Bài giảng toán kỹ thuật hàm phức và ứng dụng hàm giải tích

Hàm phức và ứng dụng... Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6.. Điều kiện Cauchy – Riémann Đạo hàm của hàm giải tích: Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm... Các tính chất

Toán kỹ thuật

III Hàm phức và ứng dụng

5 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

6 Phép biến đổi bảo giác

1 ( )

1 Hàm giải tích

d Điều kiện Cauchy – Riémann

w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y)

Điều kiện Cauchy – Riémann:

- f(z) có đạo hàm tại z = z 0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy –

Riémann tại z 0

- f(z) có đạo hàm tại z = z 0 và tại mọi điểm trong lân cận

của z 0 : f(z) giải tích tại z 0

z 0 là một điểm thường của f(z)

- f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D

1 Hàm giải tích

d Điều kiện Cauchy – Riémann

Đạo hàm của hàm giải tích:

Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm

1 Hàm giải tích

d Điều kiện Cauchy – Riémann

f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0

1 Hàm giải tích

d Điều kiện Cauchy – Riémann

Ví dụ: cho u(x,y) = x 2 – y 2 + 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho

f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích

1 Hàm giải tích

e Các tính chất của hàm giải tích:

Khái niệm Hàm điều hòa:

Φ(x,y) được gọi là hàm điều hòa nếu thỏa phương trình Laplace:

Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là hai

hàm điều hòa Trong trường hợp này u, v được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp

1 Hàm giải tích

e Các tính chất của hàm giải tích:

Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền D

thì các đường cong u(x,y) = c 1 là những quỹ đạo trực giao

với các đường cong v(x,y) = c 2

Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích, thay

ta sẽ thu được hàm theo biến z

sin( ) sin cos cos sin (cos ) / sin ; (sin

ln( ) ln ln

ln m ln

z z z z z

z z z

z m z

2 1

4 ln( 3) ln 3 ln 3 (2 1)

s s

z e s

z z

2 2

1 arctan ln

2

1 1 arctanh ln

1 Hàm giải tích

g Các ví dụ

1 Kiểm tra xem các hàm sau có phải là hàm giải tích?

2 Tìm a, b để hàm sau là hàm giải tích, tính dw/dz

Viết lại hàm w và dw/dz theo biến z?

3 Cho u = 2x(1 – y), tìm hàm v(x,y) để f(z) = u + jv là hàm giải tích?