Phương pháp giải bài tập Hình không gian trong đề thi Đại học

http://trithuctoan.blogspot.com/ 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những vướng mắc đó. Phần 1: Nhữn g vấn đề cần nắm c hắc khi tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: b=ctanB, c=btanC; 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + - Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - V(khối chóp)= 1 . 3 B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= 1 3 (S(ABCD).dt(ABCD)) - S=p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) Phần 2) Phương pháp xác đị nh đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. C B H A http://trithuctoan.blogspot.com/ 2 Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh sẽ rơi vào đường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên đều tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại của cạnh bên thuộc mặt đáy. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC) Việc xác định được chân đường cao cũng là yếu tố quan trọng để tìm góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo bởi SC và (ABCD) là 60 0 , góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) là 45 0 , đáy là hình thang cân có 2 cạnh đáy là a, 2a; cạnh bên bằng a. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của SD,BC.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng đây là khối chóp thuộc dạng 2.Từ đó ta dễ dàng tìm được đường cao và xác định các góc như sau: Kẻ SH vuông góc với AD thì SH là đường cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ ;( ,( )) ) SCH SM ABCD HMS = , với M là chân đường cao kẻ từ H lên CD Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ˆ ( ,( )) PQ ABCD PQK = Q H P K M C D B A S Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009 ) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình thang vuông t ạ i A và D., có AB=AD=2a; CD=a. Góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng (SCB),(ABCD) b ằ ng 60 0 . G ọ i I là trung đ i ể m AD bi ế t 2 m ặ t ph ẳ ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v ớ i (ABCD).Tính th ể tích kh ố i chóp SABCD? HD giải: Vì 2 m ặ t ph ẳ ng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc v ớ i (ABCD) mà (SBI) và (SCI) có giao tuy ế n là SI nên SI là đườ ng cao. K ẻ IH vuông góc v ớ i BC ta có góc t ạ o b ở i m ặ t ph ẳ ng (SBC) và (ABCD) là 0 ˆ 60 SHI = . T ừ đ ó ta tính đượ c: 2 1 2; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a = = = = + = http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 2 2 2 2 1 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a a IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = − − = − − = nên 2 ( ) S IBC IH BC = = 3 3 5 a . T ừ đ ó V(SABCD)= 3 3 15 5 a . H I D C B A S Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ’ B ’ C ’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a; AA ’ =2a; A ’ C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A ’ C ’ , I là trung điểm của AM và A ’ C ’ . Tính V chóp IABC theo a? HD giải: - ABC A ’ B ’ C ’ là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. Vì I ∈ (ACC ’ ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ AC thì IH là đường cao và I chính là trọng tâm tam giác AA ’ C ’ 2 4 3 3 IH CI a IH AA CA ⇒ = = ⇒ = ′ ′ Có 2 2 2 2 2 2 A A 9 4 5 2 AC A C a a a BC AC AB a ′ ′ = − = = = ⇒ = − = V(IABC)= 3 1 1 4 1 4 . ( ) . . .2 . 3 3 3 2 9 a IH dt ABC a a a = = ( đvtt) H M I B A ' C ' C B A http://trithuctoan.blogspot.com/ 4 B. Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chia khối đa diện thành các khối đa diện đơn giản hơn Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn. Các em học sinh cần nắm v ững các công thức sau: ( ) . . ( ) . . V SA B C SA SB SC V SABC SASB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ = (1) ( A ABC ) A A ( ) SA V S V SABC ′ ′ = (2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ. C B A C ' B ' A ' S Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0 ˆ 60 BAD = , SA vuông góc với đáy(ABCD), SA=a. Gọi C là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B ’ , D ’ . Tính thể tích khối chóp HD giải: Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC ’ và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC. Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại B ’ , D ’ là 2 giao điểm cần tìm. Ta có: 1 2 ; 2 3 SC SD SB SI SC SD SB SO ′ ′ ′ = = = = Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 SAB C D SABC SAB C SABC V V V V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = ( ) ( ) . . 1 ( ) ( ) . . 3 V SAB C D V SAB C SASB SC V ABCD V SABC SASB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = = = Ta có 3 ( ) 1 1 1 3 3 ˆ . ( ) . . . . . . 3 3 3 2 6 SABCD V SAdt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a= = = = 3 ( ) 3 18 SAB C D V a ′ ′ ′ = (đvtt) http://trithuctoan.blogspot.com/ 5 A ' C ' D ' D C B A S Ví dụ 4) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 60 0 . Trên cạnh SA lấy M sao cho AM= 3 3 a . Mặt phẳng BCM cắt DS tại N. Tính thể tích khối chóp SBCMN. HD giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB và (ABCD) là 0 ˆ 60 SBA = . Ta có SA=SBtan60 0 =a 3 . Từ đó suy ra SM=SA-AM= 3 2 3 2 3 3 3 3 SM SN a a a SA SD − = ⇒ = = Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 SABCD SABC SACD SABC SACD V V V V V= + = = ; ( ) ( ) ( ) SBCMN SMBC SMCN V V V= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1. . . 1. . . 1 2 5 2. . . 2. . . 3 9 9 V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN V SABCD V SABCD V SABC V SACD SM SB SC SM SC SN SASB SC SASC SD + ⇒ = = + = + = + = Mà 3 ( ) 1 1 2 3 . ( ) 3 .2 3 3 3 SABCD V SAdt ABCD a a a a = = = 3 ( ) 10 3 27 SMBCN V a ⇒ = http://trithuctoan.blogspot.com/ 6 N M D C B A S Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm c hắc bài toán cơ bản và các tính chất sau * Bài toán cơ bản: Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến (SBC) - Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với (SBC). Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) là AH. Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 . A S AM AS AH AH AM AM AS = + ⇒ = + * Tính chất quan trọng cần nắm : - Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d) đến mặt phẳng (P) là như nhau - Nếu AM kBM =    thì /( ) /( ) A P B P d kd= trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán cơ bản. Tuy nhiên 1 số trường hợp việc tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, khi đó việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả. Ta có V(khối chóp)= 1 3 . 3 V B h h B ⇒ = http://trithuctoan.blogspot.com/ 7 H M C B A S Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc 60 0 . Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD). Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, E là hình chiếu của G lên AB Ta có: ( ) ; SG AB GE AB AB SGE ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0 ˆ 60 ⇒ SAG = ˆ .tan 3 SG GE SEG GE ⇒ = = Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD 1 3 3 a GE BC ⇒ = = 3 1 3 . 3 9 SABCD ABCD a V SG S⇒ = = Hạ GN vuông góc với AD, GH vuông góc với SN. Ta có /( ) /( ) 2 2 2 2 3 3 . 3 . 3 3 3 3 3 2 3 3 3 B SAD G SAD a a G N GS a d d GH GN G S a a = = = = = +     +         M H N E G C D A B S http://trithuctoan.blogspot.com/ 8 Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đ áy ABCD là hình thoi , 3 AB a = , 0 120 BAD∠ = . Bi ế t góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng AC ′ và m ặ t ph ẳ ng ( ) ADD A ′ ′ b ằ ng 0 30 .Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ trên theo a. và kho ả ng cách t ừ trung đ i ể m N c ủ a BB’ đế n m ặ t ph ẳ ng (C’MA).Bi ế t M là trung đ i ể m c ủ a A’D’ Giải: Ta có . ' ' ' ' '. ABCD A B C D ABCD V AA S= (1). Đ áy ABCD là hình thoi g ồ m 2 tam giác đề u ABC, ACD nên: ( ) 2 2 3 3 3 3 2 2. 4 2 ABCD ABC a a S S ∆ = = = (2) G ọ i C’M là đườ ng cao c ủ a tam giác đề u C’A’D’ thì ( ) ' ' ' C M ADA D ⊥ nên 0 ˆ ' 30 C AM = Ta có 0 2 2 3 3 3 ' ' .cot30 ' ' 6 2 2 a a C M AM C M A A AM A M a = ⇒ = = ⇒ = − = (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có: 2 3 . ' ' ' ' 3 3 9 2 . 6 2 2 ABCD A B C D a a V a= = . Ta có /( ' ) /( ' ) N C MA K C MA d d= v ớ i K là trung đ i ể m c ủ a DD’ (Vì K và N đố i x ứ ng nhau qua trung đ i ể m O c ủ a AC’) T ừ K h ạ KH vuông góc v ớ i AM thì /( ' ) 1 ( ' ) ; . ( ' ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) 2 K C MA KH AC M d KH KH AM dt AA D D dt AA M dt MD K dt AKD ⊥ ⇒ = = − − − 3 3 1 3 1 6 3 1 6 6 . 6. 3 6. . . . . 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a KH a a a a KH a ⇒ = − − − ⇒ = V ậ y /( ' ) 6 2 N C MA d a = O N C B A D H K M A ' B ' D ' C ' Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc t ạ o b ở i 2 m ặ t ph ẳ ng (SBC) và (ABC) là 60 0 , ABC,SBC là các tam giác đề u c ạ nh a. Tính kho ả ng cách t ừ đỉ nh B đế n mp(SAC).( Đề dự bị khối A 2007) HD: Cách 1: Coi B là đỉ nh kh ố i chóp BSAC t ừ gi ả thi ế t ta suy ra BS=BA=BC=a. G ọ i O là chân đườ ng cao h ạ t ừ B xu ố ng mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác SAC. G ọ i M là http://trithuctoan.blogspot.com/ 9 trung đ i ể m BC ta có ;SM BC AM BC⊥ ⊥ . Nên góc t ạ o b ở i (SBC) và (ABC) là 0 a 3 ˆ 60 A S = 2 SMA SM AM= ⇒ = = . Bây gi ờ ta tìm v ị trí tâm vòng ngo ạ i ti ế p tam giác SAC. Tam giác SAC cân t ạ i C nên tâm vòng tròn ngo ạ i ti ế p n ằ m trên trung tr ự c c ủ a SA và CN (N là trung di ể m c ủ a SA). K ẻ trung tr ự c c ủ a SC c ắ t trung tr ự c c ủ a SA t ạ i O là đ i ể m c ầ n tìm 2 2 2 2 3 2 13 16 cos 4 SA a SC a NC SNC SC SC a   − −     = = = = 2 2 2 2 2 4 3 2 ; ˆ 13 cos 13 13 SC a a a OC BO BC OC a SCN ⇒ = = = − = − = . O P N M C B A S Cách 2: 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 . ( ) . .sin 60 3 3.2 SABCD SABM a V V BM dt SAM AM MS= = = 3 3 ( ) 16 a dt SAC= = 2 1 1 13 3 39 3 ( ) 3 . A S = . . ( ,( ) 2 2 4 2 16 ( ) 13 a V SABC a CN a a d B SAC dt SAC = ⇒ = = Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình thang 0 ˆ ˆ 90 ABC BAD= = , BA=BC=a, AD=2a. C ạ nh bên SA vuông góc v ớ i đ áy và SA= 2 a , g ọ i H là hình chi ế u c ủ a A lên SB. Ch ứ ng minh tam giác SCD vuông và tính theo a kho ả ng cách t ừ H đế n mp(SCD) (TSĐH D 2007) HD giải: Ta có 2 2 2 2 2; 6; 2 AC a SD SA AD a SC SA AC a = = + = = + = . Ta c ũ ng d ễ dàng tính đượ c 2 CD a = . Ta có 2 2 2 SD SC CD = + nên tam giác SCD vuông t ạ i C. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . A S . 2 2 A S 3 A B AS 2 2 2 2 3 3 3 3 AB a a AH a AH AB a a a SH SH SA AH a SB a = + ⇒ = = = + + ⇒ = − = ⇒ = = http://trithuctoan.blogspot.com/ 10 2 1. .( ) 1 ( ) ( ) ( ) . ; 2 2 2 AB BC AD a dt BCD dt ABCD dt ABD AB AD + = − = − = 2 2 3 1 ( ) . 2 2 ( ) . . 2 1 1. 2. 2 ; ( ) . ( ) ( ) . . 3 3 3.2 6 dt SCD SC CD a V SHCD SH SC SD a a V SBCD SAdt BCD a V SBCD SB SC SD = = = = = = = 3 2 ( ) 9 V SHCD a = .Ta có 3 2 3 ( ) 2 1 ( /( )) .3 ( ) 9 3 2 V SHCD a d H SCD a dt SCD a = = = H D C B A S Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang 0 ˆ ˆ 90 ABC BAD= = BA=BC=a; AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy , góc tạo bởi SC và (SAD) bằng 30 0 .Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) Giải: H E N M G D C B A S Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và ( ) CE SAD⊥ 0 ˆ 30 .tan60 3 2 CSE SE CE a SA a ⇒ = ⇒ = = ⇒ = Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AE. Ta có BE song song với (SCD), MN cũng song song với (SCD). Ta có 3 4 ND AD= /( ) /( ) /( ) /( ) /( ) 2 2 2 2 3 1 . . 3 3 3 3 4 2 G SCD M SCD N SCD A SCD A SCD GS MS d d d d d= ⇒ = = = = [...]... 2   13  Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI) Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều Ta có FH = 14 http://trithuctoan.blogspot.com/ Phần 6 Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải... 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có SC = a 7 Góc tạo bởi (ABC) và (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC=600, a 3 SO vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy), SO = M là trung điểm của AD (P) là mặt 2 phẳng qua BM và song song với SA, cắt SC tại K Tính thể tích khối chóp KABCD Câu 20) Cho hình. .. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục A Ví dụ 1) Cho... đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp) Câu 51) Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh bên bằng a Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc α Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp Câu 52) Cho hình chóp SABCD Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán... thể tích hình lăng trụ ˆ 7) Cho hình hộp xiên ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a BAD = 600 , AA’=A’B=AD và cạnh bên tạo với đáy góc α Xác định góc α và chân đường cao vẽ từ A’ Tính thể tích V của hình hộp theo a và α 8) Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương cạnh a Lấy M trên cạnh AB với AM=x (0 . 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây. khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những. Các bài toán về khoảng cách trong không gian A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm c hắc bài