Bat Dang Thuc Trong De Thi Dai Hoc

[r]

tài liệu tham khảo

bất đẳng thức đại số I.Kiến thức bản:

1.Các bất dẳng thức thông dụng: a) A:A20 , A2

=0⇔A=0

b)Cho a>0 , ta cã: |A|≤ a⇔− a ≤ A ≤ a

|A|≥ a⇔ A ≤ − a

¿

A ≥a

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

c) a , b:|a||b||a+b||a|+|b| 2.Đẳng thức liªn quan:

a)

c − a¿2

b − c¿2+¿

a − b¿2+¿ ¿

a2+b2+c2−ab−bc−ca=1 2¿

b) a3

+b3+c3−3 abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) II.C¸c vÝ dô :

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng ∀a , b ≥0 , ta cã : a+b ≥2√ab Vµ a+b=2√ab⇔a=b

(Bất đẳng thức Cô-Si) Chứng minh:

Ta cã √a −√b¿2≥0

a+b −2√ab=¿ Suy a+b −2√ab≥0 VËy a+b ≥2√ab

Vµ √a −√b¿2=0⇔√a −√b=0⇔a=b

a+b=2√ab⇔a+b −2√ab=0⇔¿

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng ∀a , b , c ≥0 , ta cã :

x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2

x+y¿4≥0⇔0≤¿

x+y¿2−¿

⇒4¿

Vµ a+b+c=3√3abc⇔a=b=c

(Bất đẳng thức Cô-Si) Chứng minh:

Ta cã a+b+c −3√3abc=1 2(

3

√a+√3 b+√3c)[(√3a −3

√b)2+(√3b−3

√c)2+(√3c −3

√a)2]≥0 Suy a+b+c −3√3abc≥0

VËy

x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2

x+y¿4≥0⇔0≤¿

x+y¿2−¿

⇒4¿

Vµ a+b+c=3√3abc⇔a=b=c VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : ac+bd¿

2

,∀a , b , c , d

(Bất đẳng thức Bunhiacôxki ) Chứng minh:

Ta cã

ad−bc¿2≥0

ac+bd¿2=a2d2+b2c2−2 acbd=¿ (a2+b2)(c2+d2)−¿

Suy ac+bd¿

2

≥0

(a2+b2)(c2+d2)−¿ VËy ac+bd¿

2

(a2+b2)(c2+d2)≥¿ DÊu “=” xảy ad=bc Ví dụ 4: Chøng minh r»ng :

x1x2+y1y2+z1z2¿2

(x12+y12+z12)(x22+y22+z22)≥¿

, ∀x1, x2, y1, y2, z1, z2 DÊu “=” xảy ?

(Bt ng thức Bunhiacôxki ) Chứng minh:

x1x2+y1y2+z1z2¿2 (x12+y12+z12)(x22+y22+z22)≥¿

⇔x12y22+y12x22+x12z22+z12x22+y12z22+z12y22≥2x1x2y1 y2+2x1x2z1z2+2y1y2z1z2 :

VÝ dô 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh : a) a

2 +b2 ≥(

a+b )

2

≥ab b) a

3 +b3 ≥(

a+b )

3

,víi a+b ≥0 c) a

2

+b2+c2

3 ≥(

a+b+c

3 )

2

≥ab+bc+ca

3

d) a

+b3+c3

3 ≥(

a+b+c

3 )

3

abc DÊu “=” xÈy nµo ?

VÝ dơ 6: Cho a2

+b2=1 Chøng minh r»ng : −√2≤a+b ≤√2 Chøng minh:

Ta cã a+b¿2≤2(a2+b2)=2

¿ Suy

a+b¿2≤2

¿ ⇔|a+b|≤√2 VËy −√2≤a+b ≤√2

VÝ dô 7:Chøng minh r»ng ∀a , b ta cã : a2

+b2±ab≥0 DÊu “=” x¶y nµo ?

Chøng minh:

Ta cã a2+b2±ab=a2±ab+1 4b

2 +3

4b

=(a ±1 2b)

2 +3

4b

≥0

Suy a2

+b2±ab≥0 DÊu “=” x¶y vµ chØ

¿

a ±1

2b=0

b=0

⇔a=b=0 ¿{

¿

III.Các tập:

Bài Cho x, y, z số thực dơng Chứng minh : a)

x+

1

y ≥

4

x+y b)

x+

1

y+

1

z≥

9

Bµi 2.Cho a+b=2 Chøng minh r»ng : a4+b4≥2

Bµi Cho a , b>0 Chøng minh r»ng: a

√b+ b

√a≥√a+√b

Bµi 4.Chøng minh r»ng víi số dơng a, b, c bất kì, ta có a

3

a2+ab+b2+

b3

b2+bc+c2+

c3

c2+ca+a2≥

a+b+c

3

(Híng dÉn: Ta cã a

a2+ab+b2≥ 2a −b

3 ) Bµi Cho x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn x2

+y2+z2=1 Chøng minh r»ng :

−1

2≤xy+yz+zx≤1

Bµi Cho sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : a) ab+bc+ca¿2≥3 acb(a+b+c)

¿

b) a2b2  c2d2  (a c )2(b d )2 Híng dÉn:

2 2 ( )2 ( )2 2. 2

a b  c d  a c  b d  a b c d ac bd

, DÊu “=” xÈy ad bc 0.

c)a3b3c36abc(a b c ab bc ca  )(   ); d) (a b c  )39abc4(a b c ab bc ca  )(   ) Bµi 7.Cho a, b,c > Chøng minh r»ng :

√a2

+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥√3(a+b+c) (Híng dÉn: Ta cã √a2+ab+b2≥√3

2 (a+b) ) Bµi 8.a)Cho ab≥1 Chøng minh r»ng :

1+a2+ 1+b2≥

2 1+ab b)Cho a , b , c ≥1 Chøng minh r»ng :

1+a3+ 1+b3+

1 1+c3≥

3 1+abc H

íng dÉn : a)

b− a¿2(ab−1) ¿ ¿

1+a2+ 1+b2≥

2 1+ab

b)áp dụng câu a) cho biÓu thøc 1+a3+

1 1+b3+

1 1+c3+

1 1+abc áp dụng bất đẳng thức Cô si :

Bài 9.Cho a, b, c số thùc d¬ng tháa m·n

a+

1

c=

2

b Chøng minh r»ng

A=(3− x)(4− y)(2x+3y) DÊu “=” xÈy nµo? H

íng dÉn : Ta cã

a+

1

c=

2

b Suy b=

2 ac

a+c Vµ a+b

2a − b+ c+b 2c − b=

a+3c 2a +

3a+c 2c =1+

3 2(

c a+

a

c)≥4 DÊu “=” xÈy a=b=c

Bµi 10.Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chøng minh r»ng (1+x

2 )

+(1+y )

2

+(1+z )

2

≥3 vµ (1+x )

3

+(1+y )

3 +(1+z

2 )

Bµi 11.Cho x, y, z thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh : x

1+x2+

y

1+y2+

z

1+z2≤ 2≤

1 1+x+

1 1+y+

1 1+z H

íng dÉn : Ta cã x

1+x2≤ vµ

1+x+ 1+y+

1 1+z≥

9 3+x+y+z≥

3

Bài 12.Cho số dơng a , b , c Chøng minh r»ng : t −1¿

2

(t2+2t+3)≥0

t4−4t+3≥0⇔¿ H

íng dÉn :

Ta cã a2+bc≥2a√bc=2 abc

√bc Suy

a2+bc≤

√bc abc≤

b+c abc Bµi 13 Cho a , b , c ≥0 vµ

1+a+ 1+b+

1

1+c≥2 Chøng minh r»ng : abc≤ H

íng dÉn :

1+a+ 1+b+

1

1+c≥2 ⇒ 1+a≥

b

1+b+

c

1+c≥2√ bc

(1+b)(1+c)

Suy

(1+a)(1+b)(1+c)≥

8 abc

(1+a)(1+b)(1+c)

Bµi 14 Cho a , b , c tháa m·n ®iỊu kiƯn a+b+c=1 Chøng minh r»ng : (1+1

a)(1+

1

b)(1+

1

c)≥64

H

íng dÉn : 1+1

a= a+1

a =

a+b+a+c

a ≥

2√ab+2√ac

a ≥

44√a2bc

a

Bµi 15.Cho a , b ≥1 Chøng minh r»ng : a√b −1+b√a −1≤ab H

íng dÉn :

a√b −1+b√a −1≤ab ⇔√a −1

a +√ b −1

b ≤1

mµ √a −1

a ≤

a −1+1 2a =

1

Bµi 16 Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :

2a+b+c+ 2b+c+a+

1 2c+a+b≤

1 4(

1

a+

1

b+

1

c)

H

íng dÉn : ¸p dơng

x+

1

y ≥

4

x+y (x, y >0 ) Bµi 17 Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :

a+b+

b+c+

c+a≤ 2(

1

a+

1

b+

1

c)

H

íng dÉn : ¸p dơng

x+

1

y ≥

4

x+y (x, y >0 ) Bµi 18 Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng : a) a

b+c+

b c+a+

c a+b≥

3 ; b) a

2

b+c+

b2 c+a+

c2 a+b≥

a+b+c

c)

a b c d

b c c d   d a a b    d) a

b+c+

b c+a+

c a+b

+b+c

a + c+a

b + a+b

c ≥

15 H

íng dÉn : a) a

b+c+

b c+a+

c a+b≥

3

2 ⇔(a+b+c)(

b+c+

c+a+

a+b)≥

⇔(2a+2b+2c)(

b+c+

c+a+

a+b)≥9 : b) a2

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b≥

a+b+c

2 ⇔(a+b+c)(

a b+c+

b c+a+

c a+b)≥

3

2(a+b+c) c) √ a

b+c=

a √a(b+c)≥

2a a+b+c

Bµi 19 Cho a , b>0 vµ a+b=1 Chøng minh r»ng :

a) ab+

1

a2+b2≥6 ; b) ab+

3

a2+b2≥14 H

íng dÉn : a)

ab+

a2+b2≥6 ⇔a

+b2+ab≥6 ab(a2+b2)⇔12a2b2−7 ab+10 Đặt t=ab , với t 1

4 Suy f(t)=12t

−7t+1≥0 :

Bài 20.(ĐH2011A)Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x y , x z Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P= x

2x+3y+

y y+z+

z z+x H

íng dÉn :

P= 2+3y

x

+ 1+z

y

+ 1+x

z ≥

2+3y

x

+

1+√x

y

(áp dụng bất đẳng thức :

1+a+ 1+b≥

2

1+√ab ( ab≥1 ) DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b hc ab=1 )

DÊu “=” xÈy x=y x=z (1)

Đặt √x

y=t , víi t∈[1;2] Ta cã P≥ t2

2t2+3+ 1+t XÐt hµm sè f(t)= t

2

2t2+3+

1+t , víi t∈[1;2] Ta cã f '(t)<0 Suy f(t)≥ f(2)=34

33 DÊu “=” xÈy vµ chØ t=2⇔

x

y=4⇔x=4, y=1 (2)

Suy P≥34

33 Tõ (1) vµ (2) suy dÊu “=” xÈy vµ chØ :

x=4, y=1, z=4 VËy minP=34

33 , : x=4, y=1, z=4

Bài 21.(ĐH2011B)Cho a b số thực dơng thỏa mÃn

2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P=4(a

3

b3+ b3

a3)−9( a2

b2+ b2

a2)

H

ớng dẫn : Đặt t=a

b+ b

Víi 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2)⇔2(a

b+ b a)+1=(

1

b+

1

a)(ab+2)

⇔2(a

b+ b a)+1=(

1

b+

1

a)(ab+2) ⇔2( a b+

b

a)+1=a+b+

2

a+

2

b≥2√2(√ a b+√

b a) x+y¿2

x+y¿4−2¿

A=¿

Bài 22.(ĐH2009D)Cho số thực không âm x, y thỏa mÃn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25 xy

Bài 23.(ĐH2009B)Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn x+y3+4 xy2

Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc A=3(x4+y4+x2y2)−2(x2+y2)+1

H

íng dÉn :

x2

+y2¿2−2(x2+y2)+1

A ≥9

4¿

DÊu “=” xÈy vµ chØ x2 =y2

Đặt t=x2+y2 , với

x+y220x+y ≥1

x+y¿3+¿

x+y¿3+4 xy≥2⇒¿ ¿

Suy

x+y¿2 ¿ ¿

x2

+y2≥¿

DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=1 Suy t ≥1

2 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y= Vµ A ≥

9 4t

2

−2t+1

XÐt hµm sè

9 )

(

 

 t t

t f

, ta cã f '(t)=

2t −2>0 Suy f(t)≥ f(1

2)=

16 DÊu “=” xÈy vµ chØ t=

2⇔x=y= Suy A ≥

16 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y= Vậy giá trị nhỏ biểu thức A

16 ; x=y=

Bài 24.(ĐH2009A)Chứng minh với số thực dơng x, y, z tháa m·n

x(x+y+z)=3 yz , ta cã

y+z¿3

x+z¿3+3(x+y)(x+z)(y+z)≤5¿

x+y¿3+¿ ¿

H

íng dÉn : Ta cã

y+z¿2

x+z¿2−(x+y)(x+z)=¿

x+y¿2+¿

x(x+y+z)=3 yz⇔(x+y)(x+z)=4 yz⇔¿

Suy

y+z¿3

y+z¿2.(y+z)=3¿

vµ

y+z¿3

y+z¿2≤2¿

x+z¿3=(2x+y+z)¿

x+y¿3+¿ ¿

(vì 2x+y+z 2(y+z) )

Bài 25.(ĐH2005D)Cho số d¬ng x, y, z tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng √1+x3+y3

xy +√

1+y3+z3

yz +

1+z3+x3

zx 33

Bài 26.(ĐH2005A)Cho x, y, z số dơng thỏa mÃn

x+

1

y+

1

z=4 Chøng minh

r»ng 2x+y+z+

1

x+2y+z+

x+y+2z≤1 H

íng dÉn : Ta cã

2x+y+z≤ 4(

1

x+y+

x+z)≤ 16 (

2

x+

1

y+

1

z) DÊu “=” xÈy vµ chØ

x=y=z

T¬ng tù ta cã :

x+2y+z≤ 16 (

1

x+

2

y+

1

z) ,

x+y+2z≤ 16 (

1

x+

1

y+

2

z)

Suy 2x+y+z+

1

x+2y+z+

x+y+2z≤ 4(

1

x+

1

y+

1

z)=1

Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x ≠0, y ≠0 thay đổi thỏa mãn điều kiện (x+y)xy=x2+y2−xy Tìm giá trị lớn biểu thức A=

x3+

1

y3

H

íng dÉn :

Ta cã (x+y)xy=x2+y2−xy⇔1

x+

1

y=(

1

x+

1

y)

2

−

xy ⇔(

x+

1

y)

2

−(1 x+

1

y)=

3 xy ≤

3 4(

1

x+

1

y)

2

DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y Suy (1

x+

1

y)

2

−4(1

x+

1

y)≤0⇒

1

x+

1

y≤4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=

1 Vµ A=(1

x+

1

y)[(

1

x+

1

y)

2

−

xy]=(

x+

1

y)

3

≤64 DÊu “=” xÈy vµ chØ

x=y=1

Vậy giá trị lớn A 64; x=y=1

Bài 28.Cho a số cố định, x, y số thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức 2x

+ay+5¿2

x −2y+1¿2+¿

A=¿

H

íng dÉn : a)

minA=0⇔

x −2y+1=0 2x+ay+5=0

¿{

cã nghiÖm ⇔a≠ −4

b)Với a=−4 Khi

2x −4y+5¿2

x 2y+12+

A=

Đặt t=x −2y+1 Ta cã 2t+3¿

=5t2+12t+9=5(t+6 5)

2

+9 5≥

9

A=t2+¿

Suy A ≥9

5 DÊu “=” xÈy vµ chØ t=− Suy minA=9

5 t=−

Vậy a 4 giá trị nhỏ A 0, a=4 giá trị nhỏ A

5

Bài tơng tự: Cho số thực x, y thỏa mÃn x+22y Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc H=5x2+20y2−20 xy+22x −44y+26

Bµi 29 Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x2

+y2=1+xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trÞ

nhá nhÊt cđa biĨu thøc T=x4+y4− x2 y2 H

íng dÉn : Ta cã x2

+y2=1+xy≥2 xy vµ x2+y2=1+xy≥−2 xy Suy −13≤xy≤1

vµ

+xy¿2−3x2y2=−2x2y2+2 xy+1

x2

+y223x2y2=

T=

Đặt t=xy Suy maxT=3

2 ; minT=

Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0≤ x 3 , 0 y 4 Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A=(3− x)(4− y)(2x+3y)

H

íng dÉn : Ta cã A=1

6(6−2x)(12−3y)(2x+3y)≤ 6(

6−2x+12−3y+2x+3y

3 )

3

=36 DÊu “=” xÈy vµ chØ 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2 VËy maxA=36; x=0, y=2

Bài 31.Cho số thực x, y, z thỏa m·n x ≥3 , y ≥4 , z ≥2 Tìm giá trị lớn biểu thức F=x −3

x +

√y −4

y +

√z −2

z

H

íng dÉn :

Ta cã: √x −3=√(x −3).3

3 ≤

x −3+3 2√3 =

x

2√3⇔

√x −3

x ≤

1

2√3 DÊu “=” xÈy vµ chØ x-3=3 hay x=6

T¬ng tù √y −4

y ≤

1

4 DÊu “=” xÈy vµ chØ y=8 √z −2

z ≤

1

2√2 DÊu “=” xÈy z=4

Bài 32.Cho sè thùc x, y, z tháa m·n xy+yz+zx=4 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức F=x4+y4+z4 H

íng dÉn : Ta cã x2

+y2+z2≥xy+yz+zx=4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= ±2 x2+y2+z2¿2

¿ ¿

F=x4+y4+z4≥¿

Bµi 33.Cho x, y, z > vµ x+y+z=1 Tìm giá trị lớn P= x

x+1+

y y+1+

z z+1 H

Ta cã P=3−(

x+1+

y+1+

z+1) Mµ (x+y+z+3)(

x+1+

y+1+

z+1)≥9 ⇔(

x+1+

y+1+

z+1)≥ DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=

3 Suy P≤3

4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=

Bài 34.Cho số thực dơng a, b, c thỏa mÃn abc=1 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P=bc

a2b

+a2c+ ac

b2a +b2c+

ab

c2a

+c2b H

ớng dẫn : Đặt x=1

a , y=

1

b , z=

1

c Ta cã xyz=1 vµ P= x

2

y+z+

y2 z+x+

z2 x+y≥

x+y+z

2 ≥

3

2 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007)

a)Chøng minh r»ng : (sinx

x )

3

>cosx ,∀x∈(0;π 2)

b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n a=x+y , b=y+z ,c=z+x Tìm giá trị nhỏ , giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc P=x3+2y2+3x2+4 xy−5x

Bài 36.(HSG Tỉnh NA 2006)Cho số thực x, y tháa m·n 0<x ≤ y<π Chøng minh r»ng (x3−6x)siny ≤(y3−6y)sinx

Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x>0, y>0, x+y=1 m số dơng cho trớc Tìm giá trị lín nhÊt cđa tỉng S=

x2+y2+

m

xy

Bài 38.(HSG Tỉnh NA 2008)Cho số thực dơng a, b, c Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc P= √bc

a+3√bc+

√ca

b+3√ca+

√ab

c+3√ab H

íng dÉn :

Ta cã 3P=3−( a

a+3√bc+

b b+3√ca+

c

c+3√ab) §Ỉt Q= a

a+3√bc+

b b+3√ca+

c

c+3√ab Ta cã

√a+√b+√c¿2 ( a

a+3√bc+

b b+3√ca+

c

c+3√ab)(a+3√bc+b+3√ca+c+3√ab)≥¿

√a+√b+√c¿2 ¿

√a+√b+√c¿2+√ab+√bc+√ca ¿

¿ ¿

⇔Q ≥¿

DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b=c

Suy P≤3

4 DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b=c VËy giá trị lớn P

4 ; a=b=c

Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho số thực dơng x, y, z Chứng minh r»ng 1x+1

y+

1

z≥

36

9+x2y2+y2z2+x2z2 H

Ta cã

x+

1

y+

1

z≥

36

9+x2 y2+y2z2+x2z2⇔(xy+yz+zx)(9+x 2y2

+y2z2+z2x2)−36 xyz≥0

⇔3(√3xyz)2[9+3(√3xyz)4]−36 xyz≥0⇔(√3 xyz)4−4√3xyz+3≥0 DÊu “=” xÈy x=y=z

Đặt t=3xyz , víi t>0 Ta cã t −1¿

(t2+2t+3)≥0

t4−4t

+3≥0⇔¿ : Bài 40.(HSG Tỉnh NA 2010B)

a)Cho x, y số thực thỏa mÃn log4(x+2y)+log4(x 2y)=1 Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc P=2x −|y|

b)Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n a+b+c=1 Chøng minh r»ng

3

ab bc ca

ab c  bc a  ca b  . H

ớng dẫn: b)Đặt A=ab

ab+c + bc bc+a+√

ca

ca+a Ta cã A 2≤3

(abab+c+ bc bc+a+

ca

ca+b) DÊu “=” xÈy a=b=c=1

3 Suy A

≤9

4 Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A)

a)Cho x, y số thực thỏa m·n log4(x+2y)+log4(x −2y)=1 Chøng minh r»ng 2x −|y|≥√15

b)Cho số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn a+b+c¿2=2(a2+b2+c2) ¿

T×m giá trị lớn giá trị nhỏ biÓu thøc P= a

+b3+c3

(a+b+c)(ab+bc+ca) H

íng dÉn : b)Ta cã

a+b+c¿2

a+b+c¿2=2(a2+b2+c2)⇔ab+bc+ca=1 4¿ ¿

Suy a+b+c¿3

¿ ¿

P=4(a

3

+b3+c3) ¿

Đặt x= a

a+b+c , y=

b

a+b+c , z=

c

a+b+c Ta cã ¿

x+y+z=1 xy+yz+zx=1

4

⇔

¿y+z=1− x yz=x2− x+1 ¿{

¿

Vµ y+z¿2≥4 yz⇔3x2−2x ≤0⇔0≤ x ≤23

¿

Suy

1− x¿3−(1− x)(x2− x+1 4)

x3+¿=4x3+4x2−7x+3

P=4(x3+y3+z3)=4¿

XÐt hµm sè f(x)=4x3+4x2−7x+3 , víi x∈[0;2

3] Ta cã

f '(x)=12x2+8x 7=0x=1

Bài 42.Cho sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+y+z 3

2 Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P=x2+y2+z2+

x+y+z H

ớng dẫn :

Đặt t=x+y+z Ta có (x+y+z)(1

x+

1

y+

1

z)≥9 ⇒

1

x+

1

y+

1

z≥

9

t Víi t∈¿

Suy P≥ t+9

t DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1

Bµi 43.Cho số thực dơng x, y thỏa mÃn

x+

3

y=6 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa

biĨu thøc S=x+y

Bµi 44.Cho số thực không âm x, y thỏa mÃn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ

giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc P= x

y+1+

y x+1 Bài 45.Cho số thực dơng x, y, z tháa m·n x2

+y2+z2=1 Chøng minh r»ng

x y2+z2+

y z2+x2+

z x2+y2≥

3√3

2

H

íng dÉn : Ta cã x

y2+z2+

y z2+x2+

z x2+y2≥

3√3

2 ⇔

x2 x(1− x2)+

y2 y(1− y2)+

z2 z(1− z2)≥

3√3

2

XÐt hµm sè f(t)=t(1−t2) , víi t∈(0;1) Ta cã f(t)≤ 33 Bài 46.Cho n số tự nhiên lớn h¬n Chøng minh r»ng a

n +bn ≥(

a+b )

n H

íng dÉn :

XÐt hµm sè c − x¿ n

f(x)=xn+¿ , víi c>0 Ta cã f(x) f(

c

2) Đặt a=x , b=c − x Suy a+b>0

VËy a n

+bn ≥(

a+b )

n

Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012)

Cho ba sè thùc x y z, , tháa m·n x y z xyz v x1,y1,z1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc

2 2

1

1 y

x z

P

y z x



 

  

Híng dÉn:

2 2

x y y z z x P

y z x

        

   2

1 1 1

x y z x y z

   

       

Mà

2 2

x y y z z x

y z x

        

 

  2   2   2

1 1 1

x y z

x y y z x z

     

            

 

   

x 1 y 1 z 1

xy yz xz

     

(2) Tõ (1) v (2) suy

2 2

1 1 1 1 1

P

x y z x y z xy yz zx

 

          

  (3).

Tõu gi¶ thiÕt ta cã

1 1

1

xy  yz zx  (4).

M

2 2

1 1 1

1

x  y z xy  yz  zx  (5).

2

1 1 1 1 1

3

x y z xy yz zx x y z

   

        

   

    (6).

Tõ (3), (4), (5) v (6) suy P 1 DÊu b»ng xÈy x y z Vậy giá trị nhỏ P l 1 Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012)

Cho x,y,z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

1 1

1 1

P

x y z

  

  

_ khai thác số bất đẳng thức quen thuộc

i.Phng phỏp bin i tng ng:

Bài toán 1: Cho a, b số thực dơng Chứng minh r»ng: a

√b+ b

√a≥√a+√b

1.1)Cho a, b số thực dơng Chøng minh r»ng a

√b+ b

√a+

1

√a+√b≥2 H

íng dÉn : Ta cã a

√b+ b

√a≥√a+√b Suy a

√b+ b

√a+

1

√a+√b≥√a+√b+

√a+√b≥2 1.2)Cho a, b, c số thực dơng Chứng minh

a2

b+c+

b2 c+a+

c2 a+b+

2

a+b+c≥2 H

íng dÉn :

Ta chøng minh a2

b+c+

b2 c+a+

c2 a+b≥

a+b+c

a2 b+c+

b2 c+a+

c2 a+b≥

a+b+c ⇔(a+

a2

b+c)+(b+

b2

c+a)+(c+

c2 a+b)≥

3

2(a+b+c)

⇔a(a+b+c b+c )+b(

a+b+c

c+a )+c(

a+b+c

a+b )≥

2(a+b+c)

⇔ a

b+c+

b c+a+

c a+b≥

3

2 ⇔1+

a b+c+1+

b c+a+1+

c a+b≥

9 Mµ 1+ a

b+c+1+

b c+a+1+

c

a+b≥(a+b+c)(

a+b+

b+c+

c+a)≥

2 : 1.3)Cho x, y, z số thực dơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức

P= x

√y+√z+

y

√z+√x+

z

√x+√y+

3

√x+√y+√z

1.4)Cho số thực dơng x, y, z thỏa mÃn x+y+z 3

2 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P=x2+y2+z2+

x+y+z H

ớng dẫn :

Đặt t=x+y+z Ta có (x+y+z)(1

x+

1

y+

1

z)≥9 ⇒

1

x+

1

y+

1

z≥

9

t Víi t∈¿

Suy P≥ t+9

t DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1

Bµi toán 1.5:

a)Cho a, b, c sè thùc tháa m·n a+b+c ≥0 Chøng minh r»ng

a+b+c¿3 ¿ ¿

a3

+b3+c3

b)Cho a, b, c số thùc Chøng minh r»ng

a+b+c¿2 ¿ ¿

a2

+b2+c2≥¿

1.6)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xy+yz+xz=xyz Chøng minh r»ng

x3

+y3+z3≥81 H

íng dÉn : Ta cã

x+y+z¿3 ¿ ¿

x3+y3+z3≥¿

Mµ xy+yz+xz=xyz⇔1

x+

1

y+

1

z=1

Suy (x+y+z)(1

x+

1

y+

1

z)≥9⇔x+y+z ≥9

VËy x3

+y3+z3≥81

1.7)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa

biĨu thøc P=( 1+a)

3 +(

1+b)

+( 1+c)

3 H

ớng dẫn : Đặt x=

1+a , y=

1+b , z=

1+c Ta cã

x+

1

y+

1

z=4 Suy x+y+z ≥

9 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=3

Suy P=x3+y3+z3≥81

64 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=

4 hay

a=b=c=1

Vậy giá trị nhỏ P b»ng 81

64 , a=b=c=

1.8)Cho a, b, c số thực dơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=( a

b+c)

+( b

c+a)

+( c

a+b)

Híng dẫn:

Đặt x= a

b+c , y=

b

c+a , z=

c

a+b Ta cã

x+

1

y+

1

z≥6 Suy x+y+z ≥

3 Bài toán 1.9: Cho a, b, c số thực dơng Chứng minh

a

b+c+

b2 c+a+

c2 a+b≥

a+b+c

2

Híng dÉn:

a2 b+c+

b2 c+a+

c2 a+b≥

a+b+c

2 ⇔(a+b+c)(

a b+c+

b c+a+

c a+b)≥

3

2(a+b+c)

⇔ a

b+c+

b c+a+

c a+b≥

3

2 ⇔(a+b+c)(

b+c+

c+a+

a+b)≥

⇔(2a+2b+2c)(

b+c+

c+a+

a+b)≥9 : ỳng

1.10)Cho a, b, c số thực d¬ng tháa m·n ab+bc+ca=1 Chøng minh r»ng a2

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b≥

√3 Híng dÉn:

a+b+c¿2≥3(ab+bc+ca)⇒a+b+c ≥√3

¿

1.11)Cho x, y, z lµ số thực dơng thỏa mÃn x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức

x+y2 ¿

y+z¿2 ¿

z+x¿2 ¿ ¿ ¿ ¿

P=

Hớng dẫn:

Đặt a=x+y , b=y+z ,c=z+x Ta cã a+b+c=2 vµ

P= a

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b

a+b+c =1

Bài toán 1.12:Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chøng minh r»ng

(1+x )

2

+(1+y )

2

+(1+z )

2

≥3 vµ (1+x )

3

+(1+y )

3 +(1+z

2 )

≥3 DÊu “=” xÈy nào?

1.13)Cho x, y, z số thực d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng a) (x+y)2+(y+z)2+(z+x)2≥12

b) (x+y)3+(y+z)3+(z+x)3≥24

1.14)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn x+y+z=1 Chøng minh r»ng

x2+y2+z2≥1

3 vµ x

1.15)Cho x, y, z số thực thỏa mÃn x2

+y2+z2=1 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức P=x3+y3+z3

1.16)Cho x, y số thực thỏa mÃn x2

+y2=1 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu

thøc P=x3+y3

Bài toán 1.17: Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :

a+b+

b+c+

c+a≤ 2(

1

a+

1

b+

1

c)

H

íng dÉn : ¸p dơng

x+

1

y ≥

4

x+y (x, y >0 )

1.18)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn x 0, y ≠0 Chøng minh r»ng

a+b+

b+c+

c+a≤

1.19)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Chøng minh r»ng

ab

a+b+ bc

b+c+ ca

c+a≤

1.20)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Tìm giá trị lớn biÓu thøc A=√ab

a+b+√ bc

b+c+√ ca

c+a

Híng dÉn:

A=√ab

a+b+√ bc

b+c+√ ca

c+a≤

a+b 2√a+b+

b+c 2√b+c+

c+a 2√c+a≤

1

2(√a+b+√b+c+√c+a)

√a+b+√b+c+√c+a¿2≤6(a+b+c)=6⇒

¿ √a+b+√b+c+√c+a ≤√6 Suy A ≤√6

2 DÊu “=” xÈy a=b=c=

Bài toán 1.21.Chứng minh với số dơng a, b, c bất kì, ta có a

3

a2+ab+b2+

b3 b2+bc+c2+

c3 c2+ca+a2≥

a+b+c

3

(Híng dÉn: Ta cã a

a2

+ab+b2≥ 2a −b

3 )

1.22)Cho a, b, c số thùc d¬ng tháa m·n a+b+c=1 Chøng minh r»ng

a

a2

+ab+b2+

b3 b2

+bc+c2+

c3 c2

+ca+a2≥

1.23)Cho a, b, c số thực d¬ng tháa m·n abc=1 Chøng minh r»ng a

3

a2

+ab+b2+

b3

b2

+bc+c2+

c3

c2

+ca+a2≥1

Bài toán 1.24:Cho a, b,c > Chứng minh r»ng : √a2

+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥√3(a+b+c) (Híng dÉn: Ta cã √a2

+ab+b2≥3

2(a+b) )

1.25)Cho a, b, c số thực dơng thỏa m·n a+b+c=1 Chøng minh r»ng :

√a2

+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥√3

1.26)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn abc=1 Chứng minh r»ng : √a2

+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥3√3 Bµi to¸n 1.27:Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :

a2 b+c+

b2 c+a+

c2 a+b≥

a+b+c

2

H

íng dÉn : Ta cã a

b+c+

b c+a+

c a+b≥

3

2 ⇔(a+b+c)(

b+c+

c+a+

⇔(2a+2b+2c)(

b+c+

c+a+

a+b)≥9 : a2

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b≥

a+b+c

2 ⇔(a+b+c)(

a b+c+

b c+a+

c a+b)≥

3

2(a+b+c)

1.28)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Chứng minh r»ng : a2

b+c+

b2 c+a+

c2 a+b≥

1

1.29)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn x=y=2 Chøng minh r»ng :

a2 b+c+

b2 c+a+

c2 a+b

3

II.Phơng pháp ®a vỊ hµm sè mét biÕn: 2.1)Cho x, y lµ số thực dơng thỏa mÃn

x+

9

y=5 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu

thøc H=x+y+

x+y H

ớng dẫn :

Đặt t=x+y , với

x+

9

y=5 Ta cã : (x+y)(

4

x+

9

y)≥25⇒x+y ≥5⇒t ≥5

Vµ H=t+4

t

2.2)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy+yz+zx=1 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức P=x4+y4+z4+

x4+y4+z4 H

íng dÉn :

Đặt t=x4+y4+z4 , với x2+y2+z2xy+yz+zx=1 Suy

x2+y2+z2¿2 ¿ ¿

x4+y4+z4≥¿ 2.3)Cho c¸c sè thùc a, b tháa m·n a2

+b2=1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

nhÊt cđa biĨu thøc P=(a+b)(2ab+a+b) H

íng dÉn :

Ta cã

a+b¿2+(a+b)−1

a+b¿2−(a+b)

a+b3+ =

P=(a+b)

Đặt t=a+b , với a2+b2=1 Suy a+b¿

≤2(a2+b2)≤2⇔−√2≤ a+b≤√2 ¿

hay t∈[−√2;√2] Vµ P=t3+t2−t , víi t∈[−√2;√2]

2.4)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x+y=xy Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P=x3+y3−9 xy

H

íng dÉn :

Ta cã

x+y¿2−3 xy

x+y¿2−9(x+y)

x+y¿3−3¿ ¿−9 xy=¿

P=(x+y)¿

Đặt t=x+y , với

x+y2

x+y=xy1

⇒x+y ≥4 ⇒t ≥4

2.5)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn

x+

1

y=1 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu

thøc P=x2+y2+

x+y H

íng dÉn :

x+y¿2−2(x+y)+

x+y

P=

Đặt t=x+y Víi (x+y)(1

x+

1

y)≥4⇒x+y ≥4

2.6)Cho x, y, z số thực dơng tháa m·n

x+

1

y=

1

z Chøng minh r»ng

x

+y2

z2 + z x+y≥

33

4 DÊu “=” xÈy nµo ? H

íng dÉn : x+y¿2

¿ ¿

x2+y2

z2 + z x+y≥¿

Dấu = xẩy x=y

Đặt t=x+y

z Víi

1

x+

1

y=

1

z⇒ x+y

z ≥4 hay t ≥4 DÊu “=” xÈy x=y=2z

XÐt hµm sè f(t)=t 2+

1

t , víi t ≥4

2.7)Cho x, y, z số thực dơng Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc

P=x2+y2+z2+

x+y+z H

íng dÉn :

x+y+z¿2 ¿ ¿

P ≥¿

DÊu “=” xÈy x=y=z

Đặt t=x+y+z Ta có P f(t)=t 3+

2

t víi t>0

2.8)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P=x2+y2+z2+

x+y+z H

íng dÉn :

x+y+z¿2 ¿ ¿

P ≥¿

Dấu = xẩy x=y=z

Đặt t=x+y+z Ta cã x+y+z ≥3√3xyz=3⇒t ≥3 vµ P≥ f(t)=t

2 3+

2

t víi t ≥3

2.9)Cho x, y số thực dơng Chøng minh r»ng xy(x2+y2)+x+y ≥6 xy

H

íng dÉn :

4 xy(x2+y2)+x+y ≥6 xy ⇔4(x2+y2)+1

x+

1

y≥6 x+y¿2+

x+y 4(x2+y2)+1

x+

1

y≥2¿

Đặt t=x+y Xét hàm số f(t)=2t2+4

t , víi t>0

2.10)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x2

+y2=xy(x+y) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P=x3+y3−6 xy

H

íng dÉn :

x+y2

x+y33

P=

Đặt t=x+y Víi x2+y2=xy(x+y) Ta cã

x+y¿3 ¿ ¿ xy(x+y)≤¿

vµ

x+y¿2 ¿ ¿ ¿

Suy

x+y¿2 ¿ ¿ ¿

x+y¿3 ¿ ¿ ¿

hay x+y ≥2 Vµ P=t3−3t2 , víi t ≥2

2.11)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x2+y2=xy(x+y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=x3+y39(x+y)6 xy

2.12)Cho a, b, c số thực d¬ng tháa m·n b+c¿

=a(b+c)(a+b+c)

a2+¿

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a3+b3+c3+3(bc2a)(b+c)9(a+b+c) H

ớng dẫn :

Đặt x=a , y=b+c

2.13)Cho x, y, z sè thùc tháa m·n x2

+y2+z2=1 T×m giá trị lớn giá trị nhỏ biÓu thøc P=xy+yz+zx+

xy+yz+zx+2 H

ớng dẫn :

Đặt t=xy+yz+zx , với x2+y2+z2=11

2≤xy+yz+zx≤1 hay t∈[− 2;1] Ta cã P=f(t)=t+

t+2 , víi t∈[− 2;1]

t+2¿2 ¿

t+2¿2 ¿ ¿ ¿

f '(t)=1−4¿

f(0)=2, f(−1 2)=

13

6 , f (1)= Suy Pmax=f(1)=7

3 t=1 hay x=y=z=±

√3

vµ Pmin=f(0)=2 t=0 hay xy+yz+zx=0 vµ x2+y2+z2=1 2.14)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn

x+

1

y=

1

z Chøng minh r»ng x+y

z + z x+y≥

17

4 DÊu “=” xÈy nµo ? 2.15)Cho x, y, z số thực dơng tháa m·n

x+

1

y=

1

z Tìm giá trị nhỏ cđa

2.16)Cho x, y, z lµ số thực dơng thỏa mÃn

x+

1

y=

1

z T×m giá trị nhỏ

biểu thức P=(x+y

z )

3 +( z

x+y)

2.17)Cho x, y, z số thực d¬ng tháa m·n

x+

1

y=

1

z Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa

biĨu thøc P=(x+y

z )

4 +( z

x+y)

2.18)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn

x+

1

y=

1

z Tìm giá trị nhỏ

biÓu thøc P=√x+y

z +√ z x+y

2.19)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x2

+y2+2=2(x+y)+xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A=2 xy+xy

x+y Híng dÉn:

Ta cã x+y¿2+4≤2(x2+y2)+4=4(x+y)+2√xy≤5(x+y) ¿

x+y¿2−5(x+y)+4≤0⇔1≤ x+y ≤4

⇒¿

vµ x+y¿

−2(x+y)+2

2 xy+√xy=¿ Suy

x+y¿2−2(x+y)+2−

x+y

A=¿

Đặt t=x+y , với t∈[1;4] Khi A=f(t)=t2−2t+2−4

t ,víi t∈[1;4] f '(t)=2t −2+4

t2=

2t3−2t2+4

t2 =

2(t+1)(t2−2t+2)

t2 >0

Suy maxA=f(4)=8 x=y=2; vµ minA=f(1)=5 x=y=1 2.20)Cho x, y số thực thỏa mÃn x4

+y4=2 xy Tìm giá trị lớn giá trị

nhỏ biểu thức x+y¿

A=xy+3x2y2+2 xy(x2+y2)−¿ Híng dÉn:

Ta cã

x+y¿2 ¿

x2+y2¿2 ¿

x+y¿4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2

x+y¿4≥0⇔0≤¿

x+y¿2−¿

⇒4¿

Vµ

x+y¿2

x+y¿4−2¿

A=¿

Khi 2A=f(t)=t4−2t2 ,với t∈[−2;2]

f '(t)=4t3−4t=0⇔t=0, t=±1

f(0)=0, f(±1)=−1, f(±2)=8 Suy maxA=4 x=y=±1

minA=−1

2 x=

1+√2√7−5

2 , y=

1−√2√7−5

2 hc

x=1−√2√7−5

2 , y=

1+√2√7−5

2 hc x=

−1+√2√7−1

2 , y=

−1−√2√7−1

2 hc

x=−1−√2√7−1

2 , y=

−1+√2√7−1

2

2.21)Cho c¸c sè thùc x ≠0, y 0 thỏa mÃn x4+y4+2=2(x2+y2)+xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A=2x2y2+xy

x2+y2 Híng dÉn:

Ta cã

x2+y2¿2+2≤ x4+y4+2=2(x2+y2)+xy≤5 2(x

2 +y2)

2¿

x2

+y2¿2−5(x2+y2)+4≤0⇔1≤ x2+y2≤4

⇔¿

vµ x

+y2¿2−2(x2+y2)+2−

x2 +y2

A=¿

§Ỉt t=x2+y2 , víi t∈[1;4]

2.22)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn 2(x3+y3)+x3y3=6x2y2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A=4(1

x+

1

y)+

3 xy Híng dÉn:

Ta cã 2(x3+y3)+x3y3=6x2y2⇔4(1

x3+

1

y3)+2=

12 xy vµ

(1x+

1

y)

3

+2≤4(

x3+

1

y3)+2=

12 xy ≤3(

1

x+

1

y)

2 Suy (1

x+

1

y)

3

+2≤3(1

x+

1

y)

2

⇔1≤1 x+

1

y≤1+√3

Đặt t=1

x+

1

y , víi t∈[1;1+√3] Ta cã A=4t+t

2

−t+1−

2t+2 = t

+3t+1− 2t+2 XÐt hµm sè f(t) = t2+3t+1−

2t+2 ,víi t∈[1;1+√3] 2t+2¿2

¿ ¿

f '(t)=2t+3+2 ¿

Suy minA=f(1)=19