Bài tập toán cao cấp tập 2,phép tính giải tích một biến số

N G U Y Ễ N Đ Ì N H TRÍ (chủ biên) TẠ VĂN Đ ĨN H - N G U Y Ễ N H ổ Q U Ỳ N H BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP T Ậ P HAI PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH MỘT BIẾN ( T i h cin l ầ n í h ứ s í u i ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC số —^ ^ ^ G D - 05 /3 3 M ã s ố ; 7K 281T5-D AI LỜI NÓI ĐẦU ' Quyển hài tập trình hày lời giải tập đ ã ĩrong TO Á N H Ọ C C A O CÂP tập hai, phép tính giái ticlĩ hiến s ố tác gid N guyễn Đ ình Trí, Tạ Vân Đĩnh N guyễn H Quỳnh M ột s ố hài tập khác đ ã h ổ sung vào cuối sách có b ổ sung thêm m ộĩ s ố ĩập hỗn hợp c ó tính chát tổng hợp nâng cao N h chúnq ta đ ã biết, (rong học toán, việc hiểu sâu sắc lý ĩhuyếĩ làm thành thạo hài tập có mối quan hệ mật thiết Chính q ĩrình học lý thuyết làm hài tập, từ tập vận dụng dơn gián lý thuyết đến nlìữnq hài tập ngàv khó hơn, chúng tờ dán dẩn hiểu khái niệm toán học mới, nắm phương pháp c bản, n hớ kết q uả Đốỉ với hạn sinh viên dùng sách này, chúng tơi khun hạn tự qidi hài tập đ ã giáo trình ,xem lời giải Ịroniị sách đ ể kiểm tra lại, tự đánh ẹ/đ kết q u học tập M on^ sách giúp bạn hoc tốt tìm nhữn^ lởi ÍỊỈƠỈ hay Quyển sách nàv viếi lấn clắu nên khơng tránh khỏi sai sót ChitnịỊ tơi mong nhận dược V kiến đ ó n ^ ^ỏp độc í^id Xin clìân thành cảm ơn CẢC TÁC GiẢ Chương I SỐ THỰC m A Đ Ể BÀI Dùng kí hiệu tập hợp, biểu diễn tập sau : 1) Các số nguyên dương bé thua 12 2) Các sô' nguyôn dương bội sô bé thua 43 3) C ác phân số có tử s ố mẫu số m ột s ố nguyên dưcmg bé thua Cho F ; = n , 4, 7, 1 G : = 11, 4, Hỏi mệnh đề sau đây, m ệ n h đề : 1)G cF 2) Tập 11,7} tập thực F 3) Tập 11, 4, tập thực ciia G Liệt kê tập tập sau ; I)la ,b ,c } ; )1 ,2 ,3 ,4 C h o A ; = |a, b, c | ; B : = 11, 2, 31 ; c : = |b , c, a | ; D = |3 , 2, | Hỏi : 1) A = c ? 2) A = B ? 3) A tương đương B ? 4) B = D ? Xét xcm tập cho đây, tập vô hạn, tập hữu hạn : 1) Tâp sô' nguyên dương lớn 100 2) Tủp sô' nguyên dương bé thua 000 000 000 3) Tập điểm nằm trôn đoạn thẳng nối liền hai điểm phân biệt A, B Cho A : = I q, r, t, u Ị ; B : = {p, q, s, u I c : = {t,u, V, w Ị 1) T im A n (B u C) (A n B) u (A không ? C) Chúng có 2) Tim A u (B n C) (A u B) n (A u C) Chúng có khơng ? Cho A, B hai tập hữu hạn, chứng minh card (A u B) = card (A) + card (B) - card (A n B) Cho A : = |0 , K | ; B : = {1, 3Ị 1) Tim A X B B X A 2) Tính card (A X B ) ; card (B X A) ; card (A X A ) ; card (B X B) 9, Xét ánh xạ f : R —> R : X1-^ 2x ; f có đơn ánh ? toàn ánh ? 1+ x Tim f(R) ? 10 Dùng lập luận phản chứng, chứng minh >/3 số vỏ tỉ 11 Dùng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh ^ n(n + l) 1) l + + + n== ^ /.2 -.2 n(n + l)(2n + l) 2) r - f ^ + + n^ ^ 12 Xét xem dùng tiên đề tiên đề sổ' thực để c h ứ n g m i n h hệ thức : 1)5+ = + ; 2)9+ = ; 3)-3 + = -3 ; 4) ( - + ) + )(-l)(l) = -l 5)0 + = 0; ) ( - ) + [-(-3)] = : 8) = V^ / = - + (4 + ) ; ; 13^ Dùng định nghĩa "lớn hơn", "bé thua" liên đề thứ tự, chứng minh (giả Ihiếl a, b, c € R) : 1) Nếu a > b c > ac > bc 2) Nếu a > b a + c > b + c 3) Nếu a > - a < 4) Nếu a > 5) Nếu a > b (với a > 0, b > 0) 14, Giải phương trình bấi phương irình : 1) x + = ; 3) x -4 2) ; 6) + 9x 15 Cho A c R ; B c R, định nghĩa : A + B : = { x G R | a € A, b e B, x = a + bỊ AB : = {X G R I 3a G A, 3b B, X = ab I nghĩa A + B tập số ihực có dạng a + b, với a A b € B ;AB tập số thực có dạng ab, với a A b B 1) Giả sử A, B bị chận trẽn, chứng minh : sup (A + B) = sup A + sup B 2) Giả sử A, B bị chận Ircn A c R^, B c chứng minh : sup (AB) = (sup A)(sup B) 16 Xét hội tụ dãy ^— • n Cliứỉiị' lù l ằ n g c c d ã y s a u đ â y h ộ i tụ v l ì m g i ó i h n c ủ a c h ú n g , n> 1: 1) := n+ n +1 2) x „ : = 4) x „ : = n n+1 ^ n +1 18 Tim giới hạn dãy sau (nếu hội tụ) : 1) Xp : = n - _ 3/1 3)X n: = n + v l “ n ; 2) Xn : = V r ũ n T a ) - n ; ; ) X n : = —sin 2 n7i : n - c o s 3n sin 5) X p : = -— n 19 Xél dãy Xp : = Xp_Ị + — ^ , với Xq = ^n-l 1) Chứng minh Xj, khơng có giới hạn hữu hạn 2) Chứng minh lim X n = + o o n —>-H» 20 Xét dãy , với : = 2an_| -f 3bn_j •^n ■ ==^n-1 + b n - i , với 1) Chứng minh 2) Tính x„ + > > ; bp > theo Xp Ị 3) Tính x„ > 0, Ị chứng tỏ dãy Xp đcfn điệu, suy ị x^} - có giới hạn độc lập với a^, 21 Xét hội tụ tìm giới hạn (nếu có) dãy Xp : = - + với = ^n -l 22 Cho hai số a b Ihoả < a < b, xét hai dăy X n — V^^n-iyn-l ; với Xq = a yn : = ^(Xn-1 + y n -1 ) = b, Chứng minh hai dãy hội tụ có chung giới hạn 23 Xét hội tụ dãy : x„ : = %/• + ^n -l ' 24 Đạt x^; = x„ thoà hệ thức (3 + x „ _ i ) x „ + = Chứng tỏ Xp hội tụ tìm giới hạn cù a Xp B L Ờ I G IẢ I I I ) ịn € N 2) | n N 3) I n < 121 n = 4k ; k = 1, 2, lOỊ n = 1, 2, , • 1) ; 2) ; 3) sai % 1) | a , b, cỊ ; |a , b | ; |a, cỊ ; |b , cỊ ; |a} ; Ib ị ; (cỊ ; ộ 2) { , , , ; { , 2, 3} ; 1 , , } ; | , Ị ; | 2, 3, 4} ; 11, 2} ; | , Ị ; | , | ; 12 31 ; 12, 4} ; Ị , | ; I K ; | | ; | Ị ; | | ;()> 1) ; 2) sai ; 3) ; 4) 1) vô hạn ; 2) hữu hạn ; 3) vô hạn 1)B u c = Ip, q, s, u, l, V, w | A n (B C) = Iq, t, uỊ ; A n B = Iq, u | A n c = |t, u | , (A n B) u (A n C) = Iq, t, uỊ Vậy A n (B C) = (A n B) 2) B n c = I u I ; A (A n C) B = {q, r t, u, p, s I A ^ C = (q, r, t, u V, w | , A u (B C) = Iq, r, t, u | (A u B) n (A C) = {q, r, l, u | Vậy A u (B n C) = (A B) n (A u C) Gọi card (A) = m ; card (B) = n ; card (A n B) = p Khi đ ó, V! A u B = (A n B) u (B n A ) u (A n B) nên : card (A u B) = card ( A n B) + card (B n A ) + card (A n B) = (m -p) + (n -p ) + p = m + n - p nghĩa card (A u B) = card (A) + card (B) - card (A n B) 1) A X B = {(0, 1), ( , X ( , ) , ( U X ( , 1), (2,3)1 B X A = 1(1, 0), (1, 1), (1, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2)Ị 2) card (A card (B X X B) = card (B X A) = ; card (A X A) = ; B) = 2x 9, f khơng đơn ánh với < y < ỉ, phương Irình 1+ x hai nghiệm, f khơng lồn ánh với 2x y > phương trình = y ^ yy} - 2x -ỉ“ y = (ẩn x) vô nghiệm Ngoài ra, theo + x" bất đẳng thức Cauchy : 1+ >2 X , đạt dấu = 1< 2x = 1, ln có X /3 ĩĩiộl số hữu tỉ, đố viết \ / ĩ = — : m n n 2 số ngun dương chi có ước sơ' chung ; !ừ : m = 3n ; m chia hết cho 3, m chia hêì cho 3, có thê viết m = 3k 2 2 với k nguyên dưcmg ; suy m = 9k = 3n , nghĩa n = 3k , n chia hết cho ; n chia hết cho ; nghĩa m n có 10 ước số chung ; đicu mâu thuẫn với giả thiết Vậy y / ỉ m ột số vô tỉ 1 ) Hiển nhiên cỏng Ihức với n = ; giả sử công thức đú ng với n = k, chứng minh công thức với n = k + Thậl vậy, cơng ihức với n = k nên có k(k + l) suy + + H k k + = (k + l)(k + 2) (k + 1) kík + n ^^ + ( k + l) 2) Công Ihức hiển nhiên với n = ; giả sử công thức với n = k, nghĩa giả sử có : Khi : 1^ + ^ + „ + k ^ + ( k + n = (k + l) k(2k + l) ' + + (k + l) (k + l)(2k^ + k + 6) _ (k-t -l )[2k(k + 2) + j ( k + 2)] (k + l)(k + 2)(2k + 3) “ ' Hô thức cuối chứng tỏ công thức với n = k + 12 1) Giao hoán ; 2) Đồng ; 3) Đổng ; 4) Kết hợp ; 5) Đ ; 6) Đổng n h ấ t ; 7) Nghịch đảo ; 8) Nghịch đảo 11 13 1) ac “ bc = (a - b)c (kết hợp) a > b = > a - b > , ( a - b)c > (liên đề 8) 2) Ln c ó a - b = a + c “ c - b = (a + c ) - ( b + c) a - b > (theo giả thiết) => (a + c) - (b + c) > =:>a + c > b + c 3) Theo định nghĩa a < - ( - a ) = a > Từ giả thiết a > 0, suy 4) Nếu a > => 5) kết luận > ; a < = > - a > = > a ^ > o > o (a ~ b)(a + b) > 0, bất đẳng thức cuối hiển nhiên a > b (giả thiết) a + b > 14 1) | x + 3| = 7(x + 3)^ = ^ » ( x + 3)^ - 7^ = o (x + - ) ( x + + 7) = o ( x - ) ( x + 10) = Xị = ; X2 = “ 10 2) 12x - | = 14( x - ) ^ = (14)^ Xj = - ; X-? = 10 3) |x~4| ; B > 0), dùng định nghĩa cận suy sup (AB) = (supA)(supB) 16 n -f-1 > n => ^ n ^ > =:> Xp > I Mặt khác Xp < n lẻ Xj^ > n chẵn, khơng thể lổn lim n—>oo 17 1) = iL tl- Ị n , dãy ( Ị phân kì J_ - dãy IXj^} giảm bị sớ chặn dưới, n U n l hội lụ n n +1 - , , V, ■ - ) Xn = — = - -= ^— ; dãy { lảng 01 sô I chân n+ỉ n+1 n+1 nèn ịXpl hội tụ 3) \ p “ — L n^+ỉ , ịx ^ \ giảm < x„ , d o đ ó |Xj,Ị h ộ i tụ 4) Xj^ = — 5— = — , mảu số x„ tăng vơ hạn, 1x^1 hội n +1 n+_ n tụ đến 13 18 I) n == n+ ì_ 1+ n n n +an-n 2) yjn(n + a) + n an n 1+Jl + a n _ }f, u _ (n + ^ l - n ^ ) ( n ^ - n ^ l - n ' * + ^ ( l - n^) ^) ) X n = n + V l - n = - , , ' -r - +1 - n^ -^0 n^-nỉ/l-n3+^(l-„3)2 4) Khi n - > oo sin— khơng xác định, dãy Xj^ n n7ĩ —sin — 2 phân kì 5) sin n - c o s n - - < ~ = ^ n n lim n— 19 1) Từ định nghĩa suy I x„ I tâng ; =0 > 1, Vn ; giả sử lim = /, n —> 1) Khi đó, theo định lí vể giới hạn theo biểu thức ta có : / = / + -=>- = / / Phương innh - = vO nghiẽm, d o dó hữu hạn 2) Vì x ^ > 1, lXj,} tăng nên lim x„ = +00 n-^ +o o 14 khồng Ihé có giới luiii 20 1) Từ biểu ihức định nghĩa, có : + 3b^ > 0, b| = a„ + b^5 > (vì a„ > ; Bị = suy > 0) > 0, bj, > 0, Vn 2) TTieo định nghĩa : X ^ ^n+l ^ a n + b n ^ x „ + bn+1 an+2bn x„+2 2x + (chia tử mẫu cho bn > 0) ; Xn+1 = — ' —T"" x„+2 _v _ ^^n+3 _ ( N / - X n X ^ + Xn) ’‘" “ x „ + x„+2 Vì X[, = — > nên dâu bn - Xp dấu cùa y Í - \ f ị , măt khác, từ câu 2), có : ^/5 ^ ^ n - + ^ 3X n _ | + 2n/3 - 2Xn_i - x„_i+2 x„_i+2 CÓ thể viết lử số phân số (hành V X p _ j “ Xj-j_Ị + > / “ Xp„Ị + > ^ — = (V 3-l)X n_, + > /3(l-V 3) + N ^-X n_i = ( V - l) ( X n _ i - \ f ì ) + y ỉ ĩ - \ „ _ ị = ( - x„_, )(1 + i - V ) = (>/3 - Xn _ | )(2 - ^/3) Do vậy, dấu V3 - x„ dấu cùa -X n_| ; tiếp tục suy diễn, có dấu V3 - x„ dấu cùa s/ĩ - Xo- Khi • Nếu \ / - X o > = > | X n Ị tang bị \Ỉ3 chặn trơn I x„ I hội tụ, nữa, từ hộ thức 15 ^n+1 suy +2 lim Xp = V3 n -^00 >/3“ X(^ < = > |XpỊ giảm {Xnl bị \Í3 chận dưới, • Nếu = >/3 suy lim n-^00 • Nếu >/3 - x„ = => Xn =yÍ3 ■ Vậy trường hợp có lim x„ = \/3 n —>00 21 Trước hết để ý có giới hạn / lừ hộ thức định nghĩa suy : /4 Hơn X(5 = nên / > 1, suy / nghiệm duơng phương trình bậc hai - - = Nghĩa / = Bây ta chứng minh dãy (x^Ị hội lụ Thật vậy, ta biểu diễn x ^+1 theo Xj^_| : _ 2 2Xn_| ^n-1 x_ ^n+1 - ^ ^n-1 Xn-l+2 yX „ ^n+1 Do x„_| > => Xn+I > 16 ^n-1 ~ ~^n-l ^n-1 ^ X„_1 + Hơn nữa, dấu + x^„l + Xp ^ Ị - x ^ _ Ị dấu tam thức bậc hai Suy lìếu x „ _ | > Xn+| Xp_) Như th ế dãy | x pl tăng (theo p) bị số chặn vl Xo < dãy | x p+i} giảm bị chận số' Xị = Cả hai dãy xen kẽ có chung giới = hạn lim n —^oo 22 Sẽ chứng minh IXpl lảng Ịy,^) giảm : >1 a X| y, - a = b - y , = b-a a > (vì < a < b) Suy Xp X ^ > Vn Vậy Xp có giới hạn / thoả / = s/l + / , lức !à / nghiệm lớn hofii cùa phương trình / /-1 = ; / Do / = 11^5 \+^f5 24 Bằng quy nạp, chứiig minh ràng theo n lãng, |Xf^|< 1, < 0, n > ỉ, lừ đó, Xp giảm > - l , từ suy |x,^Ị tu, goi / = lim Xp / nghiêm ÍỚII “ “ phirm^g trình n —ịoc x^+3x + ỉ=0 Vậy lim n —>oo 18 =/- -3 + 7? ... H BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP T Ậ P HAI PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH MỘT BIẾN ( T i h cin l ầ n í h ứ s í u i ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC số —^ ^ ^ G D - 05 /3 3 M ã s ố ; 7K 281T5-D AI LỜI NÓI ĐẦU ' Quyển hài tập. .. GiẢ Chương I SỐ THỰC m A Đ Ể BÀI Dùng kí hiệu tập hợp, biểu diễn tập sau : 1) Các số nguyên dương bé thua 12 2) Các sô' nguyôn dương bội sô bé thua 43 3) C ác phân số có tử s ố mẫu số m ột s ố... ó tính chát tổng hợp nâng cao N h chúnq ta đ ã biết, (rong học toán, việc hiểu sâu sắc lý ĩhuyếĩ làm thành thạo hài tập có mối quan hệ mật thiết Chính q ĩrình học lý thuyết làm hài tập, từ tập