Hình học không gian trong đề thi đại học

GiÆo ViŒn : ồHThức Thuận 0973.74.93.73 Hình học không gian cổ ñiển kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề thức) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = 3a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ñáy (ABCD) trung ñiểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD) Hướng dẫn giải Gọi H trung ñiểm AB, suy SH ⊥ ( ABCD ) Do ñó: SH ⊥ HD Ta có ( ) SH = SD − DH = SD − AH + AD = a Suy VS ABCD = SH S ABCD = a3 https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Gọi K hình chiếu vuông góc H lên BD E hình chiếu vuông góc H lên SK Ta có  BD ⊥ HK ⇒ BH ⊥ ( SHK )   BD ⊥ SH Suy BD ⊥ HE mà HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SBD ) Ta có: HK = HB.sin KBH = HS HK a Suy HE = HS + HK = a Do ñó: d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) = 3HE = 2a Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy tam giác ñều cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung ñiểm cạnh AB, góc ñường thẳng A’C mặt phẳng ñáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (ACC’A’) Hướng dẫn giải Gọi H trung ñiểm AB, A ' H ⊥ ( ABC ) A ' CH = 600 Do ñó A ' H = CH tan A ' CH = trụ VABC A' B 'C ' = 3a Do ñó thể tích khối lăng 3a Gọi I hình chiếu vuông góc H lên AC; K hình chiếu vuông góc H lên A’I Suy HK = d ( H , ( ACC ' A ' ) ) Ta có: HI = AH sin IAH = 3a 1 52 13a ; = + = ⇒ HK = 2 HK HI HA ' 9a 26 - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 Do ñó: d ( B; ( ACC ' A ') ) = 2d ( H ; ( ACC ' A ') ) = HK = 13a 13 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông cân A, mặt phẳng bên SBC tam giác ñều cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng ñáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai ñường thẳng SA, BC Hướng dẫn giải BC a = 2 3a a SH ⊥ ( ABC ) , SH = S∆ABC = BC AH = 2 3a Thể tích khối chóp VS ABC = SH S∆ABC = 24 Gọi H trung ñiểm BC, suy AH = Gọi K hình chiếu vuông góc H lên SA, Suy HK ⊥ SA Ta có BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ HK Do ñó: HK ñường vuông góc chung BC SA 1 16 3a = + = Do ñó: d ( BC ; SA ) = HK = 2 HK SH AH 3a Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013 Cho hình chóp S.ABC có ñáy tam giác vuông A, ABC = 300 , SBC tam giác ñều cạnh a Ta có mặt bên SBC vuông góc với ñáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ ñiểm C ñến mặt phẳng (SAB) Hướng dẫn giải Gọi H trung ñiểm BC, suy SH ⊥ BC Mà ( SBC ) vuông góc với ( ABC ) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ ( ABC ) Ta có: a a ; AC = BC sin 300 = ; 2 a AB = BC.cos 300 = a3 Do ñó: VS ABC = SH AB AC = 16 BC = a ⇒ SH = Tam giác ABC vuông A H trung ñiểm BC nên HA = HB Mà SH ⊥ ( ABC ) , suy SA = SB = a Gọi I trung ñiểm AB, suy SI ⊥ AB - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên :Hồ Thức Thuận Do ñó: SI = SB − 0973.74.93.73 AB a 13 3V 6V a 39 = Suy : d ( C ; ( SAB ) ) = S ABC = S ABC = 4 S ∆SAB SI AB 13 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt SAB tam giác ñều nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SCD) theo a Hướng dẫn giải Gọi H trung ñiểm AB, suy SH vuông góc với AB SH = a Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AB, nên SH ⊥ ( ABCD ) Do ñó: VS ABCD = SH S ABCD = a3 Do AB song song với CD H thuộc AB nên d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) Gọi K trung ñiểm CD I hình chiếu vuông góc H SK Ta có: HK ⊥ CD Mà SH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK ) CD ⊥ HI Do ñó: HI ⊥ ( SCD ) Suy ra: d ( A, ( SCD ) ) = HI = SH HK = a 21 SH + KH Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy, BAD = 1200 , M trung ñiểm cạnh BC SMA = 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn giải BAD = 1200 ⇒ ABC ⇒ ∆ABC ñều a a3 ⇒ AM = ⇒ S ABCD = 2 ∆SAM vuông A có SMA = 450 ⇒ ∆SAM vuông a A SA = AM = a3 Do ñó: VS ABCD = SA.S ABCD = Do AD song song với BC nên d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC) ) Gọi H hình chiếu vuông góc A SM  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM )  SA ⊥ BC Ta có:  ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH Ta có: AH = AM a a = ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = 4 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2013 Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AB = a ñường thẳng A’B tạo với ñáy góc - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 600 Gọi M N trung ñiểm cạnh AC B’C’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ ñộ dài MN Hướng dẫn giải AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' BA góc A’B với ñáy Suy ra: A ' BA = 600 ⇒ AA ' = AB tan A ' BA = a Do ñó VABC A ' B 'C ' = AA '.S∆ABC = 3a Gọi K trung ñiểm cạnh BC Suy ∆MNK vuông K, có AB a = , NK = AA ' = a 2 a 13 Do ñó: MN = MK + NK = MK = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012 Cho hình chóp S.ABC có ñáy tam giác ñều cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc hai ñường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai ñường thẳng SA BC theo a Hướng dẫn giải Ta có: SCH góc SC mặt phẳng (ABC) Suy SCH = 600 a a a 21 HC = HD + CD = , SH = HC tan 600 = 3 Gọi D trung ñiểm cạnh AB Ta có: HD = , CD = a 1 a 21 a a VS ABC = SH S ∆ABC = = 3 12 Kẻ Ax song song với BC, gọi N K hình chiếu vuông góc H lên Ax SN Ta có BC song song với mặt phẳng (SAN) BA = HA Nên d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAN ) ) = d ( H ( SAN ) ) Ta có: Ax ⊥ ( SHN ) ⇒ Ax ⊥ HK Do ñó: HK ⊥ ( SAN ) ⇒ d ( H , ( SAN ) ) = HK AH = 2a a , HN = AH sin 600 = , HK = 3 SH HN SH + HN 2 = a 42 a 42 d ( SA, BC ) = 12 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với SA = 2a , AB = a Gọi H hình chiếu vuông góc A lên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( ABH ) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Hướng dẫn giải - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 Gọi D trung ñiểm cạnh AB O tâm tam giác  AB ⊥ CD nên AB ⊥ ( SCD ) , Do ñó AB ⊥ SC  AB ⊥ SO ABC Ta có  Mặt khác SC ⊥ AH , Suy SC ⊥ ( ABH ) a a a 33 , OC = nên SO = SC − OC = 3 SO.CD a 11 11a Do ñó: DH = = ⇒ S ∆ABH = AB.DH = SC Ta có: CD = Ta có: SH = SC − HC = SC − CD − DH = 7a 11a Do ñó: VS ABH = SH S∆ABH = 96 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012 Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân A ' C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCD’) theo a Hướng dẫn giải Tam giác A’AC vuông cân A A ' C = a nên A ' A = AC = a a Do ñó: AB = B ' C ' = 2 1 a3 VABB 'C ' = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C ' AB.BB ' = 48 Gọi H chân ñường cao kẻ từ A tam giác A’AB Ta có  AH ⊥ A ' B ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) Nghĩa :   AB ⊥ BC AH ⊥ ( BCD ') ⇒ AH = d ( A, ( BCD ') ) Ta có: 1 a = 2+ Do ñó: d ( a, ( BCD ') ) = AH = 2 AH AB AA' Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2012 Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a 2, SA = SB = SC Góc ñường thẳng mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn giải Gọi H trung ñiểm BC ⇒ HA = HB = HC Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC ⇒ SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = SHC  SH ⊥ ( ABC )   SAH = 60 Tam giác ABC tam giác vuông cân A AC = AB = a ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a Tam giác SHA vuông 1 3a3 SH = AH × tan 600 = a ⇒ VS ABC = AB AC.SH = 3 - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Hồ Thức Thuận Giáo Viên : 0973.74.93.73 Gọi O;R tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Suy O thuộc ñường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC) Do ñó: R bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Xét tam giác SHA ta có: SA = có ñộ dài cạnh 2a Suy : R = SH = 2a ⇒ ∆SBC tam giác ñều sin 600 2a 2a = sin 60 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung ñiểm AM; mặt phẳng qua SM song song với B, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai ñường thẳng AB SN theo a Hướng dẫn giải Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA góc hai mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABC) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB tan SBA = 2a Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N ⇒ MN // BC N trung ñiểm BC AB = a; BM = =a 2 ( BC + MN ) BM = 3a Diện tích : S BCNM = 2 Thể tích VS BCNM = S BCNM SA = a 3 Kẻ ñường thẳng ∆ ñi qua N, song song với AB Hạ AD ⊥ ∆ ( D ∈ ∆ ) ⇒ AB // ( SND ) AC MN = ⇒ d ( AB; SN ) = d ( AB, ( SND ) ) = d ( A, ( SND ) ) Hạ AH ⊥ SD ( H ∈ SD ) ⇒ AH ⊥ ( SND ) ⇒ d ( A, ( SND ) ) = AH  AH ⊥ SD ⇒ d ( AB, SN ) = AH =  AD = MN = a Tam giác SAD vuông A:  SA AD SA2 + AD = 2a 39 13 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD hình chữ nhật, AB = A, AD = a Hình chiếu vuông góc ñiểm A1 lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao ñiểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho khoảng cách từ ñiển B1 ñến mặt phẳng ( A1 BD ) theo a Hướng dẫn giải Gọi O giao ñiểm AC BD ⇒ A1O ⊥ ( ABCD ) OE ⊥ AD  A1 E ⊥ AD Gọi E trung ñiểm AD ⇒  Suy A1EO góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) (ABCD) ⇒ A1EO = 600 - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 AB a tan A1 EO = 2 = AB AD = a Suy ra: A1O = OE tan A1 EO = Diện tích ñáy S ABCD Thể tích VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD × A1O = 3a Ta có B1C // A1 D ⇒ B1C // ( A1 BD ) ⇒ d ( B1 , ( A1 BD ) ) = d ( C , ( A1 BD ) ) = CH Suy d ( B1 ( A1 BD ) ) = CH = CD.CB CD + CB 2 = a Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (SAC) theo a Hướng dẫn giải Hạ SH ⊥ BC ⇒ ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ BC ; SH = SB.sin SBC = a 12 Diện tích: S ABC = BA.BC = 6a Thể tích VS ABC = S ABC SH = 2a 3 Hạ HD ⊥ AC ( D ∈ AC ) , HK ⊥ SD ( K ∈ SD ) ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK = d ( H , ( SAC ) ) BH = SB.cos SBC = 3a ⇒ BC = HC ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = 4d ( H , SAC ) Ta có AC = BA2 + BC = 5a; HC = BC − BH = a ⇒ HD = BA HK = SH HD SH + HD = HC 3a = AC 3a 14 Vậy d ( B, ( SAC ) ) = HK = 6a 7 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung ñiểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a Hướng dẫn giải - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 GiÆo ViŒn : ồHThức Thuận 0973.74.93.73  SA ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC  AB ⊥ BC Ta có  Do ñó: góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) SBA = 300 1 VS ABM = VS ABC = SA AB.BC 12 BC = AB = a; SA = AB tan 300 = Vậy VS ABM = a 3 a3 36 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung ñiểm cạnh AB AD; H giao ñiểm N DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai ñường thằng DM SC theo a Hướng dẫn giải Thể tích khối chóp S.CDNM SCDNM = S ABCD − S AMN − SBC 1 AM AN − BC.BM 2 2 a a 5a = a2 − − = 8 = AB − Vậy VSCDNM = SCDNM SH = 3a 24 Khoảng cách hai ñường thẳng DM SC ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN kết hợp với ñiều kiện DM ⊥ SH ⇒ DM ⊥ ( SHC ) Hạ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) ⇒ HK ñoạn vuông góc chung DM SC Do ñó: d ( DM , SC ) = HK  CD 2a HC = =  CN 3a  Ta có :  ⇒ d ( DM , SC ) = 19 3a  HK = SH HC = 2  19 SH + HC Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a , góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Hướng dẫn giải - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 Thể tích khối lăng trụ Gọi D trung ñiểm BC ta có: BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ A ' D ⇒ ADA ' = 600 3a a2 Ta có: AA ' = AD.tan ADA ' = ; S ABC = 3a Do ñó: VABC A ' B 'C ' = S ABC × AA ' = Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Gọi H trọng tâm tam giác ABC, suy ra: GH // AA ' ⇒ GH // ( ABC ) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I giao ñiểm GH với ñường trung trực AG mặt phẳng (AGH Gọi E trung ñiểm AG, ta có: R = GI = GE.GA GA2 = GH 2GH Ta có AA ' a a 7a = ; AH = ; GA2 = GH + AH = 3 12 7a 7a Do ñó: R = × = 2.12 a 12 GH = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) ñiểm H thuộc ñoạn AC, AH = AC Gọi CM ñường cao tam giác SAC Chứng minh M trung ñiểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Hướng dẫn giải Chứng minh M trung ñiểm SA a a 14 ; SH = SA2 − AH = 4 3a HC = ; SC = SH + HC = a ⇒ SC = AC AH = Do ñó: tam giác SAC cân C, Suy M trung ñiểm SA Tính thể tích khối tứ diện SBCM M trung ñiểm SA suy 1 S SCA ⇒ VSBCM = VB.SCA = VS ABC 2 a 14 ⇒ VSBCM = S ABC × SH = 48 S SCM = Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy, SA = SB, góc ñường thẳng SC mặt phẳng ñáy 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a - Trang - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận Hướng dẫn giải 0973.74.93.73 Gọi I trung ñiểm AB Ta có SA = SB ⇒ SI ⊥ AB Mà hai mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD) vuông góc với nên suy SI ⊥ ( ABCD ) Góc SC mặt phẳng (ABCD SCI = 450 , Suy SI = IC = IB + BC = a Thể tích khối chóp a3 VS ABCD = SI S ABCD = (ñơn vị thể tích) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a , CD = a ; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung ñiểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn giải ( SIB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD )  ( SIC ) ⊥ ( ABCD ) Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 600 Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a Tổng diện tích tam giác ABI CDI 3a 3a , suy S∆IBC = 2 2S 5a 15a BC = ( AB − CD ) + AD = a ⇒ IK = ∆IBC = ⇒ SI = IK tan SKI = BC 5 3 15a Thể tích khối chóp S.ABCD: V = S ABCD SI = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009: Cho hình trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB ' = a , góc ñường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600 ; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vuông góc B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Hướng dẫn giải - Trang 10 - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : H Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 Gọi D trung ñiểm AC G trọng tâm tam giác ABC ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 600  a  B ' G = BB '.sin B ' BG = ⇒ BD = 3a   BG = a  Tam giác ABC có: ΑB AB AB , AC = ⇒ CD = 2 AB AB 9a 3a 13 9a Ta lại có: BC + CD = BD ⇒ + = ⇒ AB = ; S ∆ABC = 16 16 26 104 9a Thể tích khối tứ diện A’ABC: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC = 208 BC = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC tam giác vuông B, AB = a; AA ' = 2a; A ' C = 3a Gọi M trung ñiểm ñoạn thẳng A’C’, I giao ñiểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (IBC) Hướng dẫn giải Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH ñường cao tứ diện IABC Suy IH // AA ' ⇒ IH CI 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = AA ' CA ' 3 AC = A ' C − A ' A2 = a 5; BC = AC − AB = 2a Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = AB.BC = a 2 Vậy thể tích khối tứ diện IABC: 4a V = IH S ∆ABC = Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B ) Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC Suy AK ⊥ ( IBC ) Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (IBC) AK AK = S ∆AA ' B = A' B AA ' AB A ' A2 + AB = 2a 5 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2009: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung ñiểm cạnh SA, SB CD Chứng minh ñường thẳng MN vuông góc với ñường thẳng SP Thính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Hướng dẫn giải - Trang 11 - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 Ta có MN song song với CD SP vuông góc với CD suy MN vuông góc với SP Gọi O tâm ñáy ABCD Ta có : SO = SA2 − OA2 = VAMNP a 1 1 a3 = VABSP = VS ABCD = SO AB = 8 48 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc ñỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trung ñiểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hai ñường thẳng AA’, B’C’ Hướng dẫn giải Gọi H trung ñiểm cạnh BC Suy  A ' H ⊥ ( ABC )   1 a + 3a = a  AH = BC =  2 Do ñó: A ' H = A ' A2 − AH = 3a = 3a ⇒ A ' H = a a3 Vậy VA ' ABC = A ' H × S∆ABC = (ñơn vị thể tích) Trong tam giác vuông A’B’H có: HB ' = A ' B '2 + A ' H = 2a nên tam giác B’BH cân B’ ðặt ϕ góc hai ñường thẳng AA’ B’C’ ϕ = B ' BH Vậy cos ϕ = a = 2.2a Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a , SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy Gọi M, N trung ñiểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai ñường thẳng SM DN Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vuông góc S lên AB, suy SH ⊥ ( ABCD ) Do ñó, SH ñường cao hình chóp S.BMDN Ta có: SA2 + SB = a + 3a = AB nên tam giác SAB tam giác vuông S Suy AB a = a Do ñó tam giác SAM tam giác ñều, suy SH = 2 Diện tích tứ giác BMDN S BMDN = S ABCD = 2a 2 a3 Thể tích khối chóp S.BMDN V = SH × S BMDN = (ñvtt) 3 SM = - Trang 12 - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận Kẻ ME song song với DN ( E ∈ AD ) 0973.74.93.73 a Suy AE = ðặt α góc hai ñường thẳng SM DN Ta có ( SM , ME ) = α Theo ñịnh lý ba ñường vuông góc ta có : SA ⊥ AE Suy ra: SE = SA2 + AE = a a , ME = AM + AE = 2  SME = α  a  Tam giác SME tam giác cân E nên  = cos α = a   Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008: Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung ñiểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai ñường thẳng AM, B’C Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy tam giác ABC tam giác vuông cân B Thể tích khối lăng trụ VABC A ' B 'C ' = AA '× BC = a .a = a (ñvtt) Gọi E trung ñiểm BB’ Khi ñó mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách hai ñường thẳng AM, B’C khoảng cách B’C mặt phẳng (AME) Nhận thấy, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME) khoảng cách từ C ñến mặt phẳng (AME) Gọi h khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME) Do ñó tứ diện BAME có BA, BM,BE ñôi vuông góc với nên: 1 1 1 a = + + ⇒ = + + = ⇒h= 2 2 h BA BM BE h a a a a Vậy: khoảng cách hai ñường thẳng B’C AM a 7 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 900 ; AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với ñáy SA = 2a Gọi M, N trung ñiểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Hướng dẫn giải Ta có: MN ñường trung bình tam giác SAD, suy MN song song với AD MN =  MN // BC AD ⇒  ⇒ BCNM hình bình hành (1)  MN = BC - Trang 13 - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 Mặt khác  BC ⊥ AB ⇒ { BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM   BC ⊥ SA ( 2) Từ (1) (2) ta suy BCNM hình chữ nhật Ta có: S BCNM = S ∆BCM ⇒ VS BCNM = 2VS BCM 1 1 a3 VS BCM = VC SBM = CB.S ∆SBM = CB.S ∆SAB = CB SA AB = 6 a Vậy Vs BCNM = (ñvtt) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học A-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác ñều nằm mặt phẳng vuông góc với ñáy Gọi M, N, P trung ñiểm cạnh SB,BC,CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Hướng dẫn giải Gọi H trung ñiểm AD Do tam giác SAD tam giác ñều nên SH vuông góc với AD Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với BP (1) Xét hình vuông ABCD ta có: ∆CDH = ∆BCP ⇒ CH ⊥ BP ( ) Từ (1) (2) ta suy BP ⊥ ( SHC ) Vì  MN // SC ⇒ ( AMN ) // ( SHC )   AN // CH ⇒ BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM Kẻ MK vuông góc với mặt phẳng (ABCD), (K thuộc vào mặt phẳng (ABCD)) Ta có: Vì MK = SH = a ; SCNP VCMNP = MK SCNP a 3a = CN × CP = ⇒ VCMNP = (ñvtt) 96 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học B-2007 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD hình vuông cạnh a E ñiểm ñối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung ñiểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính theo a khoảng cách hai ñường thẳng MN AC Hướng dẫn giải Gọi P trung ñiểm SA Ta có MNCP hình bình hành nên MN song song với mặt phẳng (SAC) Mặt khác, BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên BD vuông góc với MN - Trang 14 - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giao Vien : Ho Thuc Thuan 0973.74.93.73 Vì MN song song với mặt phẳng (SAC) nên d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) ) 1 a d ( B; ( SAC ) ) = BD = 4 a Vậy d ( MN ; AC ) = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học D-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a; AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy SA = a Gọi H hình chóp vuông góc A lên SB Chứng minh tam giác SCD tam giác vuông tính theo a khoảng cách tứ H ñến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn giải Gọi I trung ñiểm AD Ta có: IA = ID = IC = a ⇒ CD ⊥ AC Mặt khác, CD ⊥ SA , Suy CD vuông góc SC nên tam giác SCD tam giác vuông C Trong tam giác vuông SAB ta có: SH SA2 SA2 2a 2 = = = = 2 SB SB SA + AB 2a + a Gọi d1 , d khoảng cách từ B H ñến mặt phẳng (SCD) d SH 2 = = ⇒ d = d1 d1 SB 3 Ta có: d1 = 3VB.SCD SA × S BCD = S SCD S SCD S BCD = 1 AB.BC = a 2 1 SC.CD = SA2 + AB + BC IC + ID = a 2 2 a a Suy d1 = Vậy khoảng cách từ H ñến mặt phẳng (SCD) d = d1 = 3 S SCD = + ðặc biệt năm học 2015-2016, trung tâm mở chương trình khuyến học sau: - Miễn phí ñến học tuần ñể khẳng ñịnh chất lượng - Giảm 20% học phí tháng ñầu tiên ñến học - Tặng 20% học phí tháng ñầ ọc viên khác giới thiệu học viên ñến học - ðược giảng dạy trực tiếp thầy cô giáo ñầy kinh nghiệm luyện thi - Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt ñối - ðược phép học tăng cường chưa hiểu ðến tham quan ñăng ký học ñịa tìm hiểu thông qua số ñiện thoại:0973.74.93.73 Trân trọng chúc em học sinh sức khỏe may mắn - Trang 15 - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 - Trang 16 - [...]... ðặc biệt trong năm học 2015-2016, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau: - Miễn phí ñến học một tuần ñể khẳng ñịnh chất lượng - Giảm ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi ñến học - Tặng ngay 20% học phí tháng ñầ ọc viên khác giới thi u 1 học viên ñến học - ðược sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo ñầy kinh nghiệm luyện thi - Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt ñối - ðược phép học tăng cường... nên d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) ) 1 1 a 2 d ( B; ( SAC ) ) = BD = 2 4 4 a 2 Vậy d ( MN ; AC ) = 4 = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học D-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a; AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy và SA = a 2 Gọi H là hình chóp vuông góc của A lên SB Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính theo a khoảng cách tứ H ñến mặt... A ' H = a 3 1 a3 Vậy VA ' ABC = A ' H × S∆ABC = (ñơn vị thể tích) 3 2 Trong tam giác vuông A’B’H có: HB ' = A ' B '2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B’BH cân tại B’ ðặt ϕ là góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’ thì ϕ = B ' BH Vậy cos ϕ = a 1 = 2.2a 4 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a , SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với... BP (1) Xét hình vuông ABCD ta có: ∆CDH = ∆BCP ⇒ CH ⊥ BP ( 2 ) Từ (1) và (2) ta suy ra BP ⊥ ( SHC ) Vì  MN // SC ⇒ ( AMN ) // ( SHC )   AN // CH ⇒ BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM Kẻ MK vuông góc với mặt phẳng (ABCD), (K thuộc vào mặt phẳng (ABCD)) Ta có: 1 2 Vì MK = SH = a 3 ; SCNP 4 1 VCMNP = MK SCNP 3 2 1 a 3a 3 = CN × CP = ⇒ VCMNP = (ñvtt) 2 8 96 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học B-2007 Cho hình chóp... BM BE h a a a a 7 Vậy: khoảng cách giữa hai ñường thẳng B’C và AM bằng a 7 7 Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 900 ; AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với ñáy và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SD Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a Hướng dẫn giải Ta có: MN là ñường... ⇒ VS BCNM = 2VS BCM 1 1 1 1 a3 VS BCM = VC SBM = CB.S ∆SBM = CB.S ∆SAB = CB SA AB = 3 6 6 2 6 3 a Vậy Vs BCNM = (ñvtt) 3 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học A-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện... 3a 13 9a 2 3 Ta lại có: BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒ + = ⇒ AB = ; S ∆ABC = 4 16 16 26 104 3 1 9a Thể tích của khối tứ diện A’ABC: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC = 3 208 BC = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a; AA ' = 2a; A ' C = 3a Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C Tính theo a thể... giác cân tại E nên  2 = 5 cos α = 5 a 5   2 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008: Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C Hướng dẫn giải Từ giả thi t ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B... là tâm của ñáy ABCD Ta có : SO = SA2 − OA2 = VAMNP a 6 2 1 1 1 1 a3 6 2 = VABSP = VS ABCD = SO AB = 4 8 8 3 48 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính... BCNM là hình bình hành (1) 2  MN = BC - Trang 13 - https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 Giáo Viên : Hồ Thức Thuận 0973.74.93.73 Mặt khác  BC ⊥ AB ⇒ { BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM   BC ⊥ SA ( 2) Từ (1) và (2) ta suy ra BCNM là hình chữ nhật Ta có: S BCNM = 2 S ∆BCM ⇒ VS BCNM = 2VS BCM 1 1 1 1 a3 VS BCM = VC SBM = CB.S ∆SBM = CB.S ∆SAB = CB SA AB = 3 6 6 2 6 3 a Vậy Vs BCNM = (ñvtt) 3 Trích từ ñề thi