tuyển tập đề thi môn toán vào lớp 10 có đáp án

Chứng minh tứ giác AKHD nội tiếp được trong một đường tròn 2.. kẻ tiếp tuyến Dx tại D của đường tròn tâm O đường kính BC cắt AH tại M... AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn O; R tại E

SỞ GD & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

THANH HOÁ Năm học 2011-2012

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Ngày thi 30 tháng 6 năm 2011

1 2

y x y x

4

1 4 2

a a

a

(Với a 0;a 4)

1 Rút gọn biểu thức A

2 Tính giá trị của A tại a = 6+4 2

Bài 3(2,5đ): Cho phương trình: x2 – (2m-1)x + m(m-1) = 0 (1) (Với m là tham số)

a Giải phương trình (1) với m = 2

b Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (Với x1 < x2)

Chứng minh rằng x12 – 2x2 + 3  0

Bài 4(3đ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường cao BD và CK cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác AKHD nội tiếp được trong một đường tròn

2 Chứng minh tam giác AKD và tam giác ACB đồng dạng

3 kẻ tiếp tuyến Dx tại D của đường tròn tâm O đường kính BC cắt AH tại M Chứng minh M là trung điểm của AH

Bài 5(1đ): Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

b c

a a

2 1 1 2

a) Tứ giác AKHD có :AKH ADH   90 0  90 0  180 0

=> Tứ giác AKHD nội tiếp đường tròn đường kính AH

M K

D

O

C B

A

Mặt khác: HDO HBO  

Vậy: MDA DAM  

Do đó tam giác AMD cân tại M => MD = MA

Vì tam giác ADH là tam giác vuông nên từ đó suy ra MDH MHD

=> Tam giác MDH cân tại M => MD=MH

=> MA=MH Vậy M là trung điểm của AH

Bài 5: áp dụng BĐT Côsi cho hai số

a c

b

a a

a c b a

c b a

c c a

b c b

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠO C VÀ ĐÀO T O ẠO K THI TUY N SINH L Ỳ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ỂN SINH LỚP 10 THPT ỚP 10 THPT P 10 THPT

QU NG NAM ẢNG NAM N m h c 2011 -2012 (30/ 6/ 2011) ăm học 2011 -2012 (30/ 6/ 2011) ọc 2011 -2012 (30/ 6/ 2011)

2) Cho phương trình bậc hai x2 – mx + m – 1 = 0 (1)

a) Giải hệ phương trình (1) khi m = 4 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ

2) Xác định a, b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –

2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài 4: (4.0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O; R ) đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa của cung

AB trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB OD cắt AC tại M Từ A, kẻ AHvuông góc với OD (H thuộc OD) AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn (O; R) tại E

a) Chứng minh MCNH là tứ giác nội tiếp và OD song song vơia EB

b) Gọi K là giao điểm của EC và OD Chứng minh rằng CKD = CEB Suy ra C

là trung điểm của KE

c) Chứng minh tam giác EHK vuông cân và MN song song với AB

d) Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH

=====Hết=====

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh Số báo danh ……… …

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Quảng Nam Năm học 2011 - 2012

MÔN THI: TOÁN

Vậy khi m = 4, thì phương trình dã

cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 3

b)  = m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 0

với mọi m, nên phương trình luôn

luôn có hai nghiệm

1

2,5đ 0,75

4x22) Đường thẳng (d): y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –

2 nên b = –2 (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 nên x = 2

Thay x = 2 vào hàm số y = 1

4x2 ta được y = 1

4.22 = 1Thay x = 2, y = 1 và b = –2 vào phương trình (d) ta được:

2a – 2 = 1 => 2a = 3 => a = 1,5Vậy a = 1,5 và b = –2 thì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –2 và cắt đồ thị (P) tại điểm có hoành độ bằng 2

*/ Chứng minh MN // AB:

Ta có ECB = HCM (cùng phụ với NHC)

1.5 đ 0,75 0,75

Câu 1: Chứng minh tứ giác MCNH

Vậy tứ giác MCNH nội tiềp

Ta có AEB = 900 (Góc nội tiếp

chắn nửa đường tròn) => BEAE

và ta có ODAE (gt)

Vậy OD // EB

Câu 2:

Chứng minh CKD = CEB Suy ra

C là trung điểm của KE

Vậy C là trung điểm của KE

Câu 3: Chứng minh EHK vuông

cân và MN //AB

Ta có ODAE (gt) => EHK = 900

=> EHK vuông tại H

Ta có C là điểm chính giữa của

cung AB nửa đường tròn nên số đo

cung CA bằng 900 => CEA = 450

(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy  EHK vuông cân tại H

Ta có C là trung điểm của AD (gt)

Và O là trung điểm của AB (gt)Nên AC và DO là hai trung tuyến của ABD

Mà AC và OD cắt nhau tại M, nên

M là trọng tâm của ABD Suy ra CM = 1

3AC (tính chất trọngk tâm của tam giác ) => 1

H E

D

B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

7 3

y x y x

3/ Đơn giản biểu thức P 5  80  125

4/ Cho biết ab  a 1  b 1 (a 1 ;b 1 ) Chứng minh a + b = ab

Lưu ý: các câu 1/, 2/ 3/ không sử dụng máy tính.

; 3

a b a b

1 1

2

1 1 2 1 1 1

1

Câu II:

1/ Vẽ (P)

2/ PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x 2 – 2(1 – m)x – 3 = 0

a,c trái dấu hoặc  = (1 – m) ' 2 + 3 >0

nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m

1/ Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC

MÂC là góc nội tiếp chắn cung MC

MÂB là góc nội tiếp chắn cung MB

Mà hai cung MC, MB bằng nhau theo gt

Nên MÂC = MÂB hay AM là phân giác của BÂC

2/ Cho biết AC = R Tính BC, MB

0 90

x x x

x x nên x

x

vì

x x x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

0 1 1 0

1 0

1

1 1 2

1 1 1

2 1

2 2 1 2 1

2 2 2

2 3 4

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

3 2

4 2

3 4

UBND TỈNH NINH BÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 - THPT

Chuyên Lương Văn Tụy Năm học 2011 - 2012

(Khóa ngày 21/6/2011)

Môn thi: TOÁN - VÒNG I

Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang

b) CM: Với mọi giá trị của m thì đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại 2 điểm phân biệt

c) Gọi A(X A ,Y A )và B(X B ,Y B ) là 2 giao điểm của (P) và (d)

Tìm E min =Y A +Y B

Câu 3: (1,5 điểm)

Hai đội công nhân hợp tác làm cùng 1 công việc Nếu 2 đội cùng làm công việc đó thì sau 15 giờ họ hoàn thành công việc Nếu đội 1 làm một mình trong 3 giờ rồi nghỉ và đội 2 làm tiếp công việc đó 5 giờ nữa thì công việc hoàn thành được 25% Tính thời gian 2 đội làm riêng để hoàn thành công việc đó.

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm S ở ngoài đường tròn.Kẻ 2 tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn (O,R) (A,B là 2 tiếp điểm) Điểm I thuộc đoạn AB (I khác A và B) đường thẳng qua I và vuông góc với OI lần lượt cắt SA, SB lần lượt ở M và N.

a) CM:4 điểm O,I,A,M cùng thuộc 1 đường tròn

b) CM: MI=NI

c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn nhất

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………….… …….

Họ và tên, chữ kí của giám thị 1:……… ………

Họ và tên, chữ kí của giám thị 2:……….……….………

ĐÁP ÁN

Câu 1:

a) Giải hệ phương trình:

5 1 2 2

x x

Gọi x là thời gian đội 1 làm riêng để hoàn thành công việc: x (giờ; x>15)

Gọi y là thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc: y (giờ; y>15)

Gọi số công việc là A.

Công việc đội 1 làm được trong 1 giờ là: A/x

Công việc đội 1 làm được trong 1 giờ là: A/y

Vì nếu 2 đội cùng làm công việc đó thì sau 15 giờ họ hoàn thành công việc nên ta có phương trình 1:

Nghiệm thỏa mãn điều kiện vậy:

- Thời gian đội 1 làm riêng để hoàn thành công việc là 24 giờ

- Thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là 40 giờ

Câu 4:

a) CM:4 điểm O, I, A, M cùng thuộc 1 đường tròn

Ta có:  MIO vuông tại I (vì MN vuông góc với OI)

Nên MIO thuộc đường tròn đường kính OM

 MAO vuông tại A (TC tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

Nên MAO cũng thuộc đường tròn đường kính OM

Vậy 4 điểm O, I, A, M cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM (ĐPCM)

B N (Cùng chắn cung OI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OINB) (II)

Mặt khác  AOB cân tại O (OA=OB=R) nên µ µ

Và ta có luôn OM = ON c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn nhất

Xét 2 tam giác vuông  OAM và  OBN có: OM = ON (Chứng minh ý b)

AO = OB = R (bán kính đường tròn) Vậy  OAM =  OBN và  AM = BN (IV)

Diện tích tam giác SMN là: S SMN =1SM.SN. ·

·

SinMSN không đổi vậy SSMN lớn nhất khi tích SM.SN lớn nhất

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho SM và SN ta có:

SM SN 2 SM.SN

SA + AM +SB - BN 2 SM.SN



SA = SB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

AM = BN (Chứng minh trên (IV))

2SA 2 SM.SN   SM.SN SA  dấu bằng xảy ra khi SM = SM hay M trùng với A, N trùng với B và

I là trung điểm của AB.

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác SMN = 1 2 ·

SA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN

Thời gian :120 phút (không tính thời gian giao đề)

5 5 1 2

3 6

Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 ( m là tham số )

a/ Giải phương trình khi m = 0

b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 khác 0 và thỏa điều

kiện x12 =4x22

Bài 4: (1,5đ)

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm và mỗi đường chéo của nó

có độ dài 10cm Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật đó

Bài 5: (3,5đ)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD Gọi M là một

điểm di động trên cung nhỏ AB ( M không trùng với các điểm A và B)

a/ Chứng minh rằng MD là đường phân giác của góc BMC

b/ Cho AD = 2R Tính diện tích tứ giác ABDC theo R

c/ Gọi K là giao điểm của AB và MD , H là giao điểm của AD và MC

Chứng minh rằng ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy

HẾT

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình

Tìm m để biểu thức A = 2 2

1 2 1 2

x x  x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho

AB > AC

Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Từ H, vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông gócvới AC

(E thuộc AB,F thuộc AC)

a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF

b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F)

Chứng minh AP2 = AE.AB Suy ra APH là tam giác cân

c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cùa AD và đường tròn (O) (K khác A) Chứng minh AEFK là một tứ giác nội tiếp

d) Gọi I là giao điểm của KF và BC Chứng minh IH2 = IC.ID

Híng dÉn chÊm thi Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

x y

(P) đi qua O(0;0),   1; 1 , 2; 4   

b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = b 2m

Bài 5: (3,5 điểm) a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

Góc HAF = góc EFA (vì AEHF là hình chữ nhật)Góc OAC = góc OCA (vì OA = OC)

Ta có : AH2 = AE.AB (hệ thức lượng HAB vuông tại H, có HE là chiều cao)

 AP = AH  APH cân tại A

c) DE.DF = DC.DB, DC.DB = DK.DA  DE.DF = DK.DA

Do đó DFK đồng dạng DAE  góc DKF = góc DEA  tứ giác AEFK nội tiếp

d) Ta có : AF.AC = AH2 (hệ thức lượng trong AHC vuông tại H, có HF là chiều cao)

Ta có: AK.AD = AH2 (hệ thức lượng trong AHD vuông tại H, có HK là chiều cao)

Vậy  AK.AD = AF.AC

Từ đó ta có tứ giác AFCD nội tiếp,

vậy ta có: IC.ID=IF.IK (ICF đồng dạng IKD)

và IH2 = IF.IK (từ IHF đồng dạng IKH)  IH2 = IC.ID

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

b Chứng minh rằng pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c Tìm m sao cho pt đã cho có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức 2 2

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6 m và bình phương độ dàiđường chéo gấp 5 lần chu vi Tính diện tích của mảnh đất hình chữ nhật.

Bài 4: (3 điểm)

Cho đường tròn tâm O, vẽ dây cung BC không đi qua tâm Trên tia đối của tia BC lấy điểm M bất kì Đường thẳng đi qua M cắt (O) lần lượt tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm bên trong góc PMC Trên cung nhỏ NP lấy điểm A sao cho cung AN bằng cung AP Hai dây cung AB, AC cắt NP lần lượt tại D và E

a Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (3;2)

b Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = -2x +3  a = -2 và b

 3

Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm M(2;5)  x = 2; y = 5

Thay a = -2 ; x = 2 ; y = 5 vào hàm số y = ax + b ta được: -2.2 + b = 5

b ’ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + m + 5 = m2 + 2.1

2m + 1 1

4 4 + 5 =

K E

= (m + 1

2)2 + 19

4 > 0 với mọi mVậy pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c Theo câu b pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, nên áp dụng hệ thức

9

4

m m

Giải pt này ta được x1 = -2 (loại) ; x2 = 6 (TM)

Suy ra chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 6m; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là 12m

Vậy diện tích của mảnh đất hình chữ nhật: 6.12 = 72 (m2)

Lại có: BDN BDE    180 0  ACB BDE   180 0 hay ECB BDE    180 0

Suy ra tứ giác BDEC nội tiếp

2011 khi x = 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Giải các phương trình sau:

a/ 9x2 + 3x – 2 = 0

b/ x4 + 7x2 – 18 = 0

2) Với giá trị nào nào của m thì đồ thị của hai hàm số y = 12x + (7 – m) và

y = 2x + (3 + m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

b) Tìm giá của của x để biểu thức B = 3.

2) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức

P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4.(3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao

BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H Đường thẳng BD cắt đường tròn (O)tại điểm P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điêm thứ hai Q Chứng minh rằng:1) BEDC là tứ giác nội tiếp

2) HQ.HC = HP.HB

3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ

4) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng P

SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Môn thi : Toán

Ngày thi : 22 tháng 6 năm 2011 Thời gian làm bài: 120 phút

2) Tính giá trị của A khi x = 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

3) Tìm x để A 1

3



Bài II (2,5 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định Do mỗingày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quyđịnh 1 ngày và chở thêm được 10 tấn Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêungày?

Bài III (1,0 điểm)

Cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y 2x m  29

1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1

2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trụctung

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến củađường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đườngtròn (O) (E không trùng với A và B) Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EIcắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N

1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ENIEBI và MIN 90 0

3) Chứng minh AM.BN = AI.BI

4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O) Hãytính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng

2 5

Gọi thời gian đội xe chở hết hàng theo kế hoạch là x(ngày) (ĐK: x > 1)

Thì thời gian thực tế đội xe đó chở hết hàng là x – 1 (ngày)

Mỗi ngày theo kế hoạch đội xe đó phải chở được 140

x (tấn) Thực tế đội đó đã chở được 140 + 10 = 150(tấn) nên mỗi ngày đội đó chở được 150

Gọi khối lượng hàng chở theo định mức trong 1 ngày của đội là x (tấn) ( x > 0)

Số ngày quy định là 140x (ngày)

Do chở vượt mức nên số ngày đội đã chở là 140 1

x (ngày) Khối lượng hàng đội đã chở được là 140 + 10 = 150 (tấn)

Theo bài ra ta có pt: