TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI _ ĐÈ THI THU - KY THI THPT QUOC GIA NAM 2016
TRUONG THPT CHUYEN Môn thi: TỐN ©
a Thời gian làm bài : 180 phút, không kê thời gian phát dé sett Se th Sel Sự * tye { ve H af ‹
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x”— 2X
Cau 2 (1,0diém) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ƒ&) = V1 — x? + 2x
Câu 3 (1,0 điểm)
7 xdx
I) Tínhtíchphân I= Í ——z—— 0 x+1)vx+1
2) Có 10 mẫu cá biển lấy từ 10 địa điểm khác nhau cần được kiểm tra, trong đó có 6 mẫu khơng an
tồn và 4 mẫu an toàn Lấy ngẫu nhiên 5 mẫu từ 10 mẫu này đề kiểm tra Tính xác suất để trong
5 mẫu được lấy có ít nhất 3 mẫu an toàn
Câu 4 (1,0 điểm) Tìm các căn bậc hai của số phức z=—i
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Óxyz, cho mặt phẳng (P): x — 2y + Z + 5 = 0 và
đường thắng °
x—2 y—2 Z1
d:T— = — —7—
Lập phương trình mặt phẳng (ø) chứa đường thăng đ và vuông góc với mặt phẳng (P)
Câu 6 (1,0 điểm) Giải phương trình :
3sinx + sin2x = 6sin” 5
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp đều S.4BC có cạnh day AB = a, mặt bên (54) tạo với đáy một góc 60° Tính khoảng cách giữa hai đường thằng 4ð, SC và thê tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Goi M là trung điểm của
AB, N là giao điểm của CM với AD Đường thẳng vuông góc với CM tại C cắt đường thẳng AB tai P Gọi /í là hình chiếu vuông góc của M trên NP Biết M(3;6) và phương trình đường thang AH 1a
x—-y+6= 0 Xéc định tọa độ các đỉnh của hình vuông 4BCPD
Câu 9 (/,0 điểm) Tìm nghiệm thực của hệ phương trình: He — 5x + 1) = 6(x - 1)Ÿ xt — x2y — 3x? — y = 4 Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực dương +, y,Z Chứng minh bất đẳng thức : x+1 y+1 z+1_ *x,y,Z + ŠS =m+> +, y+1 z+1 x†+l y 2 x
Trang 2ĐÁP ÁN - THANG DIEM THI THU - Ki THI THPT QUOC GIA 2016 Câu ĐÁP ÁN Điểm ; TM ii
1(,0đ)| Tioc sinh tự giai 1,00
Tập xác định của hats số D=[-I; 1] Ta cé f(x) = Fat 2, với x€(-l;l) Ÿ(x)=0 © 2V1—x?=x 0,50 2 x>0 2 (1,04) = la “z)=xt > x= €(0; 1) 0,50 Ta có f1) = 2, —-L) =— 2, (=) = V5 Suy ra max f(x) = V5, min f(x) = -2 , 2(t—1)t?dt 1) Dat t= eg a x=tP-1 > dx=3t'dt Voix=Othit=1,x=7 thit=2 Khi do /= fi —_ BẠN line CE _ a= 3); ¢ 3) ” s(st : -) | =3(; 3) so 3
(1,0d) | 2) Số phần tử của không = mẫu là N(Q) = Cp 0,25
Goi A là biên cô mà trong 5 mẫu được lây để kiểm tra có ít nhât 3 mẫu an toàn, thì số khả năng thuận lợi cho A là : 025
N(A) = Cả Cệ + C¿.¿ F
: s CỀ.CỆ + CẶ.CẬ 11
Xác suất để trong 5 mẫu được lấy có ít nhất 3 mẫu an toàn là : P(A) = "”.ì == Gia si z=xt yi là căn bậc hai của — ¿ Ta có: (x + yi) =i @ x- ay + 2xyi = —i
Khi đó ta có hệ phương trình tà, = =o 2xy = —1 = Zxy = ~1 aad 0,50
4 go SkS6604960989009966049450698666966669986099459/9940696640990800000000020900090600/000404990409990 5 5 09999997 Q0600006000000000000000000000600060G00000090000000900090000409600eee994090 _ ` — Ế PHNh (1,0đ) | Giải hệ phương trình trên ta có hai nghiệm (x; y) = (: - 2) va (x; y)= (- Š, ` 0.50
Các căn bậc hai của - ¡ là : mm và go HT
22 MU - -
+) Vectơ chỉ phương của đường thắng đ là tự ae 7, 2), vecto php any của (P) 1a Mp (1; -2; 1) 050
5 | +) Vectơ pháp tuyén cua (a) 1a i= [ug, np] = (\7, nÌÌ [i ‘| l 2Ì=d15-2-19) ,
mì a4 1Ơ sa § gy
+) Mặt phẳng (a) chứa đường thẳng đ nên chứa điểm M2; 2; 1) Phương trình mặt phẳng (2) : 0,50
11(x— 2)- 2(y- 2)- 15œ- 1)=0 © 1Ix-2y- 15z- 3 =0
Phương trình đã cho tương đương với: 3sinx + sin2x = 3(1 - cosx) ©_ 3(sinx + cosx) + 2sinx.cosx — 3=0 (*) 4,25 0,25
‘ Đặt t= sinx + cosx, |t|4 V2 = 2sinx.cosx = t?- 1 Khi dé (*) tré thanh: ¿+3t-4=0 với|t|<V2 © t=l
(1,04) 0,50
Với t= l tacó: sinx † cosx= Ì © sin(x +5) = Vr = oe An €7)
+) Gọi H là tâm của tam giác đều 4C Vì hình chóp S.48C đều nên §
SH 1 (ABC) va SA = SB = SC Goi K là trung điêm của AB, ta có CK L 4B, SK 1 AB
Do ((S4B),(ABC)) = 60° nén SKC = 60° Xét tam giac déu ABC, ta có CK= ws 2
Trang 3+) Trục của tam giác ABC la đường thing SH Goi Mla trung diém của SC Trong tam giác SCK kẻ trung trực của cạnh SC cit SH tai O, khi d6 O 1a tam va OS 1a ban kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC (x—y)?x+y+1) _—Z)&~Z)(x+z+1) xy(x +1) + 1) xZ(x + 1)(z + 1) >0: (đúng) Vay bat đăng thức được chứng minh 0,50
Ta có: ASMO ~ ASHC So = 55M = SE =e Vậy thể tích khối cầu la V= 28% = 3⁄43.” (qvạp, 2SH 12 3 1296
+) Tứ giác ACPN ndi tiép nén: CNP = CAP = 45°, N 4
Tứ giác AMHN nội tiếp nên: MAH = MNH = 45° -⁄$Eo
Gọi vectơ chỉ phương của AB là ử = (ø; b) (a? + b° # 0) A B 5
Ta có vectơ chỉ phương của AH là ở = (1; 1) Do (AB; AH) = 45° ` 0,50
nên: |
8 |cos(; @)| = cos 45° => 1; = —— 1) : © ab = 0 = QU, ° :
(1,04) J2(a? +b?) v2
THI a = 0: Chọn b = 1, ta có ử = (0; 1) Khi đó, (AB): x — 3 = 0 Do 4 = AH n AB nên A(3; 9) Do M là trung điểm cua AB nén B(3;3) Do AH Ii BD va AH 1 AC nén AC:x + y — 12 = 0,BD:x — y = 0 Suy ra tâm Ï của hình vuông ABCD có tọa độ là /(6; 6) Từ đó có C(9; 3), D(9; 9)
TH2 b = 0: Chọn a = 1, ta có ï = (1;0) Khi đó, (AB): y — 6 = 0 Do A = AH NAB nén A(0; 6) Do M là trung điểm 0,30 của AB nên B(6; 6) Do AH || BD và AH L AC nên AC: x + y - 6 = 0,BD:x — y = 9 Suy ra tâm I của hình vuông
ABCD có tọa độ là /(3; 3) Từ đó có C(6; 0), D(0; 0)
Ta có xÍ— x'y—3x”—y=4 © x'-(y+3)x’-y-4=0 Dat t= x’ (t > 0), phương trình trở thành:
Ẻ +3 4=0 © eee: (loa), y=xt—4 va y2-4 ”
_f-r sty 4 t=y+4 yx y2-4
Thay y=x?-4 vào phương trình còn lại ta được : (x? — 4)(x? - 5x + 1) = 6(x- iy 025 © (x2~4)[x~4—5(x— 1)]—6(x~- =0 > (x? - 4)? 5x? - 4)( - 1) - 6(X - 1) =0 x 2 £ 3 2 u=—v 9 Đặtu =xÏ-4, v=x— 1, ta có phương trình: u”— 5uv~- 6v' =0 = ly (1,04) -1+21 Vai e u=-v @& x +x-5=0 © x= = : aa / =1+V21 3-y21 +) Với xe tacó y= 2 (TM) -1-V2i 3+ 721 +) Với xe ta có y= >! TM), eô u=6v â xè-6x+2=0 â x=3‡+V7 +) Với x=3 +V7 tacó y= 12+ 6V7 (TM) +) Với x=3—V7 tacó y= 12- 6V7 (TM) 0,25
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm :
(x y)= (HK, = 2”) (= Lo $4178) (3 + 712 + 6V7), (3 - vii 12 - 6y7)
Giả sử được z = min{x; y; z } Khi đó, bắt đẳng thức đã cho tương đương với
i x, FY OH Boy ge, Foe, oF, Be
y+i y Z†+†1 2 xt+1 xX yy+1) z(z+1) = x(x+1)
10 a(2% + [TT lau 100
