Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức và ma trận ngịch đảo cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận, các loại ma trận, phép toán ma trận, cộng, trừ, nhân vô hướng, nhân hai ma trận, ma trận nghịch đảo, ứng dụng ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo.
10/10/2019 NỘI DUNG Ma trận Các loại ma trận Phép toán ma trận: Cộng Trừ Nhân vô hướng Nhân hai ma trận Ma trận nghịch đảo MA TRẬN - ĐỊNH THỨC & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CHƯƠNG 10/10/2019 Ứng dụng ma trận 10/10/2019 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN VÍ DỤ Một ma trận cấp mxn bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng n cột Một ma trận cấp 2x3 A= (m x n): cấp ma trận A = [aij] // aij is called (i, j)-entry hay A a11 a12 a21 a22 a1n a 2n am am amn 10/10/2019 // dòng, cột -3 1/2 -5 x 3matrix, a square matrix 10/10/2019 VÍ DỤ (1,3)-phần tử a[1,3] = 1/2 a13 = 1/2 x matrix column matrix CÁC LOẠI MA TRẬN A Ký hiệu ma trận: Ví dụ: A a ij Ma trận vuông m n 7 Ma trận không Ma trận hàng - ma trận cột Ma trận tam giác – Ma trận chéo Ma trận đơn vị Ma trận chuyển vị Đây ma trận thực cấp 3x4 Gồm có hàng cột Các phần tử a11 a22 10/10/2019 Ma trận bậc thang Ma trận đối xứng a12 a 32 ? a13 a14 Ma trận phản đối xứng 10/10/2019 10/10/2019 MA TRẬN VUÔNG MA TRẬN KHÔNG Nếu m=n ta nói A ma trận vng cấp n Tất phần tử A a11 a12 a21 a22 a1n a 2n an an Ký hiệu: hay 0mxn a ij n n 0m ann 0 0 0 0 0 n Đường chéo gồm phần tử: a11, a22, , ann 10/10/2019 10/10/2019 MA TRẬN HÀNG, CỘT MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN 0 Ma trận hàng: có hàng Ma trận cột: có cột A A B A B i j 10 MA TRẬN CHÉO 0 0 0 A 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 Ma trận vuông Ma trận vng Các phần tử đường chéo Tam giác trên: đường chéo aij 10/10/2019 i 10/10/2019 MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI 0 B 0 Các phần tử đường chéo 0 Ma trận vuông aij 10/10/2019 C a 0 b Tam giác dưới: đường chéo j aij 11 10/10/2019 i j 12 10/10/2019 MA TRẬN ĐƠN VỊ 0 I2 I3 MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX 0 0 I4 0 0 0 0 0 0 Phần tử sở hàng: phần tử khác hàng kể từ bên trái Ma trận bậc thang: Hàng khơng có phần tử sở (nếu tồn tại) nằm Phần tử sở hàng nằm bên phải (không cột) so với phần tử sở hàng Ma trận chéo Các phần tử chéo Ký hiệu: In ma trận đơn vị cấp n 10/10/2019 13 10/10/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ A 0 0 B 0 0 0 0 9 10/10/2019 Không bậc thang Không bậc thang 15 MA TRẬN CHUYỂN VỊ 10/10/2019 14 C 0 0 D 0 0 0 0 bậc thang bậc thang 10/10/2019 16 MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG 17 10/10/2019 18 10/10/2019 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG VÍ DỤ Thực phép biến đổi ma trận sau: Đổi chỗ hai hàng với hi hj Thay hàng hàng nhân với số khác hi k hi k A Thay hàng hàng cộng với hàng khác nhân với số hi hi h j h2 h3 ?? ? h3 h2 h3 h2 2h1 h3 8h1 h 9h2 A' ?? Ma trận A’ gọi ma trận tương đương hàng với ma trận A Ký hiệu: A’ ~ A Tổng hợp phép hi 3 k hi h j Tương tự ta có phép bđsc cột 10/10/2019 19 ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG 10/10/2019 20 VÍ DỤ Định lý Mọi ma trận đưa dạng bậc thang phép biến đổi sơ cấp hàng Chú ý Khi dùng phép biến đổi sơ cấp hàng ta thu nhiều ma trận bậc thang khác elementary row operations A arbitrary form 10/10/2019 A' staircase form, not unique 21 VÍ DỤ 10/10/2019 22 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ma trận Cộng hai ma trận cấp Nhân số với ma trận Nhân hai ma trận Lũy thừa ma trận 10/10/2019 23 10/10/2019 24 10/10/2019 HAI MA TRẬN BẰNG NHAU PHÉP TOÁN MA TRẬN Hai ma trận A B (ký hiệu A = B) khi: Chúng có cấp Các phần tử tương ứng Cộng hai ma trận A + B = [aij + bij] Hai ma trận phải cấp Trừ hai ma trận A – B = [aij – bij] Nhân vô hướng Example Given Nhân hai ma trận discuss the possibility that A = B, B = C, A = C 10/10/2019 25 CỘNG HAI MA TRẬN 10/10/2019 26 CỘNG HAI MA TRẬN Điều kiện: hai ma trận phải cấp Cộng phần tử tương ứng với a b c A A B a b B 4 c A d d a) A B b) A B c)B A ; B Điều kiện: hai ma trận phải cấp 10/10/2019 27 NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN 10/10/2019 28 TÍNH CHẤT Nhân số với ma trận ta lấy số nhân vào tất phần tử ma trận a) A B c) A Ví dụ e) k mA A a b c 2A 2a 2b 2c 10 x B b) A B d)k A km A f) k C A B B kA kB m A kA mA 3 B 2 10 Compute : a) A 10/10/2019 A C Example Given that : A B B A 29 B 10/10/2019 b)2A 3B c) A 4 use your calculator B 30 10/10/2019 VÍ DỤ ADDITION DIFFERENCE SCALAR MULTIPLICATION Rút gọn biểu thức: day addition 2(A + 3C) - 3(2C-B) - 3[2(2A +B - 4C) - 4(A - 2C)] difference Trong A, B, C ma trận cấp day + day 2? day – day 2? Đáp án: 2A-3B day Scalar multiplication 2(day 1)? 110 230 280 300 155 389 35 117 201 10/10/2019 31 10/10/2019 PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO peanuts 15 group A group B soda PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN hot dogs 12 13 selling price store store store store peanuts 2.5 2.5 soda 2.5 2.75 hot dogs 3 2.5 Am n Bn p = Cm p store 64.5 86.5 store 66 87.5 store 59.75 81.75 // cấp thứ tự phải phù hợp Phần tử cij = (hàng i A).(cột j B) 2 1.1+2.1 1 -1 -2 1 1 -2 8x2.5 + 5x2 + 12x3 = 66$ group A group B 32 -1 -4 Q Điều kiện để hai ma trận nhân với nhau? store 66 90.5 A 10/10/2019 33 10/10/2019 VÍ DỤ 34 QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN Các ma trận nhân với nhau? A 3 B C D 10/10/2019 2 10 4 Phần tử nằm vị trí ij ma trận hàng i ma trận đầu nhân với cột j ma trận sau cij hang i cot j C A B Ví dụ Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng A nhận với cột B (giống nhân tích vơ hướng vecto) 35 10/10/2019 36 10/10/2019 VÍ DỤ 10/10/2019 VÍ DỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 37 TÍNH CHẤT 10/10/2019 38 ỨNG DỤNG (3, 5) (4, 3) (5,0) (0, 0) (2, 3) A Cho A = 0 , D= 0 3 𝑇ì𝑚 𝐴𝐷 10 0 6 10 10/10/2019 39 LŨY THỪA CỦA MA TRẬN 10/10/2019 10/10/2019 A 40 VÍ DỤ 41 10/10/2019 42 10/10/2019 VÍ DỤ 10/10/2019 VÍ DỤ 10 43 VÍ DỤ 11 10/10/2019 44 HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E Khi ta gọi hạng ma trận A số hàng khác không ma trận bậc thang Ký hiệu: r(A) hay rank(A) r(A) = số hàng khác không ma trận bậc thang E Ma trận bậc thang A: A→ bđsc theo dịng… →A’ (có dạng bậc thang) 10/10/2019 45 VÍ DỤ 12 10/10/2019 46 VÍ DỤ 13 Sử dụng phép biến đổi sơ cấp tìm hạng ma trận sau 1 2 A 1 4 1 3 C 6 10/10/2019 47 10/10/2019 2 B 0 D 2 48 10/10/2019 VÍ DỤ 14 TÍNH CHẤT Tìm hạng ma trận i) A 21 14 42 1 13 10/10/2019 1 ii ) A B r A iii ) A aij iv ) r A 49 VÍ DỤ 15 r AT r A 10/10/2019 m n r B r A A m, n 50 VÍ DỤ 16 10/10/2019 51 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 10/10/2019 52 VÍ DỤ Định nghĩa Cho A ma trận vuông A, ma trận B gọi ma trận nghịch đảo (inverse) ma trận A nếu: A.B B.A I I Ma trận A có ma trận nghịch đảo gọi ma trận khả nghịch (invertible matrix) Ma trận nghịch đảo A kí hiệu A-1 Tính chất: I A A I A.A 10/10/2019 53 10/10/2019 54 10/10/2019 CHÚ Ý THE INVERSE OF 2X2 MATRICES Chỉ ma trận vng khả nghịch (khả đảo) Không phải ma trận vuông A khả nghịch Có nhiều ma trận vng khơng khả nghịch a c A b d A d 1 ad Ma trận khả nghịch gọi ma trận không suy biến bc b c a determinant of A, denoted by det(A) Ma trận không khả nghịch gọi ma trận suy biến Example: A 10/10/2019 55 MA TRẬN SƠ CẤP 10/10/2019 A 1 56 CHÚ Ý Ma trận thu từ ma trận đơn vị I phép biến đổi sơ cấp gọi ma trận sơ cấp Ví dụ Một phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng Một phép biến đổi sơ cấp cột ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng 10/10/2019 57 VÍ DỤ 17 10/10/2019 58 BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ta có: 10/10/2019 59 10/10/2019 60 10 10/10/2019 VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 10/10/2019 VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 61 CLASS WORK 10/10/2019 62 TÍNH CHẤT Cho hai ma trận A, B khả nghịch Ta có: Hãy tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có i) A 1 ii ) A.B iii ) A iv ) A.B v ) B.A 10/10/2019 63 SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH A T B 1.A AT AC C A B B 1 C C 10/10/2019 64 VÍ DỤ 19 Tìm m để ma trận sau khả nghịch A 10/10/2019 65 10/10/2019 1 2 m B 3 1 m m 66 11 10/10/2019 VÍ DỤ COROLLARY If A and C are square matrices such that AC = I, then also CA = I In particular, both A and C are invertible: C = A-1, and A = C-1 Corollary above is false if A and C are not square matrices 10/10/2019 67 TỔNG HỢP 10/10/2019 68 BÀI Ma trận gì? Phân loại? Các phép tốn với ma trận? Hạng ma trận? Ma trận khả nghịch? 10/10/2019 69 BÀI 10/10/2019 10/10/2019 70 BÀI 71 10/10/2019 72 12 10/10/2019 BÀI 10/10/2019 BÀI 73 10/10/2019 74 BÀI ĐỊNH THỨC DETERMINANT 10/10/2019 75 10/10/2019 76 NỘI DUNG ĐỊNH THỨC Cách tính định thức ma trận vuông Cho ma trận A vuông, cấp n Biến đổi định thức Định thức ma trận A, ký hiệu: Ứng dụng định thức det A hay A Đây số thực, xác định dựa phần tử ma trận 10/10/2019 77 10/10/2019 78 13 10/10/2019 ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP + - + ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP 1, Ma trận vuông cấp 1: A det A a11 𝑎 𝑏 𝐴= 𝑑 𝑒 𝑔 ℎ 1 a11 hay A a11 det(A) = Ma trận vuông cấp 2: det A A a11 a21 a12 a22 a11 a21 2 a11.a22 a12 a22 a21.a12 a11.a22 +a.det a21.a12 10/10/2019 Tính định thức sau quy tắc Sarrus a11.a22 a 33 a12 a23 a 31 a13 a 21.a 32 a 31.a22 a13 a 32 a23 a11 a 33.a 21.a12 a11 a21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a11 a 23 a 21 a 33 a 31 A a12 a 22 a 32 B 10/10/2019 81 ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT a11 a12 a1n a21 a 22 a 2n an an ann 1 C D 10/10/2019 j det M ij m 2m m 2 m 2 82 Cho ma trận: A n n Phần bù đại số (cofactor) phần tử aij ký hiệu xác định sau: i 10/10/2019 Ký hiệu Mij ma trận nhận từ ma trận A cách bỏ hàng thứ i cột thứ j 1 VÍ DỤ Dùng phần bù đại số khai triển theo hàng (cột) Aij 80 VÍ DỤ Ta có quy tắc Sarrus A 𝑓 𝑑 𝑒 + c.det 𝑔 ℎ 𝑖 10/10/2019 QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP A 𝑑 𝑒 𝑓 - b.det 𝑔 ℎ 𝑖 = aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge 79 det A 𝑐 𝑓 𝑖 i j M ij 83 21 14 42 1 13 4 M23=??? Cofactor(a23)= A23=??? Giá trị, số Ma trận 10/10/2019 84 14 10/10/2019 VÍ DỤ KHAI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT bỏ hàng cột M 23 21 14 42 M 23 13 Định thức ma trận vuông cấp n: det A a11.A11 a12 A12 a1nA1n Đây khai triển theo dòng A23 Ta khai triển dịng hoặt cột ??? n det A 1Ai 2Ai ain Ain j n detA = a1jA1j + a 2jA 2j + a njA nj = 10/10/2019 85 TỔNG QUÁT a)k 1: A a11 b) k :A a11 a21 a12 a22 a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 c) k :A 1 a11.a 22 a 21.a12 a11.A11 a12 A12 2 a13 a 23 a 33 det A a11.A11 a12 A12 a ijA ij 86 0 A Tính định thức sau: a11 det A i=1 10/10/2019 VÍ DỤ det A a ijAij Khai triển theo dòng 1: a13A13 detA=1 -1 1+1 1+2 +2 -1 1+3 +3 -1 detA=1 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26 Khai triển theo cột detA=1 -1 10/10/2019 87 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC 1+1 +0.A21 +0.A 31 5.8-2.7 =26 Nên chọn cột có nhiều số để khai triển 10/10/2019 88 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC Ví dụ Tính định thức hai ma trận sau: A 0 0 61 B 21 0 0 DETERMINANT = a 11.a 22…a nn 10/10/2019 89 10/10/2019 90 15 10/10/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Tìm det(A), det(B), det(AB), det(A+B) biết rằng: Tìm det(A), det(3A), det(A2) nếu: 𝐴= −2 𝑣à 𝐵= −2 𝐴= o det(cA) = cndet(A) o det(Ak) = [det(A)]k det(A.B) = det(A).det(B) det(A+B) det(A) + det(B) 10/10/2019 −2 91 TÍNH CHẤT 10/10/2019 92 VÍ DỤ o Tính định thức sau: Cho A, B ma trận vuông cấp n Ta có: −1 |𝐴| = = −1.3 −2 = 6, 0 −2 o det(A.B) = det(A).det(B) o det(kA) = kndet(A) −1 = −6 // đổi dòng với dòng từ ma trận A, 0 −2 o det(AT) = det(A) o det(A-1) = 1/det(A) o det(Ak) = [det(A)]k 10/10/2019 −4 −6 = −12 // nhân hàng ma trận A với số -2 0 −2 93 VÍ DỤ 10/10/2019 94 BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC o Tính định thức sau: −1 −2 = −5 −4 −1 −2 = −5 0 Ma trận định thức sau có từ ma trận ban đầu cách thay dòng (2* dòng2 + dòng 3) Chúng có định thức 10/10/2019 95 10/10/2019 96 16 10/10/2019 ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS EXAMPLE 10/10/2019 10/10/2019 97 VÍ DỤ 10/10/2019 TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC 99 VÍ DỤ 10/10/2019 98 10/10/2019 100 VÍ DỤ 101 10/10/2019 102 17 10/10/2019 NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC VÍ DỤ – SINH VIÊN TỰ LÀM Tính định thức ma trận sau: A 1 C= 1 4 B 10/10/2019 103 VÍ DỤ 1 5 10/10/2019 104 ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH Định thức ma trận: Cho A ma trận cấp mxn Chọn phần tử nằm giao k dòng k cột A ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận vuông cấp k ta gọi định thức cấp k A Hỏi Có định thức cấp k ma trận A cấp mxn - Số cách chọn k dòng - Số cách chọn k cột Số định thức cấp k??? 10/10/2019 105 VÍ DỤ Cho ma trận A 106 HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho A ma trận cấp m.n khác O Hạng ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) cấp cao định thức khác ma trận A 1 2 A 0 1 1 3 Nếu rank(A)=r thì: Hãy lập tất định thức cấp 1; cấp 2; cấp 3? a) Tồn định thức cấp r khác A Định thức cấp lớn nhất? 10/10/2019 10/10/2019 b) Mọi định thức A cấp lớn r (nếu có) phải 107 10/10/2019 108 18 10/10/2019 ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX) Cho ma trận A vng cấp n Ta có: i) A khả nghịch A ii) A khả nghịch r A iii) A khả nghịch det A iv) A không khả nghịch Ma trận phụ hợp ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA In Là ma trận chuyển vị ma trận chứa phần bù đại số ma trận A n det A adjA Aij Nếu ma trận A khả nghịch thì: a ) det A 1 det A b) det PA det A 10/10/2019 n 109 VÍ DỤ A11 A PA 21 An1 An A21 A22 A2 n An1 An Ann 110 Định lý Nếu A ma trận vng thì: k det A A.PA =PA.A=k.I, B) Tính ma trận tích sau: 111 VÍ DỤ Nếu detA≠0 ma trận A khả nghịch ma trận nghịch đảo A cho công thức sau: A 1 P det A A 10/10/2019 112 VÍ DỤ 1 1 2 3 A 0 1 det A 2, PA 0 1 0 0 A1 A22 10/10/2019 A) Tìm ma trận phụ hợp A 10/10/2019 T A1n A11 A A2 n 12 Ann A1n A12 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO – MA TRẬN PHỤ HỢP Cho ma trận A.PA PA A T Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có A 2 3 1 / 3 / 1 PA 0 1 0 / / det A 0 0 det A ??? Chú ý: 10/10/2019 113 10/10/2019 114 19 10/10/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Ta có: Bước Tính detA Ta có: det A 4 3 2 1 Ta tìm phần bù đại số lập ma trận phụ hợp PA 115 VÍ DỤ 13 A21 4 A31 1 2 2 A12 A22 A32 A12 A22 A32 A13 A23 A33 6 3 PA 10/10/2019 A13 2 A23 A33 3 3 4 T 116 BÀI Ta có: Tính định thức ma trận sau: 2 PA A A11 A21 A31 detA≠0 nên ma trận A khả nghịch 10/10/2019 A11 P det A A 10/10/2019 T 1 2 2 2 3 3 B 2 2 3 117 BÀI 10/10/2019 10/10/2019 118 BÀI 119 10/10/2019 120 20 10/10/2019 BÀI 10/10/2019 BÀI 121 BÀI 10/10/2019 10/10/2019 122 BÀI 123 BÀI 10/10/2019 124 GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES Nhập ma trận Nhấn Mode (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix có số dịng cột tương ứng cần tính tốn Nhập kết vào phím =, Sau nhập xong ma trận A, nhập thêm ma trận B cách: Nhấn Shift (Matrix) (Dim) (MatB) Lập lại tương tự cho MatC Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi 10/10/2019 125 10/10/2019 126 21 10/10/2019 GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES KIỂM TRA 20PH Bài Cho hai ma trận: Tính định thức Thao tác sau để tính định thức cho MatA: Shift (Matrix) (Det) Shift (Matrix) (MatA) = A Tìm ma trận nghịch đảo Tìm: a ) 3A 2B Thao tác sau để tìm ma trận nghịch đảo MatA: Shift (Matrix) (MatA) x-1 I b) A2 B 2 16 2BT c) A.B Bài Tìm r(A) ma trận nghịch đảo A có: (x-1: phím nghịch đảo máy tính, Mode) Giải phương trình: AX = B Thao tác theo bước bên để tính: MatA x-1 x MatB kết X 10/10/2019 127 A 10/10/2019 128 22 ... PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ma trận Cộng hai ma trận cấp Nhân số với ma trận Nhân hai ma trận Lũy thừa ma trận 10/10/2019 23 10/10/2019 24 10/10/2019 HAI MA TRẬN BẰNG NHAU PHÉP TOÁN MA TRẬN Hai ma trận. .. nghĩa Cho A ma trận vuông A, ma trận B gọi ma trận nghịch đảo (inverse) ma trận A nếu: A.B B.A I I Ma trận A có ma trận nghịch đảo gọi ma trận khả nghịch (invertible matrix) Ma trận nghịch đảo A kí... 10/10/2019 104 ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH Định thức ma trận: Cho A ma trận cấp mxn Chọn phần tử nằm giao k dòng k cột A ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận vuông cấp k ta gọi định thức cấp k A