Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh đại học

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học bài toán hình học không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh.

Chuyên ñề luyện thi ñại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Trong kỳ thi TSĐH tốn hình khơng gian ln dạng tập gây khó khăn cho học sinh Nguyên nhân học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng tập để lựa chọn cơng cụ, phương pháp giải cho phù hợp Bài viết giúp học sinh giải vướng mắc Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính tốn - Trong tam giác vng ABC (vng A) đường cao AH ta ln có: A B b=ctanB, c=btanC; - C H 1 = = 2 AH AB AC Trong tam giác thường ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A; cos A = b2 + c2 − a2 Tương 2bc tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C: 1 - S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - V(khối chóp)= B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= (S(ABCD).dt(ABCD)) - Tính chất phân giác AD tam giác ABC: AB.DC = AC.DB - Tâm đường trịn ngoại tiếp giao điểm trung trực Tâm vịng trịn nội tiếp giao ñiểm phân giác tam giác Phương pháp xác ñịnh ñường cao loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vng với đáy chiều cao - Loại 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến - Loại 3: Khối chóp có mặt kề vng góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vịng trịn ngoại tiếp đáy - Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vịng trịn nội tiếp đáy Sử dụng giả thiết mở: - Hình chóp có mặt bên kề tạo với đáy góc α chân ñường cao hạ từ ñỉnh rơi vào ñường phân giác góc tạo cạnh nằm mặt đáy mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có cạnh bên hai cạnh bên ñều tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ ñỉnh rơi vào ñường trung trực ñoạn thẳng nối ñỉnh cạnh cạnh nằm mặt ñáy mặt bên mà hai đỉnh khơng thuộc giao tuyến mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC SB SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào ñường trung trực BC) Việc xác ñịnh ñược chân ñường cao yếu tố quan trọng để tìm góc tạo đường thẳng mặt phẳng góc tạo mặt phẳng - Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vng góc (ABCD), góc tạo SC (ABCD) 600, góc tạo (SCD) (ABCD) 450, đáy hình thang cân có cạnh đáy a, 2a; cạnh bên a Gọi P,Q trung điểm SD,BC.Tìm góc tạo PQ mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng khối chóp thuộc dạng Từ ta dễ dàng tìm ñường cao xác ñịnh góc sau: - Kẻ SH vng góc với AD SH đường ˆ ;( SM , ( ABCD )) = HMS ˆ ) , với M chân ñường cao kẻ từ H lên cao(SC,(ABCD))= SCH CD ˆ - Từ P hạ PK vng góc với AD ta có ( PQ, ( ABCD )) = PQK S P K A D H M B Q C Phần 3: Các toán tính thể tích A Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Câu 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D., có AB=AD=2a; CD=a Góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) 600 Gọi I trung ñiểm AD biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD? HD giải: Vì mặt phẳng (SBC) (SBI) vng góc với (ABCD) mà (SBI) (SCI) có giao tuyến SI nên SI đường cao Kẻ IH vng góc với BC ta có góc tạo mặt phẳng ˆ = 600 Từ ta tính được: (SBC) (ABCD) SHI IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a 2 a 3a IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên 2 15 S ( IBC ) 3 IH = = a Từ V(SABCD)= a BC S A D I C B H Câu 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB=a; AA’=2a; A’C=3a Gọi M trung ñiểm ñoạn A’C’, I trung điểm AM A’C’ Tính V chóp IABC theo a? HD giải: - ABC A’B’C’ lăng trụ đứng nên mặt bên vng góc với đáy Vì I ∈ (ACC’) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ AC IH đường cao I trọng tâm tam giác IH CI 4a AA’C’ ⇒ = = ⇒ IH = AA′ CA′ 3 Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a 1 4a V(IABC)= IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( ñvtt) 3 B’ M C’ A’ I C B H A B Tính thể tích cách sử dụng cơng thức tỉ số thể tích phân chia khối ña diện thành khối ña diện ñơn giản Khi gặp tốn mà việc tính tốn gặp khó khăn ta phải tìm cách phân chia khối đa diện thành khối chóp đơn giản mà tính trực tiếp thể tích sử dụng cơng thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thơng qua khối đa diện trung gian đơn giản Các em học sinh cần nắm vững công thức sau: V ( SA′B′C ′) SA′.SB′.SC ′ = (1) Cơng thức dung cho khối chóp tam giác V ( SABC ) SA.SB.SC S C’ A’ C B’ A B ˆ = 600 , SA vuông góc với Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD đáy(ABCD), SA=a Gọi C trung ñiểm SC, mặt phẳng (P) ñi qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp HD giải: Gọi O giao đường chéo ta suy AC’ SO cắt trọng tâm I tam giác SAC Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ ñường thẳng song song với BD cắt SB, SD B’, D’ giao ñiểm cần tìm SC ′ SD′ SB′ SI = ; = = = Ta có: SC SD SB SO V ( SAB′C ′D′) V ( SAB′C ′) SA.SB′.SC ′ = = = Dễ thấy V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SAB′C ′) = 2V( SABC ) ⇒ V ( ABCD) V ( SABC ) SA.SB.SC 1 3 Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD) = SA AD AB.sinDABˆ = a.a.a = a3 3 3 V( SAB′C ′D′) = a (ñvtt) 18 S C’ D’ B’ A D O B C Câu 2) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vng góc với đáy, cạnh SB a Mặt phẳng BCM cắt DS hợp với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho AM= N Tính thể tích khối chóp SBCMN HD giải: Từ M kẻ ñường thẳng song song với AD cắt SD N giao ñiểm cần tìm, góc tạo SB (ABCD) SBAˆ = 600 Ta có SA=SBtan600=a 3 SM SN =a ⇒ = = 3 SA SD = 2V( SABC ) = 2V( SACD ) Từ suy SM=SA-AM= a − a Dễ thấy V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN ) V ( SMBCN ) V ( SMBC ) + V ( SMCN ) V ( SMCN ) V ( SMCN ) 1.SM SB.SC 1.SM SC.SN = = + = + V ( SABCD) V ( SABCD) 2V ( SABC ) 2V ( SACD) 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD = + = 9 1 3 10 3 Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = a 3a 2a = a ⇒ V( SMBCN ) = a 3 27 ⇒ S N M A B D C Phần 4: Các tốn khoảng cách khơng gian A Khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng Về chất tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta tìm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng Tuy nhiên số trường hợp tìm hình chiếu trở nên vơ khó khăn, việc sử dụng cơng thức tính thể tích trở nên hiệu 3V Ta có V(khối chóp)= B.h ⇒ h = B Câu 1) Cho hình chóp SABC có góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) 600, ABC,SBC tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B ñến mp(SAC).(Đề dự bị khối A 2007) HD: Cách 1: Coi B đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy BS=BA=BC=a Gọi O chân ñường cao hạ từ B xuống mp(SAC) O tâm vịng tròn ngoại tiếp tam giác SAC Gọi M trung điểm BC ta có SM ⊥ BC ; AM ⊥ BC Nên góc tạo (SBC) (ABC) a SMAˆ = 600 ⇒ SM = AM = AS= Bây ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC Tam giác SAC cân C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trung trực SA CN (N trung diểm SA) Kẻ trung trực SC cắt trung trực SA O điểm cần tìm  SA  3a SC −  a2 −    16 = 13 = SC a NC = SC SC 2a 4a 3a ; BO = BC − OC = a − ⇒ OC = = = 13 cos SCNˆ 13 13 cos SNC = S N P O A C M B 2a Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = BM dt ( SAM ) = AM MS sin 600 = a dt ( SAC ) 3.2 16 1 13 39a 3V ( SABC ) 3a CN AS= a a= ⇒ d ( B, ( SAC ) = = = 2 16 dt ( SAC ) 13 ˆ = 900 , BA=BC=2a, ˆ = BAD Câu 2) Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD hình thang ABC AD=2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA= a , gọi H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a kho ảng cách từ H ñến mp(SCD) (TSĐH D 2007) HD giải: Ta có AC = a 2; SD = SA2 + AD = a 6; SC = SA2 + AC = 2a Ta dễ dàng tính CD = a Ta có SD = SC + CD nên tam giác SCD vuông C 1 AB.AS a.a 2 = + ⇒ AH = = =a 2 AH AB AS AB2 + AS2 a + 2a 2 a SH 2 ⇒ SH = SA − AH = a⇒ = = SB a 3 dt ( BCD) = dt ( ABCD) − dt ( ABD) = SC.CD = a 2 V ( SHCD ) SH SC.SD = = V ( SBCD ) SB.SC.SD dt ( SCD ) = V ( SHCD ) = AB.( BC + AD) a2 − AB AD = ; 2 2 1.a 2.a 2 = ;V ( SBCD ) = SA.dt ( BCD ) = a 3 3.2 3V ( SHCD) a a Ta có d ( H /( SCD)) = = a = dt ( SCD) 9 a S H A D B C B Khoảng cách ñường thẳng chéo khơng gian Khi tính khoảng cách ñường thẳng chéo a b không gian ta tìm đoạn vng góc chung đường thẳng đó, Nếu việc tìm đoạn vng góc chung gặp khó khăn ta tiến hành theo phương pháp sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau tính khoảng cách từ ñiểm b ñến mp(P) ngược lại dựng mp(P) chứa b song song với a sau tính khoảng cách từ điểm a đến (P) - Khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta vận dụng phương pháp ñã trình bày mục A Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên AA′ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA′B′C ′ khoảng cách ñường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008) HD giải: V ( ABCA′B′C ′) = S h = a3 Gọi N trung điểm BB’ ta có B’C song song với mp(AMN) Từ ta có: d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN )) N trung điểm BB’ Gọi H hình chiếu vng góc B lên (AMN), tứ diện BAMN tứ diện vuông B nên ta 1 1 a = + + ⇒ BH = có khoảng cách AM B’C 2 2 BH BA BN BM B’ A’ C’ N B H M K A C (Chú ý:1) Trong tốn ta dựng mặt phẳng trung gian mp(AMN) ñể tận dụng ñiều kiện B’C song song với (AMN) Tại khơng tìm mặt phẳng chứa B’C em học sinh tự suy nghĩ ñiều Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) ñi qua trung ñiểm M đoạn AB khoảng cách từ A đến (P) khoảng cách từ B ñến (P)) Câu 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung ñiểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính khoảng cách ñường thẳng MN AC.(TSĐH B 2007) HD giải: Gọi P trung ñiểm SA, ta có tứ giác MPNC hình bình hành Nên MN// PC Từ suy MN//(SAC) Mặt khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC ⇒ BD ⊥ MN 1 Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= d ( B, ( SAC )) = BD = a 2 S E M P D A B N C ( Việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp ta đơn giản hố tốn nhiều Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán ñể vận dụng) Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) ñi qua trung ñiểm M ñoạn AB khoảng cách từ A ñến (P) khoảng cách từ B đến (P)) Phần 5: Các tốn tính góc đường thẳng chéo khơng gian Khi cần tính góc đường thẳng chéo a b khơng gian ta phải tìm đường thẳng trung gian c song song với a c cắt b Khi góc tạo a b góc tạo b c Hoặc ta dựng liên tiếp ñường thẳng c d cắt song song với a b Sau ta tính góc c d theo định lý hàm số cơsin theo hệ thức lượng tam giác vuông Câu 1) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a , ñáy ABC tam giác vuông A AB = a , AC = a hình chiếu vng góc A’ lên mp (ABC) trung ñiểm cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính cơsin góc tạo AA’ B’C’ (TSĐH A2008) HD giải :Gọi H trung ñiểm BC Suy A’H ⊥ (ABC) 1 AH = BC = a + 3a = a Do A’H = A ' A2 − AH = a 2 a3 V(A’ABC) = A’H.dt (ABC) = Trong tam giác vng A’B’H ta có HB’= A ' B + A ' H = 2a nên tam giác B’BH cân B’ Đặt α góc tạo AA’ B’C’ ˆ ⇒ cos α = a = α = B ' BH 2.2a (Trong Bài toán ta chuyển tính góc tạo AA’ B’C’ sang tính góc tạo hai đường thẳng song song với AA’ B’C’ BB’và BC ) Tel 0988844088 10 A’ C’ B’ C A B H B Câu 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a mp (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M,N trung ñiểm cạnh AB,BC Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN tính cosin góc tạo SM DN Hd giải: Từ S hạ SH vng góc AB SH vng góc với mp (ABCD) SH đường cao khối chóp SBMDN Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 ⇒ ∆SAB vuông a AB S ⇒ SM = = a ⇒ ∆SAM tam giác ñều ⇒ SH = 2 3a3 Dễ thấy dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 Do V(SBMDN)= SH dt ( BMDN ) = 3 a Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy AE = giả sử (SM,DN)= α ⇒ α = ( SM , ME ) Ta có SA vng góc với AD (Định lý đường vng góc ) suy SA ⊥ AE ⇒ SE = SA2 + AE = a a , ME = AM + ME = Tam giác SME cân E 2 SM nên cos α = = ME 11 S A E H D M B N C MỘT SỐ BÀI TẬP Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với hình chóp Cho AB=a, SA= a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK Câu 2) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung ñiểm ñoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính d(BM,B1C) ˆ = 1200 Gọi M Câu 3) Cho lăng trụ ñứng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a BAC trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ C tới mp(A1BM) Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vng AB=AC=a, AA1=a Gọi M, N trung ñiểm ñoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính VMA1BC1 Câu 5) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM Câu 6) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng A, BC=a, a SA=SB=SC= Tính khoảng cách từ S đến (ABC) Tính góc tạo đường thẳng SA mp(ABC) Câu 7) Cho khối lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, AA’=a Tính góc tạo mp(ABC’) mp(BCA’) Câu 8) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB=2a, SA=a vng góc với mp(ABCD) Tính góc tạo mp(SAD) mp(SBC) Tính góc tạo mp(SBC) mp(SCD) 12 Câu 9) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’có ñáy ABC tam giác ñều tâm O Hình chiếu vng góc C’ (ABC) trùng với O Biết khoảng cách từ O đến CC’ a Góc tạo mặt phẳng (AA’C’C) (BB’C’C) 1200 Chứng minh ABB’A’ hình chữ nhật Tính thể tích lăng trụ góc tạo mặt bên (BCB’C’) đáy (ABC) Câu 10) Cho tứ diện ABCD, có đáy tam giác cân ABC DA vng góc với (ABC) AB=AC=a, BC= a Gọi M trung ñiểm BC Vẽ AH vng góc với MD (H thuộc MD) a) Chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (BCD) b) Cho AD= a Tính góc hai đường thẳng AC DM c) Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ABC tam giác DBC Chứng minh G1G2 vng góc với mặt phẳng (ABC) Câu 11) Cho hình chóp SABC có mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SB = a ; BSˆC = 45 , ASˆB = α a) Chứng minh BC vng góc với SB b) Tìm giá trị α ñể mặt phẳng (SCA) (SCB) tạo với góc 60 Câu 12) Cho hình vng ABCD Gọi S điểm khơng gian cho SAB tam giác (SAB) vng góc với (ABCD) a) Chứng minh (SAB) vng góc với (SAD) (SAB) vng góc với (SBC) b) Tính góc tạo bới mặt phẳng (SAD) (SBC) c) Gọi H,I trung ñiểm AB, BC Chứng minh mặt phẳng (SHC) vng góc với mặt phẳng (SDI) Câu 13) Cho cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có cạnh đáy a, Chiều cao h Điểm M MA = thuộc AB’ cho MB' a) Tính góc tạo AC BC’ b) Mặt phẳng (P) ñi qua M song song với ñường thẳng A’C BC’ cắt đường thẳng DC CC’ D Tính tỷ số DC ' Câu 14) Cho cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có tất cạnh a Gọi C trung ñiểm CC’ Tính góc tạo C1 B A’B’ góc tạo mặt phẳng ( C1 AB) )(ABC) Câu 15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với (ABCD) SA=a Tính a) Tính khoảng cách từ S đến (ECD) E trung điểm SA b) Tính khoảng cách AC SD Câu 16) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, Aˆ = 60 , A’C tạo với (ABCD) góc 600 a) Tính đường cao hình hộp b) Tìm đường vng góc chung A’C BB’.Tính độ dài đoạn vng góc chung Câu 18) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi ABCD có A=1200 , BD=a, cạnh bên SA vng góc với đáy , Góc tạo (SBC) (ABCD) 600.Tính 13 a) Đường cao kẻ từ S b) Khoảng cách hai ñường thẳng AC SD; BC SD Câu 19) Cho hình chóp ñều SABCD có cạnh a Gọi M,N trung ñiểm SA, SC Biết BM tạo với ND góc 600 Tính thể tích khối chóp Câu 20) Cho hình chóp SABCD có cạnh a đáy tâm O Gọi M, N trung ñiểm SA, BC Biết góc tạo MN (ABCD) 600 a) Tính MN, SO b) Tính góc tạo MN mặt phẳng (SAO) c) Tính thể tích khối chóp SABCD Câu 21) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Tính góc tạo (BA’C) (DA’C) Câu 22) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có hình chiếu vng góc ñỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết tam giác ABC tam giác cân ˆ = 1200,AB = a; Góc tạo mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Tính thể tích A ABC khối lăng trụ ABCA’B’C’ khoảng cách từ A lên mặt phẳng (A’BC) Câu 23) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A,AB = a ; AC = a cạnh A’A,A’B,A’C ñều hợp với đáy góc Góc tạo mặt phẳng (A’AC) đáy `1(ABC) 600 a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ b) Trên A’C’ lấy ñiểm M cho M trung ñiểm A’C’ ñường thẳng A’C’ cắt AM I Tính thể tích khối chóp IABC c) Gọi O trung điểm AM tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (A’BC) d) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’ABC Câu 24) Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA vng góc với đáy , góc tạo mặt phẳng (SBD) ñáy 600 Gọi M trung ñiểm SA ,N trunh điểm SD Tính thể tích khối chóp SABCD cosin góc tạo BM AN Câu 25) Cho khối chóp SABCD có SA = x cạnh cịn lại Tính thể tích VSABCD khối chóp tìm x để VSABCD lớn Câu 26) Cho tứ diện DABC Biết tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = 2a Các mặt (DAB) (DAC) hợp với (ABC) góc α ,mặt bên (DBC) vng góc với (ABC) a) Tính thể tích khối tứ diện theo a α 2a 3 b) Xác định góc α biết VABCD= Câu 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành ,một mp( α ) qua AB cắt SC, SM SD M,N Tính để ( α ) chia hình chóp thành hai phần tích SC Câu 28) Cho hình chóp tứ giác SABCD có tất cạnh ñều a Gọi M P trung ñiểm SA SC, mặt phẳng (DMP) cắt SB N Tính thể tích khối chóp SDMNP SM SN Câu 29) Trên cạnh SA,SB tứ diện SABC lấy ñiểm M,N cho = , = MA NB Một mặt phẳng ( α )ñi qua MN song song với SC chia tứ diện thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần ˆ = 600 Biết mặt Câu 30) Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vng A ABC bên hình chóp hợp với mặt đáy góc 30 diện tích xung quanh hình chóp a2 a) Tính thể tích khối chóp SABC theo a b) Tính khoảng cách từ ñỉnh C ñến mặt bên (SAB) theo a 14 Câu 31) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên AA’hợp với mặt đáy góc 600 Hình chiếu A’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho Câu 32) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác ñều Biết A’A = AB = a Tính thể tích khối lăng trụ biết mặt bên (A’AB) (A’AC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Câu 33) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A, hai đáy AD = 2a , BC = a Biết AB = a , SA = a SA ⊥ (ABCD) a) Tính thể tích khốichóp SACD b) Tính thể tích khối chóp SBCD khoảng cách d(B; (SCD)) Câu 34) Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a ˆ = α Gọi H hình chiếu S BC ABC a) Tính thể tích khối chóp SABC theo a b) Tính khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SAH) c) Cho (P) mặt phẳng qua A , trọng tâm tam giác SBC song song với BC chia khối chóp SABC thành phần Tính thể tích phần Câu 35) Cho khối chóp DABC có mặt (DBC) vng góc với đáy , mặt bên (DAB) (DAC) hợp với đáy góc α (α < 900 ) Tính thể tích khối chóp trường hợp sau a) ABC tam giác vng A có AB = a , AC = 2a ; b) ABC tam giác có cạnh a MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHƠNG GIAN THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy hình bình hành, M trung ñiểm SC Mặt phẳng (P) ñi qua AM, song song với BD chia khối chóp làm phần Tính tỉ số thể tích hai phần Câu 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh a a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt hình chóp Câu 3) Khối chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD); SA=2a Gọi E, F hình chiếu A SB SD I giao ñiểm SC (AEF) Tính thể tích khối chóp SAEIF Câu 4) Cho lăng trụ ñứng ABCA1B1C1 ñáy tam giác ñều Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc 300 tam giác A1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Câu 5) Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB= Mặt phẳng (AA1 B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA1= ; góc A1AB nhọn, góc tạo (A1AC) mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ Câu 6) Khối lăng trụ tứ giác ñều ABCDA1 B1C1D1 có khoảng cách đường thẳng AB A1D 2, ñộ dài ñường chéo mặt bên a) Hạ AH ⊥ A1D (K ∈ A1D) chứng minh AK=2 b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA1B1C1D1 Câu 7) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 15 Câu 8) Cho hình chóp tam giác SABC ñỉnh S, ñộ dài cạnh ñáy a GỌi M, N trung ñiểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc ABC=1200 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Câu 10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính góc mặt phẳng (SAB) (SCD) Câu 11) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC a) Tính khoảng cách t A ñến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp ABCMN Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có cạnh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc BSC=600, góc ASC=900 Chứng minh tam giác ABC vng tính thể tích hình chóp SABC theo a Câu 13) Cho hình chóp tứ giác SABCD Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) 2a Góc mặt bên mặt đáy α a) Tính thể tích khối chóp theo a α b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD= a , SA=a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung ñiểm AD SC, I giao ñiểm BM AC a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Câu 15) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung ñiểm ñoạn thẳng A’C’, I giao ñiểm AM A’C a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=2a, CD=a, góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung ñiểm cạnh AD Biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp SABCD theo a Câu 17) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc tạo BB’ mặt phẳng (ABC) 600, tam giác ABC vng C góc BAC=600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Câu 18) Trong khơng gian cho hình chóp tam giác SABC có SC = a Góc tạo (ABC) (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a Câu 19) Trong khơng gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC=600, a SO vng góc với đáy ( O tâm mặt ñáy), SO = M trung ñiểm AD (P) mặt phẳng qua BM song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp KABCD Câu 20) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác ñều cạnh a, cạnh bên SA vng góc với a đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) theo a biết SA = 16 Câu 21) Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi K trung ñiểm AB a) Chứng minh (SAC) vng góc với (SDK) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a; tính khoảng cách từ K đến (SDC) Câu 22) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng (SAC) vng góc với đáy, góc ASC=900, SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Câu 23) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC a2 vng góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ a Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a; BC = ; SA = a ; góc SAB góc SAC 300 Tính thể tích khối chóp theo a Câu 25) Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC a khoảng cách từ G ñến mặt bên (SCD) a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên (SCD) b) Tính thể tích khối chopSABCD Câu 26) Cho hình chóp SABC có ñường cao AB=BC=a; AD=2a Đáy tam giác vuông cân B Gọi B’ trung ñiểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A xuống SC.Tính thể tích khối chóp SAB’C’ Câu 27) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB=BC=a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung ñiểm cạnh BC a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B’C Câu 28) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a; SA=a; SB= a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng ñáy M N trung ñiểm cạnh AB BC Tính thể tích khối chóp SBMDN góc (SM;ND) Câu 29) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB=BC=a; AD=2a SA vng góc với đáy SA=2a Gọi M, N trung điểm SA; SD Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN Câu 30) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB=a; AC= a hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác ñều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung ñiểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Câu 32) Cho lăng trụ ñứng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1= 2a góc BAC=1200 Gọi M trung ñiểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách d từ ñiểm A ñến mặt phẳng (A1MB) Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ ñỉnh B ñến mặt phẳng (SAC) 17 Câu 34) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy Cho AB=a; SA= a Gọi H K hình chiếu A lên SB; SC Chứng minh SC ⊥ (AHK) tính thể tích khối chóp OAHK Câu 35) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường trịn đường kính AB=2R điểm C thuộc nửa vịng (SAB;SBC)=600 Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vng tính VSABC Câu 36) Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vng AB=AC=a; AA1= a Gọi M, N trung ñiểm AA1 BC1 Chứng minh MN đoạn vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 Câu 37) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh ñều a M trung ñiểm ñoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính d( BM ; B1C ) Câu 38) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a E ñiểm ñối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính khoảng cách MN AC theo a Câu 39) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a; BA=BC=a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA= a Gọi H hình chiếu vng góc A SB a) Chứng minh tam giác SCD vng b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Câu 40) Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông SA=SB=BS=a Gọi M, N, E trung ñiểm cạnh AB, AC, BC D ñiểm ñối xứng S qua E, I giao ñiểm AD (SMN) a) Chứng minh AD vng góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a góc Câu 41) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có cạnh AB=AD=a; AA’= BAD=600 Gọi M N trung ñiểm A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng (BDMN) tính thể tích khối chóp ABDMN Câu 42) Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vng a góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho AM = , mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp SBCNM Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD=600 SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a Gọi C’ trung ñiểm SC, mặt phẳng (P) ñi qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’ Câu 44) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên AA’=b Gọi α góc mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan α thể tích khối chóp A’BB’CC’ Câu 45) Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có cạnh ñáy =a Gọi SH ñường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối chóp SABCD 18 Câu 46) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh =a điểm K thuộc cạnh CC’ 2a cho: CK = Mặt phẳng α ñi qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích khối đa diện Câu 47) Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có đỉnh liên tiếp A; B nằm đường trịn đáy thứ nhất, đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ cùa hình trụ Mặt phẳng (ABCD)tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Câu 48) Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O, SA SB đường sinh Biết SO=3a, khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SAB) bẳng a, diện tích tam giác SAB=18a2 Tính thể tích diện tích xung quanh Câu 49) Cho hình trụ có đáy hình trịn tâm O O’ Bán kính đáy chiều cao a Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, ñường tròn ñáy tâm O’ lấyñiểm B cho AB=2a a) Tính diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ b) Tính thể tích tứ diện OO’AB Câu 50) Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đơi cạnh nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp) Câu 51) Cho hình chóp tam giác SABC có độ dài cạnh bên a Các mặt bên hợp với mặt phẳng ñáy góc α Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp Câu 52) Cho hình chóp SABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD biết SA=h Câu 53) Hình cầu đường kính AB=2R Lấy H AB cho AH=x ( 0