Bài giảng toán giải tích chương 1 bổ túc toán

Chương 1: Bổ túc toán Nội dung: • Tập hợp • Quan hệ • Phép chứng minh quy nạp • Đồ thị Tập hợp (Set) Ví dụ: Phần tử • D = {Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun} • • Tập đối tượng rời rạc Không trùng lắp Định nghĩa: • Tập hợp tập đối tượng lặp lại Ký hiệu tập hợp Liệt kê phần tử: • D = {1, 2, 3} Đặc tả tính chất đặc trưng: • D = { x | x ngày tuần } Một số dạng tập hợp đặc biệt Tập rỗng: • Ký hiệu:  { } Tập hợp con: • Ký hiệu: A  B (Ngược lại: A  B ) • { 1, 2, }  { 1, 2, 3, 4, } • { 2, 4, }  { 1, 2, 3, 4, } Một số dạng tập hợp đặc biệt Tập hợp nhau: • Ký hiệu: A = B (Ngược lại: A  B ) • { 1, } = { 2, } { 1, 2, }  { 2, } Tập lũy thừa: • Ký hiệu: 2A • A = { 1, 2, } 2A = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} } Các phép toán tập hợp Phần bù (complement): • A’ = { x | x  A } Phép hợp (Union): • A  B = { x | x  A x  B } Phép giao (intersection): • A  B = { x | x A x  B } Các phép toán tập hợp Phép trừ (difference): • A \ B = { x | x  A x  B } Tích Đềcác: • A x B = { (a,b) | a  A b  B } Các phép toán tập hợp Ví dụ: cho A = {1, 2} B = {2, 3} • A  B = { 1, 2, } • AB={2} • A\B={1} • A x B = { (1,2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3) } • 2A = { , {1}, {2}, {1, 2} } Quan hệ S R ( A  B ) = aRb miền xác định (domain)  miền giá trị (range) Quan hệ Ví dụ: cho S = {0, 1, 2, 3} • Quan hệ ‘thứ tự nhỏ hơn’ L = { (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) } • Quan hệ ‘bằng’ E = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) } • Quan hệ ‘chẵn lẻ’ P = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)} 10 Các tính chất quan hệ Phản xạ (reflexive): aRa với aS Đối xứng (symmetric): aRb bRa Bắc cầu (transitive): aRb bRc aRc Ví dụ: • L không quan hệ phản xạ hay đối xứng • E P mang tính phản xạ, đối xứng bắc cầu 11 Quan hệ tương đương Quan hệ tương đương = Quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu Ví dụ: • E P quan hệ tương đương • L không quan hệ tương đương 12 Lớp tương đương Nếu R quan hệ tương đương S R phân hoạch S thành lớp tương đương không rỗng rời nhau: S = S1  S2  … Tính chất: • Si  Sj =  • Nếu a, b thuộc Si aRb • Nếu a  Si b  Sj aRb sai Ví dụ: P có lớp tương đương {0, 2} {1, 3} 13 Bao đóng quan hệ P-closure = quan hệ nhỏ thỏa tính chất P Bao đóng bắc cầu R+: • Nếu (a,b)  R (a,b) R+ • Nếu (a,b)  R (b,c)  R (a,c)  R+ • Không thêm R+ Bao đóng phản xạ bắc cầu R*: • R* = R+  { (a, a)  a  S } 14 Bao đóng quan hệ Ví dụ: R = { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } S = {1, 2, 3} • R+ = { (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) } • R* = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) } 15 Nguyên lý quy nạp Bước (cơ sở quy nạp): chứng minh P(0) Bước (giả thiết quy nạp): giả sử P(n-1) Bước (quy nạp): P(n - 1)  P(n),  n  n n ( n  1)(2n  1) Ví dụ: chứng minh  i  i 0 16 Đồ thị (Graph) Đồ thị G = (V, E) • V : tập đỉnh (nút) • E : tập cạnh nối nút Ví dụ: đồ thị G = (V, E) • V = { 1, 2, 3, 4, }   • E = { (n, m) | n+m = n+m = 7}    17 Đồ thị có hướng (Directed graph) Đồ thị G = (V, E) • V : tập đỉnh (nút) • E : tập cung có hướng v  w Ví dụ: đồ thị G = (V, E) • V = { 1, 2, 3, } • E={iji[...]... } • R* = { (1, 1) , (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) } 15 Nguyên lý quy nạp Bước 1 (cơ sở quy nạp): chứng minh P(0) Bước 2 (giả thiết quy nạp): giả sử P(n -1) Bước 3 (quy nạp): P(n - 1)  P(n),  n  1 n n ( n  1) (2n  1) Ví dụ: chứng minh  i  6 i 0 2 16 Đồ thị (Graph) Đồ thị G = (V, E) • V : tập các đỉnh (nút) • E : tập các cạnh nối giữa 2 nút Ví dụ: đồ thị G = (V, E) • V = { 1, 2, 3, 4, 5... 2} và {1, 3} 13 Bao đóng của quan hệ P-closure = quan hệ nhỏ nhất thỏa các tính chất trong P Bao đóng bắc cầu R+: • Nếu (a,b)  R thì (a,b) R+ • Nếu (a,b)  R và (b,c)  R thì (a,c)  R+ • Không còn gì thêm trong R+ Bao đóng phản xạ và bắc cầu R*: • R* = R+  { (a, a)  a  S } 14 Bao đóng của quan hệ Ví dụ: R = { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } trên S = {1, 2, 3} • R+ = { (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) }... = { (n, m) | n+m = 4 hoặc n+m = 7}    17 Đồ thị có hướng (Directed graph) Đồ thị G = (V, E) • V : tập các đỉnh (nút) • E : tập các cung có hướng v  w Ví dụ: đồ thị G = (V, E) • V = { 1, 2, 3, 4 } • E={iji ...  a  S } 14 Bao đóng quan hệ Ví dụ: R = { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } S = {1, 2, 3} • R+ = { (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) } • R* = { (1, 1) , (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) } 15 Nguyên... (0, 1) , (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) } • Quan hệ ‘bằng’ E = { (0, 0), (1, 1) , (2, 2), (3, 3) } • Quan hệ ‘chẵn lẻ’ P = { (0, 0), (1, 1) , (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1) }... AB= {1} • A x B = { (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3) } • 2A = { , {1} , {2}, {1, 2} } Quan hệ S R ( A  B ) = aRb miền xác định (domain)  miền giá trị (range) Quan hệ Ví dụ: cho S = {0, 1, 2,