BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bất đẳng thức cực trị đại số CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG (CĐGT II 2003 dự bị) Cho số x, y, z CMR: x2  xy  y2  x2  xz+z2  y2  yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > xyz = CMR x3 + y3 + z3  x + y + z (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho x,y,z dương x + y + z  Min A = x+y+z+   x (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x,y dương x + y = y z  x 4y Tìm Min A = (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức: a b c d (x + 1)2  x  x  1  16 (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho a,b,c>0 CMR: abc a bc ab c   9 a b c (CĐKTYTế1 2006) Cho y  0; x2 + x = y + 12.Tìm cực trị A = xy + x + 2y + 17 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm Min A = xyz 10 (Học viện BCVT 2001) CMR a + b + c = thì: a  b  b c   a  3 a  b  c  3 3  c 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh: a b c  b c a  c 2 a b  3 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) Cho số a, b, c thoả: a  b2  c   ab  bc  ca  Chứng minh:  4 4 4  a  ;  b  ;   c  3 3 3 13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi CMR: 1  1 1    2    p a pb pc a b c 14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: x x y  y y z  z z x  x  y  z2 15 (ĐH PCCC khối A 2001) Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logb c a  logca b  logab c  16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch minh với x ≥ với  > ta có: x +  – ≥ x Từ chứng minh với số dương a, b, c thì: a3 b  b3 c  c3 a3  a b c   b c a 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b   b a   ab (*) 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì:3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 2 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)Cho a,b,c dương a + b = c CMR a  b3  c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với kiện a + b + c = CMR:8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + c 21 (ĐHQG HN khối D 2000) Cho a,b,c dương ab + bc + ca = abc CMR b2  2a2 c2  2b2 a  2c    ab bc ca Bất đẳng thức cực trị đại số 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ CMR: a3  b3  a  b      23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho số a, b, c Chứng minh BĐT: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho a,b,c dương abc = Tìm Min P = bc a2b  a2c  ca b2c  b2a  ab c2a  c2b 1 abc  25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho a,b,c dương CMR:(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 26 (ĐH Y HN 2000) Cho   x y Tìm giá trị nhỏ tổng x + y 27 (ĐH An Giang khối D 2000) Cho số a, b, c ≥ Chứng minh: ac+1 + bc+1 ≥ ab(ac–1 + bc–1) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Cho x, y, z dương x + y + z = CMR: xy + yz + zx > 18xyz  xyz 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) CMR với số nguyên n ≥ ta có: nn + > (n + 1)n 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Cho a, b ≥ –1 a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức:A = a   b  31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)Cho x,y,z khác CMR: x  y  32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999)Cho số a, b, c khác Chứng minh: a2 b  z b2 c   x  y  z2 c2 a2  a b c   b c a 33 (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x 1 x  y 1 y  z 1 z  1    1 x 1 y 1 z 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999)Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] CMR: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ (*) 35 (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: a  b2  c 2R x y z (R bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào? 36 (Đại học 2002 dự bị 3) Cho x,y dương x + y = Tìm Min:S =  x 4y 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 Chứng minh bất đẳng thức: a c b2  b  50   b d 50b S= tìm giá trị nhỏ biểu thức: a c  b d 38 (Đại học 2002 dự bị 6) ha, hb, hc tương ứng 1  1 1   3      a b c h h h   a b c Cho tam giác ABC có diện tích đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: độ dài đường cao kẻ từ 39 (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z số dương x + y + z  Chứng minh rằng: x2  x2  y2  y2  z2  z2  82 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm cực trị hàm số: y = sin5x + cosx Bất đẳng thức cực trị đại số 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính góc tam giác ABC, biết rằng: 4p(p  a)  bc   A B C 3 sin sin sin  2  (1) (2) BC = a, CA = b, AB = c, p = 1    x y z 42 (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z số dương thoả mãn : Chứng minh rằng: ab c 1   1 2x+y+z x  2y  z x  y  2z x 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh với x  R, ta có: x x  12   15   20  x x x        4 5       44 (Đại học khối D 2005) Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1.CMR: 1 x3  y 1 y3  z3 1 z3  x3   3 xy yz zx 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho x + y + z = CMR:  4x   4y   4z  46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2)CMR x, y > ta có: 1 x   1 y   1  x    y   256 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = CMR: 6 a  3b  b  3c  c  3a  48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh  y  x  x y y x  49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) x2 y2 z2    1 y 1 z 1 x Cho x, y, z số dương xyz = CMR: 50 (Đại học khối A 2006) Cho số thực x ≠ 0, y ≠ (x + y)xy = x2 + y2 – xy Tìm giá trị lớn biểu thức: A= x  y3 51 (Đại học khối B 2006) Tìm Min:A =  x  12  y2   x  12  y2  y  52 (ĐH 2007A) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x ( y  z)  y (z  x )  z2 ( x  y ) y y  2z z z z  x x x x  2y y 53 (ĐH 2007B) Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  y  z  P  x     y     z    zx   xy   yz  b a     54 (ĐH 2007D) Cho a  b  Chứng minh rằng:  a     b   a    2b  55 (ĐH 2007A–db2) Cho x, y, z số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  x y z  P  4( x  y )  4( y  z3 )  4( z3  x )      2 z x2  y 56 (ĐH 2007D–db1) Cho a, b số dương thoả mãn ab  a  b  Chứng minh: 3a 3b ab    a  b2  b 1 a 1 a  b 57 (ĐH 2008B) Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x  y  Tìm giá trị lớn giá Bất đẳng thức cực trị đại số trị nhỏ biểu thức P  2( x  xy )  xy  y 58 (ĐH 2008D) Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( x  y )(1  xy ) biểu thức: P  (1  x )2 (1  y )2 59 (CĐ 2008A) Cho hai số thực thay đổi x,y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  2( x  y )  3xy 60 (ĐH 2009A) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x ( x  y  z)  3yz , ta có: ( x  y)3  ( x  z)3  3( x  y )( x  z)( y  z)  5( y  z)3 61 (ĐH 2009B) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn ( x  y)3  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  3( x  y  x y )  2( x  y )  62 (ĐH 2009D) Cho số thực không âm x, y thay đổi thoả mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức S  (4 x  3y )(4 y  x )  25 xy 63 (CĐ 2009A) Cho a b hai số thực thỏa mãn  a  b  Chứng minh rằng: a ln b  b ln a  ln a  ln b 64 ĐH 2010B) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  3(a2 b2  b2c2  c2 a2 )  3(ab  bc  ca)  a2  b2  c2 65 Cho hai số dương x,y thay đổi thỏa mãn 3x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 A  x xy 66 (ĐH 2010D) Tìm giá trị nhỏ hàm số y   x  x  21   x  3x  10 67 (ĐH 2011 A) Cho x,y,z số thực thuộc đoạn [1;4] x  y; x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P   2x  y y  z z  x 68 (ĐH 2011 B) Cho a,b số thực dương thỏa mãn 2( a  b )  ab  (a  b)(ab  2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a3 b3   a b2  P  4    9   c  b a  b 69 (Khối A -2012) Cho số thực x,y,z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  3| x  y |  3| y  z|  3| z  x|  x  y  z 70 (Khối B-2012) Cho số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x  y  z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x5  y  z 71 (Khối D-2012) Cho số thực x,y thỏa mãn  x  y   ( y  4)  xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x3  y  3( xy  1)( x  y  2)