Bài giảng đại số c chương 1 ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính

Ma trận –– Hệ PT ĐSTT Hệ PT ĐSTT Các ma tr ận vuông đặc biệt: • Ma tr ận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 là ma trận đường chéo diagonal matrix.. • Ma

Trang 1

Đại số C

Số tiết: 30 tiết

Trang 2

Nội dung

• Chương 1: Ma trận và hệ phươngtrình ñại số tuyến tính

• Chương 2: Định thức và hệ phươngtrình ñại số tuyến tính

• Chương 3: Không gian vector

• Chương 4: Trị riêng Vector riêng.Chéo hóa ma trận

Trang 3

Hình thức tính ñiểm

• Thi giữa học kỳ chiếm 30%

• Thi cuối học kỳ chiếm 70%

• Điểm thưởng tích cực trong giờ bàitập: +5%

• Chú ý: Điểm giữa kì và cuối kỳ chỉñạt tối ña khi làm tốt nhóm bài tập

Trang 4

Chia nhóm giải bài tập

• Mỗi nhóm từ 10-15 sinh viên

• Các nhóm giải tất cả các bài tập từC1 – C4 trong giáo trình: Ngô ThànhPhong, Đại số tuyến tính và quyhoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM,2003

• Thời gian nộp: hai tuần sau khi kếtthúc một chương

Trang 5

• Hình thức viết báo cáo và nộp bài:

– Nhóm trưởng chia bài tập của từng chương cho từng thành viên.

– Yêu cầu tất cả tv phải tham gia.

– Viết báo cáo:

• Viết tay, không ñánh máy.

• Thành viên nào làm phần nào phải tự viết tay phần mình làm.

• Báo cáo viết trên giấy A4, không viết bằng bút chì.

Trang 6

• Công việc của nhóm trưởng:

– Lập danh sách tv nhóm.

– Phổ biến hình thức viết báo cáo, hạn nộp, cách trình bày và cách tính ñiểm – Phân công công việc.

– Tập hợp các báo cáo của thành viên.

– Trình bày trang bìa báo cáo.

– Theo dõi và ñánh giá công việc của từng thành viên.

Trang 7

• Công việc của thành viên nhóm:

– Hoàn thành công việc nhóm trưởng giao.

– Viết báo cáo (viết bằng tay, không ñánh máy) rõ ràng, sạch sẽ, không gạch xóa lung tung.

– Dòng ñầu tiên trên trang ñầu, viết rõ họ

và tên, MSSV, và danh sách các bài tập ñược giao.

Trang 8

• Tính ñiểm:

– Điểm cho nhóm hoàn thành tốt công việc: mỗi tv ñược +10%/tổng ñiểm ñược chia như sau:

• +10%/tổng ñiểm thi giữa kì.

• +10%/tổng ñiểm thi cuối kì.

– Thành viên không hoàn thành công việc

sẽ bị trừ ñiểm, tối ña 10% như cách tính

ở trên.

– Nhóm có trên 30% tv không hoàn thành tốt công việc, cả nhóm sẽ bị trừ ñiểm 8

Trang 9

– Tự nguyện.

Trang 10

Tài liệu tham khảo

• Ngô Thành Phong, Đại số tuyến tính và quy hoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2003

• Bùi Xuân Hải, Đại số tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2001

• Gilbert Strang, Linear Algebra and Its

• Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th Indian edition, Brooks/Cole INDIA, 2005.

• Trang web môn học:

– http://thangbuikhtn.tk/

• Địa chỉ email:

– bxthang071@yahoo.com.vn

– thangkhtn071@gmail.com 10

Trang 14

Đường chéo chứa a11, a22, …, a nn

là đường chéo chính của A, đường chéo còn lại

Trang 15

Chương 1 Ma trận Chương 1 Ma trận –– Hệ PT ĐSTT Hệ PT ĐSTT

Các ma tr ận vuông đặc biệt:

• Ma tr ận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài

đường chéo chính đều bằng 0 là ma trận đường chéo

(diagonal matrix) Ký hiệu: dig(a11, a22, …, a nn)

• Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 là ma trận đơn vị cấp n

(Identity matrix) Ký hiệu I n

Trang 16

• Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các

phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều

Trang 22

2 3 5

Trang 25

E

Trang 27

Chú ý:

1) , ∈ M

n

A B Tồn tại AB và BA, trong trường hợp tổng quát AB

khác BA (phép nhân 2 ma trận không có tính giao hoán) Ngược lại, nếu AB=BA thì ta nói A và B

giao hoán v ới nhau

Trang 33

Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n Ta gọi lũy

th ừa bậc k (k: số nguyên) của A là một ma

trận cấp n (ký hiệu Ak ) được xác định một cách quy n ạp như sau

• Ma tr ận lũy linh:

Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện

Ak =0 với một số nguyên k nào đó thì A gọi là

Trang 37

Vậy a = 0

Trang 38

Các phần tử trên dòng thứ 2 là: (–1 1 –1 … –1 1) Các phần tử trên cột thứ 5 là: (1 –1 1 …1 –1)

Vậy a25 = −40 ⇒ B

Trang 39

2) Sau 1 số hữu hạn các PBĐSC dòng ta được

ma trận B tương đương với A, ký hiệu B A∼

3) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên

Trang 42

3 N ếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử

chính c ủa hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng

d ưới.

4 M ỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng không.

Trang 43

Ma tr ận dạng bậc thang:

1 Ma tr ận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0.

2 Trên hai dòng khác không, ph ần tử khác không đầu tiên

c ủa dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên c ủa dòng trên.

Dòng 0 là dòng g ồm tất cả các phần tử bằng 0.

Trang 44

• Mọi ma trận đều có thể đưa về bậc thang bằng hữu

hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng 44

Trang 45

5 Ma tr ận vuông khả nghịch:

Cho A là ma trận vuông cấp n khác không,

ta nói A kh ả nghịch khi tồn tại ma trận B

cùng cấp với A sao cho: AB=BA=In Khi đó

ta nói B là ma tr ận nghịch đảo của A, ký

hiệu: B=A-1

• Định nghĩa:

• Nếu A không khả nghịch, ta nói A suy biến.

• Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì A cũng là ma

Trang 47

B ước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa

[A|I] v ề dạng [A’|B] Có 2 trường hợp:

Bước 1: Lập ma trận có dạng [An|In].

[A|I] v ề dạng [A’|B] Có 2 trường hợp:

1 MT A’ có m ột dòng (hoặc một cột) bằng 0 Ta

dừng lại và kết luận A suy biến.

2 MT A’=In Ta d ừng lại và kết luận A khả nghịch,

và ma trận nghịch đảo A-1 =B.

Trang 52

1.6 M ột số ứng dụng của ma trận trong kinh tế

VD 22 Một khách hàng mua tại siêu thị X lượng gạo,

thịt, rau (đơn vị: kg) cho bởi ma trận A = (12; 2; 3) với giá tương ứng (ngàn đồng / kg) cho bởi B = (9; 62; 5) Khi đó, AB T = (12 2 3 9)( 62 5)T = (247)

Vậy số tiền khách hàng phải trả là 247.000 đồng

VD 23 Công ty X có 3 cửa hàng I, II, III cùng bán 4

mặt hàng: tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy lạnh với giá bán

tương ứng (triệu đồng / chiếc) cho bởi ma trận

(3 5 4,5 6, 7)

Trang 54

Chỉ số giá Laspeyres và Paasche

VD 24 Giả sử bán (ngàn đồng / kg) của gạo, đường và

bột mì vào các ngày 1/1 và 1/6 lần lượt cho bởi 2 cột

Một người A trong hai ngày đó đã mua vào lượng

hàng tương ứng cho bởi 2 cột của ma trận

Trang 56

1) Nếu lấy ngày 1/1 làm cơ sở thì v11, v12 lần lượt là

giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ

sở tính tại ngày cơ sở và ngày 1/6 Khi đó:

12 11

1, 047

v

v ≈ được gọi là chỉ số Laspeyres

2) Nếu lấy ngày 1/6 làm cơ sở thì v21, v22 lần lượt là

giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ

sở tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở Khi đó:

22 21

1, 038

v

v ≈ được gọi là chỉ số Paasche

Trang 57

• Ta nói (c1,c2,…,cn) là nghi ệm của hệ (*) nếu khi thay

x1=c1, x2=c2…,xn=cn vào (*) thì t ất cả các đẳng thức trong (*) đều thỏa.

Trang 59

• H ệ (*) được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

x X

Ma tr ận ẩn số Ma tr ận hằng số.

Trang 61

x x

Trang 63

1 Hai ma tr ận tương đương nhau khi và chỉ khi tồn tại một

s ố hữu hạn các phép BĐSC trên dòng biến ma trận này thành ma tr ận còn lại.

• Lưu ý:

2 T ừ hệ PT ĐSTT ban đầu ta đưa nó về dạng một hệ PT

3 Đối với hệ PT thuần nhất có cột các hệ số hằng bằng 0, nên khi gi ải ta không cần lập ma trận hệ số mở rộng mà

ch ỉ cần lấy ma trận hệ số để biến đổi.

ĐSTT đơn giản hơn, bằng cách sử dụng các phép

B ĐSC trên dòng tùy ý đối với ma trận hệ số mở rộng

c ủa hệ ban đầu.

Trang 65

 → d1/2

Trang 66

B ước 3: Hệ có nghiệm duy nhất

x

Trang 67

• Ph ương pháp Gauss giải hệ PT ĐSTT:

Trang 69

x

Trang 71

N ếu A không suy biến thì hệ phương trình có một

nghi ệm duy nhất

X=A-1B

Trang 73

x y z

Trang 76

4 6 3

7

x x x x x

Trang 78

α α α

Trang 80

Chương 1 Ma trận Chương 1 Ma trận –– Định thức Định thức –– Hệ pttt Hệ pttt

3.5 M ột số mô hình tuyến tính trong phân tích

Kinh t ế

3.5.1 Mô hình cân b ằng thị trường

a) Th ị trường một loại hàng hóa

• Gọi ,P Q D , Q S lần lượt là giá thị trường, lượng cầu

và lượng cung của mặt hàng cần khảo sát Khi đó,

lượng Q S và Q D phụ thuộc vào P Các mối quan hệ

này được gọi là hàm cung và hàm cầu

• Giả sử ta có các mối quan hệ tuyến tính:

D

P = aQ + và b P = cQ S + d

Người ta đã chứng minh được rằng:

thông thường l ượng cầu giảm khi giá tăng và

l ượng cung tăng khi giá tăng 80

Trang 81

• Thị trường cân bằng khi

lượng cung bằng lượng cầu

Giá P0 là giá cân bằng và

lượng Q0 là lượng cân bằng

VD 13 Cho biết hàm cung và

hàm cầu của 1 loại hàng hóa:

5P = Q S + 30, 4P = −Q D + 240

Hãy tìm giá cân bằng và lượng cân bằng?

Giải Khi thị trường cân bằng, ta có: Q S = Q D = Q0

Trang 82

2) Giả sử nhà nước đánh thuế 5 đơn vị tiền tệ trên 1 đơn vị sản phẩm Hãy cho biết người mua hay người bán phải trả thuế này?

Trang 83

So sánh 2) và 1) ta thấy giá cân bằng tăng lên 2 đơn

vị và đó là phần thuế người mua phải trả; phần còn

lại người bán phải trả

b) Th ị trường nhiều loại hàng hóa liên quan

• Trong thị trường nhiều hàng hóa, giá của mặt hàng này có thể ảnh hưởng đến lượng cung – cầu của các

mặt hàng khác Hàm cung – cầu tuyến tính của thị

Trang 84

Q Q và P i tương ứng là lượng cung,

cầu và giá của hàng hóa i

Trang 85

• Nếu việc tăng giá mặt hàng 2 làm giảm lượng cầu

mặt hàng 2 và cũng làm lượng cầu của mặt hàng 1

giảm theo thì ta nói 2 mặt hàng phụ thuộc lẫn nhau

1) Hãy tìm giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng?

2) Hãy cho biết hai mặt hàng này có thể thay thế lẫn

nhau hay phụ thuộc lẫn nhau?

Giải 1) Khi thị trường cân bằng, ta có:

Trang 86

P ↑⇒ Q ↑⇒ hai mặt hàng này có thể thay thế nhau

VD 16 Cho biết hàm cung và cầu của 3 loại hàng hóa:

1) Hãy tìm giá và lượng cân bằng của ba mặt hàng?

2) Hãy cho biết ba mặt hàng này có thể thay thế lẫn

nhau hay phụ thuộc lẫn nhau? 86

Trang 87

2) Từ các hàm cầu, ta thấy rằng: bất kỳ mặt hàng nào

tăng giá sẽ kéo tất cả lượng cầu giảm theo

Do đó, ba mặt hàng này là phụ thuộc lẫn nhau

Trang 88

Mỗi ngành sản xuất 1 loại hàng hóa hoặc sản xuất

1 số loại hàng hóa theo tỉ lệ nhất định

Các yếu tố đầu vào (input – nguyên liệu) của sản

xuất trong 1 ngành được sử dụng theo tỉ lệ cố định

Trang 89

• Tổng cầu đối với đầu ra (output – sản phẩm) của mỗi

ngành bao gồm:

Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng

các loại sản phẩm cho quá trình sản xuất

Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng các loại

sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu

ổ

b) Mô hình I/O tổng quát

• Giả sử có m đầu vào được dùng để sản xuất n đầu ra (m > n) Trong m đầu vào có n đầu vào lấy từ n đầu

ra của chính n ngành sản xuất và m – n đầu vào lấy

từ m – n đầu ra ngành khác

Gọi a ij: số đơn vị đầu vào i (i = 1, 2,…, m) để

sản xuất 1 đơn vị đầu ra j (j = 1, 2,…, n), 89

Trang 90

b : giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng

và xuất khẩu (cầu cuối cùng)

Trang 91

D = d d của ngành kinh tế mở (ngành không

sản xuất mà chỉ tiêu thụ sản phẩm của n ngành sản

xuất trên)

Khi đó, m = n và AX = ⇔Y AX = X − D

⇔ (I − A X) = D (II)

c) Định lý

• Trong (II), n ếu tất cả các phần tử của A và D không

âm đồng thời tổng các phần tử trên mỗi cột của A

nhỏ hơn 1 thì I A− khả nghịch

Trang 92

1) Pt(I) dùng để tìm đầu vào Y khi biết đầu ra X

2) Các số liệu ở cột j trong 1

(I − A)− cho bi ết lượng đơn vị phải sản xuất thêm (đầu ra tăng thêm) của

m ỗi ngành khi nhu cầu của ngành mở đối với ngành

j t ăng thêm 1 đơn vị

3) Pt(II) cho phép ta xác định được tổng cầu đối với

hàng hóa c ủa tất cả các ngành sản xuất Giúp cho

vi ệc lập kế hoạch sản xuất đảm bảo cho nền kinh tế

v ận hành tốt, tránh dư thừa hay thiếu hàng hóa 92

Trang 93

VD 17 Xét nền kinh tế có 2 ngành: ngành 1 sản xuất điện, ngành 2 sản xuất gas Giả sử

1 đơn vị đầu ra điện cần số đơn vị đầu vào là:

0,3 điện; 0,1 gas; 1,0 nước

1 đơn vị đầu ra gas cần số đơn vị đầu vào là:

0,2 điện; 0,4 gas; 1,2 nước

Trang 94

1, 0x +1, 2x = y

Vậy, đặt

0, 3 0, 20,1 0, 4

2) Cho biết giá của mỗi đơn vị đầu vào điện, gas và

nước lần lượt là 8, 4 và 1 Hãy tìm tổng chi phí để

sản xuất 1000 đơn vị đầu ra ngành điện và 900 đơn

vị đầu ra ngành gas?

Trang 99

2) Cho biết nhu cầu của ngành mở đối với đối với

ngành 1 giảm 1 đơn vị; ngành 2 tăng 2 đơn vị; ngành 3 giảm 1 đơn vị thì mức sản lượng (đầu ra)

của 3 ngành tăng hay giảm bao nhiêu?

Trang 100

Bài tập mẫu

Giải và biện luận hệ phương

trình có chứa tham số

Trang 101

• Bài 119: Cho hệ phương trình

1 1 1

Trang 103

k k

Trang 104

( )( )

3

1 2 /

Trang 108

k k

Trang 110

k = − Ta có:

Hệ có nghiệm duy nhất.

Định dạng
Số trang	110
Dung lượng	2,71 MB