Bài giảng toán kỹ thuật nguyễn hồng quân

Toán kĩ thuật Toán kĩ thuật Nguyễn Hồng Quân email: nguyenhongquan1978@gmail.com Điện thoại: 0988942043 Toán kĩ thuật Toán kĩ thuật §1 Số phức §2.Hàm biến phức phép tính vi phân §3 Tích phân phức Chuỗi Taylor chuỗi Laurent Thặng dư §4 Hàm Gam-ma hàm Bê-ta §5 Phép biến đổi Laplace §6 Phép biến đổi Fourier Tốn kĩ thuật §1 Số phức §1 Số phức Tốn kĩ thuật §1 Số phức Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi z, số viết dạng z = a + ib, (1) a, b số thực, a gọi phần thực kí hiệu a = Rez, b gọi phần ảo kí hiệu b = Imz, i gọi đơn vị ảo qui ước i2 = −1 Số phức z viết dạng (1) gọi dạng tổng quát (hay dạng đại số) Tập số phức kí hiệu C Tốn kĩ thuật §1 Số phức Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi z, số viết dạng z = a + ib, (1) a, b số thực, a gọi phần thực kí hiệu a = Rez, b gọi phần ảo kí hiệu b = Imz, i gọi đơn vị ảo qui ước i2 = −1 Số phức z viết dạng (1) gọi dạng tổng quát (hay dạng đại số) Tập số phức kí hiệu C • Với số phức z = a + ib Số phức đối z, kí hiệu −z, số phức −z =−a + i(−b) := −a − ib Số phức liên hợp z, kí hiệu z, số phức z = a + i(−b) := a − ib Tốn kĩ thuật §1 Số phức Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi z, số viết dạng z = a + ib, (1) a, b số thực, a gọi phần thực kí hiệu a = Rez, b gọi phần ảo kí hiệu b = Imz, i gọi đơn vị ảo qui ước i2 = −1 Số phức z viết dạng (1) gọi dạng tổng quát (hay dạng đại số) Tập số phức kí hiệu C • Với số phức z = a + ib Số phức đối z, kí hiệu −z, số phức −z =−a + i(−b) := −a − ib Số phức liên hợp z, kí hiệu z, số phức z = a + i(−b) := a − ib • Hai số phức gọi chúng có phần thực phần ảo Tức là, z = a + ib w = c + id a=c z = w ⇐⇒ b=d Tốn kĩ thut Đ1 S phc nh ngha s phc ã Các phép toán C Với z = a + ib ∈ C w = c + id ∈ C, phép cộng: z + w = (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), phép trừ: z − w := z + (−w) = (a − c) + i(b − d), phép nhân: zw = (a + ib)(c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc), (Chứng minh rằng: zz = a2 + b2 ) phép chia: z w := zw ww = (a+ib)(c−id) (c+id)(c−id) = ac+bd c2 +d2 + i cbc−ad +d2 Tốn kĩ thuật §1 Số phức Định nghĩa số phức • Các phép tốn C Với z = a + ib ∈ C w = c + id ∈ C, phép cộng: z + w = (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), phép trừ: z − w := z + (−w) = (a − c) + i(b − d), phép nhân: zw = (a + ib)(c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc), (Chứng minh rằng: zz = a2 + b2 ) phép chia: z w := zw ww = (a+ib)(c−id) (c+id)(c−id) = ac+bd c2 +d2 + i cbc−ad +d2 • Sinh viên tự chứng minh tính chất sau xem tập (a) z1 + z2 = z2 + z1 , z1 z2 = z2 z1 ; (b) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 , z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 ; (c) z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ; (d) z1 + z2 = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 , z1 z2 = z1 z2 Toán kĩ thuật §1 Số phức Định nghĩa số phức • Ví dụ-Bài tập 1) Tính (a) (5 − 2i)(1 + 4i), (b) −2+3i 1−4i , (c) i+i2 +i3 +i4 +i5 , 1+i 2) Tìm số thực x, y nghiệm phương trình 5(x + y)(1 + i) − (x + 2i)(3 + i) = − 11i 3) Giải hệ phương trình z + iw = 2z + w = + i 4) Giải phương trình: z + 2z + = Tốn kĩ thuật §5 Phép biến đổi Fourier Chuỗi Fourier (b) f (t) nhận giá trị t = t = π để chuỗi hội tụ đến f (t) cho ≤ t ≤ π? n sin 2nt Đs (a) π8 ∞ n=1 4n2 −1 , (b) f (0) = f (π) = t, 0 a Tìm biến đổi Fourier f (t) = sin αa π α αneq0, F (α) = a π Đs F (α) = α = ∞ (a) Dùng kết tính I = −∞ sin αaαsin αt dα ∞ (b) Suy giá trị sinu u du  |t| < a  π, π/2, |t| = a ; (b) π2 Đs (a) I =  0, |t| > a Tìm f (t) biết Đs f (t) = ∞ f (t) cos αtdt 2(1−cos t) πt2 = − α, ≤ α ≤ 0, α>1 Dùng chứng tỏ ∞ sin2 u du u2 = π2 Tốn kĩ thuật §5 Phép biến đổi Fourier Tích phân Fourier phép biến đổi Fourier Chứng minh ∞ cos αt α2 +1 dα = π2 e−t , t ≥ 1, ≤ t < Tìm: (a) Biến đổi Fourier sin; 0, t ≥ (b) Biến đổi Fourier cosin Cho f (t) = Đs (a) π 1−cos α α ; (b) sin α π α (a) Tìm biến đổi Fourier sin e−t , t ≥ ∞ mt π −m (b) Chứng tỏ t tsin , m > cách dùng kết +1 dt = e câu (a) Đs (a) F (α = π α 1+α2   1, ≤ t < ∞ 2, ≤ t < Tìm F (x) biết F (x) sin xtdt =  0, t ≥ Đs F (x) = 2(1+cos x−2 cos 2x) πx Tốn kĩ thuật §5 Phép biến đổi Fourier Tích phân Fourier phép biến đổi Fourier 10 Tính (a) ∞ dx (x2 +1)2 dx; ∞ x2 dx (x2 +1)2 dx (b) cách dùng đẳng thức Parseval Đs [Dùng biến đổi Fourier sin biến đổi Fourier cosin e−x , x ≥ 0] (a) π 4, (b) π 11 Dùng chứng minh ∞ (a) − cos x x dx = π ; ∞ (b) sin4 x π dx = x 12 Chứng tỏ ∞ π (x cos x − sin x)2 dx = x6 15 ... liên Toán kĩ thuật §1 Số phức Mặt phẳng phức mở rộng Các khái niệm tơpơ mặt phẳng phức • Qui ước: Hướng dương biên miền hướng mà ta biên theo hướng miền bên tay trái Toán kĩ thuật Toán kĩ thuật. .. lượng giác số phức z công thức Euler ta suy z = reiϕ , dạng gọi dạng mũ z Toán kĩ thuật §1 Số phức Lũy thừa số phức Toán kĩ thuật §1 Số phức Lũy thừa số phức • Lũy thừa nguyên Với m số nguyên dương... Hàm Gam-ma hàm Bê-ta §5 Phép biến đổi Laplace §6 Phép biến đổi Fourier Tốn kĩ thuật §1 Số phức §1 Số phức Toán kĩ thuật §1 Số phức Định nghĩa số phức • Một số phức, ta gọi z, số viết dạng z =