Chứng minh tứ giác AKHD nội tiếp được trong một đường tròn 2.. kẻ tiếp tuyến Dx tại D của đường tròn tâm O đường kính BC cắt AH tại M... AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn O; R tại E
Trang 1SỞ GD & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
THANH HOÁ Năm học 2011-2012
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi 30 tháng 6 năm 2011
1 2
y x y x
4
1 4 2
a a
a
(Với a 0;a 4)
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tính giá trị của A tại a = 6+4 2
Bài 3(2,5đ): Cho phương trình: x2 – (2m-1)x + m(m-1) = 0 (1) (Với m là tham số)
a Giải phương trình (1) với m = 2
b Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (Với x1 < x2)
Chứng minh rằng x12 – 2x2 + 3 0
Bài 4(3đ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường cao BD và CK cắt nhau tại H
1 Chứng minh tứ giác AKHD nội tiếp được trong một đường tròn
2 Chứng minh tam giác AKD và tam giác ACB đồng dạng
3 kẻ tiếp tuyến Dx tại D của đường tròn tâm O đường kính BC cắt AH tại M Chứng minh M là trung điểm của AH
Bài 5(1đ): Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:
b c
Trang 2a a
2 1 1 2
a) Tứ giác AKHD có :AKH ADH 90 0 90 0 180 0
=> Tứ giác AKHD nội tiếp đường tròn đường kính AH
Trang 3M K
D
O
C B
A
Mặt khác: HDO HBO
Vậy: MDA DAM
Do đó tam giác AMD cân tại M => MD = MA
Vì tam giác ADH là tam giác vuông nên từ đó suy ra MDH MHD
=> Tam giác MDH cân tại M => MD=MH
=> MA=MH Vậy M là trung điểm của AH
Bài 5: áp dụng BĐT Côsi cho hai số
a c
b
a a
a c b a
c b a
c c a
b c b
Trang 4S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠO C VÀ ĐÀO T O ẠO K THI TUY N SINH L Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ỂN SINH LỚP 10 THPT ỚP 10 THPT P 10 THPT
QU NG NAM ẢNG NAM N m h c 2011 -2012 (30/ 6/ 2011) ăm học 2011 -2012 (30/ 6/ 2011) ọc 2011 -2012 (30/ 6/ 2011)
2) Cho phương trình bậc hai x2 – mx + m – 1 = 0 (1)
a) Giải hệ phương trình (1) khi m = 4 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ
2) Xác định a, b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –
2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm có hoành độ bằng 2
Bài 4: (4.0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R ) đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa của cung
AB trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB OD cắt AC tại M Từ A, kẻ AHvuông góc với OD (H thuộc OD) AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn (O; R) tại E
a) Chứng minh MCNH là tứ giác nội tiếp và OD song song vơia EB
b) Gọi K là giao điểm của EC và OD Chứng minh rằng CKD = CEB Suy ra C
là trung điểm của KE
c) Chứng minh tam giác EHK vuông cân và MN song song với AB
d) Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH
=====Hết=====
ĐỀ CHÍNH THỨC
Họ và tên thí sinh Số báo danh ……… …
Trang 5SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Quảng Nam Năm học 2011 - 2012
MÔN THI: TOÁN
Vậy khi m = 4, thì phương trình dã
cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 3
b) = m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 0
với mọi m, nên phương trình luôn
luôn có hai nghiệm
1
2,5đ 0,75
4x22) Đường thẳng (d): y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –
2 nên b = –2 (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 nên x = 2
Thay x = 2 vào hàm số y = 1
4x2 ta được y = 1
4.22 = 1Thay x = 2, y = 1 và b = –2 vào phương trình (d) ta được:
2a – 2 = 1 => 2a = 3 => a = 1,5Vậy a = 1,5 và b = –2 thì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –2 và cắt đồ thị (P) tại điểm có hoành độ bằng 2
*/ Chứng minh MN // AB:
Ta có ECB = HCM (cùng phụ với NHC)
1.5 đ 0,75 0,75
Trang 6Câu 1: Chứng minh tứ giác MCNH
Vậy tứ giác MCNH nội tiềp
Ta có AEB = 900 (Góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn) => BEAE
và ta có ODAE (gt)
Vậy OD // EB
Câu 2:
Chứng minh CKD = CEB Suy ra
C là trung điểm của KE
Vậy C là trung điểm của KE
Câu 3: Chứng minh EHK vuông
cân và MN //AB
Ta có ODAE (gt) => EHK = 900
=> EHK vuông tại H
Ta có C là điểm chính giữa của
cung AB nửa đường tròn nên số đo
cung CA bằng 900 => CEA = 450
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy EHK vuông cân tại H
Ta có C là trung điểm của AD (gt)
Và O là trung điểm của AB (gt)Nên AC và DO là hai trung tuyến của ABD
Mà AC và OD cắt nhau tại M, nên
M là trọng tâm của ABD Suy ra CM = 1
3AC (tính chất trọngk tâm của tam giác ) => 1
H E
D
B
Trang 7SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
7 3
y x y x
3/ Đơn giản biểu thức P 5 80 125
4/ Cho biết ab a 1 b 1 (a 1 ;b 1 ) Chứng minh a + b = ab
Lưu ý: các câu 1/, 2/ 3/ không sử dụng máy tính.
Trang 8; 3
a b a b
1 1
2
1 1 2 1 1 1
1
Câu II:
1/ Vẽ (P)
2/ PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x 2 – 2(1 – m)x – 3 = 0
a,c trái dấu hoặc = (1 – m) ' 2 + 3 >0
nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
1/ Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC
MÂC là góc nội tiếp chắn cung MC
MÂB là góc nội tiếp chắn cung MB
Mà hai cung MC, MB bằng nhau theo gt
Nên MÂC = MÂB hay AM là phân giác của BÂC
2/ Cho biết AC = R Tính BC, MB
0 90
x x x
x x nên x
x
vì
x x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x
0 1 1 0
1 0
1
1 1 2
1 1 1
2 1
2 2 1 2 1
2 2 2
2 3 4
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
3 2
4 2
3 4
UBND TỈNH NINH BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 - THPT
Chuyên Lương Văn Tụy Năm học 2011 - 2012
(Khóa ngày 21/6/2011)
Trang 9Môn thi: TOÁN - VÒNG I
Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang
b) CM: Với mọi giá trị của m thì đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại 2 điểm phân biệt
c) Gọi A(X A ,Y A )và B(X B ,Y B ) là 2 giao điểm của (P) và (d)
Tìm E min =Y A +Y B
Câu 3: (1,5 điểm)
Hai đội công nhân hợp tác làm cùng 1 công việc Nếu 2 đội cùng làm công việc đó thì sau 15 giờ họ hoàn thành công việc Nếu đội 1 làm một mình trong 3 giờ rồi nghỉ và đội 2 làm tiếp công việc đó 5 giờ nữa thì công việc hoàn thành được 25% Tính thời gian 2 đội làm riêng để hoàn thành công việc đó.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm S ở ngoài đường tròn.Kẻ 2 tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn (O,R) (A,B là 2 tiếp điểm) Điểm I thuộc đoạn AB (I khác A và B) đường thẳng qua I và vuông góc với OI lần lượt cắt SA, SB lần lượt ở M và N.
a) CM:4 điểm O,I,A,M cùng thuộc 1 đường tròn
b) CM: MI=NI
c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn nhất
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………….… …….
Họ và tên, chữ kí của giám thị 1:……… ………
Họ và tên, chữ kí của giám thị 2:……….……….………
ĐÁP ÁN
Câu 1:
a) Giải hệ phương trình:
Trang 105 1 2 2
x x
Trang 11Gọi x là thời gian đội 1 làm riêng để hoàn thành công việc: x (giờ; x>15)
Gọi y là thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc: y (giờ; y>15)
Gọi số công việc là A.
Công việc đội 1 làm được trong 1 giờ là: A/x
Công việc đội 1 làm được trong 1 giờ là: A/y
Vì nếu 2 đội cùng làm công việc đó thì sau 15 giờ họ hoàn thành công việc nên ta có phương trình 1:
Trang 12Nghiệm thỏa mãn điều kiện vậy:
- Thời gian đội 1 làm riêng để hoàn thành công việc là 24 giờ
- Thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là 40 giờ
Câu 4:
a) CM:4 điểm O, I, A, M cùng thuộc 1 đường tròn
Ta có: MIO vuông tại I (vì MN vuông góc với OI)
Nên MIO thuộc đường tròn đường kính OM
MAO vuông tại A (TC tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)
Nên MAO cũng thuộc đường tròn đường kính OM
Vậy 4 điểm O, I, A, M cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM (ĐPCM)
B N (Cùng chắn cung OI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OINB) (II)
Mặt khác AOB cân tại O (OA=OB=R) nên µ µ
Và ta có luôn OM = ON c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn nhất
Xét 2 tam giác vuông OAM và OBN có: OM = ON (Chứng minh ý b)
AO = OB = R (bán kính đường tròn) Vậy OAM = OBN và AM = BN (IV)
Diện tích tam giác SMN là: S SMN =1SM.SN. ·
·
SinMSN không đổi vậy SSMN lớn nhất khi tích SM.SN lớn nhất
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho SM và SN ta có:
Trang 13SM SN 2 SM.SN
SA + AM +SB - BN 2 SM.SN
SA = SB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
AM = BN (Chứng minh trên (IV))
2SA 2 SM.SN SM.SN SA dấu bằng xảy ra khi SM = SM hay M trùng với A, N trùng với B và
I là trung điểm của AB.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác SMN = 1 2 ·
SA
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI: TOÁN
Thời gian :120 phút (không tính thời gian giao đề)
5 5 1 2
3 6
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 ( m là tham số )
a/ Giải phương trình khi m = 0
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 khác 0 và thỏa điều
kiện x12 =4x22
Bài 4: (1,5đ)
Một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm và mỗi đường chéo của nó
có độ dài 10cm Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật đó
Bài 5: (3,5đ)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD Gọi M là một
điểm di động trên cung nhỏ AB ( M không trùng với các điểm A và B)
a/ Chứng minh rằng MD là đường phân giác của góc BMC
b/ Cho AD = 2R Tính diện tích tứ giác ABDC theo R
c/ Gọi K là giao điểm của AB và MD , H là giao điểm của AD và MC
Chứng minh rằng ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy
HẾT
Trang 14a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình
Tìm m để biểu thức A = 2 2
1 2 1 2
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5: (3,5 điểm)
Trang 15Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho
AB > AC
Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Từ H, vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông gócvới AC
(E thuộc AB,F thuộc AC)
a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF
b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F)
Chứng minh AP2 = AE.AB Suy ra APH là tam giác cân
c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cùa AD và đường tròn (O) (K khác A) Chứng minh AEFK là một tứ giác nội tiếp
d) Gọi I là giao điểm của KF và BC Chứng minh IH2 = IC.ID
Híng dÉn chÊm thi Bài 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
x y
Trang 16(P) đi qua O(0;0), 1; 1 , 2; 4
Trang 17b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = b 2m
Bài 5: (3,5 điểm) a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông
Góc HAF = góc EFA (vì AEHF là hình chữ nhật)Góc OAC = góc OCA (vì OA = OC)
Ta có : AH2 = AE.AB (hệ thức lượng HAB vuông tại H, có HE là chiều cao)
AP = AH APH cân tại A
c) DE.DF = DC.DB, DC.DB = DK.DA DE.DF = DK.DA
Do đó DFK đồng dạng DAE góc DKF = góc DEA tứ giác AEFK nội tiếp
d) Ta có : AF.AC = AH2 (hệ thức lượng trong AHC vuông tại H, có HF là chiều cao)
Ta có: AK.AD = AH2 (hệ thức lượng trong AHD vuông tại H, có HK là chiều cao)
Vậy AK.AD = AF.AC
Từ đó ta có tứ giác AFCD nội tiếp,
vậy ta có: IC.ID=IF.IK (ICF đồng dạng IKD)
và IH2 = IF.IK (từ IHF đồng dạng IKH) IH2 = IC.ID
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
b Chứng minh rằng pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c Tìm m sao cho pt đã cho có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức 2 2
Trang 18Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6 m và bình phương độ dàiđường chéo gấp 5 lần chu vi Tính diện tích của mảnh đất hình chữ nhật.
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O, vẽ dây cung BC không đi qua tâm Trên tia đối của tia BC lấy điểm M bất kì Đường thẳng đi qua M cắt (O) lần lượt tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm bên trong góc PMC Trên cung nhỏ NP lấy điểm A sao cho cung AN bằng cung AP Hai dây cung AB, AC cắt NP lần lượt tại D và E
a Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (3;2)
b Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = -2x +3 a = -2 và b
3
Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm M(2;5) x = 2; y = 5
Thay a = -2 ; x = 2 ; y = 5 vào hàm số y = ax + b ta được: -2.2 + b = 5
b ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + m + 5 = m2 + 2.1
2m + 1 1
4 4 + 5 =
Trang 19K E
= (m + 1
2)2 + 19
4 > 0 với mọi mVậy pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c Theo câu b pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, nên áp dụng hệ thức
9
4
m m
Giải pt này ta được x1 = -2 (loại) ; x2 = 6 (TM)
Suy ra chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 6m; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là 12m
Vậy diện tích của mảnh đất hình chữ nhật: 6.12 = 72 (m2)
Lại có: BDN BDE 180 0 ACB BDE 180 0 hay ECB BDE 180 0
Suy ra tứ giác BDEC nội tiếp
Trang 202011 khi x = 2011
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a/ 9x2 + 3x – 2 = 0
b/ x4 + 7x2 – 18 = 0
2) Với giá trị nào nào của m thì đồ thị của hai hàm số y = 12x + (7 – m) và
y = 2x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Trang 21b) Tìm giá của của x để biểu thức B = 3.
2) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức
P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4.(3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao
BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H Đường thẳng BD cắt đường tròn (O)tại điểm P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điêm thứ hai Q Chứng minh rằng:1) BEDC là tứ giác nội tiếp
2) HQ.HC = HP.HB
3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ
4) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng P
SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Môn thi : Toán
Ngày thi : 22 tháng 6 năm 2011 Thời gian làm bài: 120 phút
2) Tính giá trị của A khi x = 9
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 223) Tìm x để A 1
3
Bài II (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định Do mỗingày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quyđịnh 1 ngày và chở thêm được 10 tấn Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêungày?
Bài III (1,0 điểm)
Cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y 2x m 29
1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trụctung
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến củađường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đườngtròn (O) (E không trùng với A và B) Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EIcắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ENIEBI và MIN 90 0
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI
4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O) Hãytính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng
Trang 232 5
Gọi thời gian đội xe chở hết hàng theo kế hoạch là x(ngày) (ĐK: x > 1)
Thì thời gian thực tế đội xe đó chở hết hàng là x – 1 (ngày)
Mỗi ngày theo kế hoạch đội xe đó phải chở được 140
x (tấn) Thực tế đội đó đã chở được 140 + 10 = 150(tấn) nên mỗi ngày đội đó chở được 150
Gọi khối lượng hàng chở theo định mức trong 1 ngày của đội là x (tấn) ( x > 0)
Số ngày quy định là 140x (ngày)
Do chở vượt mức nên số ngày đội đã chở là 140 1
x (ngày) Khối lượng hàng đội đã chở được là 140 + 10 = 150 (tấn)
Theo bài ra ta có pt: