Hình học không gian trong đề thi đại học pps

Chứng minh trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABCD TN – 2007 Cho hình chóp SABC , ABC là tam giác vuông tại B.. Gọi I là trung điểm của SC, tính BI TN – 2009 Cho hình chóp S.ABC có

ĐỀ THI HAY NHẤT - HÌNH HỌC

CÁC ĐỀ TỐT NGHIỆP

TN – 2006

Cho hình chóp SABC có ABCD là hình vuông canh a

, SA vuông góc với đáy, SB = a 3

1 Tính thể tích SABCD

2 Chứng minh trung điểm SC là tâm mặt cầu

ngoại tiếp SABCD

TN – 2007

Cho hình chóp SABC , ABC là tam giác vuông tại B

SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = CB =a

Tính thể tích khối chóp SABC

TN - 2008

Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bằng a,

cạnh bên bằng 2a Goi I là trung điểm của BC

1 Chứng minh SA vuông góc với BC

2 Tính thể tích khối chóp SABI theo a

TN – 2008 lần 2

Cho hình chóp SABC có tam giác vuông tại B, SA

vuông góc với (ABC) Biết AB = a , BC = a 3 và

SA = 3a

1 Tính thể tích SABC theo a

2 Gọi I là trung điểm của SC, tính BI

TN – 2009

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác

đều cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy Biết BAC = 1200 ,

tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

CÁC ĐỀ ĐẠI HỌC KHỐI A -2006

Hình trụ có 2 đáy O và O’.bán kính = chiều cao = a

A thuộc đtròn O, B thuộc đtròn O’ và AB = 2a Tính thể tích tứ diện OO’AB

KHỐI D -2006

Hình chóp SABC, ABC là tam giác đều cạnh a,

SA = 2a , SA vuông góc (ABC) Gọi M,N là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC

Tính thể tích khối chóp ABCNM

KHỐI A1 -2007 DB

Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a,

AA1 2a 5= và BAC∧ =120o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

KHỐI A2 -2007 DB

Cho hình chóp SABC có góc (SBC∧,ABC)=60o, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC)

KHỐI B1 -2007 DB

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp Cho AB = a, SA

= a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên

SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

KHỐI B2 -2007 DB

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính

AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho

AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho (SAB∧,SBC)=60o Gọi H, K lần

lượt là hình chiếu của A trên SB, SC Chứng minh

∆AHK vuông và tính VSABC?

KHỐI D1 -2007 DB

Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC=a, AA1 = a 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1 Chứng minh

MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng

AA1 và BC1 Tính VMA1BC1.

KHỐI D2 -2007 DB

Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a M là trung điểm của đoạn AA1 Chứng minh

BM ⊥ B1C và tính d(BM, B1C)

CĐ 2008

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang,

hai góc BAD = ABC = 90, AB = BC = a , AD = 2a ,

SA vuông góc với đáy và SA = 2a , Gọi M,N lần lượt

là trung điểm SA,SD

1 Chứng minh BCNM là hình chữ nhật

2 và tính thể tích khối chóp SBCNM theo a

KHỐI D 2008

Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giác

vuông , AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 , gọi M là

trung điểm của BC

1 Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

ABCA’B’C’

2 khoảng cách giữa AM , B’C

KHỐI B 2008

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và ( SBC) vuông góc với

đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB, BC

1 tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và

2 tính cosin của góc giữa SM, DN

KHỐI A 2008

Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy

ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và

hình chiếu vuộng góc của A’ trên (ABC) là trung

điểm cạnh BC

1 Tính theo a thể tích của khối chóp A’ABC và

2 tính cosin của góc giữa AA’ , B’C’

KHỐI A 2009

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai

mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung

điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI)

cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối

chóp S.ABCD theo a.

KHỐI B 2009

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 ; tam giác ABC vuông tại C và ·BAC = 60 0 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

KHỐI D 2009

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

KHỐI A 2010

Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,AD , H là giao điểm của CN, DM Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích SCDNM

và khoảng cách giữa DM , SC

KHỐI B 2010

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA”B”C” có AB =

a , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABC) bằng

600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

KHỐI D 2010

Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH

= AC/4 Goi Cm là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và thể tích tứ diện

SMBC theo a

ĐÁP ÁN

Khoi d 2006

Khoi b 2006

Khoi a 2006

Khoi a1 db 2007

Cách khác:

+ Ta có A M1 2 =A C1 12+C M1 2=9a2

BC2 =AB2+AC2−2AB.AC.cos1200 =7a 2

BM2=BC2+CM2 =12a2

A B1 2 =A A1 2+AB2 =21a2 =A M1 2+MB2 ⇒MB vuông góc với MA1

+ Hình chóp MABA1 và CABA1 có chung đáy là tam giác ABA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau

⇒ =V VMABA1 =VCABA1 =1AA S1 ABC=1a 153

d(a,(MBA ))

Khoi a2 db 2007

S

B M N

60 °

2 Gọi M là trung điểm của BC thì SM ⊥ BC,

AM ⊥ BC ⇒ SMA∧ =(SBC, ABC)=60o

Suy ra ∆SMA đều có cạnh bằng

2

3 a

Do đó SMA SM.AM.sin60o

2

1

S =

16

3

a 2

3 4

a 2

=

=

Ta có VSABC 2VSBAM 2 .BM.S1 SAM

3

16

3

a 16

3 a a 3

=

3

=

Gọi N là trung điểm của đoạn SA Ta có CN ⊥ SA

⇒ CN a 13

4

= (vì ∆SCN vuông tại N)

⇒ SSCA 1.AS.CN 1 a 3 a 13 a 39 2

Ta có ( ) d(B, SAC)

16

39 a 3

1 SAC , B d S 3

1 16

3 a

VSABC= 3 = SCA = 2

2

3 3a

d B,SAC a 3

a 39 13

Khoi b1 db 2007

+BC vuông góc với (SAB)

⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

⇒AH vuông góc với (SBC) ⇒AH vuông góc SC (1) + Tương tự AK vuông góc SC (2)

(1) và (2) ⇒SC vuông góc với (AHK )

SB =AB SA+ =3a ⇒SB = a 3 AH.SB = SA.AB ⇒AH=a 6

3 ⇒SH=

2a 3

3 ⇒SK=

2a 3 3 (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

Ta có HK song song với BD nên HK SH HK 2a 2

BD SB= ⇒ = 3 . Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có

2

AM AH HM

9

3

3

Khoi b2 db 2007

* Chứng minh ∆AHK vuông

Ta có: AS ⊥ CB

AC ⊥ CB (∆ACB nội tiếp

nửa đường tròn)

⇒ CB ⊥ (SAC) ⇒ CB ⊥ AK

mà AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ (SCB)

⇒ AK ⊥ HK ⇒∆AHK vuông tại K

* Tính VSABC theo R

Kẻ CI ⊥ AB

Do giả thiết ta có AC = R = OA =

OC ⇒∆AOC đều

⇒ IA=IO= R2

Ta có SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥

(ABC) ⇒ CI ⊥ (SAB)

Suy ra hình chiếu vuông góc của ∆SCB trên mặt phẳng (SAB) là ∆SIB

Vì AB

4

3

BI= Suy ra R.SA

4

3 S

4

3

SSIB= SAB= (∗)

Ta có: SBC R 3 SA2 R2

2

1 SC BC 2

1

Theo định lý về diện tích hình chiếu ta có:

2 2 SBC

o SBC

4

3 R S

2

1 60 cos S

Từ (∗), (∗∗) ta có: 2

R

SA=

Từ đó

12

6 R ABC dt SA 3

1

VSABC= ∆ = 3

Khoi d 2007

Khoi b 2007

Khoi a 2007

Khoi cd 2008

Khoi d 2008

Khoi b 2008

Khoi a 2008

Khoi cd 2009

Khoi d 2009

H là hình chiếu của I xuống mặt ABC

Ta có IH ⊥AC

/ /

/

IH

3

2

V = S IH = a a× × = (đvtt) Tam giác A’BC vuông tại B

Nên SA’BC=1 2

2a a a=

Xét 2 tam giác A’BC và IBC, Đáy /

5

3 IBC 3 A BC 3

Vậy d(A,IBC)

3 2

3

9 2 5 5 5

IABC IBC

Khoi b 2009

BH=

2

a

BN

2

a

gọi CA= x, BA=2x, BC=x 3

2

2

CA

2 2

 

2

2 9 52

a x

Ta cĩ: ' ' 3 3

2 2

a

Khoi a 2009

Từ giả thiết bài tốn ta suy ra SI thẳng gĩc với mặt phẳng ABCD, gọi J là trung điểm của BC; E là hình chiếu của I xuống BC

2a a 3a

IJ

+

= = SCIJ

2

IJ CH 1 3a 3a

a

×

= = = , CJ=BC a 5

2 = 2

⇒ SCIJ

1 1 3a 3 3a 15

V a 2a 2a

E H N

B

M

N H

/

A

A

C

I

M

B

H

C/

Khoi cd 2010

Khoi d 2010

Khoi b 2010

Khoi a 2010