Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI

CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông A) đường cao AH ta có: - b = c tan B , c = b tan C , AH = HB.HC 1 AB AC = + ⇒ AH = 2 AH AB AC AB + AC A B H C b2 + c2 − a2 ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A;cos A = 2bc Tương tự ta có hệ thức cho cạnh b, c góc B, C: 1 - S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - S = p.r (Trong p chu vi, r bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) abc - S= 4R ⊻ Thể tích khối đa diện: - Vchop = B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - VLT = B.h 2 Phần 2) Phương pháp xác định đường cao loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vuông với đáy cạnh chiều cao Loại 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến mặt bên đáy Loại 3: Khối chóp có mặt kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy - Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn nội tiếp đáy Sử dụng giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC - Hình chóp SABCD có SB = SC SB, SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC Việc xác định chân đường cao yếu tố đặc biệt quan trọng để giải câu hỏi toán hình không gian cổ điển - Phần 3: Các toán tính thể tích A Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , có AB = AD = 2a, CD = a Góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) 600 Gọi I trung điểm AD biết mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Vì mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD mà ( SBI ) ( SCI ) có giao tuyến SI nên SI ⊥ ( ABCD ) Kẻ IH ⊥ BC ta có góc mặt phẳng ˆ = 600 Từ ta tính được: ( SCB ), ( ABCD ) SHI IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a 2 a 3a IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD ) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên 2 2S 3 15 IH = ∆IBC = a Từ tính VSABCD = a BC 5 CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO S A B I H D C Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn B ' C ' , I giao điểm BM B ' C Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: - ABCA ' B ' C ' lăng trụ đứng nên mặt bên vuông góc với đáy I ⊂ ( B ' BC ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ BC IH ⊥ ( ABC ) I trọng tâm tam IH CI 4a giác BB ' C ' ⇒ = = ⇒ IH = BB ' CB ' 3 Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a 1 4a VIABC = IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( đvtt) 3 C' A' M B' I O C A H B CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm AD SC ; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SMB ) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Lời giải: +) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SMB ) Ta có: 2a a = Gọi O = AC ∩ BD ;do I giao điểm hai đường trung tuyến AO BM nên trọng tâm tam giác ABD a a Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: AI = AO = AC = ; BI = BM = 3 3 2 a 2a Nhận xét: AI + BI = + = a = AB , suy tam giác AIB vuông I 3 Do BM ⊥ AI (1) Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BM (2) AC = AB + BC = a + 2a = a 3; BM = AB + AM = a + Từ (1) (2) suy BM ⊥ ( SAC ) +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Do NO đường trung bình tam giác SAC nên ta có: NO / / SA NO = a SA = 2 Do NO đường cao tứ diện ANIB 1 a a a2 Diện tích tam giác AIB là: S AIB = AI BI = = 2 3 1a a a Thể tích khối tứ diện ANIB là: V = S AIB NO = = 3 36 CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO S N M A D I O C B Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: Gọi O hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) I , H , J hình chiếu O AB, BC , CA Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB, SJ ⊥ AC , SH ⊥ BC Suy ra: SIO, SJO, SHO góc hợp mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) mặt đáy Theo giả thiết ta có: SIO = SJO = SHO = 600 Các tam giác vuông SOI , SOJ , SOH nên OI = OJ = OH Do O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC tam giác cân A nên AH vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Suy A, O, H thẳng hàng H trung điểm BC Tam giác ABH vuông H , ta có: AH = AB − BH = 9a − a = 2a 1 Diện tích tam giác ABC là: S ABC = BC AH = 2a.2a = 2a 2 2 Ngoài ra: S ABC = pr , với p = ( AB + AC + BC ) = 4a r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC 2 S 2a a ⇒ r = ABC = = = OH p 4a a a 2a 3 = Tam giác SOH vuông O , ta có: SO = OH tan 600 = 1 Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC SO = 2a 3 CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO S I A B O H J C Chú ý: Hình chóp có mặt bên hợp với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A AB = a 3, AC = a Biết đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C khoảng cách từ đỉnh B đến 6a mặt phẳng (C’AC) Tính thể tích khối chóp A ' ABC ' theo a tính cosin góc 15 tạo mặt phẳng ( ABB ' A ') mặt phẳng đáy ( ABC ) - Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC Suy H tâm vòng ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vuông A nên H trung điểm BC Ta có: d B /( ACC ') = 2d H /( ACC ') Hạ HM ⊥ AC , HN ⊥ C ' M ⇒ HN ⊥ ( ACC ') ⇒ d H /( ACC ') = HN = 3a d B /( ACC ') = 15 a AB = ⇒ C ' H = a từ tính CC ' = 2a 2 1 1 a3 = VLT = C ' H dt ( ABC ) = a .a 3.a = 3 2 Ta có: HM = Có VA ' ABC ' AC suy I trung điểm AB Tam giác ABC vuông A nên KI ⊥ AB ⇒ Góc tạo - Hạ A ' K ⊥ ( ABC ) C ' HKA ' hình chữ nhật Gọi I = HK ∩ AB OI / / = ( ABB ' A ') đáy ( ABC ) A ' IK IK Ta có: cos A ' IK = Tính A'I a a 13 IK 13 IK = HK = ; A ' I = IK + A ' K = ⇒ cos A ' IK = = 2 A' I 13 CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO C' B' A' N H B C M I A K Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành AB = 2a, AD = a, BAD = 600 SAB tam giác Gọi H trung điểm AB , K hình chiếu vuông góc H a 15 lên mặt phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD biết HK = điểm K nằm tam giác SCD Giải: Gọi E trung điểm CD, F trung điểm ED Với giả thiết SA = SB ta suy chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ABCD ) thuộc đường thẳng chứa HF Hạ HK ⊥ SF ⇒ HK ⊥ ( SCD ) Ta có: VSABCD = 2VSHCD = HK dt ( SCD ) Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: dt ( SCD ) = SF CD; Mà SF = SK + KF ; SK = SH − HK ; KF = HF − HK SH đường cao tam giác SAB suy ra: SH = a 3, HF đường cao tam giác a 3 15a Thay số ta có: SF = 10 a 3 15a 3a = 2a = 10 HDE suy ra: HF = Vậy: VSABCD CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO S B C 120° K H E F D A Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB = SCB = 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải: Đây toán dễ làm cho học sinh bối rối xác định đường cao hình chóp S K C H A B  AB ⊥ SH Hạ SH ⊥ ( ABCD )  ⇒ AB ⊥ ( SHA) ⇒ AB ⊥ HA  AB ⊥ SA Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ HC ⇒ HABC hình vuông Ta có HC ⊥ BC kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = a 1 HK HC Mặt khác ta có: = + ⇒ SH = =a 2 HK HC HS HC − HK CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 1 3a 6a Thể tích khối chóp VSABC = SH S ∆ABC = a = 3 2 Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a , SD = a mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: S A D H O B C Hạ SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆SHA = ∆SHC ⇒ SA = SC Từ giả thiết ta suy ∆ASC = ∆ADC = ∆ABC ⇒ OB = SO = OD ⇔ ∆SBD vuông S SB.SD a Tính BD = a 3, SH = = ,suy tam giác ABC tam giác SB + SD VSABCD 1 a a2 2a = SH S ABCD = = 3 Chú ý: Ta tính thể tích theo cách: VSABCD = 2VCSBD = CO.S ∆SBD Trong ví dụ chìa khóa để giải toán phát tam giác SBD vuông S Các em rèn luyện dạng toán qua tập sau: ‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD = x ( x > 0) , cạnh lại hình chóp a ( x > 0) Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD 2a ’’ B Tính thể tích phương pháp gián tiếp CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO Khi gặp toán mà việc tính toán gặp khó khăn ta phải tìm cách phân chia khối đa diện thành khối chóp đơn giản mà tính trực tiếp thể tích sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua khối đa diện trung gian đơn giản Các em học sinh cần nắm vững công thức sau: VSA′B′C ′ SA′.SB′.SC ′ = (1) VSABC SA.SB.SC VSA′ABC A ' A = (2) Công thức (2) mở rộng cho khối chóp VSABC SA S C' A' B' A C B ˆ = 600 , SA Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD vuông góc với đáy ABCD , SA = a Gọi C ' trung điểm SC , mặt phẳng ( P ) qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B ', D ' Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Gọi O giao đường chéo ta suy AC ' SO cắt trọng tâm I tam giác SAC Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B ', D ' giao điểm cần tìm SC ′ SD′ SB′ SI Ta có: = ; = = = SC SD SB SO V V SA.SB′.SC ′ Dễ thấy V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SABCD ) = 2V( SABC ) ⇒ SAB′C ′D′ = SAB′C ′ = = VABCD VSABC SA.SB.SC 10 3) Chứng minh hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD) vuông góc với 4a 3 27 ˆ = 900 Bài 14: Cho hình chóp SABC có cạnh SA = a SB + SC = 3a Góc BAC ĐS: VSABCD = BSC = CSA = ASB = 600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a a3 12 Bài 15: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a , mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AB tạo với đáy góc 300 cắt SC , SD M , N 1) Tính theo a tứ diện tứ giác ABMN 2) Tính thể tích khối chóp SABMN theo a ĐS: VSABC = 3a a2 ;VSABMN = 16 Bài 16: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên SA = a Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AB vuông góc với mặt phẳng ( SCD ) cắt SC SD C ' D ' 1) Tính diện tích tứ giác ADC ' D ' 2) Tính thể tích hình đa diện ABCDD ' C ' 3a 5a 3 ĐS: S ABC ' D ' = ;VABCDD'C' = Bài 17: Khối chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) ; SA = 2a ĐS: S ABMN = Gọi E , F hình chiếu A SB SD I giao điểm SC ( AEF ) Tính thể tích khối chóp SAEIF 16a ĐS: 45 Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy tam giác Mặt phẳng ( A1BC ) tạo với đáy góc 300 tam giác A1BC có diện tích 8a Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: 3a Bài 19: Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = 2a Mặt phẳng ( AA1B ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AA1 = a ; góc A1 AB nhọn, góc tạo ( A1 AC ) mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a 10 51 Bài 20: Cho hình chóp tam giác SABC đỉnh S , độ dài cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) a 10 16 Bài 21: Cho hình chóp SABC có SA = 3a SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tam ĐS: S = giác ABC có AB = BC = 2a , góc ABC = 1200 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) ĐS: Bài 22: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC a) Tính khoảng cách t A đến mặt phẳng ( SBC ) b) Tính thể tích khối chóp ABCMN 57 a 3a ĐS: a ) ; b) 19 50 Bài 23: Cho hình chóp tứ giác SABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) 2a Góc mặt bên mặt đáy α a) Tính thể tích khối chóp theo a α b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ 4a 3 ĐS: ; cos α = 3cos α sin α Bài 24: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = a , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M N trung điểm AD SC , I giao điểm BM AC a) Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SMB ) b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB a3 36 Bài 25: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a , AA ' = 2a , A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) ĐS: V = 52 4a 2a ;d = Bài 26: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , AB = AD = 2a , CD = a , góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 600 Gọi I ĐS: V = trung điểm cạnh AD Biết mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp SABCD theo a 15 a Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có BB ' = a , góc tạo BB ' mặt phẳng ĐS: V = ( ABC ) 600, tam giác ABC vuông C góc BAC =600 Hình chiếu vuông góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a 9a ĐS: V = 208 Bài 28: Trong không gian cho hình chóp tam giác SABC có SC = a Góc tạo ( ABC ) ( SAB ) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = 3a Bài 29: Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a , góc a ABC = 600, SO vuông góc với đáy ( O tâm mặt đáy), SO = M trung điểm AD ( P ) mặt phẳng qua BM song song với SA , cắt SC K Tính thể tích khối chóp KABCD a3 ĐS: V = Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi K trung điểm AB a) Chứng minh ( SAC ) vuông góc với ( SDK ) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a ; tính khoảng cách từ K đến ( SDC ) 5a 10 Bài 31: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng ĐS: V = 2a ; h = ( P ) chứa BC vuông góc với AA ' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ 53 ĐS: V = a3 12 a ; SA = a ; góc SAB góc SAC 300 Tính thể tích khối chóp theo a a3 ĐS: V = 16 Bài 33: Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB = AC = a ; BC = a a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên ( SCD ) giác SAC khoảng cách từ G đến mặt bên ( SCD ) b) Tính thể tích khối chóp SABCD a a3 ĐS: a ) ; b) Bài 34: Cho hình chóp SABC có đường cao AB = BC = a ; AD = 2a Đáy tam giác vuông cân B Gọi B ' trung điểm SB, C ' chân đường cao hạ từ A xuống SC Tính thể tích khối chóp SAB ' C ' a3 ĐS: 36 Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B ' C a3 a ĐS: a ) ; b) Bài 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a ; SA = a ; SB = a mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy M N trung điểm cạnh AB BC Tính thể tích khối chóp SBMDN góc ( SM ; ND ) a 3a ; cos ϕ = Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB = BC = a ; AD = 2a SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M , N trung điểm SA; SD Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN ĐS: V = ĐS: a )a ; b) a3 54 Bài 38: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A, AB = a ; AC = a hình chiếu vuông góc A ' ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc đường thẳng AA ' B ' C ' a3 ĐS: V = ;cos α = Bài 39: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SB, BC , CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP a3 ĐS: V = 96 Bài 40: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a góc BAC = 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1MB ) a Bài 41: Cho hình chóp SABC có góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 600 Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ( SAC ) ĐS: d = 13a 13 Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a tâm O , SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SC Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) tính thể tích khối chóp OAHK ĐS: d = ĐS: V = 2a 27 Bài 43: Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a Gọi M , N trung điểm AA1 BC1 Chứng minh MN đoạn vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 a3 ĐS: V = 12 Bài 44: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm cạnh AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách BM , B1C 55 ĐS: d = a 10 30 AD =a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB a) Chứng minh tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) a ĐS: h = Bài 45: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông A, B , AB = BC = Bài 46: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E , I giao điểm AD SMN a) Chứng minh AD vuông góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a3 ĐS: V = 36 a Bài 47: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AB = AD = a; AA ' = góc BAD = 600 Gọi M N trung điểm A ' D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng ( BDMN ) tính thể tích khối chóp ABDMN 3a 16 Bài 48: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC ' 2a cho: CK = Mặt phẳng α qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích khối đa diện a3 2a ĐS: V1 = ;V2 = 3 ĐS: V = Bài 49: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, AB = BC = a , BAD = ABC = 900 , AD = 2a , SA = 2a vuông góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA, AD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp SBCNM theo a a3 ĐS: VSBCNM = 56 Bài 50: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SC SM SN vuông góc với đáy SC = 2a Hai điểm M , N thuộc SB SD cho = =2 MB ND Mặt phẳng ( AMN ) cắt SC P Tính theo a thể tích khối chóp SAMPN ĐS: VSAMPN = 2a Bài 51: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , đường cao SA = a ( ) M điểm thay đổi SB , đặt SM = x < x < a Mặt phẳng ( ADM ) cắt SC N 1) Tứ giác ADMN hình gì? Tính diện tích tứ giác theo a x 2) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp làm hai phần, phần hình chóp SADMN tích V1 phần lại tích V2 Xác định giá trị x để V1 = V2 ĐS: S ADNM = ( 2a + x ) x2 − a x + a ; x = 2a Bài 52: Cho lăng trụ tứ giác ABCDA ' B ' C ' D ' có chiều cao a Mặt phẳng ( A ' BD) hợp với mặt bên ( ABB ' A ') góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho ĐS: V = 2a Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA ' đến mặt bên BCC ' B ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABC ') a Mặt phẳng ( ABC ') hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = 4a 3 Bài 54: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên ( ACC ' A ') tạo với đáy góc α Tính thể tích khối lăng trụ theo a α ĐS: V = a3 sin α Bài 55: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu A ' mặt phẳng ( ABC ) O Khoảng cách AA ' BC a 57 góc hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ACC ' A ') α Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: V = 2a tan 3 tan α α −1 Bài 56: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A với AB = a, BC = 2a Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi, mặt bên ( BCC ' B ') nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt phẳng hợp với góc α Tính thể tích khối lăng trụ cho ĐS: V = 3a cot α Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC a biết tam giác AO ' C tam giác vuông O ' ( O ' tâm hình thoi A ' B ' C ' D ' ).Tính thể tích khối hộp a Bài 58: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a tâm O Gọi M , N lần ĐS: V = lượt trung điểm SA, SC Biết góc tạo đường thẳng BM ND 600 Tính thể tích khối chóp SABCD 30a 30a V = 18 Bài 59: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B có AB = BC = a; AD = 2a , SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SB tạo với ( SAC ) góc 600 Gọi O giao điểm AC BD Giả sử mặt phẳng ( P ) qua O song song với SC cắt SA M Tính thể tích khối chóp MBCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) ĐS: V = ĐS: VMBCD = 6a a , d M /( SCD ) = 54 Bài 60: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AA ' = a Đường thẳng B ' C tạo với đường thẳng AD góc 600 , đường chéo B ' D tạo với mặt bên ( BCC ' B ') góc 300 Tính thể tích khối chóp ACB ' D ' cosin góc tạo AC B ' D 58 ĐS: VACB ' D ' = 3a , cos ( AC , B ' D ) = 27 Bài 61: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD = 600 Đỉnh S cách điểm A, B, D Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) a Tính thể tích khối chóp SABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SOAB 2a a , R= 12 Bài 62: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ĐS: VSABCD = góc ABC = 600 Góc mặt phẳng ( A ' BD) ( ABCD) 600.Tính thể tích khối chóp C ' A ' AD khoảng cách hai đường thẳng CD ' A ' D theo a a3 a ĐS: V = , d = Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SD tạo với ( SBC ) góc α cho cos α = Gọi M trung điểm AB , mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với ( SAD) cắt SA, SD, CD N , E , F Tính thể tích khối chóp SMNEF xác định tâm , tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMC theo a 3a 93a ĐS: VSMNEF = , R= Bài 64: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M , N trung điểm AD, CD Hình chiếu S ABCD trùng với giao điểm AN BM Tính thể tích chóp SBCNM khoảng cách đường thẳng BM SC biết đường cao SH = 2a 2a , 24 Bài 65: Cho khối chóp SABC có đáy tam giác vuông cân B , đường cao SE với E trung điểm cạnh BC SE = CE = 2a Gọi M , N trung điểm SE , CE Trên tia ĐS: VSBMNC = đối tia BA lấy điểm D cho ACD = α ( 450 < α ≤ 900 ) Gọi H hình chiếu S lên CD a) Tính thể tích tứ diện EHMN theo a α b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD theo a thể tích tứ diện EHMN lớn 59 160 ĐS: V = − a cos 2α , V = π R = πa 3 Bài 66: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B, BAC = 60° , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC a , khoảng cách hai đường thẳng A′B AC ( a 3+ ) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: Bài 67: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân C cạnh huyền a Mặt phẳng ( A ' AB ) vuông góc với đáy ABC , AA ' = a , góc A ' AB góc nhọn Biết mặt bên ( A ' AC ) tạo với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ theo a tính khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' AC ) 3a a , d B ,( A ' AC ) = 10 Bài 68: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh a , SA = a , Gọi M , N điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD cho AM = MB; DN = AN ,biết MN vuông góc với SM , ∆SMC tam giác cân S Tính thể tích khối chóp SMNCD khoảng cách SA CM ĐS: VLT = 11 3a a 93 ĐS: VSMCND = , d= 192 31 Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 3a, AA′ = a góc A′B với mặt phẳng trung trực đoạn BC 30° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ khoảng cách hai đường thẳng A′B, AC ĐS: Bài 70: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, D biết AB AD = DC = Mặt bên SBC tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách hai đường thẳng BC , SA theo a ĐS: Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có M trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 900 ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng (ABC ) góc 450 , hình chiếu vuông góc C1 lên mặt phẳng (ABC ) trung điểm CM Tính thể tích khối lăng trụ cho góc tạo hai mặt phẳng (ABC ) ( ACC1 A1 ) ĐS: V = 3a , tan(( ABC ); ( ACC1 A1 )) = 60 Bài 72: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B AB = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Góc hợp SC mặt phẳng ( SAB ) = 600 ; M trung điểm AC Biết khoảng cách SM AB a , tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = a Bài 73: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân với SB = SC = a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC a3 ĐS: V = Bài 74: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P a trung điểm BB ', CC ', BC Q điểm cạnh AB cho BQ = Chứng minh Chứng minh ( MAC ) ⊥ ( NPQ) tính thể tích khối lăng trụ theo a a 15 Bài 75: Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a Gọi M , N , I ĐS: V = trung điểm AA ', AB BC Biết góc tạo (C ' AI ) ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp NAC ' I khoảng cách hai đường thẳng MN , AC ' a a , d= 32 Bài 76: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông với cạnh huyền ĐS: VNAC ' I = BC = 2a ; ABC = 600 Mặt bên ( BCB ' C ') hình thoi ( B ' BC < 900 )và vuông góc với đáy mặt bên ( ABB ' A ') tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 Bài 77: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B có AB = a, BC = a , BB ' = a Mặt phẳng ( P ) qua A vuông góc với A ' C cắt CC ', BB ' M , N Tính thể tích khối chóp ABCMN ĐS: V = 3 a Bài 78: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh ĐS: V = 5a , AC = 4a 61 SO = 2a SO vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp SMBD khoảng cách hai đường thẳng SA BM 2a , d= a 3 Bài 79: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với đáy ABCD Gọi M , N trung điểm SA, BC , E giao điểm ĐS: V = mặt phẳng ( DMN ) với SB Biết DMN = 300 Tính thể tích khối chóp SDMEN theo a 8a ĐS: Bài 80) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O biết AB = a; BC = a , Tam giác SAO cân S , mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD Biết SD hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách SB AC 3a 3a , d= Bài 81: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi H tâm mặt ADD ' A ' , K hình chiếu D lên BD ' Tính thể tích tứ diện D ' DHK khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( D ' A ' B ) ĐS: VSABCD = a3 a ĐS: V = , d = 36 Bài 82: Cho hình chóp SABC có SC ⊥ ( ABC ) tam giác ABC vuông B Biết AB = a, AC = a 3, ( a > ) góc mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) α với tan α = 13 Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = 2a Bài 83: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tam giác ABD tam giác đều.Gọi M , N trung điểm BC , C ' D ' Biết MN vuông góc với B ' D tính thể tích khối chóp DAMN khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AMN ) ĐS: VDAMN = 6a 22 , d= a 24 11 62 Bài 84: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SB, SD Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD biết AM vuông góc với CN 10a ĐS: R = 10 Bài 85: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giácvuông, SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E ; I giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng ( SMN ) Chứng minh AD vuông góc SI tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a3 ĐS: V = 36 Bài 86: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, BC = a ABC = 1200 Mặt bên SAB tam giác cạnh 2a tạo với mặt đáy góc α Biết hình chiếu vuông góc S mặt đáy nằm hình bình hành ABCD cos α = Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách đường thẳng SB AD theo a 2a 114 , d= 19 Bài 87: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh huyền 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC trọng tâm G tam ĐS: V = giác ABC cạnh bên SB = a 14 Tính thể tích khối chóp SABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) 3a ,d = a Bài 88: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân SB = SC = a nằm ĐS: V = mặt phẳng vuông góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC 2a ĐS: V = Bài 89: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có AC = a, CB = 2a, ACB = 1200 đường thẳng A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 Gọi M trung điểm BB ' Tính thể tích khối lăng trụ cho tính khoảng cách AM CC ' theo a 105a a 21 ĐS: V = d= 14 63 Bài 90: Cho lăng trụ đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 , AC ' = 2a Gọi O giao điểm AC BD , E giao điểm A ' O AC ' Tính thể tích khối tứ diện EABD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BDE ) 3a a 21 ,d = 36 Bài 91: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , ĐS: V = BAC = 600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC hai đường thẳng A ' B AC ( ) −1 a khoảng cách a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' 3 a Bài 92: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC = 2a Gọi M trung điểm BC , biết hai mặt phẳng ( AB ' M ) ( BA ' C ') vuông góc với Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( AC ' M ) theo a ĐS: V = a Bài 93: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C , đường thẳng ĐS: V = 2a , d = BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P trung điểm BB', CC ', BC Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM , NP theo a a 15 a 15 ,d = Bài 94: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với SAB = SAC = 300 AB = AC = 2a, BC = a, SA = a Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = a3 Bài 95: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a BAD = 600 tam giác SAC , SBD cân S Gọi M , N trung điểm AB, BC Biết hai mặt phẳng ( SDM ), ( SDN ) vuông góc với Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SMN ) theo a ĐS: V = 6a3 a , d= Bài 96: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đáy AB, CD ĐS: V = Biết AB = 3a, AC = a 7, CD = a Các mặt bên ( SAB ), ( SBC ), ( SAD) tạo với đáy 64 góc 600 Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) nằm hình thang ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD theo a ĐS: V = 3a CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C Đ T 8-9ĐI M TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO C M ƠN CÁC EM ĐÃ Đ C TÀI LI U CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !!! 65