Tuyển tập bất đẳng thức trong đề thi thử quốc gia 2016 môn toán Trần tài

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG  Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)   a, b  0, thì: a  b  a.b D}́u "  " xảy khi: a  b   a, b, c  0, thì: a  b  c  3 a.b.c D}́u "  " xảy v| khi: a  b  c Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab  ab ab abc  a.b    v| a.b.c     2      Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)   a, b, x, y  , thì: ( a.x  b.y )2  ( a  b2 )( x  y ) D}́u "  " xảy khi: a b   x y   a, b, c , x , y , z  , thì: ( a.x  b.y  c.z )2  ( a  b  c )( x  y  z ) D}́u "  " xảy v| khi: a b c    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b.y  ( a2  b2 )( x2  y ) Hệ quả Nếu a, b, c l| c{c số thực v| x , y , z l| c{c số dương thì: a b ( a  b) a b c ( a  b  c )2 v| : b}́t đẵng thức cộng m}̂u số      x y xy x y z xyz  Bất đẳng thƣ́c véctơ Xét c{c véctơ: u  ( a; b), v  ( x; y) Ta có : u  v  u  v  a2  b2  x2  y  (a  x)2  (b  y)2 D}́u "  " xảy u v| v cùng hướng  Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp  x3  y3  ( x  y)3  3xy( x  y)   x3  y3  z3  ( x  y  z)3  3( x  y)( y  z)( z  x)  x3  y3  z3  3xyz  (x  y  z) x2  y2  z2  (xy  yz  zx) x2  y  z2  ( x  y  z)2  2( xy  yz  zx)  (a  b)(b  c)(c  a)  ab2  bc  ca2  (a2 b  b2 c  c a)  ( a  b)(b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc  ( a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  2( a2  b2  c  ab  bc  ca)  2( a3  b3  c )  6abc  abc  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  3(a  b)(b  c)(c  a) ( a  b)  ( a  b ) 2   2    ( a  b)2  ( a  b)2 v| ab   Một số đánh giá bản và bất đẳng thƣ́c phụ Các đánh giá bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại)  .( a2  b2 )  .ab  suy  x  y  z  xy  yz  zx a  x; y; z   VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 suy  ( x  y)( y  z)( z  x)  xyz b  x; y; z   c  x; y; z  suy   3( x  y  z )  ( x  y  z)2 suy  ( x  y  z)( x  y  z )  3( x y  y z  z x) d  x; y; z   suy  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx) e  x; y; z   suy  x y  y z  z x  xyz( x  y  z) f  x; y; z   suy  ( xy  yz  zx)2  xyz( x  y  z) g  x; y; z   h  x; y; z  suy   3( x y  y z  z x )  ( xy  yz  zx)2 suy   ( x  y  z)( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z)( z  x) Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại áp dụng) suy j  x; y    x  y  ( x  y) 1 1 suy suy        k  xy   v|  xy   2 2  xy  xy 1 x 1 y 1 x 1 y i  x; y; z  suy Suy ra:  xy    suy  l  x; y   1 1 suy v|  xy          x  y  xy  x  y  xy 1    2  xy (1  x) (1  y) suy  m  x; y  0;1  1 x  1 y   xy  x, y     1  suy n       1   1    1  x  y  xy  x  y  Chƣ́ng minh các đánh giá bản suy  x  y  z  xy  yz  zx a Chƣ́ng minh:  x; y; z    x2  y  x2 y  xy    Áp dụng BĐT Cauchy:  y  z  y z  yz  x  y  z  xy  yz  zx D}́u "  " x  y  z  2 2  z  x  z x  zx suy  ( x  y)( y  z)( z  x)  xyz b Chƣ́ng minh:  x; y; z    x  y  xy  nhân Áp dụng BĐT Cauchy  y  z  yz  ( x  y)( y  z)( z  x)  x y z  xyz D}́u "  " x  y  z   z  x  zx c Chƣ́ng minh:  x; y; z  suy   3( x  y  z )  ( x  y  z)2 Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng m}̂u số, ta được: x2  y  z2  x2 y z ( x2  y  z )     3( x  y  z )  ( x  y  z)2 D}́u "  " x  y  z 1 suy  ( x  y  z)( x  y  z )  3( x y  y z  z x) d Chƣ́ng minh:  x; y; z   Ta có: ( x  y  z)(x2  y  z )  ( x3  xy )  ( y  yz )  ( z  zx2 )  x2 y  y z  z x Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (