BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 1... Tìm giá trị lớn nhất và giá 1... Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 60.. Tìm giá trị nh

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI TUYỂN

SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

1 (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2 xy y  2 x2 xz+z2  y2 yz+z2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 CMR x3 + y3 + z3  x + y + z

3 (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho x,y,z dương và x + y + z  1 Min A = x+y+z+1  1  1

x y z

4 (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x,y dương và x + y = 5

4 Tìm Min A = 4  1

x 4y

5 (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

a b c b c d c d a d a b< 2

6 (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2

 

1 2 1 x

7 (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho a,b,c>0 CMR: a b c   a b c   a b c  

9

8 (CĐKTYTế1 2006) Cho y  0; x2 + x = y + 12.Tìm cực trị A = xy + x + 2y + 17

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm Min A = xyz

10 (Học viện BCVT 2001) CMR a + b + c = 1 thì:       

3

11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh:   

2

12 (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Cho các số a, b, c thoả:    



2 2 2

ab bc ca 1 Chứng minh:  4   4  4   4  4   4

13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi CMR:       

2

p a p b p c a b c

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

2 y

15 (ĐH PCCC khối A 2001) Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c a log  c a b log  a b c  1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:     

b c a

17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)Cho a ≥ 1, b ≥ 1 Chứng minh rằng:a b 1 b a 1 ab    

(*)

18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có

chu vi bằng 3 thì:3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13

19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)Cho a,b,c dương và a + b = c CMR  

20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với kiện a + b + c = 0 CMR:8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

21 (ĐHQG HN khối D 2000) Cho a,b,c dương và ab + bc + ca = abc CMR

3

22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0 CMR:     

3

3 3

23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho a,b,c dương và abc = 1 Tìm Min P =  

a b a c b c b a c a c b

25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho a,b,c dương CMR:(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1 3abc3

26 (ĐH Y HN 2000) Cho 2  3 

6

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac+1 + bc+1 ≥ ab(ac–1 + bc–1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Cho x, y, z dương và x + y + z = 1

CMR: xy + yz + zx >



18xyz

2 xyz

29 (ĐH An Ninh khối A 2000) CMR với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n

30 (CĐSP Nha Trang 2000)

Cho a, b ≥ –1 và a + b = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:A = a 1   b 1 

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)Cho x,y,z khác 0 CMR:   

 

32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999)Cho 3 số a, b, c khác 0 Chứng minh:     

b c a

33 (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3 Chứng minh rằng:

 2  2  2

2 1 x 1 y 1 z

1 x 1 y 1 z

34 (ĐH An ninh HN khối D 1999)Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]

CMR: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*)

35 (Đại học 2002 dự bị 1)

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh

BC, CA, AB Chứng minh rằng:

 

2 2 2

2R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy ra khi nào?

36 (Đại học 2002 dự bị 3) Cho x,y dương và x + y = 5

4 Tìm Min:S = 4  1

x 4y

37 (Đại học 2002 dự bị 5)

Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50

Chứng minh bất đẳng thức:    

2

a c b b 50

b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = a  c

b d

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:       

   a b c 

3

39 (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z  1 Chứng minh rằng:

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm cực trị của hàm số: y = sin5x + 3cosx

41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

 









trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = a b c 

2

42 (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1  1  1 

4

x y z

1 2x+y+z x 2y z x y 2z

43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có:         

x x x

44 (Đại học khối D 2005)

Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1.CMR:         

3 3

45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho x + y + z = 0 CMR: 3 4  x 3 4  y  3 4  z 6

46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2)CMR x, y > 0 ta có:            

2

47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3

4 CMR: 3a  3b 3b 3c  3c 3a   3

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh rằng nếu 0  y  x  1 thì   1

x y y x

4

49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1 CMR:   

1 y 1 z 1 x 2

50 (Đại học khối A 2006) Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 và (x + y)xy = x2 + y2 – xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 13 13

x y

51 (Đại học khối B 2006) Tìm Min:A = x 1  2 y2  x 1  2 y2  y 2 

52 (ĐH 2007A) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y z y z x z x y P

y y z z z z x x x x y y

53 (ĐH 2007B) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

yz zx xy

         

54 (ĐH 2007D) Cho ab Chứng minh rằng: 0

55 (ĐH 2007A–db2) Cho x, y, z là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y z

P x y y z z x

y z x

56 (ĐH 2007D–db1) Cho a, b là các số dương thoả mãn ab a b 3   Chứng minh:

57 (ĐH 2008B) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2y2  Tìm giá trị lớn nhất và giá 1

trị nhỏ nhất của biểu thức x xy

P

xy y

2

2





58 (ĐH 2008D) Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: x y xy

P

x 2 y 2

(1 ) (1 )



59 (CĐ 2008A) Cho hai số thực thay đổi x,y thỏa mãn x2y2 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

60 (ĐH 2009A) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x x y z(   ) 3  yz, ta có:

(  ) (  ) 3(  )(  )(  ) 5(  )

61 (ĐH 2009B) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x y )34xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A3(x4y4x y2 2) 2( x2y2) 1

62 (ĐH 2009D) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn x y 1  Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S (4x2 3 )(4y y2 3 ) 25x  xy

63 (CĐ 2009A) Cho a và b là hai số thực thỏa mãn 0ab Chứng minh rằng: 1

64 ĐH 2010B) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn: a  b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M 3(a b2 2b c2 2c a2 2) 3(  ab bc ca  ) 2  a2b2c2

65 Cho hai số dương x,y thay đổi thỏa mãn 3xy1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

x xy

 

66 (ĐH 2010D) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y x2 4x 21  x2 3x 10

67 (ĐH 2011 A) Cho x,y,z là 3 số thực thuộc đoạn [1;4] và x y x; z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

68 (ĐH 2011 B) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2b2)ab(ab ab)( 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

b c b a

69 (Khối A -2012) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x yz0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3x y 3y z 3z x 6 6 6

P       x  y  z

70 (Khối B-2012) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện x yz0 và x2y2z2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5

Px  y z

71 (Khối D-2012) Cho các số thực x,y thỏa mãn  2 2

xy  y  xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3

Ax  y  xy x y