Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 - Hoàng Mạng Dũng

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng toàn phương, định nghĩa dạng toàn phương, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG 5.2 DẠNG TỒN PHƢƠNG 5.2.1 Định nghĩa dạng tồn phƣơng Dạng tồn phương sử dụng tốn bình phương cực tiểu, quy hoạch động, phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, khảo sát cực trị hàm nhiều biến Ánh xạ Q : V  R xác định công thức sau gọi dạng tồn phương khơng gian véc tơ V chiều n B  {e1, … , en} sở V :  v V ; v  x1e1   xnen n  aij xi x j Q (v )  i , j 1 Như dạng tồn phương có biểu thức tọa độ đa thức đẳng cấp bậc 10/07/2017 10/07/2017 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Ví dụ CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.2 Ma trận biểu thức tọa độ dạng toàn phƣơng Dạng toàn phương: Ma trận dạng toàn phương Q sở Q(v)  x12  x1x2  x22 ký hiệu A  [Q]B xác định sau Q(v)  Q( x, y, z )  x  y  3z  xy  yz A   aij  Dạng cực Q t Dạng toàn phương 10/07/2017 Dạng toàn phương không gian véc tơ R3 Q( x1, x2 , x3 )  x12  x1x2  x22  x1x3  x32  x2 x3 Dạng cực tương ứng u  ( x1, x2 ), v  ( y1, y2 );  (u, v)  x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  2  A   2  Dạng cực tương ứng x  ( x1, x2 , x3 ), y  ( y1, y2 , y3 )  ( x, y)  x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  x1 y3  x3 y1  x3 y3  3x2 y3  3x3 y2 Ngoài cách trên, ta viết lại dạng toàn phương đồng hệ số x12  x1x2  x22   x1 a  x  a x2   11 12    a21 a22  x2  Có ma trận sở tắc  1  A   1       a11x12  2a12 x1x2  a22 x2 10/07/2017 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Ví dụ v  ( x1, x2 ), Q(v)  x12  x1x2  x22 Có ma trận sở tắc B Q (v )   v  B  Q  B  v  B CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Ví dụ , aij  a ji Biểu thức tọa độ dạng toàn phương Q sở viết dạng ma trận  Q(u  v)  Q(u )  Q(v)  10/07/2017 nn Ma trận dạng toàn phương ma trận đối xứng Dạng cực Q xác định công thức  (u, v)  B 10/07/2017 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG 5.2.3 Biểu thức tọa độ dạng tắc dạng toàn phƣơng Biểu thức tọa độ dạng toàn phương Q sở V có dạng Q( x)  a11x12  a22 x2   ann xn 2 gọi biểu thức tọa độ có dạng tắc Q a Đƣa dạng tắc theo phƣơng pháp Lagrange Giả sử sở B  {e1, … , en} không gian véc tơ n n i , j 1 i 1 n n   a Q( x)  a11  x12  x1  1i xi    aij xi x j a i 2 11   i , j 2 2 n n   n a  a1i   a11  x1   xi    aij xi x j  a11   1i xi  i 2 a11   i , j 2  i 2 a11  n  a n y1  x1   1i xi  Đặt  Q( x)  a11 y12   a 'ij yi y j i  a11 i, j 2  y  x ; j  2, , n j  j  aij xi x j , aij  a ji ; x   xiei 10/07/2017 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Trường hợp 2: 10/07/2017 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG  x1   a11  a1n   z1                xn   an1  ann   zn   x1  y1  y2   x2  y1  y2  x  y ; j  3, , n j  j n n i , j 1 i , j 1  aij xi x j   a 'ij yi y j e '1  (a11, , an1 ), có a '11  a12  Tiếp tục trình với biểu thức  a 'ij yi y j CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Dạng tồn phương khơng gian véc tơ R3 10/07/2017 10 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG b Đƣa dạng tắc theo phƣơng pháp Jacobi x  ( x1, x2 , x3 ); Q( x)  x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 Q( x)  x12  x1 (2 x2  x3 )  x22  x32  x2 x3  ( x1  x2  x3 )2  (2 x2  x3 )2  x22  x32  x2 x3 Cho dạng tồn phương Q khơng gian véc tơ V (không giả thiết không gian Euclide) với dạng cực tương ứng  có ma trận sở  ( x1  x2  x3 )2  x2 x3  z12  z22  z32 10/07/2017 e 'n  (a1n , , ann ) Nói cách khác {e’1, … , e’n} sở cần tìm để biểu thức tọa độ Q sở có dạng tắc 10/07/2017 Cơ sở , Q(v)  1z12  2 z22   n zn i , j 2 e '1  (1,0,0) e '2  (3,1,1) e '3  (1,1, 1) Q(v)  1z12  2 z22   n zn v V : v  x1e1    xnen  z1e '1    zne 'n n  z1  x1  x2  x3   x2  z2  z3 x  z  z  thỏa mãn Xét hệ véc tơ có tọa độ cột ma trận ta đưa trường hợp Ví dụ Tiếp tục trình cuối nhận Nếu aii  có aij  chẳng hạn a12  Q( x)  Giả sử có aii  0, chẳng hạn a11  0, ta xếp lại Ta thực phép đổi tọa độ sau Đặt Trường hợp 1: n n   a  a11  x1   1i xi    a 'ij xi x j a i 2 11   i , j 2 V dạng tồn phương Q có biểu thức tọa độ Q( x)  CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG B  {e1, … , en} A   aij  : aij   (ei , e j ); i, j  1, , n  x1  1 3 1  z1   x   0 1   z   2   2  x3  0 1  z3  Giả sử định thức A khác không x  ( x1, x2 , x3 )  z1e '1  z2e '2  z3e '3 D1  a11  0, D2  Q( x)  z12  z22  z32 11 10/07/2017 a11 a12 a21 a22 a11 a1n  0, , Dn      an1 ann 12 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG B ’  {f1, … , fn} sở V mà biểu thức tọa độ Q sở có dạng tắc Khi với j  1, 2, … , n; hệ phương trình a11x1  a12 x2   a1 j x j   a21x1  a22 x2   a2 j x j    a j1x1  a j x2   a jj x j   Ta chứng minh hệ véc tơ det B{f1, … , fn}  1122…nn  nên hệ B ’ độc lập tuyến tính sở V (6.20) hệ Cramer có nghiệm, ký hiệu Ta có 1 j , j , , jj  Xét hệ véc tơ  f   e 11  jj  D j 1  ;  j  1, , n Dj  f  e  e  12 22    f n  1n e1   n e2    nnen 10/07/2017 13 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 0  Vậy  ( fi , f j )   D j 1 nÕu i  j với i, j  1, , n 10/07/2017 15 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG  x1  x2  x3   j  : Hệ phương trình (7.20) có dạng  2 x1  x2  x3   x  x  x 1 Có nghiệm x1   , x2  , x3   9 f1  e1  (1,0,0)  ( f j , fi )  ;  i  j   ( f j , f j )   ( f j ,1 j e1    jj e j )   jj ( f j , e j )   jj Mặt khác dạng song tuyến tính  đối xứng nên (fj,fi)  với ij 10/07/2017 14 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG sở tắc Q(v)  x12  x2  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 Ma trận Q sở tắc Có định thức  2 1 2 A   2 4 1 D1  1, D2   8, D3  A  9   2 4  1 1 1  j  ta có 11  D1  x  x2   j  : Hệ phương trình (7.20) có dạng  2 x1  x2  1 Có nghiệm x1   , x2   10/07/2017 16 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Ví dụ 6.10 Cho dạng tồn phương Q P2 có biểu thức tọa độ sở tắc v  a0  a1t  a2t ; Q(v)  a02  2a0a1  2a12  4a0a2  4a2  2a1a2 Ma trận Q sở tắc Có định thức f  1/ 4e1  1/8e2   1/ 4, 1/8,0  f3  2 e1  e2  e3  ( 9,1 3,8 9) Trong sở biểu thức tọa độ Q có dạng v  ( x1, x2 , x3 )  x1e1  x2e2  x3e3  y1 f1  y2 f  y3 f3 D1 D2 Q (v )  y1  y2  y3  y12  y2  y32 D1 D2 D3 10/07/2017  ( f j , ei )  ai11 j  2 j   aij jj  0;  i  1, , j    ( f j , e j )  a j11 j  a j 2 j   a jj jj  Ví dụ 6.9 Cho dạng tồn phương Q R3 có biểu thức tọa độ  D nÕu i  j  j Gọi A’ ma trận Q sở B ’ T ma trận chuyển từ sở B sang B ’ 1n  11 12 11    22  2n  t   ; T AT  A '   ( fi , f j )    T              nn    nn   Biểu thức toạ độ Q sở B ’ có dạng tắc D D1 v  y1 f1   yn f n  Q(v)  y1  y2   n1 yn D1 D2 Dn Chọn sở CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  1  1 A   1  D1  1, D2   1, D3  A  9   1   1  j  ta có 11  D1  x  x2   j  : Hệ phương trình (6.20) có dạng   x1  x2  Có nghiệm x  x  1 17 10/07/2017 18 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG  x1  x2  x3   j  : Hệ phương trình (7.20) có dạng   x1  x2  x3  2 x  x  x  1 Có nghiệm x1  , x2  , x3    9 1 f1  f   t f3   t  t Chọn sở 9 Nhận xét Một dạng toàn phương đưa dạng tắc theo phương pháp Jacobi định thức góc bên trái Dk  0,  k  1, 2, … Vì đưa dạng tắc theo phương pháp Lagrange chưa có dạng tắc theo phương pháp Jacobi Chẳng hạn dạng tồn phương khơng gian véc tơ R3 Trong sở biểu thức tọa độ Q có dạng x  ( x1, x2 , x3 ); Q( x)  x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 5 1  v  a0  a1t  a2t  b0  b1 (1  t )  b2   t  t  9  D1 D2 2 Q(v)  b0  b1  b2  b0  b12  b2 D1 D2 D3 10/07/2017 không sử dụng phương pháp Jacobi D2  Cùng dạng tồn phương ta đưa dạng tắc với hệ số khác Tuy nhiên số hệ số dương hệ số âm Ta chứng minh điều qua luật quán tính 19 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG 5.2.4 Luật quán tính B  {e1, … , en}, B’  {e’1, … , e’n} V B T  tij  ma trận chuyển từ sở B' Ta có A’  T tAT 10/07/2017 20 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Định lý (Sylvester - Jacobi) Giả sử A  [aij]  [Q]B; A’  [a’ij]  [Q]B’ hai ma trận Q hai sở CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG B sang B’ Do r (A)  r (A’) Do ta định nghĩa hạng dạng toàn phương Q hạng ma trận sở 10/07/2017 dạng tắc dạng tồn phương Q bất biến dạng (tức khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn sở) Số hệ số dương gọi số quán tính dƣơng số hệ số âm gọi số qn tính âm dạng tồn phương Do r (A’)  r (T tAT )  r (A) Mặt khác A  (T t)1A ’ T 1 Số hệ số dương số hệ số âm biểu thức tọa độ 21 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Giả sử (p,q) cặp số qn tính dương âm dạng tồn phương Q khơng gian n chiều V p  q  r (hạng Q) 10/07/2017 22 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG  Trường hợp r  n: Q gọi không suy biến Ví dụ 6.11 Cho dạng tồn phương Q R3 có biểu thức tọa độ  Trường hợp p  n: Q gọi xác định dương sở tắc Q(v)  x12  x2  x32  x1x2  x1x3  x2 x3  Trường hợp q  n: Q gọi xác định âm  Phương pháp Lagrange Q(v)  x12  x1(2 x2  x3 )  x2  x32  x2 x3 Q xác định dương Q(v)  0, với v   ( x1  x2  x3 )  x2  x2 x3  ( x1  x2  x3 )  2(2 x2  x3 )  x32 Q xác định âm Q(v)  0, với v   Phương pháp Jacobi Nếu  dạng cực dạng tồn phương Q Q xác định dương  xác định dương Q xác định âm  xác định âm Q (v )  Q không suy biến  xác định 10/07/2017  2 1 A   2 4 1    1 1  y12  y2  y32 2 D1  1, D2   8, D3  A  9 2 4 23 10/07/2017 D1 D2 y1  y2  y3 D1 D2 D3 24 CHƢƠNG 6:KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Định lý (Sylvester) Giả sử dạng tồn phương Q có ma trận A sở V Khi (i) Q xác định dương định thức góc trái A ln dương (ii) Q xác định âm định thức cấp chẵn dương cấp lẻ âm  a11 a A   21     an1 10/07/2017 a12 a22  an  a1n  a2 n     ann  25 ... (7.20) có dạng  2 x1  x2  1 Có nghiệm x1   , x2   10/07/2017 16 CHƢƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Ví dụ 6. 10 Cho dạng tồn phương Q P2 có biểu thức tọa độ sở tắc v  a0 ... tục trình với biểu thức  a 'ij yi y j CHƢƠNG 6: KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG Dạng tồn phương khơng gian véc tơ R3 10/07/2017 10 CHƢƠNG 6: KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG...    nnen 10/07/2017 13 CHƢƠNG 6: KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TỒN PHƢƠNG 0  Vậy  ( fi , f j )   D j 1 nÕu i  j với i, j  1, , n 10/07/2017 15 CHƢƠNG 6: KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG