Bài giảng TOÁN KỸ THUẬT Giáo trình này đã được Học viện ban hành và sử dụng làm tài liệu chính để giảng dạy và học tập từ năm 2005 đến năm 2012. Năm 2012 Học viện ban hành đề cương chi tiết môn học theo hướng tín chỉ. Với hình thức đào tạo này đòi hỏi sinh viên phải tự học tập nghiên cứu nhiều hơn. Tập bài giảng này được biên soạn lại cũng nhằm đáp ứng yêu cầu đó
HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG PGS.TS LÊ BÁ LONG Bài giảng TOÁN KỸ THUẬT dùng cho sinh viên ngành điện tử - viễn thông HÀ NỘI 2013 LỜI NĨI ĐẦU Tập giảng Tốn kỹ thuật biên soạn lại sở giáo trình tốn chun ngành dành cho sinh viên ngành điện tử viễn thông Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng tác giả TS Vũ Gia Tê biên soạn từ năm 2005 Giáo trình Học viện ban hành sử dụng làm tài liệu để giảng dạy học tập từ năm 2005 đến năm 2012 Năm 2012 Học viện ban hành đề cương chi tiết mơn học theo hướng tín Với hình thức đào tạo đòi hỏi sinh viên phải tự học tập nghiên cứu nhiều Tập giảng biên soạn lại nhằm đáp ứng yêu cầu Nội dung chương “phương trình đạo hàm riêng” giáo trình cũ thay khái niệm trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov trình dừng Đây nội dung toán học cần thiết việc ứng dụng để xử lí tín hiệu ngẫu nhiên toán chuyển mạch Tập giảng bao gồm chương Mỗi chương chứa đựng nội dung thiết yếu coi công cụ toán học đắc lực, hiệu cho sinh viên, cho kỹ sư sâu vào lĩnh vực điện tử viễn thông Nội dung tập giảng đáp ứng đầy đủ yêu cầu đề cương chi tiết môn học Học viện duyệt Chúng chọn cách trình bày phù hợp với người tự học theo hình thức tín Trong chương chúng tơi cố gắng trình bày cách tổng quan để đến khái niệm kết Cố gắng chứng minh định lý mà cần địi hỏi cơng cụ vừa phải không sâu xa chứng minh định lý mà trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu chất định lý giúp người đọc dễ dàng vận dụng định lý Các định lý khó chứng minh dẫn đến tài liệu tham khảo khác Sau kết có ví dụ minh họa, chúng tơi đưa thêm nhiều ví dụ so với giáo trình trước Hy vọng qua nhiều ví dụ sinh viên dễ dàng tiếp thu kiến thức Cuối phần thường có nhận xét bình luận việc mở rộng kết khả ứng dụng chúng Tuy nhiên không sâu vào ví dụ minh hoạ mang tính chuyên sâu viễn thơng hạn chế chúng tơi lĩnh vực vượt khỏi mục đích tài liệu Hệ thống tập cuối chương đa dạng đầy đủ từ dễ đến khó giúp sinh viên luyện tập tự kiểm tra tiếp thu kiến thức Thứ tự Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, đánh số theo loại chương Chẳng hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 ví dụ thứ hai định nghĩa chương 3… Nếu cần tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa chúng tơi rõ số thứ tự ví dụ, định lý, định nghĩa tương ứng Các công thức đánh số thứ tự theo chương Một số nội dung tập giảng sinh viên học học phần giải tích 1, giải tích 2, đảm bảo tính chất hệ thống tác giả trình bày lại Vì với thời lượng ứng với tín mơn học giảng viên khó có đủ thời gian để trình bày hết nội dung tập giảng lớp Tác giả đánh dấu (*) cho nội dung dành cho sinh viên tự học Vì nhận thức tác giả chuyên ngành Điện tử Viễn thơng cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót việc biên soạn tài liệu này, chưa đưa hết cơng cụ tốn học cần thiết cần trang bị cho cán nghiên cứu chuyên ngành điện tử viễn thông Tác giả mong đóng góp nhà chun mơn để tập tài liệu hoàn thiện Tuy tác giả cố gắng, song thời gian bị hạn hẹp, nên thiếu sót cịn tồn tập giảng điều khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến bạn bè, đồng nghiệp, học viên xa gần Xin chân thành cám ơn Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS Phạm Ngọc Anh, TS Vũ Gia Tê, Ths Lê Bá Cầu, Ths Lê Văn Ngọc đọc thảo cho ý kiến phản biện quý giá Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, bạn bè đồng nghiệp khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để hoàn thành tập tài liệu Hà Nội 8/2013 Tác giả MỤC LỤC CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC ……………………………………………… 1.1 SỐ PHỨC ………………………………………………………………… …… 1.1.1 Các dạng phép toán số………………………………… ……… 1.1.2 Tập số phức mở rộng, mặt cầu phức ……………………….………….… 1.1.3 Lân cận, miền ……………………………………………….……………… 1.2 HÀM BIẾN PHỨC ……………………………………….…………….………… 1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức ………………………………………… ……… 1.2.2 Giới hạn, liên tục …………………………………………………… …… 1.2.3 Hàm khả vi, phương trình Cauchy-Riemann ………………………… … 1.2.4 Các hàm phức sơ cấp ……………………………………………… 1.3 TÍCH PHÂN PHỨC, CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY …………… …… 1.3.1 Định nghĩa tính chất ………………………….………….……… … 1.3.2 Định lý tích phân Cauchy tích phân khơng phụ thuộc đường đi………… 1.3.3 Nguyên hàm tích phân bất định………………………………………… 1.3.4 Cơng thức tích phân Cauchy …………………………………….………… 1.3.5 Đạo hàm cấp cao hàm giải tích ………………………………………… 1.3.6 Bất đẳng thức Cauchy định lý Louville ………………………………… 1.4 CHUỖI BIẾN SỐ PHỨC ………………………………………………………… 1.4.1 Chuỗi số phức ……………………………………………………….……… 1.4.2 Chuỗi luỹ thừa ……………………………………………………………… 1.4.3 Chuỗi Taylor, chuỗi Mac Laurin …………………………………….……… 1.4.4 Chuỗi Laurent điểm bất thường ………………….………… ….……… 1.5 THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG …………………………….………….….……… 1.5.1 Định nghĩa thặng dư …………………………….………….………… …… 1.5.2 Cách tính thặng dư ……………………………….………….………….…… 1.5.3 Ứng dụng lý thuyết thặng dư ………………………….………………… 1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z ……………………………….………….………… ……… 1.6.1 Định nghĩa phép biến đổi Z ……………………………….………… …… 1.6.2 Miền xác định biến đổi Z …………………………………… ………… 1.6.3 Tính chất biến đổi Z ……………………………….………….………… 1.6.4 Biến đổi Z ngược ……………………………….………….………….…… 1.6.5 Ứng dụng biến đổi Z ……………………….………….……… ….…… CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1……………………………………… CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN…………………………….…… 2.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE…………………………………………………… 2.1.1 Phép biến đổi Laplace thuận…………………………………………… …… 2.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược ……………………………… ……………… 2.1.3 Ứng dụng biến đổi Laplace ………………………………….…………… 2.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER ……………………………………………………… 2.2.1 Chuỗi Fourier ………………………………………………………………… 2.2.2 Phép biến đổi Fourier hữu hạn …………………….………….………….…… 9 18 19 20 20 21 23 25 28 28 31 34 34 36 38 39 39 40 44 48 55 55 55 56 62 62 62 65 67 71 73 80 80 80 96 103 115 116 123 2.2.3 Phép biến đổi Fourier ……………………………………………….… …… 2.2.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc ………………………………….…… ……… CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG ………………………………… … CHƯƠNG 3: CÁC HÀM SỐ VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT………….… 3.1 HÀM DELTA ………………………….………….………….………….……… 3.1.1 Khái niệm hàm delta …………………………………………………….… 3.1.2 Đạo hàm tích phân hàm delta ………………………………………… 3.1.3 Khai triển Fourier hàm delta ………………….………….……………… 3.1.4 Biến đổi Fourier hàm delta ……………………………………………… 3.2 CÁC HÀM SỐ TÍCH PHÂN ……………………………………………… … 3.2.1 Cơng thức xác định hàm số tích phân ……………………………… … 3.2.2 Khai triển hàm tích phân thành chuỗi luỹ thừa ………………………… 3.3 HÀM GAMMA, HÀM BÊ TA …………………………………………………… 3.3.1 Định nghĩa hàm Gamma ……………………………………………… …… 3.3.2 Các tính chất hàm Gamma ……………………………………………… 3.3.3 Hàm Beta …………………………………………………………………… 3.4 PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ CÁC HÀM BESSEL……………….………… 3.4.1 Phương trình Bessel ………………………………………… ……………… 3.4.2 Các hàm Bessel loại loại ……………………………………………… 3.4.3 Các cơng thức truy tốn hàm Bessel ………………………… …… 3.4.4 Các hàm Bessel loại loại với cấp bán nguyên …….………… ……… 3.4.5 Các tích phân Lommel ……………………………………………….……… 3.4.6 Khai triển theo chuỗi hàm Bessel ……………………………………… 3.4.7 Các phương trình vi phân đưa phương trình Bessel……….…… CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG ……………………………………… CHƯƠNG 4: CHUỖI MARKOV VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG…….…………… …… 4.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ……………… 4.1.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên ……………… …………… …………… 4.1.2 Phân loại trình ngẫu nhiên …………… …………… ………………… 4.2 CHUỖI MARKOV …………… …………… …………… ………………… 4.2.1 Chuỗi Markov với thời gian rời rạc …………… ……….…… 4.2.2 Ma trận xác suất chuyển …… …………………………………… …… 4.2.3 Ma trân xác suất chuyển bậc cao, Phương trình Chapman–Kolmogorov 4.2.4 Phân bố xác suất hệ thời điểm n…… …… ………………….…… 4.2.5 Một số mơ hình chuỗi Markov quan trọng …… …… …………………… 4.2.6 Phân bố dừng, phân bố giới hạn, phân bố ergodic …… ………………… 4.3 QUÁ TRÌNH DỪNG …………… ………………………………………….… 4.3.1 Hàm hiệp phương sai hàm tự tương quan trình dừng … …… 4.3.2 Đặc trưng phổ trình dừng …… …… …………………………… 4.4 TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN VÀ TINH CHÂT ERGODIC …… …… CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG ……………………………… …… HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 1……………………………………………… HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG …………………………………………… HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG … ………………………………………… 127 135 142 149 149 149 151 155 156 157 157 159 162 162 164 169 173 173 173 179 182 184 186 189 193 199 200 200 201 205 205 206 206 208 209 212 218 218 221 232 234 241 247 254 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 4… ………………………………………… PHỤ LỤC A: Biến đổi Z dãy tín hiệu thường gặp……………………….…….… PHỤ LỤC B: Bảng tóm tắt tính chất phép biến đổi Fourier…………… PHỤ LỤC C: Các cặp biến đổi Fourier thường gặp …………………………………… PHỤ LỤC D: Bảng tóm tắt tính chất phép biến đổi Laplace…………… PHỤ LỤC E: Biến đổi Laplace hàm thường gặp……………………………… PHỤ LỤC F: Bảng giá trị hàm mật độ hàm phân bố xác suất phân bố chuẩn … BẢNG THUẬT NGỮ ………………………………………………………….……… TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………… 256 261 262 263 264 266 277 279 280 CHƯƠNG I HÀM BIẾN SỐ PHỨC Số phức khởi đầu sử dụng để tính tốn cách đơn giản, nhiên lý thuyết hàm biến phức ngày chứng tỏ công cụ hiệu nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Hầu hết lời giải độc đáo toán quan trọng lý thuyết truyền nhiệt, truyền dẫn, tĩnh điện, thủy động lực sử dụng phương pháp hàm biến phức Đối với vật lý đại, hàm biến phức trở thành phận thiết yếu vật lý lý thuyết Chẳng hạn hàm sóng học lượng tử hàm biến phức Dĩ nhiên thực thí ngiệm phép đo kết mà nhận giá trị thực, để phát biểu lý thuyết kết thường phải sử dụng đến số phức Có điều kỳ lạ lý thuyết xác phân tích tốn học với hàm biến phức ln dẫn đến lời giải thực Vì hàm biến phức thực công cụ thiếu khoa học kỹ thuật đại Trong chương tìm hiểu vấn đề giải tích phức: Lân cận, miền, giới hạn, liên tục, đạo hàm hàm biến phức, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent … Để nghiên cứu vấn đề thường liên hệ với kết ta đạt hàm biến thực Mỗi hàm biến phức f (z ) tương ứng với hai hàm hai biến thực u(x , y ) , v (x , y ) Hàm biến phức f (z ) liên tục u (x , y ) , v (x , y ) liên tục Hàm f (z ) khả vi u (x , y ) , v (x , y ) có đạo hàm riêng cấp thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại hàm u (x , y ) , v (x , y ) … ta chuyển tính chất giải tích hàm biến phức tính chất tương ứng hàm thực hai biến tính chất học giải tích Ngồi xuất phát từ tính chất đặc thù hàm biến phức cịn có cơng thức tích phân Cauchy, khai triển hàm biến phức thành chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, tính thặng dự hàm số điểm bất thường cô lập ứng dụng lý thuyết thặng dư để giải toán cụ thể Cuối ta xét phép biến đổi Z ứng dụng cụ thể khai triển Laurent 1.1 TẬP SỐ PHỨC 1.1.1 Các dạng số phức phép toán số phức Rất nhiều toán khoa học kỹ thuật thức tế qui giải phương trình đại số cấp hai: ax bx c (a 0) Phương trình có nghiệm thực b ac , nhiên trường hợp phương trình khơng có nghiệm thực, ứng với b ac , thường gặp có nhiều ứng dụng Vì người ta mở rộng trường số thực có lên trường số cho trường số phương trình cấp hai ln có nghiệm Phương trình cấp hai với đơn giản có dạng x Nếu ta đưa vào số i (đơn vị ảo) cho i 1 phương trình phân tích thành x x i x i x i Vậy phương trình có nghiệm: x i Mở rộng trường số thực để phương trình có nghiệm ta trường số phức , phần tử gọi số phức Trường số phức có cấu trúc trường với phép cộng, phép nhân mở rộng từ phép toán trường số thực A Dạng tổng quát số phức z x iy , x , y số thực x phần thực z , ký hiệu Rez y phần ảo z , ký hiệu Imz Khi y z x số thực; x , z iy gọi số ảo Số phức x iy , ký hiệu z , gọi số phức liên hợp với số phức z x iy Nhận xét 1.1: Một số tài liệu ký hiệu phần tử đơn vị ảo j , lúc số phức viết dạng tổng quát z x jy số phức liên hợp tương ứng z * x jy Hai số phức z1 x iy1 z x iy2 phần thực phần ảo chúng z1 x1 iy1 , z x iy2 ; x x z1 z y1 y2 (1.1) Mở rộng phép tốn trường số thực ta có phép tốn tương ứng sau số phức B Các phép toán số phức Cho hai số phức z1 x iy1 z x iy2 , ta định nghĩa: a) Phép cộng: Tổng hai số phức z1 z , ký hiệu z z1 z xác định sau: (x1 iy1 ) (x iy2 ) x1 x i y1 y2 (1.2) b) Phép trừ: Ta gọi số phức z x iy số phức đối z x iy Số phức z z1 (z ) gọi hiệu hai số phức z1 z , ký hiệu z z1 z (x1 iy1 ) (x iy2 ) x1 x i y1 y2 (1.3) c) Phép nhân: Tích hai số phức z1 z số phức ký hiệu z 1z xác định sau: x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1y2 i x1y2 y1x2 (1.4) d) Phép chia: Nghịch đảo số phức z x iy số phức ký hiệu hay z 1 , thỏa z mãn điều kiện zz 1 Đặt z 1 a ib , theo công thức (1.1) (1.4) ta xa yb x y a , b 2 ya xb x y x y2 Vậy x y i 2 x iy x y x y2 (1.5) Số phức z z1z ( z ) gọi thương hai số phức z1 z , ký hiệu z z1 z2 Áp dụng cơng thức (1.4)-(1.5) ta có x1 iy1 x iy2 x1x y1y2 x2 y2 i y1x x1y2 2 x y2 (1.6) Ví dụ 1.1: Cho z x iy , tính z , z z Giải: z (x iy )2 (x y ) i(2xy ) , zz x y Ví dụ 1.2: Tìm số thực x , y nghiệm phương trình x y 1 i x 2i 3 i 11i Giải: Khai triển đồng phần thực, phần ảo hai vế áp dụng công thức (1.1) ta 2x 5y x 3, y 4x 5y 11 Tính chất 1.1: z1 z2 z2 z1 ; z1z2 z2z1 tính giao hốn z1 z z z1 z z ; z1 z 2z z1z z tính kết hợp z1 z2 z z1z z1z tính phân bố phép nhân phép cộng z1z2 z1 z zz , zz zz z z zz z ; z z2 zz z2 z2 (1.7) z z z1 z z1 z ; z 1z z1 z ; z 2 z Re z z z z z z ; Im z (1.8) z z 2i (1.9) (1.10) Ví dụ 1.3: Viết số phức sau dạng z x iy a) 3 2i 1 3i , b) 5 5i , 3i c) i i2 i i i , 1i d) 2i 1 i Giải: a) 3 2i 1 3i i 2 9 7i , b) 5 1 i 4 3i 5 (4 3) i(4 3) 7 i 5 5i , 3i 16 25 5 c) i 1 i i i i2 i i i i 1i 1 i i 1i 1i 1i 2 i i i2 i i i i2 i i i5 i i5 i i6 i 1i 1i i 1i 2 d) 2i (3 2i)(1 i ) 5 i i 1 i (1 i)(1 i) 2 z iw Ví dụ 1.4: Giải hệ phương trình 2z w i Giải: Nhân i vào phương trình thứ cộng vào phương trình thứ hai ta 2 i z 2i z 1 2i 2 i 3i , 2i 2i 5 1 3i 3i w i z 1 i Ta giải hệ phương trình phương pháp Cramer sau 1 X s s J (2 15 ut )x (u)du 16 t n n u J n (2 ut )x (u)du s n 1 1 X s s s2 t J 0(2 u(t u ) )x(u)du 17 x (t ) 18 19 u P (ak ) k 1 3 s2 4u e X (u)du X ln s s ln s P(s ) Q(s ) Q '(a )e 20 t u x (u ) du (u 1) n 1 X s ak t Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) có k nghiệm đơn a1, , an nghiệm P (s ) PHỤ LỤC E Biến đổi Laplace hàm thường gặp X (s) e st x (t )dt TT Ảnh biến đổi Laplace X (s ) Hàm gốc x (t ) 1 s ; n 1, 2, 3, sn t n 1 (n 1)! ; 0 s t 1 () s a eat ; n 1, 2, 3, (s a )n t n 1 eat (n 1)! ; 0 (s a ) t 1 at e () s a2 sinat a s s a2 cosat (s b )2 a ebt sin at a 10 s b (s b )2 a ebt cos at 11 s a2 sinhat 12 s s a2 cosh at 13 (s b )2 a ebt sinh at 14 s b (s b )2 a 2 2 a 15 ebt cosh at sin at at cos at 2a s2 a2 t sin at 2a s a s 16 a s2 17 s a sin at at cos at 2a cos at at sin at 2 s3 18 s a s2 a2 19 s a2 20 s a s 21 s a s a atcosh at sinh at 2a tsinh at 2a s2 22 t cos at sinh at at cosh at 2a s3 23 s a s2 a 24 s2 a2 25 s a2 s 26 s s s s (3 a 2t )sin at 3at cos at 8a t sin at at cos at a2 (1 a 2t )sin at at cos at 8a 3t sin at at cos at 8a (3 a 2t ) sin at 5at cos at 8a a2 s4 29 t cosh at a s3 28 at sinh at 2 s2 27 cosh at a2 8a s5 30 s a2 3s a 31 s a2 s 3a 2s 32 s2 a2 s 6a 2s a 33 s a s a 2s 34 s a2 35 s a2 s 36 s a2 s2 37 s a2 s3 38 s a2 s4 39 s a2 s5 40 s a2 3s a 41 s a2 s a t sin at 2a t cos at t cos at t sin at 24a (3 a 2t )sinh at 3at cosh at 8a at cosh at t sinh at 8a at cosh at (a 2t 1)sinh at 8a 3t sinh at at cosh at 8a (3 a 2t ) sinh at 5at cosh at 8a (8 a 2t )cosh at 7at sinh at t sinh at 2a s 3a 2s 42 (8 a 2t ) cos at 7at sin at t cosh at s 6a 2s a 43 s a t cosh at s a 2s 44 s a2 t sinh at 24a 45 s a3 at at eat /2 3at /2 sin cos e 2 3a 46 s a3 at at eat /2 3at /2 sin cos e 3a 2 47 s2 s3 a3 at e 2eat /2 cos at 3 48 s a3 at at eat /2 3at /2 e sin cos 2 3a 49 s a3 at at eat /2 3at /2 sin cos e 3a 2 50 s2 s3 a3 at e 2e at /2 cos at 3 51 s 4a sin at cosh at cos at sinh at 4a 52 s s 4a sin at sinh at 53 s2 s 4a sin at cosh at cos at sinh at 2a 54 s3 s 4a cos at cosh at 55 s a4 sinh at sin at 2a 4 2a 56 s s a4 cosh at cos at 2a 57 s2 s4 a4 sinh at sin at 2a 58 s3 s a4 cosh at cos at 2a e bt e at s a s b 2(b a ) t erf at 59 60 e at erf at s a b I (at ) s2 a2 s a2 s n ; n 1 s s2 a2 a n J n ( at ) ; n 1 a n I n (at ) n eb (s s a ) s2 a2 e b s2 a 2 s a 69 J (at ) s a2 s2 a2 68 eat beb t erfc(b t ) t s2 a 67 a 64 a s (s a ) 63 62 66 s s a 61 65 (s a ) J a t (t 2b) (t b ) J a t b tJ1 (at ) a s 70 71 tJ (at ) ( s a )3 s2 J (at ) tJ1 (at ) (s a )3 72 e s s( e s 1) s (1 e s ) 73 e s s (e s r ) s (1 re s ) x (t ) r k ; t phần nguyên t k 1 74 es 1 e s s (e s r ) s (1 re s ) x (t ) r n , n t n 1, n 0, 1, 2, 75 e s / a s cos at e s /a sin at 76 77 78 x(t ) n , n t n 1, n 0, 1, 2, t t s3 a es /a ; 1 s 1 t /2 J (2 at ) a e a s s t 79 e a 80 e a s ea s ea a s 81 s 82 83 e s t ea / s ; 1 s 1 e a2 4t a erf 2 t s s ( s b) a2 4t a erfc 2 t a eb (bt a ) erfc b t t t a ue 1 u2 4a 2t J (2 u )du 84 s a ln s b e bt e at t 85 s a ln a2 2s Ci(at ) 86 s a ln a s Ei(at ) 87 88 s a ln s b2 2(cos bt cos at ) t 89 2 ( ln s )2 6s s ln2 t ; số Euler 90 lns s (ln t ) 91 ln2 s s 92 lns s (ln t )2 ( 1) ( 1)s s lnt ; số Euler 1 ; 1 t ln t 93 a arctan s sinat t 94 a arctan s s Si(at ) 95 96 97 98 e a /s s es es erfc /4a /4a a /s s at t erfc s / 2a 2a erfc s / 2a erf at s eas e 2 erfc as 2 e a t (t a ) 2 t a 99 eas Ei(as ) 100 cos as Si(as ) sin as Ci(as ) 2 a 101 sin as Si(as ) cos as Ci(as ) 2 t t a2 102 cos as Si(as ) sin as Ci(as ) 2 s arctan (t / a ) 103 sin as Si(as ) cos as Ci(as ) 2 s t a ln a2 104 Si(as ) Ci2 (as ) 2 t a ln a2 t 105 (t ) - hàm Dirac 106 e as (t a ) 107 eas s (t a ) 108 sinh xs s sinh as x (1)n n x n t sin cos a n 1 n a a 109 sinh xs s cosh as (1)n (2n 1)x (2n 1)t 2n sin 2a sin 2a n 1 110 cosh xs s sinh as t (1)n n x n t cos sin a n 1 n a a 111 cosh xs s cosh as 112 sinh xs s sinh as t a2 1 (1)n (2n 1)x (2n 1)t 2n cos 2a cos 2a n 1 xt 2a a 2 n 1 (1)n n sin n x n t cos a a sinh xs s cosh as 113 x 8a cosh xs s sinh as 114 cosh xs s cosh as 115 (1)n (2n 1)2 sin n 1 t2 2a 2a t n 1 117 cosh a s sinh x s 118 s cosh a s cosh x s 119 s sinh a s 120 sinh x s s sinh a s 121 cosh x s s cosh a s sinh x s 122 123 2 s sinh a s cosh x s s cosh a s cos n x 1 cos n t a a (2n 1)x (2n 1)t sin 2a 2a 2 (1)n ne n t /a a sinh a s cosh x s n2 n 1 (2n 1)2 cos sinh x s 116 (1)n (1)n 8a (2n 1)x (2n 1)t cos 2a 2a sin n 1 a2 n 1 (1) (2n 1)2 2t (2n 1)x 4a (2n 1)e cos 2a n 1 (1)n 1e a n 1 a a n 1 (2n 1)2 2t (2n 1)x 4a2 sin 2a n 22t n x (1)n e a cos 2a n 22t x (1)n n x e a sin a n 1 n 2a 2t (2n 1) (1)n 4a2 1 e n 1 2n xt 2a a 2 cos J (ix s ) s J (ia s ) (2n 1)x 2a 2 n t (1)n n x (1 e a ) sin 2a n 1 n 2t (2n 1) x a2 16a (1)n 4a2 t e 2 n 1 (2n 1)3 cos (2n 1)x 2a 124 n x a e nt /a J (n x / a ) n 1 nJ 1(n ) 2 1 , 2 , nghiệm dương J () 125 126 e x a2 t 2a n 1 J (ix s ) s J (ia s ) as ( ) 2 as 128 129 as tanh( ) s a as cosh ( ) 2 a s 1 a 3a 2a 4a t a (a s )(1 e as ) a 2a 3a t a 2a 3a t 2 e as s(1 e as ) 131 132 s(1 e as ) a e as (1 e bs ) s 135 t 134 4a 2a 2 as 133 J (n ) 130 J (n x / a ) n 1, 2 , nghiệm dương J ( ) 0 127 n t /a e s e2 s s (1 e s )2 e s s(1 re as ) a(1 e as ) a s2 2a 3a (t a ) (t a b ) n t (n 1)a t na n 1 n2 t n t (n 1) n 0 r n t n t (n 1) n 0 (t ) (t a ) sin t a t PHỤ LỤC F GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC (t ) t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0005 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2370 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 00080 0005 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2320 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 2 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 e t2 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC N(0;1) y 2 (t ) 2 t e (t ) x dx O a t t t 0,0 0,5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 0,1 0,2 5398 5793 5438 5832 5478 5871 5517 5910 5557 5948 5596 5987 5636 6026 5675 6064 5714 6103 5753 6141 0,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0,4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0,5 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7156 7190 7224 0,6 0,7 7257 7580 7291 7611 7324 7642 7357 7673 7389 7703 7422 7734 7454 7764 7486 7794 7517 7823 7549 7852 0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 1,0 1,1 0,8413 8643 8438 8665 8461 8686 8485 8708 8508 8729 8531 8749 8554 8770 8577 8790 8599 8810 8621 8830 1,2 1,3 8849 9032 8869 9049 8888 9066 8907 9082 8925 9099 8944 9115 8962 9131 8980 9147 8997 9162 9015 9177 1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 1,5 1,6 0,9332 9452 9345 9463 9357 9474 9370 9484 9382 9495 9394 9505 9406 9515 9418 9525 9429 9535 9441 9545 1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,9773 9821 9861 9893 9918 0,9938 9953 9965 9974 9981 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 (t ) 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 CÁC THUẬT NGỮ Số phức liên hợp 10 Hàm tích phân mũ 152 Argument số phức 14 Hàm tích phân sin 152 Cơng thức Euler 14 Hàm tích phân cosin 156 Mô đun số phức 14 Hàm lỗi 163 Căn bậc n số phức 17 Hàm số Gamma 165 Tập số phức mở rộng 18 Hàm Beta 168 Tập liên thông, miền 20 Hàm Bessel loại 172 Hàm đơn trị, hàm đa trị 20 Hàm Bessel loại 176 Cơng thức Cauchy-Rieman 24 Tích phân Lommel 179 Hàm giải tích, hàm chỉnh hình 29 Khai triển Fourier - Bessel 193 Tích phân phức 35 Hàm mẫu 195 Cơng thức tích phân Cauchy 48 Khơng gian trạng thái q trình 196 Khơng điểm hàm giải tích 54 Q trình độc lập 196 Điểm bất thường lập 55 Quá trình Bernoulli 196 Thặng dư 74 trình gia số độc lập dừng 197 Biến đổi Z 74 Quá trình dừng cấp 197 Hàm gốc biến đổi Laplace 74 Quá trình dừng theo nghĩa rộng 197 Liên tục khúc 86 Quá trình dừng theo nghĩa hẹp 203 Hàm bước nhảy đơn vị 94 Hàm trung bình 212 Tích chập hai hàm số 104 Hàm tự tương quan 220 Công thức Heaviside 111 Quá trình Markov 222 Trở kháng ảnh 111 Ma trận xác suất chuyển 250 Hệ trực giao 112 Phân bố đầu hệ 251 Hệ số Fourier 117 Phân bố hệ thời điểm n 252 Điều kiện Dirichlet 120 Phương trình Chapman-Kolmogorov 253 Đẳng thức Parseval 122 Phân bố dừng, giới hạn, ergodic 254 Hàm tương quan 125 Hàm tự hiệp phương sai 255 Cơng thức tích phân Fourier 126 Mật độ phổ công suất 257 Định lý lượng Rayleigh 127 Mật độ phổ trình dừng 262 Xung chử nhật hay hình hộp 144 Quá trình nhiễu trắng 267 Xung tam giác đơn vị 151 Trung bình theo thời gian 269 Hàm delta (hàm Dirac) 152 Quá trình ergodic 273 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phạm Anh Dũng, Các hàm xác suất ứng dụng viễn thơng Trung Tâm Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thơng 1, 1999 Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng NXB Đại học Quốc gia Hà nội 2000 Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu lọc số NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 L W Couch, II, Digital and Analog Communication Systems 6th ed, Prentice Hall, 2001 V Ditkine et A Proudnikov, Transformation intégrales et calcul opérationnel Dịch tiếng Pháp Djilali Embarex, Mir 1978 Charles Dixon, Applied Mathematics of science & Engineering John Wiley & Sons: London, New York, Sydney, Toronto 1980 Dean G Duffy, Advanced Engineering Mathematics, CRC Press LLC, 1998 E J Savant JR, Fundamentals of the Laplace Transformation Mc Graw - Hill Book company, Inc 1962 M R Spiegel, PhD, Theory and Problems of Laplace Transform Schaum's outline series Mc Graw - Hill Book company, Inc 1986 10 Peter J Olver, Chehrzad Shakiban; Applied Mathematics c 2003 Peter J Olver 11 Robert Wrede Muray R Spigel Theory and Problems of Advanmced Calculus Schaum's outline series Mc Graw - Hill Book company, Inc 2002 12 R E Ziemer & R L.Peterson, Publishing Company, 1992 Introduction to digital communication, Macmillan ... thặng dư để giải toán cụ thể Cuối ta xét phép biến đổi Z ứng dụng cụ thể khai triển Laurent 1.1 TẬP SỐ PHỨC 1.1.1 Các dạng số phức phép toán số phức Rất nhiều toán khoa học kỹ thuật thức tế qui... dừng Đây nội dung toán học cần thiết việc ứng dụng để xử lí tín hiệu ngẫu nhiên toán chuyển mạch Tập giảng bao gồm chương Mỗi chương chứa đựng nội dung thiết yếu coi công cụ toán học đắc lực,... nhiên lý thuyết hàm biến phức ngày chứng tỏ công cụ hiệu nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Hầu hết lời giải độc đáo toán quan trọng lý thuyết truyền nhiệt, truyền dẫn, tĩnh điện, thủy động lực sử