Bài giảng toán cao cấp 1 Học phần giải tích dành cho khối kinh tế

Bài giảng toán cao cấp 1 Học phần giải tích dành cho khối kinh tế, tài liệu dành cho các bạn nghiên cứu, tham khảo, cũng như tìm hiểu trong quá trình học của mình về môn học toán cao cấp 1 Học phần giải tích dành cho khối kinh tế

TËp ®oµn b­u chÝnh viÔn th«ng viÖt nam Häc viÖn c«ng nghÖ b­u chÝnh viÔn th«ng

Bµi gi¶ng To¸n cao cÊp 1

(Häc phÇn gi¶i tÝch)

(Dành cho khối ngành kinh tế)

Biªn so¹n: NguyÔn ThÞ Dung

Hµ Néi - 2013

PTIT

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 3

Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 6

1.1 Dãy số thực 6

1.1.1 Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn 6

1.1.2 Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì 6

1.1.3 Tính chất của dãy số hội tụ 7

1.2 Các khái niệm cơ bản về hàm số 9

1.2.1 Các khái niệm cơ bản 9

1.2.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản 11

1.3 Giới hạn của hàm số 12

1.3.1 Định nghĩa giới hạn hàm số 12

1.3.2 Tính chất của hàm số có giới hạn 14

1.3.3 Một số giới hạn đáng nhớ 17

1.3.4 Đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn 18

1.4 Hàm số liên tục 21

1.4.1 Khái niệm hàm số liên tục 21

1.4.2 Các phép toán trên các hàm số liên tục 21

1.4.3 Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng 23

Bài tập 24

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 28

2.1 Đạo hàm của hàm số 28

2.1.1 Khái niệm đạo hàm 28

2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 29

2.1.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 30

2.2 Vi phân của hàm số 33

2.2.1 Định nghĩa vi phân 33

2.2.2 Các quy tắc tính vi phân 33

2.2.3 Áp dụng vi phân để tính gần đúng 33

2.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao 34

2.3.1 Đạo hàm cấp cao 34

2.3.2 Vi phân cấp cao 36

2.4 Các định lí giá trị trung bình 37

2.4.1 Định lí Fermat 37

2.4.2 Định lí Rolle 37

2.4.3 Định lí Lagrange 38

2.4.4 Định lí Cauchy 39

2.4.5 Công thức Taylor, công thức Maclaurin 39

2.5 Một số ứng dụng của đạo hàm 40

2.5.1 Sử dụng qui tắc Lôpitan để tính các giới hạn dạng vô định 40

2.5.2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số 43

2.5.3 Cực trị của hàm số 44

2.5.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đóng 45

Bài tập 46

PTIT

3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 51

3.1.1 Nguyên hàm của hàm số 51

3.1.2 Tích phân bất định 51

3.1.3 Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 52

3.1.4 Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định 53

3.1.5 Tích phân của các hàm hữu tỉ 56

3.2 Tích phân xác định 61

3.2.1 Khái niệm tích phân xác định 61

3.2.2 Điều kiện khả tích 63

3.2.3 Tính chất của tích phân xác định 64

3.2.4 Liên hệ với tích phân bất định 65

3.2.5 Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định 67

3.3 Tích phân suy rộng 70

3.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 70

3.3.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn 73

Bài tập 75

Chương 4: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 79

4.1 Các khái niệm cơ bản 79

4.1.1 Tập hợp n, khoảng cách, lân cận, tập mở, tập đóng, tập bị chặn 79

4.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của hàm nhiều biến 79

4.1.3 Giới hạn của hàm số nhiều biến 80

4.1.4 Sự liên tục của hàm số nhiều biến 82

4.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 83

4.2.1 Đạo hàm riêng 83

4.2.2 Đạo hàm riêng của hàm số hợp 84

4.2.3 Vi phân toàn phần 85

4.2.4 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 89

4.2.5 Đạo hàm của hàm số ẩn 92

4.3 Cực trị của hàm nhiều biến 95

4.3.1 Cực trị không có điều kiện ràng buộc 95

4.3.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn 99

Bài tập 100

Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 103

5.1 Khái niệm chung về phương trình vi phân 103

5.2 Phương trình vi phân cấp một 103

5.2.1.Đại cương về phương trình vi phân cấp một 104

5.2.2 Cách giải một số phương trình vi phân cấp một 105

5.3 Phương trình vi phân cấp hai 112

5.3.1 Các khái niệm cơ bản 112

5.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 113

Bài tập 126

ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý 129

Tài liệu tham khảo 141

PTIT

LỜI NÓI ĐẦU

Toán cao cấp 1 là một trong những môn học đầu tiên của sinh viên khối ngành kinh tế Học phần này bao gồm những nội dung sau:

Chương 1: Hàm số và giới hạn

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 3: Phép tính tích phân

Chương 4: Hàm số nhiều biến số

Chương 5: Phương trình vi phân

Chương 1 trình bày những khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số một biến, giới hạn hàm một biến và hàm số một biến liên tục

Chương 2 và chương 3 gồm các nội dung về đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm một biến Chương 4 dành cho hàm số nhiều biến số

Chương 5 trình bày những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân và cách giải một số phương trình vi phân cấp một, cấp hai

Các nội dung trên được lựa chọn nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân, phương trình vi phân Nhờ đó, sinh viên có kiến thức nền tảng để học tiếp các môn xác suất thống kê, toán kinh tế, kinh tế lượng và sau này biết vận dụng nghiên cứu các vấn đề chuyên môn của mình

Vì thời gian dành cho môn học không nhiều nên bài giảng Toán cao cấp 1 không quá đi sâu vào lí thuyết, nhiều định lí không được chứng minh, sinh viên có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo

Để cho việc tự học của sinh viên được dễ dàng hơn, tác giả đã đưa thêm một số ví dụ minh họa vào bài giảng, từ đó sinh viên có thể hiểu lí thuyết và tự giải các dạng bài tập tương tự

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Toán đã đọc và cho nhiều ý kiến sâu sắc liên quan đến nội dung bài giảng

Chắc rằng bài giảng vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được thêm những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Tác giả xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2013

PTIT

Dãy số thường được viết dưới dạng  u n hoặc u u1, 2, ,u n,

u gọi là số hạng tổng quát của dãy số n  u n

Dãy số tăng hoặc giảm gọi là dãy số đơn điệu

Dãy số tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là dãy số đơn điệu ngặt

Định nghĩa:

Ta nói rằng dãy

 u n bị chặn trên nếu  A sao cho u n A,  n 

 u n bị chặn dưới nếu  B sao cho u n B,  n 

 u n bị chặn nếu tồn tại M  sao cho u n M ,  n 

Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì

 Dãy  u n được gọi là có giới hạn  nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại số

Chương 1: Hàm số và giới hạn

Dễ thấy lim n

1.1.3 Tính chất của dãy số hội tụ

A Tính duy nhất của giới hạn

Định lí 1.1: Nếu dãy  u n có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

B Tính bị chặn

* Dãy  u n hội tụ thì bị chặn trong tập

C Tính chất đại số của dãy hội tụ

E Tính chất của dãy số đơn điệu

1 Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

2 Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

3 Dãy  u n tăng và không bị chặn trên thì dần đến 

4 Dãy  u n giảm và không bị chặn dưới thì dần đến 

PTIT

Chương 1: Hàm số và giới hạn

Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng   1 1

n n

n n

k n

n k

n

n n

n n n

n n

n n n n

n n n

n n

n

n

11

11

!

11

1

21

11

!

11

2.1

)1) (

1(1

3.2.1

)2)(

1(12.1

)1(11

Nhận xét: e n1nhiều hơn e một số hạng dương và từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của n e nhỏ n

hơn số hạng tương ứng của e n1 (vì

1

11

11

12

12

!

1

!3

1

!2

112

n



Dãy  e n tăng và bị chặn trên nên hội tụ

Gọi giới hạn của  e n là số e , có lim 1 1

x )

1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Chương 1: Hàm số và giới hạn

X được gọi là tập xác định của hàm số f

Phần tử xX được gọi là biến số

Số thực y f x( ) gọi là giá trị của hàm số f tại x (hay gọi là ảnh của x bởi hàm số f )

Tập f X( )f x( ) :xX gọi là miền giá trị của hàm số f

Người ta thường kí hiệu hàm số dưới dạng công thức xác định ảnh là y f x( ). Khi

đó miền xác định X của hàm số là tập hợp các phần tử x làm cho biểu thức f x( ) có nghĩa.

theo thứ tự gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số f g,

Ngoài ra, nếu g x ( ) 0 với  x X thì hàm số f : X

gọi là thương của hai hàm số f g ,

C Các hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu

Định nghĩa:

Giả sử X là tập số thực sao cho  x X với  x X và f là hàm số xác định trên X

f được gọi là hàm số chẵn nếu f x( ) f(x),  x X

f được gọi là hàm số lẻ nếu f x( ) f(x) ,  x X

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục hoành, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc O

Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên X

f được gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại số  0 sao cho với mọi xX,ta có:

PTIT

Chương 1: Hàm số và giới hạn

x + X và f (x + ) =f (x)

Số T dương bé nhất trong các số  gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f x( )

Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên X , f được gọi là

tăng trên X nếu: (x x1, 2X x) 1x2  f x( )1  f x( )2

tăng ngặt trên X nếu: (x x1, 2X x) 1x2 f x( )1  f x( 2)

giảm trên X nếu: (x x1, 2X x) 1x2  f x( )1  f x( )2

giảm ngặt trên X nếu: (x x1, 2X x) 1x2  f x( )1  f x( )2

f được gọi là hàm số đơn điệu trên X nếu nó tăng hoặc giảm trên X

f được gọi là đơn điệu ngặt trên X nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt trên X

Định nghĩa:

Hàm sốf (x) được gọi là

bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho: ( )f x  A,  x X

bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: ( )f x B,  x X

bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho B f x( ) A,  x X

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất

4 Các hàm số lượng giác: f x( )s in , ( )x f x cos , ( )x f x tan , ( )x f x cotx

5 Các hàm số lượng giác ngược:

f x( )arcsin , ( )x f x arccos , ( )x f x arctg , ( )x f x arccotgx

 Hàm arcsin là hàm số ngược của hàm sin: ,  1,1 

Như vậy, yarcsinx xsin y

 Hàm arccos là hàm số ngược của hàm số cos : 0,   1,1 

PTIT

Chương 1: Hàm số và giới hạn

arccos : 1,10,

xarccosx

Như vậy, yarccosxxcos y

 Hàm arctan là hàm số ngược của hàm số tan : ,

Như vậy,yarctanxxtan y

 Hàm arccot là hàm số ngược của hàm cot: (0, ) 

tồn tại một số dương  sao cho:

B Định nghĩa giới hạn một phía

 Cho hàm số f xác định trên khoảng X ( , ).x b0

Số thực l được gọi là giới hạn phải của hàm số f x( ) tại x nếu với mỗi số dương 0  cho trước

bé tùy ý, tồn tại một số dương  sao cho:

 Cho hàm số f xác định trên khoảng X ( ,a x0)

Số thực l được gọi là giới hạn trái của hàm số f x( ) tại x nếu với mỗi số dương 0  cho trước bé tùy ý, tồn tại một số dương  sao cho:

Chương 1: Hàm số và giới hạn

1.3.2 Tính chất của hàm số có giới hạn

A Sự liên hệ với dãy số

Định lí 1.2: Giả sử ( , )a b chứa điểmx và0 f là hàm số xác định trên tậpX ( , ) \a b  x0 Khi đó

  thì f (x) bị chặn trong một lân cận đủ bé của x x0( x0).

D Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp

Nếu cl thì c f x( ) với mọi x đủ gần x x0( x0)

Nếu ld thì ( )f x d với mọi x đủ gần x x0( x0)

Nếu c l d thì c f x( )d với mọi x đủ gần x x0(  x0)

Nếu c f (x) với mọi x đủ gần x0 (xx0) thì cl

Nếu f(x)d với mọi x đủ gần x0 (xx0) thì ld

Nếu c f(x)d với mọi x đủ gần x0 (xx0) thì c l d

Định lí được chứng minh bằng phản chứng (Dựa vào định lí 1.5)

Định lí 1.7: (Nguyên lí kẹp)

Cho ba hàm số f g h, , thoả mãn các điều kiện:

f(x)g(x)h(x) với mọi x trong lân cận nào đó của x 0

E Các phép tính đại số của hàm có giới hạn

Định lí 1.9: (Trường hợp giới hạn là hữu hạn)

PTIT

G Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp

Định lí 1.10: Nếu hàm số sơ cấp f x( ) xác định tại x thì 0

sinlim



  thì  gọi là VCB cấp cao hơn tại x , kí hiệu 0  o() tại x 0

Khi đó,  gọi là VCB cấp thấp hơn  tại x 0

m i i n

j j

x

x x x

Giả sử f là VCL cấp cao nhất trong các VCL f i i, 1, 2, ,m

g là VCL cấp cao nhất trong các VCL g j, j1, 2, ,n, tại x 0

m i i n

j j

Chẳng hạn:

* Với f x( )x2x3,g x( )x2x3, f x1( )g x1( ) x2

Ta có: f g và f1 g khi 1 x 0 nhưng f x( ) f x1( ) x3 không tương đương với

3 1

g x g x x khi x 0.

PTIT

Chương 1: Hàm số và giới hạn

* Với f x( )x3x2, g x( )x3x2, f x1( )g x1( ) x3

Ta có: f g và f1 g khi x   nhưng 1 f x( ) f x1( ) x2 không tương đương với

2 1

g x g x x khi x  

1.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC

1.4.1 Khái niệm hàm số liên tục

A Hàm số liên tục tại một điểm

C Điểm gián đoạn của hàm số

Nếu hàm số f không liên tục tại x thì 0 x gọi là điểm gián đoạn của hàm số f 0

D Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số f được gọi là liên tục trên ( , )a b nếu f liên tục tại mọi x( , ).a b

Nếu hàm số f liên tục trên khoảng mở (a,b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a thì ta nói f

liên tục trên đoạn [a,b]

Định nghĩa được phát biểu tương tự trong các trường hợp f liên tục trên a b ,,  a b , 

1.4.2 Các phép toán trên các hàm số liên tục

Chương 1: Hàm số và giới hạn

Định lí 1.11: Cho các hàm số f g, : X  , x0X, 

1 Nếu f (x) liên tục tại x thì 0 f (x) liên tục tại x 0

2 Nếu f x( ), ( )g x liên tục tại x thì 0 f(x)g(x) liên tục tạix 0

3 Nếu f (x) liên tục tại x thì 0 f (x) liên tục tại x 0

4 Nếu f x( ), ( )g x liên tục tại x thì 0 f x g x( ) ( ) liên tục tạix 0

5 Nếu f x( ), ( )g x liên tục tại x và 0 g x( )0  thì 0 ( )

( )

f x

g x liên tục tại x 0. Định lí trên cũng được phát biểu tương tự với các hàm liên tục trên khoảng X

2

2

5lim 1





 

Định lí 1.13: Giả sử hàm số f x( ) liên tục và tăng ngặt (giảm ngặt) trên khoảng X Khi đó f là một song ánh từ X lên khoảng f X( )Y Hàm số ngược f1:Y X cũng là hàm liên tục và

tăng ngặt (giảm ngặt) trên Y

Định lí 1.14: Nếu hàm số sơ cấp f x( ) xác định tại x thì liên tục tại 0 x 0

1.4.3 Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng

Định lí 1.15: Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa f a( ) và

( )

f b (nghĩa là nếu  là một số thực nằm giữa f a( ) và f b( ) thì  c a b,  sao cho f c( ))

Hệ quả: Giả sử f liên tục trên a b Nếu ,  f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c( , )a b

Chương 1: Hàm số và giới hạn

Ví dụ 1.20: Cho f :a b, a b,  là hàm số liên tục trên a b , 

Chứng minh rằng tồn tại ca b,  sao cho f c( )c

 f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a,b]

1.4.4 Một vài giới hạn liên quan tới số e

Ta có một số giới hạn cơ bản sau:

x

e x

a

a x

e x

Chương 1: Hàm số và giới hạn

BÀI TẬP 1.1 Bằng định nghĩa, hãy tìm giới hạn của các dãy có số hạng tổng quát sau:

n



 1.2 Tìm giới hạn của các dãy có số hạng tổng quát sau:

c) f x( )arccos(2 sin )x ; d) f x( ) 4lg(tan )x

1.8 Tìm miền giá trị của các hàm số:

a) f x( ) 2xx2 ; b) f x( )lg(1 2 cos ) x ;

PTIT

2lim

c)

12

12lim 50

x

1.14 Tìm các giới hạn

PTIT

x ; b)

12lim

4 3

x

11

.1lim

a)

a x

a x

3cos.2cos.cos1

3

coscos

2lim 2

2

12

13

lim ; b)

1 1

2 2

1

1lim

1 tan

lim

1 sin

x x

x x

Chương 1: Hàm số và giới hạn

c)

x x

ln 3

x

x x

e e

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 2

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

2.1.1 Khái niệm đạo hàm

A Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa: Giả sửf là một hàm số xác định trên khoảng ( , ) a b , x0 ( , ).a b Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

Khi đó ta nói f khả vi tại x 0.

Nếu hàm số được kí hiệu là y f x( ) thì đạo hàm của hàm số tại x còn được kí hiệu là 0

0 0

sin 2

( ) ( ) lim

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải của f tại x Kí hiệu là 0. f p ( ).x0

Khi đó ta nói f khả vi phải tại x 0.

2 Giả sử hàm số f xác định trên a x Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn , 0

0

0 0

( ) ( ) lim

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Khi đó ta nói f khả vi trái tại x 0.

Nhận xét: f khả vi tại x  f khả vi trái, khả vi phải tại 0 x và 0

0 ,

1 sin ) (

x

x x

x x f

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

f không khả vi tại 0 vì giới hạn

   không tồn tại

b) Nếu f khả vi phải (hoặc trái) tại x thì f liên tục phải (hoặc trái) tại 0 x 0.

D Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu f khả vi tại x thì tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại điểm 0 A x( , ( )).0 f x0 Tiếp tuyến này không song song với trục Oy và có hệ số góc là f x ( ).0

E Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Định nghĩa: Giả sử hàm số f khả vi tại mọi điểm x ( , ).a b Hàm số

Hàm số sin x có đạo hàm là hàm số cos x trên (Xem ví dụ 2.1)

* Nếu f  liên tục trên ( , ) a b thì ta nói f khả vi liên tục trên ( , ) a b

Giả sử f X : đơn điệu ngặt, liên tục trên X , khả vi tại x0X và f x ( 0)  0

Khi đó hàm ngược của f là f1: (f X) X khả vi tại f x và ( 0)

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

 Các định lí trên được phát biểu tương tự với đạo hàm trên một khoảng

Ví dụ 2.4: Tìm đạo của hàm số y arcsinx trên khoảng (1,1)

theo các công thức tính đạo hàm của hàm số ngược và hàm số hợp, ta có:

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

1

( 1)

x x

y

x x

2

2

1 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

2.2 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

2.2.1 Định nghĩa vi phân

A Vi phân của hàm số tại một điểm

Giả sử hàm số f khả vi tại x0X Khi đó

f x( 0 x)  f x( 0)  f x ( 0)  x o( x) (theo định lí 2.1)

Vi phân của f tại x kí hiệu là 0 df x và xác định bởi công thức ( )0

df x( )0  f x ( ).0 x

Như vậy, f x( 0 x)  f x( )0 df x( )0 o( x) (2.1)

* Xét hàm số f(x)  x trên , f x ( ) 1  với x   dx  1. x.

Từ đó, ta còn viết df x( )0  f x dx ( )0

B Vi phân trên một khoảng

Cho hàm số f khả vi trên ( , ) a b  X.Vi phân của f trên ( b a, ) là ánh xạ df xác định bởi

.

(1 ) 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Nhận xét: Biểu thức vi phân có tính bất biến

1 Cho hàm số y f x( ) khả vi trên X, khi đó f x ( ) là hàm số xác định trên X Đạo

hàm của f x ( ) tại x gọi là đạo hàm cấp hai của f tại 0 x , kí hiệu 0 f ( )x0 hoặc y x ( ).0

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

k n k k n n

g f C fg

0

) ( ) ( )

Giả sử công thức đúng với n, ta có

100 0

200 ) 50 sin(

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

1 Nếu hàm số f khả vi đến cấp n tại x0X thì biểu thức f( )n ( )x dx gọi là vi phân 0 n

cấp n của f tại x , kí hiệu 0 d f x n ( )0 , trong đó dx là vi phân của biến