Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bài toán được chứng minh xong.. Tăng Hải Tuân http://tanghaituan.com https://facebook.com/tanghaituan.vlpt.[r]
(1)TĂNG HẢI TUÂN DIỄN ĐÀN VẬT LÍ PHỔ THÔNG GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC ĐỀ THI HSG QUỐC GIA MÔN TOÁN 2015 http://vatliphothong.vn Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh √ √ √ 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)( ab + bc + ca) + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ (a + b + c)2 Lời giải Hả iT uâ Đầu tiên, ta chứng minh n (Trích Đề thi chọn HSG quốc gia môn Toán 2015) √ √ √ 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)( ab + bc + ca) + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 Bất đẳng thức trên tương đương √ √ √ (a + b + c)2 ≥ (a + b + c)( ab + bc + ca), hay a+b+c≥ Thật nó luôn đúng vì √ √ √ ab + bc + ca √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( a − b)2 + ( b − c)2 + ( c − a)2 a + b + c − ( ab + bc + ca) = ≥ Đẳng thức xảy và a = b = c Tă ng Tiếp theo, ta chứng minh √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ (a + b + c)2 Cách 1: Bất đẳng thức này tương đương [ (√ √ √ )] (a − b) + (b − c) + (c − a) − (a + b + c) a + b + c − ab + bc + ca ≥ 0, 2 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 − [√ √ √ √ √ √ 2] (a + b + c) ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) ≥ 0, Sc (a − b)2 + Sa (b − c)2 + Sb (c − a)2 ≥ 0, đó a+b+c Sa = − √ √ 2( b + c) a+b+c √ Sb = − √ 2( c + a)2 a+b+c √ Sc = − √ 2( a + b) (2) Giả sử a ≥ b ≥ c, ta thấy √ a + c + ac − b a+b+c S =1− √ √ = √ √ ≥0 b 2( c + a) 2( c + a) √ a + b + c a + b + ab − c √ = √ ≥0 Sc = − √ √ 2( a + b) 2( a + b) Mặt khác, ta có a−c a ≥ , đó b−c b Hả iT uâ n Sc (a − b)2 + Sa (b − c)2 + Sb (c − a)2 ≥ Sa (b − c)2 + Sb (a − c)2 ( ( ) )2 a−c = (b − c)2 Sb + Sa b−c ( ) a2 ≥ (b − c) Sb + Sa b a Sb + b Sa = (b − c)2 · b2 Như vậy, ta cần chứng minh a2 Sb + b2 Sa ≥ 0, tức là chứng minh ) ( a+b+c a+b+c 2 a2 − √ √ + b 1 − (√ √ )2 ≥ 0, 2( c + a) b+ c b2 a2 a2 + b2 ≥ (a + b + c) √ )2 √ + (√ √ 2( c + a) b+ c Tă ng √ √ √ √ √ Thật vậy, vì c ≥ nên ( a + c)2 = a + c + ac ≥ a + c, tương tự ( b + c)2 ≥ b + c Do đó ) ( 2 a b a2 b2 (a + b + c) √ √ + (√ √ )2 ≤ (a + b + c) (c + a) + (b + c) 2( c + a) b+ c a2 + b2 a2 b b2 a + + 2 (c + a) (b + c) 2 a2 b b2 a a +b ≤ + + 2a 2b a2 + b2 = + ab a2 + b2 a2 + b2 ≤ + 2 = a + b2 = Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy và a = b = c a = b, c = Cách 2: Đổi biến a, b, c a2 , b2 , c2 ta cần chứng minh (a2 + b2 + c2 )(ab + bc + ca) + (a2 − b2 )2 + (b2 − c2 )2 + (c2 − a2 )2 ≥ (a2 + b2 + c2 )2 , tương đương với a4 + b4 + c4 + (a2 + b2 + c2 )(ab + bc + ca) ≥ 4(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ), (3) a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) + ab(a2 + b2 ) + bc(b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 ) ≥ 4(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) Theo bất đẳng thức Schur bậc 4, ta có a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ ab(a2 + b2 ) + bc(b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 ) Do đó ta cần chứng minh ab(a2 + b2 ) + bc(b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 ) ≥ 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) Bất đẳng thức này luôn đúng vì theo AM − GM thì a2 + b2 ≥ 2ab, b2 + c2 ≥ 2bc, c2 + a2 ≥ 2ca Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy và a = b = c a = b, c = các hoán vị nó Ta có, Hả iT uâ n Cách 3: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 ≥ 4(ab + bc + ca) √ √ √ ab( a − b)2 ≥ a+b √ √ 2ab 2bc √ 2ca Từ đó suy ab ≥ Tương tự ta có bc ≥ , ca ≥ a+b b+c c+a Sử dụng các bất đẳng thức này và bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 ) ( ab bc ca + + + a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) a+b b+c c+a ( ) 1 = 2(ab + bc + ca) + 2abc + + + a2 + b2 + c2 a+b b+c c+a ( ) ≥ 2(ab + bc + ca) + 2abc + a2 + b2 + c2 a+b+b+c+c+a 9abc + a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca) + a+b+c Tă ng √ 2ab ab − = a+b Mặt khác, theo bất đẳng thức Schur bậc ta có 9abc + a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab + bc + ca) a+b+c Từ đó √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab + bc + ca) + 2(ab + bc + ca) = 4(ab + bc + ca) Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy và a = b = c a = b, c = các hoán vị nó Cách 4: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 ≥ 4(ab + bc + ca) Ta có, √ 2ab ab − = a+b √ √ √ ab( a − b)2 ≥ a+b (4) √ 2ab 2bc √ 2ca Tương tự ta có bc ≥ , ca ≥ a+b b+c c+a Sử dụng các bất đẳng thức này ta √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 ( ) ab bc ca ≥ 2(a + b + c) + + + a2 + b2 + c2 a+b b+c c+a ( ) 1 = 2(ab + bc + ca) + 2abc + + + a2 + b2 + c2 a+b b+c c+a Từ đó suy √ ab ≥ ( 2abc Để ý 1 + + a+b b+c c+a 2abc + 2a2 = 2a b+c Do đó ta cần phải chứng minh (ab + bc + ca) hay là chứng minh ) ( ) + a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 Hả iT uâ tương đương n Chứng minh hoàn tất ta ) ( 1 + a2 + b2 + c2 ≥ 4(ab + bc + ca), 2(ab + bc + ca) + 2abc + + a+b b+c c+a ( ( bc +a b+c ) = 2a (ab + bc + ca) b+c a b c + + b+c c+a a+b ) ≥ (a + b + c)2 , a b c (a + b + c)2 + + ≥ b+c c+a a+b 2ab + 2bc + 2ca Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo Cauchy − Schwarz Tă ng b c a2 b2 c2 a + + = + + b+c c+a a+b ab + ac bc + ba ca + cb (a + b + c)2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy và a = b = c a = b, c = các hoán vị nó Cách 5: Dễ thấy abc = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Xét abc > Vì bất đẳng thức hoàn toàn nhất, nên ta có thể chuẩn hóa abc = Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 ≥ 4(ab + bc + ca) Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có √ √ √ (a + b + c)( ab + bc + ca) (√ √ √ √ √ √ √ ) a+ b+ c = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + abc √ √ √ ≥ 2ab + 2bc + 2ca + abc · abc = (ab + bc + ca) + = (ab + bc + ca) + 2abc + (5) Do đó, ta cần chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) Theo nguyên lí Dirichlet thì số dương a, b, c luôn tồn hai số nằm cùng phía so với Giả sử hai số đó là a và b Khi đó ta có 2c(a − 1)(b − 1) ≥ hay tương đương 2abc + 2c ≥ 2(bc + ca) Từ đó, chứng minh hoàn tất ta a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2ab + 2abc + 2c, (a − b)2 + (c − 1)2 ≥ Hả iT uâ Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = n hay Tă ng Tăng Hải Tuân http://tanghaituan.com https://facebook.com/tanghaituan.vlpt (6)