2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số fx và chứng minh rằng phương trình fx = 3 có đúng hai nghiệm .... Khi x,y >0 Không mất tính tổng quát..[r]
(1)MỘT SỐ BÀI GTLN,GTNN-BĐT TRONG ĐỀTHI ĐẠI HỌC Bài (Đề TS-B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + Giải: (Đề TS-B-2009) (x y) 4xy (x y)3 (x y) x y (x y) 4xy (x y) 1 x y dấu “=” xảy : x y 2 2 2 (x y ) Ta có : x y 4 2 A x y x y 2(x y ) (x y ) x y 2(x y ) 2 (x y ) (x y ) 2(x y ) (x y ) 2(x y ) 4 Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ Þ hàm số: f (t) t 2t 1, t 1 9 f '(t) t t f (t) f ( ) Vậy : A x y 2 16 16 Bài (Đề TS-D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy Giải: (Đề TS-D-2009) S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 æ ö 25 é 1ù 191 S’ = 32t – ; S’ = t = S(0) = 12; S çç ÷÷÷ = ; S ( S Vì S liên tục ê0; ú nên : è4ø êë ûú 16 16 16 Đặt t = x.y, vì x, y và x + y = nên t 2 2 x x 25 191 4 Max S = x = y = và Min S = hay 2 16 y y 4 4.(Đề CT- K B - 08)Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+y2=1.Tìm GTLN và GTNN 2( x xy ) cña biÓu thøc P xy y (Đề CT- K D - 08) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi.Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ ( x y )(1 xy ) cña biÓu thøc P (1 x) (1 y ) )(DBB1-08).Cho số dương x;y;z thỏa mãn hệ thức x + y +z = 3 yz Chứng minh x y z 3x )(DBB2-08).Cho số nguyên n (n ≥ 2) và hai số thức không âm x,y Chứng minh : n CM; n x n y n n 1 x n 1 y n 1 x n y n n 1 x n 1 y n 1 (*) x Khi Hiển nhiên (*) luôn đúng y Khi x,y >0 Không tính tổng quát Giả sử < x ≤ y Đặt t Lop12.net x ; t (0 ; 1] y (2) ln(t n 1) ln(t n 1 1) ln(t n 1 1) n n n 1 xn yn x n 1 y n 1 n ln (n 1) ln n y n 1 y Ta luôn có t n t n 1 ln(t n 1) ln(t n 1 1) (n 1) ln t n n ln i n 1 xn yn n y n 1 n x n 1 y n 1 xn yn n 1 y n 1 x n 1 y n 1 (DB-kD1-08)Cho các số thực x,y thỏa mãn x, y n n x n y n n 1 x n 1 y n 1 (đpcm) Chứng minh cos x cos y cos( xy ) x y x y cos xy cos x y x y x y cos x cos y 2cos cos 2cos 2cos xy (1) 2 Với t xy ; t [0; / 3] Xét hàm số f (t ) cos t cos t CM; Theo BĐT Cô si Ta có xy f '(t ) 2t sin t 2sin t 2(sin t t sin t ) ; f '(1) t[0 ; 1) thì t t sin t sin t t sin t f '(t ) t (1 ; /3] thì t t sin t sin t t sin t f '(t ) f (0) ; f (1) cos1 ; Vậy f (t ) t [0; 2 f ( ) cos ] cos xy 2cos xy (2) Từ (1) và (2) Ta có cos x cos y cos( xy ) (đpcm) Bài (ĐH-A-2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = x (y + z ) z (x + y ) y (z + x ) Tìm GTNN biểu thức:P = + + y y + 2z z z z + 2x x x yx + 2y y Giải: ĐH-A-2007) Ta coù x (y + z ) ³ 2x x ; y (z + x ) ³ 2y y ; z (x + y ) ³ 2z z 2y y 2x x 2z z + + Đặt: a = x x + 2y y ;b = y y + 2z z ; c = y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y z z + 2x x 4c + a - 2b 4a + b - 2c 4b + c - 2a Þx x = ;y y= ;z z = 9 æ 4c + a - 2b 4a + b - 2c 4b + c - 2a ö÷ + + Vậy P ³ çç ÷÷ = ø b c a 9è ù 2 é æc b a ö÷ æa b c ö÷ ê4 çç + + ÷÷ + çç + + ÷÷ - 6ú ³ (4.3 + - 6) = úû 9 êë èb a c ø è b c a ø Þ P³ Dấu “=” xảy Û x = y = z = Vậy Min P = Bài (ĐH-B-2007) Cho x > 0, y > 0,z > thay đổi Tìm GTNN của: æx æy 1ö 1ö ö æz P = x ççç + ÷÷÷ + y çç + ÷÷÷ + z ççç + ÷÷÷ è xz ø è xy ÷ø è yz ÷ø HD: (ĐH-B-2007) Lop12.net (3) x y2 z x + y2 + z x + y2 y2 + z z + x + + + Do x2 + y2 + z2 = + + ³ xy + yz 2 xyz 2 æx t2 1 ö æy2 ö æz 1ö + zx nên P ³ ççç + ÷÷÷ + ççç + ÷÷÷ + ççç + ÷÷÷ ; Xét hàm số f(t) = + với t > Từ BBT f(t) t x ÷ø èç y ø÷ èç z ø÷ èç Biến đổi P = suy f (t ) ³ , "t > Suy P ³ ; P = 9 Û x = y = z = Vậy Min P = 2 b a b (KD - 07)Cho a b > Chøng minh r»ng : a b a Bài (DBĐH-A-2007) Cho x, y, z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (DBKA - 07).Cho x,y.z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ biến thức x y z P= 4( x y ) 4( y z ) 4( z x ) 2 z x y Giải: (DBĐH-A-2007) Với x, y > ta chứng minh : 4(x3 + y3) (x + y)3 () Dấu = xảy x = y Thật () 4(x + y)(x2 – xy + y2) (x + y)3 4(x2 – xy + y2) (x + y)2 x, y > 3(x2 + y2 – 2xy) (x – y)2 (đúng) Tương tự ta có 4(y3 + z3) (y + z)3 Dấu = xảy y = z 4(z3 + x3) (z + x)3 Dấu = xảy z = x Do đó (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) ³ (x + y + z ) ³ xyz æx y z ö Ta lại có: ççç + + ÷÷÷ ³ z x ÷ø xyz èy æ ö ÷÷ ³ 12 Dấu = xảy x = y = z Suy P ³ ççç xyz + ÷÷ xyz ø çè ìxyz = Û x = y = z = Vậy minP = 12 x = y = z = ïïx = y = z î ï Dấu = xảy ïí 13 (DBKD - 07)Cho a,b là các số dương thoả mãn ab + a +b = 3.Chứng minh : 3a 3b ab a2 b2 b 1 a 1 a b Bài (DBĐH1-B-2006) Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ³ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 3x + + y + 4x y2 Giải: (DBĐH1-B-2006) æ1 ö x 3x + + y 3x çç + y + y ÷÷ + x + y = + + + = + + + y A çè y x 8 ÷÷ø 4x x y2 y2 ³1+ +2 = 2 Ta có A = Với x = y = thì A = 9 Vậy giá trị nhỏ A là 2 Lop12.net (4) Bài (DBĐH2-B-2006) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x + 11 + 2x æ 7ö çç1 + ÷÷÷, với x > è x ø Giải: DBĐH2-B-2006) Áp dụng bất đẳng thức : (a + b )(c + d ) ³ (ac + bd )2 æ è Ta có : (9 + 7) çç1 + Khi x = thì y = 11 æ 7ö æ 9ö 3 15 ÷ö æ ÷ö2 ç y ³ x + + çç3 + ÷÷÷ = ççx + ÷÷÷ + ³ + = ³ + ÷ ÷ 2÷ ÷ ç 2x è xø è xø 2 xø x ø è 15 15 nên giá trị nhỏ y là 2 Bài (ĐH-A-2006) Cho hai số thực x 0, y thay đổi và thoả mãn điều kiện : ( x + y )xy = x2 + y2 - xy.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = 1 3 x y Giải: (ĐH-A-2006) Từ gt suy 1 1 1 Đặt a = ;b = ta a + b = a2 – ab + b2 (1) + = + 2x y xy x y x y A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab æa + b ÷ö2 2 2 ab £ çç ÷ Þ a + b ³ (a + b ) - (a + b ) Þ (a + b ) - (a + b ) £ Þ £ a + b £ Þ A = (a + b ) £ 16 è ÷ø A = 16 Û x = y = Þ maxA = 16 15 (DBKA - 06)Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x2 +xy +y2 Chứng minh : 4 x xy y 16 (DBKA - 06)Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 3-x +3-y +3-z = 1.Chøng minh r»ng : 9x 9y 9z 3x y 3z 3x y z y 3z x 3z 3x y Bài (ĐH-B-2006) Cho x , y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= ( x 1) y ( x 1) y y Giải: (ĐH-B-2006) Trong mpOxy xét các điểm M(x - 1; y) và N(x + 1; y) Do OM + ON ³ MN nên : (x - 1)2 + y + (x + 1)2 + y ³ + 4y = + y Þ A ³ + y + y - = f (y ) 2y - ;f’(y) = Û y = Với y £ Þ f (y ) = + y + - y Þ f '(y ) = 1+y æ ö÷ ÷=2+ 3 ø÷ Lập BBT: f(y) trên (-¥;2) , ta có f = f ççç (-¥;2) è Với y ³ Þ f (y ) ³ + y ³ > + Do A ³ + 3, "x , y Vậy A = + Û x = 0, y = 11 41 , víi x > 2x x 19 (DBKB - 06) Cho hai số dương x,y thay đổi thoả mãn điều kiện x + y 3x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 4x y2 18 (DBKB - 06) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : y x Lop12.net (5) Bài 10 (ĐH-A-2005) Cho x, y, z ; Tìm Min S x y z 1 2x y z x y z x y 2z Giải: (ĐH-A-2005) Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > ta có: 16 a b c d 4 abcd 4 16 a b c d abcd a b c d abcd 16 16 1 x x y z x x y z 2x y z 16 16 x y y z x y y z x 2y z 16 16 1 x y z z x y z z x y z 1 Min S 16 16 x y z 2x y z x y z x y 2z 1 Chøng minh r»ng x y z 1 2x y z x 2y z x y 2z 20 (KA - 05) Cho x ,y,z là các số dương thoả mãn y 21 (DBKA - 05)Chøng minh r»ng víi mäi x,y > ta cã : 1 x 256 x y Khi nào đẳng thức xảy x x x 12 15 20 x x x 22 (KB - 05) Chøng minh r»ng víi mäi x , ta cã: 3 4 5 5 4 Khi nào đẳng thức xảy ra? 23 (DBKB - 05)Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn xyz = Chứng minh x2 y2 z2 1 y 1 z 1 x 24 (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x +y +z = Chøng minh r»ng x y z 3 Khi nào đẳng thức xảy ? 25 (KD - 05) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz = 1.Chứng minh : x3 y3 y z3 z3 x 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 26 (DBKD - 05)Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 3/4.Chứng minh : a 3b b 3c c 3a Khi nào đẳng thức xảy ra? 27 (DBKD - 05)Cho x vµ y Chøng minh r»ng x y y x Khi nào đẳng thức xảy ? x my m mx y 3m 28 (DB-KA-04)Gọi (x,y) là nghiệm hệ phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2 +y2 -2x , m thay đổi Lop12.net ( m lµ tham sè) (6) x2 Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) và chứng minh phương trình f(x) = có đúng hai nghiệm 29 (DB-KB-04)Cho hµm sè y = ex -sinx + 30 (DB-KB-04)Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n A 90 vµ sinA = 2sinB sinC tg T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S A A sin B sin Bài 11 (Đề thi TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y x x Giải: TSĐH 2003 khối B) Cách 1: Tập xác định D 2; 2 ; x max y 2 ; y x x x x x min y 2 x2 Cách 2: Đặt x sin u , u ; y sin u cos u 2 sin u 2; 2 ; 2 y x max y 2 ; y 2 Bài 12 (DB TSĐH-B-2003) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ y x 1 x trên đoạn 1;1 Giải: (DB TSĐH-B-2003) Cách Đặt u x 0;1 Ta có y u 1 u 3u 12u 12u y 9u 24u 12 u1 0;1 ; u Nhìn bảng biến thiên ta có max y 4; y 6 Cách Đặt x sin u y sin u cos u sin u cos u 3cos u sin u cos u Với x thì max y Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 6 8 8 sin u 27 27 sin u 27 27 sin u 4 cos u cos u cos u 27 27 27 27 y sin u cos u sin u cos u y Với x y 3 9 31 (CT-KA-03)Cho x,y,z là ba số dương và x + y + z Chứng minh x2 1 y z 82 x y z 32.(DB -KA-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y sin x cos x x2 x 1 34 (CT -KD-03) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y trªn ®o¹n [-1;2] x2 35.(DB -KA-02)Giả sử a,b,c,d là bốn số nguyên thay đổi thoả mản a <b <c <d 50.Chứng minh 33 (CT -KB-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x + bất đẳng thức Lop12.net (7) a c b b 50 a c vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = b d 50 b b d 36.(DB -KA-02)Gọi A, B, C, là ba góc tam giác ABC Chứng minh để tam giác ABC thì điều kiện cần và đủ là Cos A B C AB BC CA cos cos cos cos cos 2 2 37 (DB -KB-02)Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = nhÊt cña biÓu thøc sau S = T×m gi¸ trÞ nhá 4 x 4y Bài 13 (ĐH SPHN-A-2002) Tìm GTLN,GTNN hàm số y = HD: Đặt t = sin2x , t Î [ 0;1] ta y =1+ 3cos 4x + 4sin 2x 3sin 4x + cos 2x - (6t - 2) Ta coù y’= 3t - 2t + (3t - 2t + 2) Từ BBT hàm số ta : max y = và y = Bài 14 (ĐH QGHN , HVNH –D – 2001) Tùy theo giá trị tham số m, tìm GTNN biểu thức: P = (x + my – 2)2 + [4x + 2(m – 2)y –1]2 HD: ïìx + my = P ³ 0; P = Û $ (x ; y ) : ïí Hệ PT có nghiệm Û m ¹ -2 ïï4x + (m - 2) y = ïî · Khi m ¹ -2 Min P =0 · Khi m = –2 thì P = (x – 2y – 2)2+(4x – 8y –1)2 Đặt t = x – 2y – ta æ 28 ö2 49 49 P = t2 + (4t + 7)2 = ççt + ÷÷÷ + ³ è 17 ø 17 17 28 49 Đẳng thức xảy Û t = - Û x - 2y = Khi đóù Min P = 17 17 17 Bài 15 (ĐH TCKT -2000) Tìm GTLN,GTNN hàm số y = 2sin8x + cos42x Giải: æ - t ö÷4 + t = f (t ), t Î [-1;1] = D è ÷ø÷ Đặt t = cos2x , ĐK: t £ Khi đó: y = çç é æ - t ö÷3 ùú æ1ö 1 ; f '(t ) = Û t = Ta cóù f(–1) = ;f(1) = 1; f çç ÷÷÷ = ÷ ÷ ú è ø 27 è ø ë û p Vậy max y = Û cos 2x = -1 Û x = + k p vaø D æ 1 a 1ö y = Û cos 2x = Û x = ± + k p, ççcosa = ÷÷÷ è D 27 3ø f’(t) = êêt - çç Bài 16 (ĐH GTVT 2000) Tùy theo giá trị tham số m, hãy tìm GTNN biểu thức: : P = (x – 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2 HD: Giải tương tự bài 14 BÊT §¼NG THøC Vµ GI¸ TRÞ LN-NN TRONG §Ò THI §H Tõ 02-09 (§Ò CT- khèi A - 2009) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: x y x z 3 x y x z y z y z Lop12.net (8) 2.(K B - 2009) (1 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 3.K D - 09 (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy 4.(Đề CT- K B - 08)Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+y2=1.Tìm GTLN và GTNN 2( x xy ) cña biÓu thøc P xy y (Đề CT- K D - 08) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi.Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ ( x y )(1 xy ) cña biÓu thøc P (1 x) (1 y ) 2 3 yz Chứng minh x y z 3x )(DBB1-08).Cho số dương x;y;z thỏa mãn hệ thức x + y +z = )(DBB2-08).Cho số nguyên n (n ≥ 2) và hai số thức không âm x,y Chứng minh : n CM; n x n y n n 1 x n 1 y n 1 x n y n n 1 x n 1 y n 1 (*) x Khi Hiển nhiên (*) luôn đúng y Khi x,y >0 Không tính tổng quát Giả sử < x ≤ y Đặt t x ; t (0 ; 1] y ln(t n 1) ln(t n 1 1) ln(t n 1 1) n n n 1 xn yn x n 1 y n 1 n ln (n 1) ln n y n 1 y Ta luôn có t n t n 1 ln(t n 1) ln(t n 1 1) (n 1) ln t n n ln i n 1 xn yn n y n 1 n x n 1 y n 1 xn yn n 1 y n 1 x n 1 y n 1 (DB-kD1-08)Cho các số thực x,y thỏa mãn x, y n n x n y n n 1 x n 1 y n 1 (đpcm) Chứng minh cos x cos y cos( xy ) x y x y cos xy cos x y x y x y cos x cos y 2cos cos 2cos 2cos xy (1) 2 Với t xy ; t [0; / 3] Xét hàm số f (t ) cos t cos t CM; Theo BĐT Cô si Ta có xy f '(t ) 2t sin t 2sin t 2(sin t t sin t ) ; f '(1) t[0 ; 1) thì t t sin t sin t t sin t f '(t ) t (1 ; /3] thì t t sin t sin t t sin t f '(t ) f (0) ; f (1) cos1 ; Vậy f (t ) t [0; 2 f ( ) cos ] cos xy 2cos xy (2) Từ (1) và (2) Ta có cos x cos y cos( xy ) (đpcm) (KA - 07)Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biªu thøc: P = x2 ( y z) y ( z x) z ( x y) y y 2z z z z 2x x x x y y Lop12.net (9) 10 (KB - 07)Cho x,y,z là số thực dương hay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x y z P x y z zx xy yz b a b 11 (KD - 07)Cho a b > Chøng minh r»ng : a b a 12 (DBKA - 07).Cho x,y.z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ biến thức x y z P= 4( x y ) 4( y z ) 4( z x ) 2 z x y 13 (DBKD - 07)Cho a,b là các số dương thoả mãn ab + a +b = 3.Chứng minh : 3a 3b ab a2 b2 b 1 a 1 a b 14 (KA - 06)Cho hai số thực x 0, y thay đổi và thoả mãn điều kiện : 1 ( x + y )xy = x2 + y2 - xy.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x y 2 15 (DBKA - 06)Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x +xy +y Chứng minh : 4 x xy y 16 (DBKA - 06)Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 3-x +3-y +3-z = 1.Chøng minh r»ng : 9x 9y 9z 3x y 3z 3x y z y 3z x 3z 3x y 17 (KB - 06) Cho x , y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= ( x 1) y ( x 1) y y 11 41 , víi x > 2x x 19 (DBKB - 06) Cho hai số dương x,y thay đổi thoả mãn điều kiện x + y 3x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 4x y2 18 (DBKB - 06) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : y x 1 Chøng minh r»ng x y z 1 2x y z x 2y z x y 2z 20 (KA - 05) Cho x ,y,z là các số dương thoả mãn y 21 (DBKA - 05)Chøng minh r»ng víi mäi x,y > ta cã : 1 x 256 x y Khi nào đẳng thức xảy x x x 12 15 20 x x x 22 (KB - 05) Chøng minh r»ng víi mäi x , ta cã: 3 4 5 5 4 Khi nào đẳng thức xảy ra? 23 (DBKB - 05)Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn xyz = Chứng minh x2 y2 z2 1 y 1 z 1 x 24 (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x +y +z = Chøng minh r»ng x y z 3 Khi nào đẳng thức xảy ? Lop12.net (10) 25 (KD - 05) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz = 1.Chứng minh : x3 y3 y z3 z3 x 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 26 (DBKD - 05)Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 3/4.Chứng minh : a 3b b 3c c 3a Khi nào đẳng thức xảy ra? 27 (DBKD - 05)Cho x vµ y Chøng minh r»ng x y y x Khi nào đẳng thức xảy ? x my m mx y 3m 28 (DB-KA-04)Gọi (x,y) là nghiệm hệ phương trình ( m lµ tham sè) Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2 +y2 -2x , m thay đổi x2 29 (DB-KB-04)Cho hµm sè y = ex -sinx + Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) và chứng minh phương trình f(x) = có đúng hai nghiệm 30 (DB-KB-04)Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n A 90 vµ sinA = 2sinB sinC tg A A T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S sin B 31 (CT-KA-03)Cho x,y,z là ba số dương và x + y + z Chứng minh 1 x y z 82 x y z sin 32.(DB -KA-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y sin x cos x x2 x 1 34 (CT -KD-03) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y trªn ®o¹n [-1;2] x2 35.(DB -KA-02)Giả sử a,b,c,d là bốn số nguyên thay đổi thoả mản a <b <c <d 50.Chứng minh 33 (CT -KB-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x + bất đẳng thức a c b b 50 a c vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = b d 50 b b d 36.(DB -KA-02)Gọi A, B, C, là ba góc tam giác ABC Chứng minh để tam giác ABC thì điều kiện cần và đủ là Cos A B C AB BC CA cos cos cos cos cos 2 2 37 (DB -KB-02)Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = nhÊt cña biÓu thøc sau S = x 4y Lop12.net T×m gi¸ trÞ nhá (11)