Bài giảng toán kỹ thuật hàm phức và ứng dụng chuỗi hàm phức

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6.. Phép biến đổi bảo giác... Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu... Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa có dạng:... Chuỗi lũy thừa Ví dụ: Cho

Toán kỹ thuật

5 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

6 Phép biến đổi bảo giác

3 Chuỗi hàm phức

 a Chuỗi hàm phức

 b Chuỗi hàm phức hội tụ đều

 c Chuỗi lũy thừa

 d Chuỗi Taylor

 e Chuỗi Laurent

3 Chuỗi hàm phức

a Chuỗi hàm phức

Tiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn:

0 ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối

3 Chuỗi hàm phức

a Chuỗi hàm phức

Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức được gọi là hội tụ đều về

hàm f(z) trong miền D nếu:

Phép thử M-Weierstrass: Nếu có một dãy hằng số dương

{M n } sao cho |f n (z)| ≤ M n (∀n và ∀z ∈ D) và chuỗi 𝑀𝑛 hội

tụ thì chuỗi 𝑓𝑛 hội tụ đều trong D

Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu

3 Chuỗi hàm phức

b Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa có dạng:

3 Chuỗi hàm phức

b Chuỗi lũy thừa

Ví dụ: Cho chuỗi sau:

Chuỗi trên có bán kính hội tụ R = 1

Sử dụng chuỗi trên để biểu diễn hàm

thành tổng lũy thừa trong 3 miền sau:



z

n

3 Chuỗi hàm phức

b Chuỗi Taylor

 Khi a = 0 ta có chuỗi Mac Laurin

 Bán kính hội tụ R, với R có thể tính như ở chuỗi lũy thừa hoặc:

R = Min{|z – z i |}, với z i là các điểm bất thường của f(z)

Ví dụ: Khai triển chuỗi Taylor đến số hạng n = 4 của hàm:

quanh điểm z = j

1 ( )

0 0

.

! 3

n

n n

n

n n

n n n

n z

3 Chuỗi hàm phức

b Chuỗi Taylor

Ví dụ: 1 Tìm chuỗi Mac Laurin của các hàm sau:

2 Tìm chuỗi Taylor của

i. Hàm f3(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 1

ii. Hàm f4(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 2

iii. quanh điểm a = j

ii f z

z z

z

z z

z z z z

z

3 Chuỗi hàm phức

b Chuỗi Laurent

Khai triển Laurent: Nếu f(z) giải tích khắp nơi trong miền

kín D giới hạn bởi 2 đường tròn C1, C2 có tâm chung là a thì:

j t a

Cách tìm chuỗi Laurent: Sử

dụng chuỗi Taylor với các biến

đổi phù hợp trên các miền phù

hợp

3 Chuỗi hàm phức

b Chuỗi Laurent

Ví dụ:

Bài 1: Tìm chuỗi Laurent của các hàm sau:

Bài 2 Khai triển hàm sau trên các miền đã cho:

0 1 0

z

1 2