Bài giảng toán kỹ thuật hàm phức và ứng dụng chuỗi hàm phức

Tốn kỹ thuật Giải tích Fourier II Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức ứng dụng I Hàm phức ứng dụng Hàm giải tích Tích phân phức Chuỗi hàm phức Lý thuyết thặng dư Ứng dụng lý thuyết thặng dư Phép biến đổi bảo giác Chuỗi hàm phức      a Chuỗi hàm phức b Chuỗi hàm phức hội tụ c Chuỗi lũy thừa d Chuỗi Taylor e Chuỗi Laurent Chuỗi hàm phức a Chuỗi hàm phức Định nghĩa:  f n 1 n ( z )  f1 ( z )  f ( z )   f n ( z )  Tổng riêng: n Sn ( z )   f k ( z ) k 1 Hội tụ S(z)    0, N ( , z ) : S ( z )  S n ( z )   , n  N Miền hội tụ: tập hợp điểm z chuỗi hội tụ Chuỗi hàm phức a Chuỗi hàm phức - Chuỗi S(z) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi:   n 1 f n ( z )  f1 ( z )  f ( z )   f n ( z )  hội tụ - Điều kiện cần đủ để chuỗi hội tụ chuỗi phần thực phần ảo:    Re  f n ( z );  Im  f n ( z) hội tụ n 1 n 1 Chuỗi hàm phức a Chuỗi hàm phức Tiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn: f n 1 ( z ) lim  r ( z) n  f ( z ) n ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối |r(z)| > 1: chuỗi phân kỳ |r(z)| = 1: khơng có kết luận Ví dụ: Tìm miền hội tụ chuỗi:   z  z   z n  1 z Chuỗi hàm phức a Chuỗi hàm phức Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức gọi hội tụ hàm f(z) miền D nếu:   0; N ( ) : f ( z )  S n ( z )   ; n  N , z  D Phép thử M-Weierstrass: Nếu có dãy số dương {Mn} cho |fn(z)| ≤ Mn (∀n ∀z ∈ D) chuỗi 𝑀𝑛 hội tụ chuỗi 𝑓𝑛 hội tụ D Tính chất chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu Chuỗi hàm phức b Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa có dạng:  n a ( z  a )  n n 1 Miền hội tụ: |z – a| < R = 1/L an 1 Với L  lim n  a n Ví dụ: tìm miền hội tụ chuỗi sau:  n a   z  j  n 1 n !  c  e n 1  nz  z 2n b  n n 1 ( n  1)2  d. n ( n  j ) z n 1 Chuỗi hàm phức b Chuỗi lũy thừa Giải: a Hội tụ với z b Đặt w = z2, hội tụ với |w| < => |z| < c Đặt w = e-z, hội tụ với |w| < => x > d Đặt w = z-1, hội tụ với |w| < => |z| > Chuỗi hàm phức b Chuỗi lũy thừa Ví dụ: Cho chuỗi sau:   z  z   z n  1 z Chuỗi có bán kính hội tụ R = Sử dụng chuỗi để biểu diễn hàm z 3 thành tổng lũy thừa miền sau: i |z| < ii |z| > iii |z – 2| < Chuỗi hàm phức b Chuỗi Taylor  24   ( z  j )  ( z  j )  z( z  j) 2! 4!   ( z  j )  ( z  j )  Bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ |z – j| < Chuỗi hàm phức b Chuỗi Taylor Chuỗi Mac Laurin số hàm:  zn i e   n 0 n ! z  3n n  ii z e   z n 0 n ! z n 1 z iii.sin z   (1) n (2n  1)! n 0   z 2n iv.cos z   (1) (2n)! n 0 n  v   zn; R  1  z n 0  vi   (1) n z n ; R  1  z n 0 Chuỗi hàm phức b Chuỗi Taylor Ví dụ: Tìm chuỗi Mac Laurin hàm sau: z 3 z 1 iii f ( z )  z 1 i f1 ( z )  z z2  iv f ( z )  z  3z  ii f ( z )  Tìm chuỗi Taylor i Hàm f3(z) ví dụ quanh điểm a = ii Hàm f4(z) ví dụ quanh điểm a = iii quanh điểm a = j f ( z)  z( z  j) Chuỗi hàm phức b Chuỗi Taylor Giải: Chuỗi Mac Laurin  z z2 1 1  z z2 i f1 ( z )    1         z  3 1 z   27  z z3 z5 z z z  z2 z4 ii f ( z )    1         z z 4 4 16 16 64  1 z 1   iii f ( z )   1 2    z  z   z 1  1 z   1  z  z    Chuỗi hàm phức b Chuỗi Taylor Giải: Chuỗi Mac Laurin 1 iv f ( z )    z  3z  z  z    z  z  z  z 1  1 1  z z z3   1      z  2 1 z   15  f ( z )   z  z  z  16 Chuỗi hàm phức b Chuỗi Taylor Giải: Chuỗi Taylor i Đặt w = z –  z 1 w w w  w w2 f3 ( z )     1     z 1  w 1 w   w w2 w3 z  ( z  1) ( z  1)3         8 Để tìm khai triển Taylor quanh điểm a, ta đặt w = z – a tìm khai triển Mac Laurin theo w (sử dụng khai triển biết) Chuỗi hàm phức b Chuỗi Taylor Giải: Chuỗi Taylor ii Đặt w = z – 1 1 1 f4 ( z)      w z  3z  z  z   1 w iii f ( z)  1    z  j  z  j      z( z  j)   z  j  Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Khai triển Laurent: Nếu f(z) giải tích khắp nơi miền kín D giới hạn đường trịn C1, C2 có tâm chung a thì:  f ( z)   an ( z  a ) n  f (t )dt (t  a ) n 1 n  an  2 j C Cách tìm chuỗi Laurent: Sử dụng chuỗi Taylor với biến đổi phù hợp miền phù hợp Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Ví dụ: Bài 1: Tìm chuỗi Laurent hàm sau: z i e ; a0 cos z; a0 z iii ; a  1 ( z  1)( z  j ) ii Bài Khai triển hàm sau miền cho: ( z  1)( z  3) i | z | iii.0 | z  1| ii.| z | iv.| z | Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Giải: Bài 1:  n 1 1 i e         ; | z |  z 2! z n 0 n !  z  z 1  (1) n n  (1) n n 5 ii cos z   z  z z z n 0 (2n)! n  (2 n)! 1 1 1  5   z  z  ; | z |  z z 24 z 720 40320    1    1    iii    ( z  1)( z  j )  z     j    z    1 j    Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Giải Miền hội tụ |z + 1| > z 1  | z  1| 10 1 j    1    1    iii    z  ( z  1)( z  j )  z     j      1 j       1   z       z  1  j  j    n 0     1   z       j  j   n 0    n 1 n Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Bài i < |z| <     1  1    1  f ( z)           z  z 1   z   2z  1   1  z   3   1  1 z z  1      1     2z  z z  6  1 1 1       z  z  2z 2z z 18 54 Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Bài ii |z| >     1  1      f ( z)            z 1   z   2z  1  2z  1  z z    1   27   1       1      2z  z z z z  2z  z z  13     z z z Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Bài iii < |z + 1| < 2; đặt u = z +      1  f (u )    u  u  u   u   2u    2u   2  1 1 f ( z)    ( z  1)  ( z  1)  2( z  1) 16 Chuỗi hàm phức b Chuỗi Laurent Bài iv |z| <   1  1  f ( z)      z  z 1   1   3 1 1    z  z  z   1  z  z  z   6 27  13 40   z z  z 27 81   .. .Hàm phức ứng dụng Hàm giải tích Tích phân phức Chuỗi hàm phức Lý thuyết thặng dư Ứng dụng lý thuyết thặng dư Phép biến đổi bảo giác Chuỗi hàm phức      a Chuỗi hàm phức b Chuỗi hàm phức. .. khơng có kết luận Ví dụ: Tìm miền hội tụ chuỗi:   z  z   z n  1 z Chuỗi hàm phức a Chuỗi hàm phức Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức gọi hội tụ hàm f(z) miền D nếu:   0; N ( ) : f... z chuỗi hội tụ 3 Chuỗi hàm phức a Chuỗi hàm phức - Chuỗi S(z) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi:   n 1 f n ( z )  f1 ( z )  f ( z )   f n ( z )  hội tụ - Điều kiện cần đủ để chuỗi hội tụ chuỗi