Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)tài liệu tham khảo
bất đẳng thức đại số I.Kiến thức bản:
1.Các bất dẳng thức thông dụng: a) A:A20 , A2
=0⇔A=0
b)Cho a>0 , ta cã: |A|≤ a⇔− a ≤ A ≤ a
|A|≥ a⇔ A ≤ − a
¿
A ≥a
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
c) a , b:|a||b||a+b||a|+|b| 2.Đẳng thức liªn quan:
a)
c − a¿2
b − c¿2+¿
a − b¿2+¿ ¿
a2+b2+c2−ab−bc−ca=1 2¿
b) a3
+b3+c3−3 abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) II.C¸c vÝ dô :
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng ∀a , b ≥0 , ta cã : a+b ≥2√ab Vµ a+b=2√ab⇔a=b
(Bất đẳng thức Cô-Si) Chứng minh:
Ta cã √a −√b¿2≥0
a+b −2√ab=¿ Suy a+b −2√ab≥0 VËy a+b ≥2√ab
Vµ √a −√b¿2=0⇔√a −√b=0⇔a=b
a+b=2√ab⇔a+b −2√ab=0⇔¿
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng ∀a , b , c ≥0 , ta cã :
x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2
x+y¿4≥0⇔0≤¿
x+y¿2−¿
⇒4¿
Vµ a+b+c=3√3abc⇔a=b=c
(Bất đẳng thức Cô-Si) Chứng minh:
Ta cã a+b+c −3√3abc=1 2(
3
√a+√3 b+√3c)[(√3a −3
√b)2+(√3b−3
√c)2+(√3c −3
√a)2]≥0 Suy a+b+c −3√3abc≥0
VËy
x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2
x+y¿4≥0⇔0≤¿
x+y¿2−¿
⇒4¿
Vµ a+b+c=3√3abc⇔a=b=c VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : ac+bd¿
2
,∀a , b , c , d
(2)(Bất đẳng thức Bunhiacôxki ) Chứng minh:
Ta cã
ad−bc¿2≥0
ac+bd¿2=a2d2+b2c2−2 acbd=¿ (a2+b2)(c2+d2)−¿
Suy ac+bd¿
2
≥0
(a2+b2)(c2+d2)−¿ VËy ac+bd¿
2
(a2+b2)(c2+d2)≥¿ DÊu “=” xảy ad=bc Ví dụ 4: Chøng minh r»ng :
x1x2+y1y2+z1z2¿2
(x12+y12+z12)(x22+y22+z22)≥¿
, ∀x1, x2, y1, y2, z1, z2 DÊu “=” xảy ?
(Bt ng thức Bunhiacôxki ) Chứng minh:
x1x2+y1y2+z1z2¿2 (x12+y12+z12)(x22+y22+z22)≥¿
⇔x12y22+y12x22+x12z22+z12x22+y12z22+z12y22≥2x1x2y1 y2+2x1x2z1z2+2y1y2z1z2 :
VÝ dô 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh : a) a
2 +b2 ≥(
a+b )
2
≥ab b) a
3 +b3 ≥(
a+b )
3
,víi a+b ≥0 c) a
2
+b2+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
2
≥ab+bc+ca
3
d) a
+b3+c3
3 ≥(
a+b+c
3 )
3
abc DÊu “=” xÈy nµo ?
VÝ dơ 6: Cho a2
+b2=1 Chøng minh r»ng : −√2≤a+b ≤√2 Chøng minh:
Ta cã a+b¿2≤2(a2+b2)=2
¿ Suy
a+b¿2≤2
¿ ⇔|a+b|≤√2 VËy −√2≤a+b ≤√2
VÝ dô 7:Chøng minh r»ng ∀a , b ta cã : a2
+b2±ab≥0 DÊu “=” x¶y nµo ?
Chøng minh:
Ta cã a2+b2±ab=a2±ab+1 4b
2 +3
4b
=(a ±1 2b)
2 +3
4b
≥0
Suy a2
+b2±ab≥0 DÊu “=” x¶y vµ chØ
¿
a ±1
2b=0
b=0
⇔a=b=0 ¿{
¿
III.Các tập:
Bài Cho x, y, z số thực dơng Chứng minh : a)
x+
1
y ≥
4
x+y b)
x+
1
y+
1
z≥
9
(3)Bµi 2.Cho a+b=2 Chøng minh r»ng : a4+b4≥2
Bµi Cho a , b>0 Chøng minh r»ng: a
√b+ b
√a≥√a+√b
Bµi 4.Chøng minh r»ng víi số dơng a, b, c bất kì, ta có a
3
a2+ab+b2+
b3
b2+bc+c2+
c3
c2+ca+a2≥
a+b+c
3
(Híng dÉn: Ta cã a
a2+ab+b2≥ 2a −b
3 ) Bµi Cho x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn x2
+y2+z2=1 Chøng minh r»ng :
−1
2≤xy+yz+zx≤1
Bµi Cho sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : a) ab+bc+ca¿2≥3 acb(a+b+c)
¿
b) a2b2 c2d2 (a c )2(b d )2 Híng dÉn:
2 2 ( )2 ( )2 2. 2
a b c d a c b d a b c d ac bd
, DÊu “=” xÈy ad bc 0.
c)a3b3c36abc(a b c ab bc ca )( ); d) (a b c )39abc4(a b c ab bc ca )( ) Bµi 7.Cho a, b,c > Chøng minh r»ng :
√a2
+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥√3(a+b+c) (Híng dÉn: Ta cã √a2+ab+b2≥√3
2 (a+b) ) Bµi 8.a)Cho ab≥1 Chøng minh r»ng :
1+a2+ 1+b2≥
2 1+ab b)Cho a , b , c ≥1 Chøng minh r»ng :
1+a3+ 1+b3+
1 1+c3≥
3 1+abc H
íng dÉn : a)
b− a¿2(ab−1) ¿ ¿
1+a2+ 1+b2≥
2 1+ab
b)áp dụng câu a) cho biÓu thøc 1+a3+
1 1+b3+
1 1+c3+
1 1+abc áp dụng bất đẳng thức Cô si :
Bài 9.Cho a, b, c số thùc d¬ng tháa m·n
a+
1
c=
2
b Chøng minh r»ng
A=(3− x)(4− y)(2x+3y) DÊu “=” xÈy nµo? H
íng dÉn : Ta cã
a+
1
c=
2
b Suy b=
2 ac
a+c Vµ a+b
2a − b+ c+b 2c − b=
a+3c 2a +
3a+c 2c =1+
3 2(
c a+
a
c)≥4 DÊu “=” xÈy a=b=c
Bµi 10.Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chøng minh r»ng (1+x
2 )
+(1+y )
2
+(1+z )
2
≥3 vµ (1+x )
3
+(1+y )
3 +(1+z
2 )
(4)Bµi 11.Cho x, y, z thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh : x
1+x2+
y
1+y2+
z
1+z2≤ 2≤
1 1+x+
1 1+y+
1 1+z H
íng dÉn : Ta cã x
1+x2≤ vµ
1+x+ 1+y+
1 1+z≥
9 3+x+y+z≥
3
Bài 12.Cho số dơng a , b , c Chøng minh r»ng : t −1¿
2
(t2+2t+3)≥0
t4−4t+3≥0⇔¿ H
íng dÉn :
Ta cã a2+bc≥2a√bc=2 abc
√bc Suy
a2+bc≤
√bc abc≤
b+c abc Bµi 13 Cho a , b , c ≥0 vµ
1+a+ 1+b+
1
1+c≥2 Chøng minh r»ng : abc≤ H
íng dÉn :
1+a+ 1+b+
1
1+c≥2 ⇒ 1+a≥
b
1+b+
c
1+c≥2√ bc
(1+b)(1+c)
Suy
(1+a)(1+b)(1+c)≥
8 abc
(1+a)(1+b)(1+c)
Bµi 14 Cho a , b , c tháa m·n ®iỊu kiƯn a+b+c=1 Chøng minh r»ng : (1+1
a)(1+
1
b)(1+
1
c)≥64
H
íng dÉn : 1+1
a= a+1
a =
a+b+a+c
a ≥
2√ab+2√ac
a ≥
44√a2bc
a
Bµi 15.Cho a , b ≥1 Chøng minh r»ng : a√b −1+b√a −1≤ab H
íng dÉn :
a√b −1+b√a −1≤ab ⇔√a −1
a +√ b −1
b ≤1
mµ √a −1
a ≤
a −1+1 2a =
1
Bµi 16 Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :
2a+b+c+ 2b+c+a+
1 2c+a+b≤
1 4(
1
a+
1
b+
1
c)
H
íng dÉn : ¸p dơng
x+
1
y ≥
4
x+y (x, y >0 ) Bµi 17 Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :
a+b+
b+c+
c+a≤ 2(
1
a+
1
b+
1
c)
H
íng dÉn : ¸p dơng
x+
1
y ≥
4
x+y (x, y >0 ) Bµi 18 Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng : a) a
b+c+
b c+a+
c a+b≥
3 ; b) a
2
b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
(5)c)
a b c d
b c c d d a a b d) a
b+c+
b c+a+
c a+b
+b+c
a + c+a
b + a+b
c ≥
15 H
íng dÉn : a) a
b+c+
b c+a+
c a+b≥
3
2 ⇔(a+b+c)(
b+c+
c+a+
a+b)≥
⇔(2a+2b+2c)(
b+c+
c+a+
a+b)≥9 : b) a2
b+c+
b2
c+a+
c2
a+b≥
a+b+c
2 ⇔(a+b+c)(
a b+c+
b c+a+
c a+b)≥
3
2(a+b+c) c) √ a
b+c=
a √a(b+c)≥
2a a+b+c
Bµi 19 Cho a , b>0 vµ a+b=1 Chøng minh r»ng :
a) ab+
1
a2+b2≥6 ; b) ab+
3
a2+b2≥14 H
íng dÉn : a)
ab+
a2+b2≥6 ⇔a
+b2+ab≥6 ab(a2+b2)⇔12a2b2−7 ab+10 Đặt t=ab , với t 1
4 Suy f(t)=12t
−7t+1≥0 :
Bài 20.(ĐH2011A)Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x y , x z Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P= x
2x+3y+
y y+z+
z z+x H
íng dÉn :
P= 2+3y
x
+ 1+z
y
+ 1+x
z ≥
2+3y
x
+
1+√x
y
(áp dụng bất đẳng thức :
1+a+ 1+b≥
2
1+√ab ( ab≥1 ) DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b hc ab=1 )
DÊu “=” xÈy x=y x=z (1)
Đặt √x
y=t , víi t∈[1;2] Ta cã P≥ t2
2t2+3+ 1+t XÐt hµm sè f(t)= t
2
2t2+3+
1+t , víi t∈[1;2] Ta cã f '(t)<0 Suy f(t)≥ f(2)=34
33 DÊu “=” xÈy vµ chØ t=2⇔
x
y=4⇔x=4, y=1 (2)
Suy P≥34
33 Tõ (1) vµ (2) suy dÊu “=” xÈy vµ chØ :
x=4, y=1, z=4 VËy minP=34
33 , : x=4, y=1, z=4
Bài 21.(ĐH2011B)Cho a b số thực dơng thỏa mÃn
2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P=4(a
3
b3+ b3
a3)−9( a2
b2+ b2
a2)
H
ớng dẫn : Đặt t=a
b+ b
(6)Víi 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2)⇔2(a
b+ b a)+1=(
1
b+
1
a)(ab+2)
⇔2(a
b+ b a)+1=(
1
b+
1
a)(ab+2) ⇔2( a b+
b
a)+1=a+b+
2
a+
2
b≥2√2(√ a b+√
b a) x+y¿2
x+y¿4−2¿
A=¿
Bài 22.(ĐH2009D)Cho số thực không âm x, y thỏa mÃn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25 xy
Bài 23.(ĐH2009B)Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn x+y3+4 xy2
Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc A=3(x4+y4+x2y2)−2(x2+y2)+1
H
íng dÉn :
x2
+y2¿2−2(x2+y2)+1
A ≥9
4¿
DÊu “=” xÈy vµ chØ x2 =y2
Đặt t=x2+y2 , với
x+y220x+y ≥1
x+y¿3+¿
x+y¿3+4 xy≥2⇒¿ ¿
Suy
x+y¿2 ¿ ¿
x2
+y2≥¿
DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=1 Suy t ≥1
2 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y= Vµ A ≥
9 4t
2
−2t+1
XÐt hµm sè
9 )
(
t t
t f
, ta cã f '(t)=
2t −2>0 Suy f(t)≥ f(1
2)=
16 DÊu “=” xÈy vµ chØ t=
2⇔x=y= Suy A ≥
16 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y= Vậy giá trị nhỏ biểu thức A
16 ; x=y=
Bài 24.(ĐH2009A)Chứng minh với số thực dơng x, y, z tháa m·n
x(x+y+z)=3 yz , ta cã
y+z¿3
x+z¿3+3(x+y)(x+z)(y+z)≤5¿
x+y¿3+¿ ¿
H
íng dÉn : Ta cã
y+z¿2
x+z¿2−(x+y)(x+z)=¿
x+y¿2+¿
x(x+y+z)=3 yz⇔(x+y)(x+z)=4 yz⇔¿
Suy
y+z¿3
y+z¿2.(y+z)=3¿
(7)vµ
y+z¿3
y+z¿2≤2¿
x+z¿3=(2x+y+z)¿
x+y¿3+¿ ¿
(vì 2x+y+z 2(y+z) )
Bài 25.(ĐH2005D)Cho số d¬ng x, y, z tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng √1+x3+y3
xy +√
1+y3+z3
yz +
1+z3+x3
zx 33
Bài 26.(ĐH2005A)Cho x, y, z số dơng thỏa mÃn
x+
1
y+
1
z=4 Chøng minh
r»ng 2x+y+z+
1
x+2y+z+
x+y+2z≤1 H
íng dÉn : Ta cã
2x+y+z≤ 4(
1
x+y+
x+z)≤ 16 (
2
x+
1
y+
1
z) DÊu “=” xÈy vµ chØ
x=y=z
T¬ng tù ta cã :
x+2y+z≤ 16 (
1
x+
2
y+
1
z) ,
x+y+2z≤ 16 (
1
x+
1
y+
2
z)
Suy 2x+y+z+
1
x+2y+z+
x+y+2z≤ 4(
1
x+
1
y+
1
z)=1
Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x ≠0, y ≠0 thay đổi thỏa mãn điều kiện (x+y)xy=x2+y2−xy Tìm giá trị lớn biểu thức A=
x3+
1
y3
H
íng dÉn :
Ta cã (x+y)xy=x2+y2−xy⇔1
x+
1
y=(
1
x+
1
y)
2
−
xy ⇔(
x+
1
y)
2
−(1 x+
1
y)=
3 xy ≤
3 4(
1
x+
1
y)
2
DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y Suy (1
x+
1
y)
2
−4(1
x+
1
y)≤0⇒
1
x+
1
y≤4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=
1 Vµ A=(1
x+
1
y)[(
1
x+
1
y)
2
−
xy]=(
x+
1
y)
3
≤64 DÊu “=” xÈy vµ chØ
x=y=1
Vậy giá trị lớn A 64; x=y=1
Bài 28.Cho a số cố định, x, y số thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức 2x
+ay+5¿2
x −2y+1¿2+¿
A=¿
H
íng dÉn : a)
minA=0⇔
x −2y+1=0 2x+ay+5=0
¿{
cã nghiÖm ⇔a≠ −4
b)Với a=−4 Khi
2x −4y+5¿2
x 2y+12+
A=
(8)Đặt t=x −2y+1 Ta cã 2t+3¿
=5t2+12t+9=5(t+6 5)
2
+9 5≥
9
A=t2+¿
Suy A ≥9
5 DÊu “=” xÈy vµ chØ t=− Suy minA=9
5 t=−
Vậy a 4 giá trị nhỏ A 0, a=4 giá trị nhỏ A
5
Bài tơng tự: Cho số thực x, y thỏa mÃn x+22y Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc H=5x2+20y2−20 xy+22x −44y+26
Bµi 29 Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x2
+y2=1+xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trÞ
nhá nhÊt cđa biĨu thøc T=x4+y4− x2 y2 H
íng dÉn : Ta cã x2
+y2=1+xy≥2 xy vµ x2+y2=1+xy≥−2 xy Suy −13≤xy≤1
vµ
+xy¿2−3x2y2=−2x2y2+2 xy+1
x2
+y223x2y2=
T=
Đặt t=xy Suy maxT=3
2 ; minT=
Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0≤ x 3 , 0 y 4 Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A=(3− x)(4− y)(2x+3y)
H
íng dÉn : Ta cã A=1
6(6−2x)(12−3y)(2x+3y)≤ 6(
6−2x+12−3y+2x+3y
3 )
3
=36 DÊu “=” xÈy vµ chØ 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2 VËy maxA=36; x=0, y=2
Bài 31.Cho số thực x, y, z thỏa m·n x ≥3 , y ≥4 , z ≥2 Tìm giá trị lớn biểu thức F=x −3
x +
√y −4
y +
√z −2
z
H
íng dÉn :
Ta cã: √x −3=√(x −3).3
3 ≤
x −3+3 2√3 =
x
2√3⇔
√x −3
x ≤
1
2√3 DÊu “=” xÈy vµ chØ x-3=3 hay x=6
T¬ng tù √y −4
y ≤
1
4 DÊu “=” xÈy vµ chØ y=8 √z −2
z ≤
1
2√2 DÊu “=” xÈy z=4
Bài 32.Cho sè thùc x, y, z tháa m·n xy+yz+zx=4 Tìm giá trị nhỏ
biểu thức F=x4+y4+z4 H
íng dÉn : Ta cã x2
+y2+z2≥xy+yz+zx=4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= ±2 x2+y2+z2¿2
¿ ¿
F=x4+y4+z4≥¿
Bµi 33.Cho x, y, z > vµ x+y+z=1 Tìm giá trị lớn P= x
x+1+
y y+1+
z z+1 H
(9)Ta cã P=3−(
x+1+
y+1+
z+1) Mµ (x+y+z+3)(
x+1+
y+1+
z+1)≥9 ⇔(
x+1+
y+1+
z+1)≥ DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=
3 Suy P≤3
4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=
Bài 34.Cho số thực dơng a, b, c thỏa mÃn abc=1 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P=bc
a2b
+a2c+ ac
b2a +b2c+
ab
c2a
+c2b H
ớng dẫn : Đặt x=1
a , y=
1
b , z=
1
c Ta cã xyz=1 vµ P= x
2
y+z+
y2 z+x+
z2 x+y≥
x+y+z
2 ≥
3
2 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007)
a)Chøng minh r»ng : (sinx
x )
3
>cosx ,∀x∈(0;π 2)
b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n a=x+y , b=y+z ,c=z+x Tìm giá trị nhỏ , giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc P=x3+2y2+3x2+4 xy−5x
Bài 36.(HSG Tỉnh NA 2006)Cho số thực x, y tháa m·n 0<x ≤ y<π Chøng minh r»ng (x3−6x)siny ≤(y3−6y)sinx
Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x>0, y>0, x+y=1 m số dơng cho trớc Tìm giá trị lín nhÊt cđa tỉng S=
x2+y2+
m
xy
Bài 38.(HSG Tỉnh NA 2008)Cho số thực dơng a, b, c Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc P= √bc
a+3√bc+
√ca
b+3√ca+
√ab
c+3√ab H
íng dÉn :
Ta cã 3P=3−( a
a+3√bc+
b b+3√ca+
c
c+3√ab) §Ỉt Q= a
a+3√bc+
b b+3√ca+
c
c+3√ab Ta cã
√a+√b+√c¿2 ( a
a+3√bc+
b b+3√ca+
c
c+3√ab)(a+3√bc+b+3√ca+c+3√ab)≥¿
√a+√b+√c¿2 ¿
√a+√b+√c¿2+√ab+√bc+√ca ¿
¿ ¿
⇔Q ≥¿
DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b=c
Suy P≤3
4 DÊu “=” xÈy vµ chØ a=b=c VËy giá trị lớn P
4 ; a=b=c
Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho số thực dơng x, y, z Chứng minh r»ng 1x+1
y+
1
z≥
36
9+x2y2+y2z2+x2z2 H
(10)Ta cã
x+
1
y+
1
z≥
36
9+x2 y2+y2z2+x2z2⇔(xy+yz+zx)(9+x 2y2
+y2z2+z2x2)−36 xyz≥0
⇔3(√3xyz)2[9+3(√3xyz)4]−36 xyz≥0⇔(√3 xyz)4−4√3xyz+3≥0 DÊu “=” xÈy x=y=z
Đặt t=3xyz , víi t>0 Ta cã t −1¿
(t2+2t+3)≥0
t4−4t
+3≥0⇔¿ : Bài 40.(HSG Tỉnh NA 2010B)
a)Cho x, y số thực thỏa mÃn log4(x+2y)+log4(x 2y)=1 Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc P=2x −|y|
b)Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n a+b+c=1 Chøng minh r»ng
3
ab bc ca
ab c bc a ca b . H
ớng dẫn: b)Đặt A=ab
ab+c + bc bc+a+√
ca
ca+a Ta cã A 2≤3
(abab+c+ bc bc+a+
ca
ca+b) DÊu “=” xÈy a=b=c=1
3 Suy A
≤9
4 Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A)
a)Cho x, y số thực thỏa m·n log4(x+2y)+log4(x −2y)=1 Chøng minh r»ng 2x −|y|≥√15
b)Cho số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn a+b+c¿2=2(a2+b2+c2) ¿
T×m giá trị lớn giá trị nhỏ biÓu thøc P= a
+b3+c3
(a+b+c)(ab+bc+ca) H
íng dÉn : b)Ta cã
a+b+c¿2
a+b+c¿2=2(a2+b2+c2)⇔ab+bc+ca=1 4¿ ¿
Suy a+b+c¿3
¿ ¿
P=4(a
3
+b3+c3) ¿
Đặt x= a
a+b+c , y=
b
a+b+c , z=
c
a+b+c Ta cã ¿
x+y+z=1 xy+yz+zx=1
4
⇔
¿y+z=1− x yz=x2− x+1 ¿{
¿
Vµ y+z¿2≥4 yz⇔3x2−2x ≤0⇔0≤ x ≤23
¿
(11)Suy
1− x¿3−(1− x)(x2− x+1 4)
x3+¿=4x3+4x2−7x+3
P=4(x3+y3+z3)=4¿
XÐt hµm sè f(x)=4x3+4x2−7x+3 , víi x∈[0;2
3] Ta cã
f '(x)=12x2+8x 7=0x=1
Bài 42.Cho sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+y+z 3
2 Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P=x2+y2+z2+
x+y+z H
ớng dẫn :
Đặt t=x+y+z Ta có (x+y+z)(1
x+
1
y+
1
z)≥9 ⇒
1
x+
1
y+
1
z≥
9
t Víi t∈¿
Suy P≥ t+9
t DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1
Bµi 43.Cho số thực dơng x, y thỏa mÃn
x+
3
y=6 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa
biĨu thøc S=x+y
Bµi 44.Cho số thực không âm x, y thỏa mÃn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ
giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc P= x
y+1+
y x+1 Bài 45.Cho số thực dơng x, y, z tháa m·n x2
+y2+z2=1 Chøng minh r»ng
x y2+z2+
y z2+x2+
z x2+y2≥
3√3
2
H
íng dÉn : Ta cã x
y2+z2+
y z2+x2+
z x2+y2≥
3√3
2 ⇔
x2 x(1− x2)+
y2 y(1− y2)+
z2 z(1− z2)≥
3√3
2
XÐt hµm sè f(t)=t(1−t2) , víi t∈(0;1) Ta cã f(t)≤ 33 Bài 46.Cho n số tự nhiên lớn h¬n Chøng minh r»ng a
n +bn ≥(
a+b )
n H
íng dÉn :
XÐt hµm sè c − x¿ n
f(x)=xn+¿ , víi c>0 Ta cã f(x) f(
c
2) Đặt a=x , b=c − x Suy a+b>0
VËy a n
+bn ≥(
a+b )
n
Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012)
Cho ba sè thùc x y z, , tháa m·n x y z xyz v x1,y1,z1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc
2 2
1
1 y
x z
P
y z x
Híng dÉn:
2 2
x y y z z x P
y z x
2
1 1 1
x y z x y z
(12)Mà
2 2
x y y z z x
y z x
2 2 2
1 1 1
x y z
x y y z x z
x 1 y 1 z 1
xy yz xz
(2) Tõ (1) v (2) suy
2 2
1 1 1 1 1
P
x y z x y z xy yz zx
(3).
Tõu gi¶ thiÕt ta cã
1 1
1
xy yz zx (4).
M
2 2
1 1 1
1
x y z xy yz zx (5).
2
1 1 1 1 1
3
x y z xy yz zx x y z
(6).
Tõ (3), (4), (5) v (6) suy P 1 DÊu b»ng xÈy x y z Vậy giá trị nhỏ P l 1 Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012)
Cho x,y,z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
1 1
1 1
P
x y z
_ khai thác số bất đẳng thức quen thuộc
i.Phng phỏp bin i tng ng:
Bài toán 1: Cho a, b số thực dơng Chứng minh r»ng: a
√b+ b
√a≥√a+√b
1.1)Cho a, b số thực dơng Chøng minh r»ng a
√b+ b
√a+
1
√a+√b≥2 H
íng dÉn : Ta cã a
√b+ b
√a≥√a+√b Suy a
√b+ b
√a+
1
√a+√b≥√a+√b+
√a+√b≥2 1.2)Cho a, b, c số thực dơng Chứng minh
a2
b+c+
b2 c+a+
c2 a+b+
2
a+b+c≥2 H
íng dÉn :
Ta chøng minh a2
b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
(13)a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c ⇔(a+
a2
b+c)+(b+
b2
c+a)+(c+
c2 a+b)≥
3
2(a+b+c)
⇔a(a+b+c b+c )+b(
a+b+c
c+a )+c(
a+b+c
a+b )≥
2(a+b+c)
⇔ a
b+c+
b c+a+
c a+b≥
3
2 ⇔1+
a b+c+1+
b c+a+1+
c a+b≥
9 Mµ 1+ a
b+c+1+
b c+a+1+
c
a+b≥(a+b+c)(
a+b+
b+c+
c+a)≥
2 : 1.3)Cho x, y, z số thực dơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P= x
√y+√z+
y
√z+√x+
z
√x+√y+
3
√x+√y+√z
1.4)Cho số thực dơng x, y, z thỏa mÃn x+y+z 3
2 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P=x2+y2+z2+
x+y+z H
ớng dẫn :
Đặt t=x+y+z Ta có (x+y+z)(1
x+
1
y+
1
z)≥9 ⇒
1
x+
1
y+
1
z≥
9
t Víi t∈¿
Suy P≥ t+9
t DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1
Bµi toán 1.5:
a)Cho a, b, c sè thùc tháa m·n a+b+c ≥0 Chøng minh r»ng
a+b+c¿3 ¿ ¿
a3
+b3+c3
b)Cho a, b, c số thùc Chøng minh r»ng
a+b+c¿2 ¿ ¿
a2
+b2+c2≥¿
1.6)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xy+yz+xz=xyz Chøng minh r»ng
x3
+y3+z3≥81 H
íng dÉn : Ta cã
x+y+z¿3 ¿ ¿
x3+y3+z3≥¿
Mµ xy+yz+xz=xyz⇔1
x+
1
y+
1
z=1
Suy (x+y+z)(1
x+
1
y+
1
z)≥9⇔x+y+z ≥9
VËy x3
+y3+z3≥81
1.7)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa
biĨu thøc P=( 1+a)
3 +(
1+b)
+( 1+c)
3 H
ớng dẫn : Đặt x=
1+a , y=
1+b , z=
1+c Ta cã
x+
1
y+
1
z=4 Suy x+y+z ≥
9 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=3
(14)Suy P=x3+y3+z3≥81
64 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=
4 hay
a=b=c=1
Vậy giá trị nhỏ P b»ng 81
64 , a=b=c=
1.8)Cho a, b, c số thực dơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=( a
b+c)
+( b
c+a)
+( c
a+b)
Híng dẫn:
Đặt x= a
b+c , y=
b
c+a , z=
c
a+b Ta cã
x+
1
y+
1
z≥6 Suy x+y+z ≥
3 Bài toán 1.9: Cho a, b, c số thực dơng Chứng minh
a
b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
2
Híng dÉn:
a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
2 ⇔(a+b+c)(
a b+c+
b c+a+
c a+b)≥
3
2(a+b+c)
⇔ a
b+c+
b c+a+
c a+b≥
3
2 ⇔(a+b+c)(
b+c+
c+a+
a+b)≥
⇔(2a+2b+2c)(
b+c+
c+a+
a+b)≥9 : ỳng
1.10)Cho a, b, c số thực d¬ng tháa m·n ab+bc+ca=1 Chøng minh r»ng a2
b+c+
b2
c+a+
c2
a+b≥
√3 Híng dÉn:
a+b+c¿2≥3(ab+bc+ca)⇒a+b+c ≥√3
¿
1.11)Cho x, y, z lµ số thực dơng thỏa mÃn x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ
biểu thức
x+y2 ¿
y+z¿2 ¿
z+x¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
P=
Hớng dẫn:
Đặt a=x+y , b=y+z ,c=z+x Ta cã a+b+c=2 vµ
P= a
b+c+
b2
c+a+
c2
a+b
a+b+c =1
Bài toán 1.12:Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chøng minh r»ng
(1+x )
2
+(1+y )
2
+(1+z )
2
≥3 vµ (1+x )
3
+(1+y )
3 +(1+z
2 )
≥3 DÊu “=” xÈy nào?
1.13)Cho x, y, z số thực d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng a) (x+y)2+(y+z)2+(z+x)2≥12
b) (x+y)3+(y+z)3+(z+x)3≥24
1.14)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn x+y+z=1 Chøng minh r»ng
x2+y2+z2≥1
3 vµ x
(15)1.15)Cho x, y, z số thực thỏa mÃn x2
+y2+z2=1 Tìm giá trị nhỏ
biểu thức P=x3+y3+z3
1.16)Cho x, y số thực thỏa mÃn x2
+y2=1 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu
thøc P=x3+y3
Bài toán 1.17: Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :
a+b+
b+c+
c+a≤ 2(
1
a+
1
b+
1
c)
H
íng dÉn : ¸p dơng
x+
1
y ≥
4
x+y (x, y >0 )
1.18)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn x 0, y ≠0 Chøng minh r»ng
a+b+
b+c+
c+a≤
1.19)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Chøng minh r»ng
ab
a+b+ bc
b+c+ ca
c+a≤
1.20)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Tìm giá trị lớn biÓu thøc A=√ab
a+b+√ bc
b+c+√ ca
c+a
Híng dÉn:
A=√ab
a+b+√ bc
b+c+√ ca
c+a≤
a+b 2√a+b+
b+c 2√b+c+
c+a 2√c+a≤
1
2(√a+b+√b+c+√c+a)
√a+b+√b+c+√c+a¿2≤6(a+b+c)=6⇒
¿ √a+b+√b+c+√c+a ≤√6 Suy A ≤√6
2 DÊu “=” xÈy a=b=c=
Bài toán 1.21.Chứng minh với số dơng a, b, c bất kì, ta có a
3
a2+ab+b2+
b3 b2+bc+c2+
c3 c2+ca+a2≥
a+b+c
3
(Híng dÉn: Ta cã a
a2
+ab+b2≥ 2a −b
3 )
1.22)Cho a, b, c số thùc d¬ng tháa m·n a+b+c=1 Chøng minh r»ng
a
a2
+ab+b2+
b3 b2
+bc+c2+
c3 c2
+ca+a2≥
1.23)Cho a, b, c số thực d¬ng tháa m·n abc=1 Chøng minh r»ng a
3
a2
+ab+b2+
b3
b2
+bc+c2+
c3
c2
+ca+a2≥1
Bài toán 1.24:Cho a, b,c > Chứng minh r»ng : √a2
+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥√3(a+b+c) (Híng dÉn: Ta cã √a2
+ab+b2≥3
2(a+b) )
1.25)Cho a, b, c số thực dơng thỏa m·n a+b+c=1 Chøng minh r»ng :
√a2
+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥√3
1.26)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn abc=1 Chứng minh r»ng : √a2
+ab+b2+√b2+bc+c2+√c2+ca+a2≥3√3 Bµi to¸n 1.27:Cho a , b , c>0 Chøng minh r»ng :
a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
2
H
íng dÉn : Ta cã a
b+c+
b c+a+
c a+b≥
3
2 ⇔(a+b+c)(
b+c+
c+a+
(16)⇔(2a+2b+2c)(
b+c+
c+a+
a+b)≥9 : a2
b+c+
b2
c+a+
c2
a+b≥
a+b+c
2 ⇔(a+b+c)(
a b+c+
b c+a+
c a+b)≥
3
2(a+b+c)
1.28)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 Chứng minh r»ng : a2
b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
1
1.29)Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn x=y=2 Chøng minh r»ng :
a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b
3
II.Phơng pháp ®a vỊ hµm sè mét biÕn: 2.1)Cho x, y lµ số thực dơng thỏa mÃn
x+
9
y=5 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu
thøc H=x+y+
x+y H
ớng dẫn :
Đặt t=x+y , với
x+
9
y=5 Ta cã : (x+y)(
4
x+
9
y)≥25⇒x+y ≥5⇒t ≥5
Vµ H=t+4
t
2.2)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy+yz+zx=1 Tìm giá trị nhỏ biểu
thức P=x4+y4+z4+
x4+y4+z4 H
íng dÉn :
Đặt t=x4+y4+z4 , với x2+y2+z2xy+yz+zx=1 Suy
x2+y2+z2¿2 ¿ ¿
x4+y4+z4≥¿ 2.3)Cho c¸c sè thùc a, b tháa m·n a2
+b2=1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
nhÊt cđa biĨu thøc P=(a+b)(2ab+a+b) H
íng dÉn :
Ta cã
a+b¿2+(a+b)−1
a+b¿2−(a+b)
a+b3+ =
P=(a+b)
Đặt t=a+b , với a2+b2=1 Suy a+b¿
≤2(a2+b2)≤2⇔−√2≤ a+b≤√2 ¿
hay t∈[−√2;√2] Vµ P=t3+t2−t , víi t∈[−√2;√2]
2.4)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x+y=xy Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P=x3+y3−9 xy
H
íng dÉn :
Ta cã
x+y¿2−3 xy
x+y¿2−9(x+y)
x+y¿3−3¿ ¿−9 xy=¿
P=(x+y)¿
Đặt t=x+y , với
x+y2
x+y=xy1
⇒x+y ≥4 ⇒t ≥4
(17)2.5)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn
x+
1
y=1 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu
thøc P=x2+y2+
x+y H
íng dÉn :
x+y¿2−2(x+y)+
x+y
P=
Đặt t=x+y Víi (x+y)(1
x+
1
y)≥4⇒x+y ≥4
2.6)Cho x, y, z số thực dơng tháa m·n
x+
1
y=
1
z Chøng minh r»ng
x
+y2
z2 + z x+y≥
33
4 DÊu “=” xÈy nµo ? H
íng dÉn : x+y¿2
¿ ¿
x2+y2
z2 + z x+y≥¿
Dấu = xẩy x=y
Đặt t=x+y
z Víi
1
x+
1
y=
1
z⇒ x+y
z ≥4 hay t ≥4 DÊu “=” xÈy x=y=2z
XÐt hµm sè f(t)=t 2+
1
t , víi t ≥4
2.7)Cho x, y, z số thực dơng Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc
P=x2+y2+z2+
x+y+z H
íng dÉn :
x+y+z¿2 ¿ ¿
P ≥¿
DÊu “=” xÈy x=y=z
Đặt t=x+y+z Ta có P f(t)=t 3+
2
t víi t>0
2.8)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P=x2+y2+z2+
x+y+z H
íng dÉn :
x+y+z¿2 ¿ ¿
P ≥¿
Dấu = xẩy x=y=z
Đặt t=x+y+z Ta cã x+y+z ≥3√3xyz=3⇒t ≥3 vµ P≥ f(t)=t
2 3+
2
t víi t ≥3
2.9)Cho x, y số thực dơng Chøng minh r»ng xy(x2+y2)+x+y ≥6 xy
H
íng dÉn :
4 xy(x2+y2)+x+y ≥6 xy ⇔4(x2+y2)+1
x+
1
y≥6 x+y¿2+
x+y 4(x2+y2)+1
x+
1
y≥2¿
(18)Đặt t=x+y Xét hàm số f(t)=2t2+4
t , víi t>0
2.10)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x2
+y2=xy(x+y) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P=x3+y3−6 xy
H
íng dÉn :
x+y2
x+y33
P=
Đặt t=x+y Víi x2+y2=xy(x+y) Ta cã
x+y¿3 ¿ ¿ xy(x+y)≤¿
vµ
x+y¿2 ¿ ¿ ¿
Suy
x+y¿2 ¿ ¿ ¿
x+y¿3 ¿ ¿ ¿
hay x+y ≥2 Vµ P=t3−3t2 , víi t ≥2
2.11)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x2+y2=xy(x+y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=x3+y39(x+y)6 xy
2.12)Cho a, b, c số thực d¬ng tháa m·n b+c¿
=a(b+c)(a+b+c)
a2+¿
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a3+b3+c3+3(bc2a)(b+c)9(a+b+c) H
ớng dẫn :
Đặt x=a , y=b+c
2.13)Cho x, y, z sè thùc tháa m·n x2
+y2+z2=1 T×m giá trị lớn giá trị nhỏ biÓu thøc P=xy+yz+zx+
xy+yz+zx+2 H
ớng dẫn :
Đặt t=xy+yz+zx , với x2+y2+z2=11
2≤xy+yz+zx≤1 hay t∈[− 2;1] Ta cã P=f(t)=t+
t+2 , víi t∈[− 2;1]
t+2¿2 ¿
t+2¿2 ¿ ¿ ¿
f '(t)=1−4¿
f(0)=2, f(−1 2)=
13
6 , f (1)= Suy Pmax=f(1)=7
3 t=1 hay x=y=z=±
√3
vµ Pmin=f(0)=2 t=0 hay xy+yz+zx=0 vµ x2+y2+z2=1 2.14)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn
x+
1
y=
1
z Chøng minh r»ng x+y
z + z x+y≥
17
4 DÊu “=” xÈy nµo ? 2.15)Cho x, y, z số thực dơng tháa m·n
x+
1
y=
1
z Tìm giá trị nhỏ cđa
(19)2.16)Cho x, y, z lµ số thực dơng thỏa mÃn
x+
1
y=
1
z T×m giá trị nhỏ
biểu thức P=(x+y
z )
3 +( z
x+y)
2.17)Cho x, y, z số thực d¬ng tháa m·n
x+
1
y=
1
z Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa
biĨu thøc P=(x+y
z )
4 +( z
x+y)
2.18)Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn
x+
1
y=
1
z Tìm giá trị nhỏ
biÓu thøc P=√x+y
z +√ z x+y
2.19)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn x2
+y2+2=2(x+y)+xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A=2 xy+xy
x+y Híng dÉn:
Ta cã x+y¿2+4≤2(x2+y2)+4=4(x+y)+2√xy≤5(x+y) ¿
x+y¿2−5(x+y)+4≤0⇔1≤ x+y ≤4
⇒¿
vµ x+y¿
−2(x+y)+2
2 xy+√xy=¿ Suy
x+y¿2−2(x+y)+2−
x+y
A=¿
Đặt t=x+y , với t∈[1;4] Khi A=f(t)=t2−2t+2−4
t ,víi t∈[1;4] f '(t)=2t −2+4
t2=
2t3−2t2+4
t2 =
2(t+1)(t2−2t+2)
t2 >0
Suy maxA=f(4)=8 x=y=2; vµ minA=f(1)=5 x=y=1 2.20)Cho x, y số thực thỏa mÃn x4
+y4=2 xy Tìm giá trị lớn giá trị
nhỏ biểu thức x+y¿
A=xy+3x2y2+2 xy(x2+y2)−¿ Híng dÉn:
Ta cã
x+y¿2 ¿
x2+y2¿2 ¿
x+y¿4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2
x+y¿4≥0⇔0≤¿
x+y¿2−¿
⇒4¿
Vµ
x+y¿2
x+y¿4−2¿
A=¿
(20)Khi 2A=f(t)=t4−2t2 ,với t∈[−2;2]
f '(t)=4t3−4t=0⇔t=0, t=±1
f(0)=0, f(±1)=−1, f(±2)=8 Suy maxA=4 x=y=±1
minA=−1
2 x=
1+√2√7−5
2 , y=
1−√2√7−5
2 hc
x=1−√2√7−5
2 , y=
1+√2√7−5
2 hc x=
−1+√2√7−1
2 , y=
−1−√2√7−1
2 hc
x=−1−√2√7−1
2 , y=
−1+√2√7−1
2
2.21)Cho c¸c sè thùc x ≠0, y 0 thỏa mÃn x4+y4+2=2(x2+y2)+xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A=2x2y2+xy
x2+y2 Híng dÉn:
Ta cã
x2+y2¿2+2≤ x4+y4+2=2(x2+y2)+xy≤5 2(x
2 +y2)
2¿
x2
+y2¿2−5(x2+y2)+4≤0⇔1≤ x2+y2≤4
⇔¿
vµ x
+y2¿2−2(x2+y2)+2−
x2 +y2
A=¿
§Ỉt t=x2+y2 , víi t∈[1;4]
2.22)Cho x, y số thực dơng thỏa mÃn 2(x3+y3)+x3y3=6x2y2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A=4(1
x+
1
y)+
3 xy Híng dÉn:
Ta cã 2(x3+y3)+x3y3=6x2y2⇔4(1
x3+
1
y3)+2=
12 xy vµ
(1x+
1
y)
3
+2≤4(
x3+
1
y3)+2=
12 xy ≤3(
1
x+
1
y)
2 Suy (1
x+
1
y)
3
+2≤3(1
x+
1
y)
2
⇔1≤1 x+
1
y≤1+√3
Đặt t=1
x+
1
y , víi t∈[1;1+√3] Ta cã A=4t+t
2
−t+1−
2t+2 = t
+3t+1− 2t+2 XÐt hµm sè f(t) = t2+3t+1−
2t+2 ,víi t∈[1;1+√3] 2t+2¿2
¿ ¿
f '(t)=2t+3+2 ¿
Suy minA=f(1)=19