Bài giảng toán kỹ thuật nguyễn hồng quân

Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi là z, là một số được viết dưới dạng • Hai số phức gọi là bằng nhau nếu chúng có các phần thực bằngnhau và các phần ảo bằng nhau... Các dạng cực c

Trang 1

Toán kĩ thuật

Nguyễn Hồng Quânemail: nguyenhongquan1978@gmail.com

Điện thoại: 0988942043

Trang 3

§1 Số phức

§2.Hàm biến phức và phép tính vi phân

§3 Tích phân phức Chuỗi Taylor và chuỗi Laurent Thặng dư

§4 Hàm Gam-ma và hàm Bê-ta

§5 Phép biến đổi Laplace

§6 Phép biến đổi Fourier

Trang 4

§1 Số phức

Trang 5

• Hai số phức gọi là bằng nhau nếu chúng có các phần thực bằngnhau và các phần ảo bằng nhau Tức là, nếu z = a + ib và w = c+ id thì

z = w ⇐⇒

a = c

Trang 6

i2 = −1.

Số phức z viết dưới dạng (1) được gọi là dạng tổng quát (hay

dạng đại số) Tập các số phức kí hiệu là C

• Với số phức z = a + ib Số phức đối của z, kí hiệu −z, là số

phức −z =−a + i(−b) := −a − ib Số phức liên hợp của z, kí

hiệu z, là số phức z = a + i(−b) := a − ib

z = w ⇐⇒

a = c

Trang 7

§1 Số phức

1 Định nghĩa số phức

• Một số phức, ta gọi là z, là một số được viết dưới dạng

z = w ⇐⇒

a = c

Trang 8

Toán kĩ thuật

§1 Số phức

• Các phép toán trên C Với z = a + ib ∈ C và w = c + id ∈ C,

phép cộng: z + w = (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d),

phép trừ: z − w := z + (−w) = (a − c) + i(b − d),

phép nhân: zw = (a + ib)(c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc),

(Chứng minh rằng: zz = a2+ b2)

phép chia: wz := wwzw = (a+ib)(c−id)(c+id)(c−id) = ac+bdc2 +d 2 + ibc−adc2 +d 2

• Sinh viên tự chứng minh các tính chất sau xem như bài tập(a) z1+ z2 = z2+ z1, z1z2 = z2z1;

(b) z1+ (z2+ z3) = (z1+ z2) + z3, z1(z2z3) = (z1z2)z3;(c) z1(z2+ z3) = z1z2+ z1z3;

Trang 9

§1 Số phức

• Các phép toán trên C Với z = a + ib ∈ C và w = c + id ∈ C,phép cộng: z + w = (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d),phép trừ: z − w := z + (−w) = (a − c) + i(b − d),

phép nhân: zw = (a + ib)(c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc),

(Chứng minh rằng: zz = a2+ b2)

phép chia: wz := wwzw = (a+ib)(c−id)(c+id)(c−id) = ac+bdc2 +d 2 + ibc−adc2 +d 2

• Sinh viên tự chứng minh các tính chất sau xem như bài tập(a) z1+ z2 = z2+ z1, z1z2 = z2z1;

(b) z1+ (z2+ z3) = (z1+ z2) + z3, z1(z2z3) = (z1z2)z3;(c) z1(z2+ z3) = z1z2+ z1z3;

Trang 10

2) Tìm các số thực x, y là nghiệm của phương trình

5(x + y)(1 + i) − (x + 2i)(3 + i) = 3 − 11i.3) Giải hệ phương trình

z + iw = 1

Trang 11

§1 Số phức

2 Biểu diễn hình học số phức

• Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ

trực chuẩn Oxy Khi đó với mỗi

điểm A(a, b), ta xác định được

số phức z = a + ib Ngược lại, với

Trang 12

Toán kĩ thuật

§1 Số phức

3 Các dạng cực của số phức

• Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

trực chuẩn Oxy ta chọn hệ tọa độ

cực có gốc tại O và trục cực là Ox

Số phức z = a + ib được biểu diễn

bằng điểm A(a, b), điểm A này có

a 2 +b 2 Giá trị của argznằm giữa −π và π gọi là argument chính, kí hiệu Argz Vậy ta có

−π < Argz ≤ π

Trang 13

§1 Số phức

• Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

trực chuẩn Oxy ta chọn hệ tọa độ

cực có gốc tại O và trục cực là Ox

Số phức z = a + ib được biểu diễn

bằng điểm A(a, b), điểm A này có

a 2 +b 2 Giá trị của argznằm giữa −π và π gọi là argument chính, kí hiệu Argz Vậy ta có

−π < Argz ≤ π

Trang 14

dạng này gọi là dạng lượng giác của số phức z.

• Ta đã biết khai triển Maclaurin của cos ϕ và sin ϕ là:

cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ

Công thức này gọi là công thức Euler

Từ dạng lượng giác của số phức z và công thức Euler ta suy ra

z = reiϕ,

dạng này gọi là dạng mũ của z

Trang 15

§1 Số phức

• Ta có a + ib = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) Vậy

z = r(cos ϕ + i sin ϕ),

dạng này gọi là dạng lượng giác của số phức z

• Ta đã biết khai triển Maclaurin của cos ϕ và sin ϕ là:

cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ

Công thức này gọi là công thức Euler

Từ dạng lượng giác của số phức z và công thức Euler ta suy ra

z = reiϕ,

dạng này gọi là dạng mũ của z

Trang 16

Toán kĩ thuật

§1 Số phức

4 Lũy thừa của số phức

• Lũy thừa nguyên Với m là số nguyên dương và z là một sốphức, ta định nghĩa

Bằng qui nạp ta dễ chứng minh được: với m

là số nguyên dương và z = r(cos ϕ + i sin ϕ),

Trang 17

§1 Số phức

• Lũy thừa nguyên Với m là số nguyên dương và z là một sốphức, ta định nghĩa

Bằng qui nạp ta dễ chứng minh được: với m

là số nguyên dương và z = r(cos ϕ + i sin ϕ),

Trang 18

§1 Số phức

• Lũy thừa hữu tỷ Với n là số nguyên dương, z là số phức Địnhnghĩa zn1 hay √n

z, gọi là căn bậc n của z, là một số phức ω thỏa

căn bậc n) của z, chúng được xác định như sau

+ i sin

ϕ

n+

2kπn

i, k = 0, 1, , n − 1

Ta thấy các giá trị này nằm

trên đỉnh của n-giác đều nội

tiếp trong đường tròn tâm O

bán kính √n

r

Trang 19

Toán kĩ thuật

§1 Số phức

• Với số hữu tỷ q = mn, ta định nghĩazmn = (zn1)m Từ trên suy ra

rằng, zmn có đúng n giá trị, và khi z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì n giá

trị của zmn được xác định bởi

ξk= (√n

r)mhcosmϕ

n +

2kmπn

+i sinmϕ

n +

2kmπn

i, k = 0, n − 1

• Ví dụ - Bài tập

1) Tìm giá trị củaa) (−1)12; b) √4

1 + i; c) (1 + i√3)15; d)(1 − i)−13.e) (i)23; f) (1 + i)23; g) (−√3 − i)−5; h) (3 + 4i)12(1 + i)−12.2) Giải các phương trình sau

a) z43 + 2i = 0; z3− i = −√3;

Trang 20

§1 Số phức

• Với số hữu tỷ q = mn, ta định nghĩazmn = (zn1)m Từ trên suy rarằng, zmn có đúng n giá trị, và khi z = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì n giátrị của zmn được xác định bởi

ξk= (√n

r)mhcosmϕ

n +

2kmπn

+i sinmϕ

n +

2kmπn

i, k = 0, n − 1

• Ví dụ - Bài tập

1) Tìm giá trị của

a) (−1)12; b) √4

1 + i; c) (1 + i√3)15; d)(1 − i)−13.e) (i)23; f) (1 + i)23; g) (−√3 − i)−5; h) (3 + 4i)12(1 + i)−12.2) Giải các phương trình sau

a) z43 + 2i = 0; z3− i = −√3;

Trang 21

N là điểm cực bắc của S Vớimỗi điểm P ∈ (Oxy), tia NPcắt S tại điểm duy nhất P0.

Ta có phép tương ứng 1-1:

z = a + ib ≡ P (a, b) ! P0

Ta thấy điểm N không ứng với số phức nào Bởi vậy người gánđiểm N với một "số phức vô cùng ∞" Tập số phức C bổ sungthêm số phức vô cùng ∞ gọi là tập số phức mở rộng, kí hiệu là C.Mặt cầu S khi đó được gọi là mặt cầu phức Riemann

Qui ước: với số phức z: z0 = ∞ (z 6= 0), z∞ = ∞ (z 6= 0),

z ± ∞ = ∞

Trang 22

§1 Số phức

4 Mặt phẳng phức mở rộng Các khái niệm tôpô của mặt phẳng phức

• Cho mặt phẳng phức Oxy

Dựng mặt cầu S có cực nam

tiếp xúc với (Oxy) tại O Gọi

N là điểm cực bắc của S Với

mỗi điểm P ∈ (Oxy), tia NP

cắt S tại điểm duy nhất P0

Ta có phép tương ứng 1-1:

z = a + ib ≡ P (a, b) ! P0

Ta thấy điểm N không ứng với số phức nào Bởi vậy người gánđiểm N với một "số phức vô cùng ∞" Tập số phức C bổ sungthêm số phức vô cùng ∞ gọi là tập số phức mở rộng, kí hiệu là C.Mặt cầu S khi đó được gọi là mặt cầu phức Riemann

Qui ước: với số phức z: z0 = ∞ (z 6= 0), z∞ = ∞ (z 6= 0),

z ± ∞ = ∞

Trang 23

§1 Số phức

Trang 24

§1 Số phức

• Cho z0 ∈ C -lân cận của z0 là tập:

B(z0, ) = {x ∈ C : |z − z0| < }

N -lân cận của ∞ là tập:

B(∞, N ) = {x ∈ C : |z| > N } ∪ {∞}

các điểm của E và các điểm không thuộc E

+ Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của E.+ Tập E gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên của E

+ Tập E gọi là liên thông nếu với bất kì hai điểm của E ta đều cóthể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm trong E

+ Một tập mở và liên thông được gọi là miền Miền cùng với biêncủa nó gọi là miền đóng

+ Miền có một biên gọi là miền đơn liên Miền có nhiều hơn mộtbiên gọi là miền đa liên

Trang 25

§1 Số phức

• Qui ước: Hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đitrên biên theo hướng đó thì miền ở bên tay trái

Trang 27

§2 Hàm biến phức và phép tính vi phân

Trang 28

Cụ thể hơn như sau:

Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặcC) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều sốphức w

z − 3 là hàm đa trị

Trang 29

Toán kĩ thuật

1.Hàm biến phức

a) Khái niệm Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xác

định trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C)

Trang 30

Toán kĩ thuật

Một hàm biến phức f xác định trên D nhận giá trị trong C (hoặc

C) là một qui tắc đặt tương ứng mỗi z ∈ D với một hoặc nhiều số

Trang 31

Toán kĩ thuật

phức w

Kí hiệu: w = f (z)

+ Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ

thuộc hay giá trị của hàm

+ Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàmđơn trị Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi làhàm đa trị

Trang 32

Toán kĩ thuật

phức w

Kí hiệu: w = f (z)

+ Biến z gọi là biến độc lập hay đối số, biến w gọi là biến phụ

thuộc hay giá trị của hàm

+ Nếu mỗi z ứng với duy nhất một giá trị của w thì f gọi là hàm

đơn trị Nếu mỗi z ứng với nhiều hơn một giá trị của w thì f gọi là

hàm đa trị

Trang 33

a) Khái niệm Cho D ⊆ C (hoặc C), một hàm biến phức xácđịnh trên D là một phép tương ứng từ D vào C (hoặc C)

Trang 34

+ Mọi hàm biến phức f (z) đều có thể được biểu diễn thông qua

w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

+ Trường hợp D ⊂ R thì ta có hàm biến thực giá trị phức Nếu D

là tập số tự nhiên N và f là hàm đơn trị thì ta có dãy số phức

zn= f (n), và kí hiệu là {zn}∞n=1

Trang 35

Toán kĩ thuật

+ Tập D gọi là tập xác định (nếu D là miền thì ta nói nó là miền

xác định) Thông thường, khi hàm được cho bởi công thức nào đó

và không chỉ định rõ tập xác định D thì người ta luôn hiểu ngầm

rằng D là tập tất cả những điểm tại đó biểu thức có nghĩa

Ví dụ Khi hàm cho bởi công thức f (z) = zz2−1+1 chúng ta ngầmhiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i

w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

Trang 36

Toán kĩ thuật

Ví dụ Khi hàm cho bởi công thức f (z) = zz22−1+1 chúng ta ngầm

hiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i

w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

Trang 37

Toán kĩ thuật

Ví dụ Khi hàm cho bởi công thức f (z) = zz22−1+1 chúng ta ngầm

hiểu rằng hàm không xác định tại các điểm z = ±i

w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

Trang 38

w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

zn= f (n), và kí hiệu là {zn}∞

n=1

Trang 39

Toán kĩ thuật

b) Giới hạn, liên tục.∗ Ta nói dãy số phức {zn}∞n=1 hội tụ về z0

(hay có giới hạn là z0) khi n → ∞, kí hiệu limn→∞zn= z0, nếu

với mọi > 0 bé tùy ý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều

∗ Ta nói hàm w = f (z) có giới hạn là l khi z dần đến z0 nếu vớimọi dãy điểm {zn} hội tụ đến z0 ta đều có

lim

n→∞f (zn) = l

Kí hiệu: limz→z0f (z) = l

Trang 40

Toán kĩ thuật

có |zn− z0| <

∗ Ta nói dãy số phức {zn}∞n=1 tiến tới ∞ (hay có giới hạn là ∞)

khi n → ∞, kí hiệu limn→∞zn= ∞, nếu với mọi > 0, tồn tại n0

sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn| >

+ Ta thấy rằng với {zn= xn+ iyn}∞n=1 và z0 = x0+ y0 thì

lim

n→∞zn= z0 ⇐⇒

limn→∞xn= x0;limn→∞yn= y0

lim

n→∞f (zn) = l

Trang 41

Toán kĩ thuật

có |zn− z0| <

∗ Ta nói dãy số phức {zn}∞n=1 tiến tới ∞ (hay có giới hạn là ∞)

khi n → ∞, kí hiệu limn→∞zn= ∞, nếu với mọi > 0, tồn tại n0

sao cho với mọi n > n0 ta đều có |zn| >

+ Ta thấy rằng với {zn= xn+ iyn}∞n=1 và z0 = x0+ y0 thì

lim

n→∞zn= z0 ⇐⇒

limn→∞xn= x0;limn→∞yn= y0

lim

n→∞f (zn) = l

Trang 42

b) Giới hạn, liên tục.∗ Ta nói dãy số phức {zn}∞n=1 hội tụ về z0(hay có giới hạn là z0) khi n → ∞, kí hiệu limn→∞zn= z0, nếuvới mọi > 0 bé tùy ý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều

lim

n→∞f (zn) = l

Trang 47

Toán kĩ thuật

2 Hàm khả vi Phương trình Cauchy-Riemann

•Cho w = f (z) là một hàm biến phức xác định trên miền D và

z ∈ D Giả sử với mọi số gia ∆z = ∆x + i∆y, điểm z + ∆z cũng

nằm trong D Ta thiết lập đại lượng

f (z + ∆z) − f (z)

Nếu đại lượng trên có giới hạn khi ∆z tiến đến 0 thì ta gọi giới

hạn này là đạo hàm của hàm w = f (z) tại điểm z, và kí hiệu là

w0= f0(z) Hàm f khi đó cũng gọi là khả vi tại z

Định dạng
Số trang	277
Dung lượng	2,26 MB