Bài giảng toán giải tích chương 3 automata hữu hạn và biểu thức chính quy

2 Định nghĩa ôtômát automata Định nghĩa: là máy trừu tượng có cơ cấu và hoạt động đơn giản nhưng có khả năng đoán nhận ngôn ngữ • Con người phải lập trình sẵn cho máy một ‘lộ trình’ để

Automata hữu hạn &

Biểu thức chính quy

Nội dung:

• Khái niệm DFA & NFA

• Sự tương đương giữa DFA & NFA

• Biểu thức chính quy

• Các tính chất của tập chính quy

Chương 3:

2

Định nghĩa ôtômát (automata)

Định nghĩa: là máy trừu tượng có cơ cấu và hoạt động

đơn giản nhưng có khả năng đoán nhận ngôn ngữ

• Con người phải lập trình sẵn cho máy một ‘lộ trình’ để thực hiện

Bộ điều khiển

INPUT

OUTPUT

BỘ NHỚ

Phân loại automata

Automata đơn định (Deterministic Automata):

• Mỗi bước di chuyển chỉ được xác định duy nhất bởi cấu hình hiện tại (hàm chuyển của automata là đơn trị)

Automata không đơn định (Non-deterministic Automata):

• Tại mỗi bước di chuyển, nó có vài khả năng để lựa chọn (hàm

chuyển của automata là đa trị)

NFA

Nondeterministic Finite Automata

Biểu thức

chính quy

x

Phép chuyển trên nhãn x

Automata hữu hạn đơn định (DFA)

Giải thuật hình thức

• Mục đích: kiểm tra một chuỗi nhập x có thuộc ngôn ngữ

L(M) được chấp nhận bởi automata M

8

Automata hữu hạn không đơn định (NFA)

Nhận xét:

• Ứng với một trạng thái và một ký tự nhập, có thể có

không, một hoặc nhiều phép chuyển trạng thái

• DFA là một trường hợp đặc biệt của NFA

Định nghĩa NFA

Chú ý: khái niệm δ(q, a) là tập hợp tất cả các trạng thái p

sao cho có phép chuyển từ trạng thái q trên nhãn a

10

Ví dụ: xét chuỗi nhập w=01001 và NFA đã cho ở trên

• M( {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 2 , q 4 } )

{q4} {q4}

q4

Ø {q4}

q3

{q2} {q2}

q0

1

0 Trạng thái

Input

• δ(q0, 01) = δ( δ(q0, 0), 1) = δ({q0, q3},1) = δ(q0, 1)

Sự tương đương giữa DFA & NFA

Định lý 1: Nếu L là tập được chấp nhận bởi một NFA thì tồn

12

Ví dụ về sự tương đương giữa DFA & NFA

Ví dụ: NFA M ({q 0 , q 1 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 1 }) với hàm chuyển

NFA với - dịch chuyển (NFA)

Mở rộng hàm chuyển trạng thái cho NFA 

16

Mục đích: mô phỏng hoạt động của NFA

Sự tương đương giữa NFA và NFA

Định lý 2: nếu L được chấp nhận bởi một NFA có -dịch

chuyển thì L cũng được chấp nhận bởi một NFA không có



q1

{q2} {q1, q2}

Inputs δ’

Xây dựng DFA từ NFA()

Ví dụ: xây dựng DFA tương đương với NFA sau:

Ta xây dựng DFA M’= (Q’, Σ, δ’, q0’, F’) tương đương M

• Trạng thái bắt đầu: q0’ ↔ -CLOSURE(q0)

• F’ = { p | trong ký hiệu của p có chứa ít nhất một trạng thái của F }

• Xây dựng hàm chuyển δ’

20

Giải thuật xây dựng hàm chuyển δ’

Giải thuật:

T := -CLOSURE (q 0 ) ; T chưa được đánh dấu ;

Thêm T vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

While Có một trạng thái T của DFA chưa được đánh dấu do

Begin

Đánh dấu T; { xét trạng thái T}

For Với mỗi ký hiệu nhập a do

begin

U:= -closure((T, a))

If U không có trong tập trạng thái Q’ của DFA then

begin

Thêm U vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

Trạng thái U chưa được đánh dấu;

[T, a] := U;{ [T, a] là phần tử của bảng chuyển DFA}

end;

end;

End;

Xây dựng DFA từ NFA()

• Ký hiệu bắt đầu: q0’ = A (↔ -CLOSURE(q0) )

• Tập trạng thái kết thúc: F’ = {E} (vì trong E có chứa trạng

thái 10  F)

Xây dựng DFA từ NFA()

Biểu thức chính quy (RE)

Biểu thức chính quy (RE)

Định nghĩa: cho Σ là một bộ chữ cái BTCQ trên Σ là các tập

hợp mà chúng mô tả được định nghĩa đệ quy như sau:

●  là BTCQ ký hiệu cho tập rỗng

●  là BTCQ ký hiệu cho tập {}

● a  Σ, a là BTCQ ký hiệu cho tập {a}

● Nếu r và s là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R và S thì (r + s), (rs)

và ( r*) là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R  S, RS và R* tương ứng

Thứ tự ưu tiên:

Phép bao đóng > Phép nối kết > Phép hợp

Ví dụ:

• Biểu thức ((0(1*)) + 1) có thể viết là 01*+1

Sự tương đương giữa NFA  và BTCQ

Định lý 3: nếu r là BTCQ thì tồn tại một NFA với -dịch

chuyển chấp nhận L(r)

Chứng minh: quy nạp theo số phép toán

• Xét r không có phép toán nào

Sự tương đương giữa NFA và BTCQ

30

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Định lý 4: Nếu L được chấp nhận bởi một DFA, thì L được

thái nào lớn hơn k)

• Định nghĩa đệ quy của R k

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

• Ta sẽ chứng minh (quy nạp theo k) bổ đề sau: với mọi R k

ij đều tồn tại một

biểu thức chính quy ký hiệu cho R k

ij

 k = 0: R 0

ij là tập hữu hạn các chuỗi 1 ký hiệu hoặc 

 Giả sử ta có bổ đề trên đúng với k-1, tức là tồn tại BTCQ r k-1

lm sao cho L(r k-1

32

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Ví dụ: viết BTCQ cho DFA