y S b 2 = z S c 2 = (0,5đ) z S y S x Scba 4 2 3 2 2 2 432 ==== (0,5đ) 346 432 zyx zyx ==== (0,5 đ ) vậy x, y, z tỉ lệ với 6 ; 4 ; 3 (1đ) Câu4: GT; KL; Hình vẽ (0,5đ) a, Góc AIC = 120 0 (1,5đ ) b, Lấy ACH : AH = AQ IPIHIQ == (2 đ Câu6: B đạt GTLN ( ) 312; 2 + nLNB NN (0,5đ) Vì ( ) ( ) 331201 22 + nn đạt NN khi bằng 3 (0,5đ) Dấu bằng xảy ra khi 101 == nn vậy B ; LN 3 1 = B và 1 = n (0,5đ) b) Tìm x z để A Z. A= 3 4 1 3 1 += + xx x (0,5 đ ) A nguyên khi 3 4 x nguyên (0,5 đ ) 3 x Ư (4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4} (0,5 đ ) Các giá trị của x là : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . (0,5 đ ) phòng gd&đt tam nông TRƯờNG THCS Dị NậU Đề THI CHọN HọC SINH GIỏI Môn : Toán lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Tính a, ( ) 4 8 0 15 12 6 . 3 1 .9. 3 1 15 4 . 7 3 + b, 675.4 15.1681.10 4 24 Bài 2: Cho d c b a = Chứng minh rằng bdd bdb acc aca + = + 2 2 2 2 Bài 3: Tìm x biết 6527 =++ xx Bài 4: Một cửa hàng có 3 cuộn vải, tổng chiều dài 3 cuộn là 186 mét. Giá tiền mỗi mét vải của 3 cuộn là nh nhau. Sau khi bán đợc một ngày, cửa hàng còn lại 3 2 cuộn vải thứ nhất; 3 1 cuộn vải thứ hai; 5 3 cuộn vải thứ ba. Số tiền bán đợc của 3 cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán đợc bao nhiêu mét vải của mỗi cuộn ? Bài 5: Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A Chứng minh a, DC = BE; DC BE b, BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2 c, Đờng thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC đáp án bài thi học sinh giỏi toán 7 Câu ý Nội dung Điểm 1 (0,5đ +1đ) a =1. 48 88 3.2 3.2 . 3 1 0,25 = 3 5 0,25 1 b = 238 224444 5.3.2 5.3.23.5.2 0,5 = 238 22224 5.3.2 )13.5(5.3.2 = = 3.2 124 4 0,25 = 3.2 7.2 4 5 = 3 2 4 3 14 = 0,25 2 (1,5 đ) Từ d c b a = ta có d c b a = = bd ac db ca = + + 0,5 db ca + + . d c bd ac b a . = 0,5 add acc bdb aca dbd cac bdb aca = + + = + + 2 2 2 2 ).( ).( ).( ).( 0,25 add bdb acc aca + = + 2 2 2 2 0,25 3 (1,5đ) 7x =1-2x 0,25 Do 7x 0 với mọi x nên xét với 1 2x 0 2 1 x 0,25 Tr ờng hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x= 3 8 (loại do không thoả mãn điều kiện x 2 1 ) 0,5 Tr ờng hợp 2: x 7 = 2x -1 x = - 6( thoả mãn điều kiện của x) 0,25 Vậy x = - 6 0,25 4 (2đ) . Gọi chiều dài của 3 cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lợt là a; b; c ( a; b; c > 0, đơn vị mét) 0,25 Sau một ngày cửa hàng bán đợc số vải của các cuộnlà Cuộn vải thứ nhất a - 3 2 a = 3 1 a (m) Cuộn vải thứ hai b - 3 1 b = 3 2 b (m) Cuộn vải thứ ba c - 5 3 c = 5 2 c (m) 0,25 Do giá tiền của một mét vải của các cuộn bằng nhau nên số mét vải bán đợc của các cuộn tỉ lệ thuận với số tiền bán đợc. Mà số tiền bán đợc của các cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2. Vậy số mét vải bán đợc của các cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2 0,25 2 Ta có 2 5 2 3 3 2 2 3 1 cba == 10 2 9 2 6 cba == 55,46 cba == 0,5 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 55,4655,46 ++ ++ === cbacba = 186 372 15,5 31 = =12 Suy ra a; b; c 0,5 Vậy số vải bán đợc của cửa hàng trong ngày đó là Cuộn vải thứ nhất 72 mét Cuộn vải thứ hai 54 mét Cuộn vải thứ ba 60 mét 0,25 5 ( 1,5đ +1đ+1đ) Vẽ hình đúng P Q M K D B C E A a ABE = ADC (c.g.c) => DC = BE 0,75 Chứng minh đợc DC BE 0,75 b Viết đợc 222 MCMECE += ; 222 MBMDDB += 222222 ; MCMBBCMEMDDE +=+= 0,5 => 222222 222222 MCMEMBMDDBBC MCMEMBMDCEBD +++=+ +++=+ 0,25 => BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2 0,25 c Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE 0,25 Chứng minh ADE = CPA => CP = AD => CP =AB Chứng minh đợc <P = < BAK; <ABK = <PCK 0,5 => CPK = BAK( g.c.g) => BK = KC ( dpcm) 0,25 ( Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa, bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm bài) 3 ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A M B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A 10x −7x −5 = =5x +4 + B 2x −3 2x −3 Với x ∈ Z A M B Mà Ư(7) = { −1;1; −7;7} x y c) (1,5đ) Biến đổi y3 − − x − = = = = = = = (x − y ) − (x − y) ⇒ x −x−y +y (y − 1)(x − 1) ( x − y ) [ x(− y) + y( −x) ] xy(x y + 3) −2(x − y) x y2 + (0,25đ) y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) (0,25đ) − x + y − y) xy  x y + (x + y) +  (0,25đ) x = 5; - 2; ; A M B + y − 1) xy  x y + xy(x + y) + x + y + xy +  ( x − y ) (x (0,25đ) ∈ Z ⇒ M ( 2x – 3) 2x − ( x + y = ⇒ xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y ) ( x + y ) ( x + y ) − (x − y) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) ( x − y ) (x (0,25đ) (0,25đ) = = (0,25đ) ( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ] xy(x y + 3) ( x − y ) (−2xy) xy(x y + 3) Suy điều cần chứng minh (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = (0,25đ) ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = (0,25đ) 2 * x + x = - vô nghiệm x + x + > với x (0,25đ) 2 * x + x = ⇔ x + x - = ⇔ x + 2x - x - = (0,25đ) ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = (0,25đ) Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 x +1 x + x + x + x + x + x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 b) (1,75đ) 2008 + 2007 + 2006 = 2005 + 2004 + 2003 ⇔ ( 2008 + 1) + ( 2007 + 1) + ( 2006 + 1) = ( 2005 + 1) + ( 2004 + 1) + ( 2003 + 1) ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ⇔ ( x + 2009)( 1 1 1 + + − − − )=0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 (0,5đ) Vì 1 1 < ; ; < 2008 2005 2007 2004 1 < 2006 2003 Do : 2008 + 2007 + 2006 − 2005 − 2004 − 2003 < (0,25đ) Vậy x + 2009 = E I -2009 Bài 3: (2 điểm) B C a) (1đ) Chứng minh ∆ EDF vuông cân Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ ∆ EDF cân D O Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ Eˆ = Fˆ2 A D Mà Eˆ + Eˆ + Fˆ = 900 ⇒ Fˆ2 + Eˆ + Fˆ1 = 900 ⇒ EDF = 90 Vậy ∆ EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO trung trực BD ⇔x = F 1 Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI B ⇒ I thuộc dường trung trực DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D A Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – a )2 + a a ≥ 2 2 a Ta có DE nhỏ ⇔ DE2 nhỏ ⇔ x = ⇔ BD = AE = a ⇔ D, E trung điểm AB, AC C E (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) = AB AB2 AB2 AB2 ≤ – + )+ = – (AD – ) + 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ – = AB2 không đổi Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC – (AD2 AB 2 AD AB2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ... 1.3 3.5 5 .7 95. 97  1 1 1 1  = − 1 − + − + − + + − ÷ 99. 97  3 5 95 97  1  = − 1 − ÷ 99. 97  97  48 = − 99. 97 97 − 475 1 = 99. 97 Bài 2: 3,5 điểm Câu a: điểm - Nếu x ≥ 2009 ⇒ 2009 – x + 2009...Đáp án Đề thi HSG môn Toán Bài 1: điểm Câu a: điểm (kết = 0) Câu b: điểm 1 1 − − − − − 99. 97 97. 95 95.93 5.3 3.1 1 1   = − + + + + ÷ 99. 97  1.3 3.5 5 .7 95. 97  1 1 1 1  = − 1... 3: 2,5 điểm Vì BM = CN ⇒ AB + AC = AM + AN (1) có BD = CE (gt) ⇒ BC = DE Gọi giao điểm MN với BC O ta có: MO > OD   ⇒ MO + NO > OD + OE NO > OE  ⇒ MN > DE ⇒ MN > BC ( ) Từ (1) (2) ⇒ chu vi VABC