Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - Hoàng Mạng Dũng

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính, định lý tồn tại nghiệm, phương pháp Cramer, phương pháp ma trận nghịch đảo,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khi khảo sát mơ hình tuyến tính thường dẫn đến giải hệ phương trình tuyến tính Đối với mơ hình phi tuyến người ta giải cách xấp xỉ tuyến tính Vì hệ phương trình tuyến tính có nhiều ứng dụng thực tế Hệ phương trình tuyến tính biết đến sớm Ở Trung Quốc người ta tìm thấy sách có khoảng từ năm 500 trước cơng ngun, có dẫn việc dùng bàn tính để giải hệ phương trình tuyến tính qua ví dụ cụ thể Phương pháp giải thuật tốn khử Gauss Ở châu Âu thuật tốn mơ tả cơng trình Buteo (Pháp) năm 1550, trước Gauss hai kỷ 10/07/2017 Một phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng định thức Cramer Thoạt tiên ta thấy vấn đề giải hệ phương trình tuyến tính cũ giải phương tiện tính tốn sơ cấp quen biết Tuy nhiên thực tế thường cần khảo sát khoảng từ 150 đến 200 phương trình đồng thời với số ẩn tương ứng Tình trạng thực hành gây nhiều khó khăn lớn đến khơng thể giải dùng phương pháp sơ cấp Mùa hè năm 1949, Giáo sư Wassily Leontief trường Đại học HarVard gửi đến Trung tâm tính tốn trường Đại học Mark II đề nghị giải hệ phương trình tuyến tính gồm 500 phương trình với 500 ẩn biểu diễn tiêu kinh tế Mỹ Mark II trung tâm máy tính điện tử lớn thời không giải Leontief buộc phải đưa toán hệ 45 phương trình với 45 ẩn Với kết Leontief nhận giải Nobel kinh tế năm 1973 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1.1 Dạng tổng qt hệ phƣơng trình tuyến tính Trong khơng gian xét hệ truc tọa độ Oxyz Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng tổng quát: a11x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   am1x1  am x2   amn xn  bm Tập hợp điểm có tọa độ (x,y,z) thỏa mãn phương trình Ax  By  Cz  D mặt phẳng Tập nghiệm hệ  A1x  B1 y  C1z  D1   A2 x  B2 y  C2 z  D2 giao hai mặt phẳng Tập nghiệm hệ aij hệ số ẩn thứ j phương trình i, bi vế phải phương trình thứ i; i = 1, , n ; j = 1, , m giao ba mặt phẳng 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khi vế phải bi  hệ phương trình gọi a11x1  a12 x2   a1n xn  a21x1  a22 x2   a2 n xn   a x  a x   a x  mn n  m1 m 2 Nghiệm hệ phương trình gồm n số  x1 , x , , x n  cho thay vào hệ phương trình ta có đẳng thức Giải hệ phương trình tìm tập hợp nghiệm hệ Hai hệ phương trình ẩn tương đương tập hợp nghiệm chúng 4.1.2 Dạng ma trận hệ phƣơng trình tuyến tính  a11 a12 a1n     a21 a22 a2n  A          am1 am amn   x1     x2  X       xn   b1     b2  B       bm  Xét đẳng thức AX  B  a11x1  a12 x2   a1n xn  b1  a11x1  a12 x2   a1n xn  b1     a x  a x   a x  b 2n n  a21x1  a22 x2   a2 n xn   b2   21 22       a x  a x   a x  b   mn n   m  m1 m 2 am1x1  am x2   amn xn  bm A gọi ma trận hệ số, B ma trận vế sau X ma trận ẩn Hệ phương trình viết lại dạng ma trận 10/07/2017 (5.1) x1 , x , , x n n ẩn ,  A1x  B1 y  C1z  D1   A2 x  B2 y  C2 z  D2  A3 x  B3 y  C3 z  D3 10/07/2017 10/07/2017 AX  B CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ 4.1 4.1.3 Dạng véc tơ hệ phƣơng trình tuyến tính Xét hệ phương trình viết dạng tổng quát 2 x1  x2  x3  x4   4 x1  3x2  x3  x4  8 x  x  3x  x  12  m Nếu ta ký hiệu véc tơ cột thứ i ma trận A vi  (a1i , , ami )  véc tơ vế sau b  (b1, , bm )  m Hệ phương trình viết dạng ma trận sau: hệ phương trình viết dạng véc tơ  x1  2 2  1 1     2 1       1   x2                  x3    Hoặc x1    x2    x3  1  x4      8 3   x  12          4 12        4 x1v1  x2v2   xnvn  b Xét véc tơ: Với cách viết ta thấy hệ phương trình có nghiệm v1  (2, 4,8) , v2  (2, 3,5) , v3  (1, 1, 3) , v4  (1, 2,4) ; b  (4,6,12) b  span  v1, ,  Hệ phương trình viết dạng véc tơ: x1 (2, 4,8)  x2 (2,3,5)  x3 (1, 1, 3)  x4 (1, 2, 4)  (4,6,12) 10/07/2017 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ 4.2 4.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM Định lý 4.1: (Kronecker-Capelli) Hệ phương trình (5.1) có nghiệm ~ 2 x1  x2  x3  x4   4 x1  3x2  x3  x4  8 x  x  3x  x  12  ~ r ( A)  r ( A) A ma trận có cách bổ sung thêm vào ma trận hệ số A cột cuối vế phải hệ phương trình  a11 a1n  A        am1 amn   a11 a1n A        am1 amn Ma trận hệ số b1     bm  Hệ (5.1) có nghiệm tồn x1, x2, …, xnn cho x1v1  x2v2   xnvn  b  b  span v1, ,   r (v1, , )  r (v1, , , b) Ma trận bổ sung cột cuối  2 1   2 1   A   1  A   1      8 3 12  8 3   )  hệ phương trình có nghiệm Hạng r ( A)  r ( A Do r(A)  r(Ã ) 10/07/2017 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH det (A)  0,  hệ {v1, v2, …, vn} sở n 4.3 PHƢƠNG PHÁP CRAMER Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ số A khơng suy biến gọi hệ Cramer Do b biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính {v1, v2, …, vn} Nghĩa tồn x1, x2, …, xn cho Định lý 4.2: Mọi hệ Cramer tồn nghiệm n Hệ Cramer n ẩn x1v1  x2v2   xnvn  b  aij x j  bi , i  1, , n j 1 Gọi B {e1, e2,…, en} sở tắc n có nghiệm xi  Di D ; i  1, , n Trong  Di  DB v1, , vi 1, b , vi 1, ,   DB v1, , vi 1, D  det A  DB v1, , vi 1, vi , vi 1, ,  Di  DB v1, , vi 1, b, vi 1, ,  n   xk DB v1, , vi 1, vk , vi 1, ,  Di định thức hệ véc tơ cột hệ số hệ phương trình véc tơ cột thứ i thay véc tơ cột vế sau 10/07/2017 10 11   n   k 1    xk vk , vi 1, ,  k 1  xi DB v1, , vi 1, vi , vi 1, ,   xi D  xi  Di D , i  1, , n 10/07/2017 12 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2 x  y  z   3x  y  z   x  y  3z  1  Hệ phương trình Ví dụ 4.3: 1 1 1 Dy   22 1 3 x Do hệ có nghiệm Ví dụ 4.4 Giải biện luận theo tham số  hệ phương trình  x1  x2  x3  x4 x   x  x  x   x  x   x  x   x1  x2  x3   x4 1 Dx   66 1 2 3 D   22 2 3 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dz   44 2 1 66 22 44  3, y   1, z  2 22 22 22 13 1 10/07/2017 14 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.4 PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ví dụ 4.5 Xét hệ phương trình  x1  x2  3x3  a  2 x1  x2  3x3  b  x  x3  c  n Hệ Cramer  aij x j  bi ; i  1, , n j 1  3 3  1 8 với ma trận tương ứng  a11 a12 a1n  a a a2 n   A   21 22       a   n1 an ann  có nghiệm dạng ma trận  b1  b  B   2  b   n Ma trận A  2 hệ số   x1  x  X   2  x   n Có ma trận nghịch đảo  40 16  A1   13 5 3    2 1 Vậy hệ có nghiệm  x1   40 16   a   40a  16b  9c   x1  40a  16b  9c  x    13 5 3  b    13a  5b  3c    x  13a  5b  3c  2        x3   2 1  c   5a  2b  c   x3  5a  2b  c X  A 1 B 10/07/2017 Ta có det A  (  3)(  1)3 x1  x2  x3  x4   3 ~  Khi   1: r ( A)  r ( A)  Hệ phương trình có vơ số nghiệm x1   x2  x3  x4 với x2 , x3 , x4 tuỳ ý  )  hệ vô nghiệm  Khi    3: det A   r ( A)  4, r ( A CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định lý 4.3 1  Khi    3,   1: Hệ cho hệ Cramer nên có nghiệm 10/07/2017 1 1 15 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.5 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHỬ GAUSS Khi thực biến đổi sơ cấp sau lên phương trình hệ  Đổi chỗ hai phương trình;  Nhân, chia số khác vào vế phương trình;  Cộng vào phương trình tổ hợp tuyến tính phương trình khác x  a12 x   a x  b aa11 11 11 x111  a12 12 x222   a111nnn xnnn  b111  aai1ij11xxx111 aai 2ja2xix2 2x2 aainjn  xaxn ninxbnbi j bi Phương trình thứ i   Phương trình thứ j  aain aaijj111xx111  aaijj222xxx222  jn jnxxnn bbijj  a x  a x   amnxxnn  bbmm amm11x11  amm22x22   amn Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử Gauss thực phép biến đổi sơ cấp để đưa hệ phương trình hệ tương đương với ma trận bổ sung hệ có dạng a '11  a ' pp      b'1   b' p   b' p 1   b'm  a '11 a ' pp  hệ tương đương 10/07/2017 17 10/07/2017 18 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Có thể nhận thấy ta biến đổi tương đương lên phương trình thực chất biến đổi hệ số phương trình  Nếu b ' p 1, , b 'm khác có phương trình vế trái 0, vế phải khác nên hệ vơ nghiệm Vì thực hành ta cần biến đổi ma trận bổ sung hệ để đưa ma trận có dạng cần tìm, từ suy nghiệm hệ phương trình  x  x  3x  a  Nếu b ' p 1   b 'm  hệ cho tương đương với  x   a '1n x 'n  b '1 a '11 x '1  a '12 x '2   a '22 x '2   a '2 n x 'n  b '2     a ' pp x ' p   a ' pn x 'n  b ' p 10/07/2017 19 Ví dụ 4.7 Giải hệ phương trình 8 1  9    2 5  4 2 7 12   8 1 1 7 12  0 0 11 16     0 1  0 0 2 0 1    0  x1  x2  x3 4 x  3x  x    x1  x2  x3   x1  x2  x3 7 12  1  8    2 9  0 0 5   7 12  1   1   0 1  0 0  0 20 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 8 Ví dụ 4.8 9 7  12 7 12  8   7 7  2 1 3  x1  2    x2  1  x3   0 10/07/2017 21 Giải biện luận theo tham số m hệ phương trình 3 3x1  x2  x3  x4  2 x  x  x  x     A  1  x1  x2  x3  20 x4  11   4 x1  x2  x3  mx4  1 0  0 0   1 6 9 20 11   3    6 9 20 11   m   4 m   1 6 9 20 11 11 1  0 16  36     16   15 24 48 27  0  0 0 0 0   5 8 m  16 8  m   0 0 6 9 20 20 32 64 0 0  m  0: hệ vơ nghiệm;  m  0: hệ có vô số nghiệm x4  1     0   m 9m  16 4m , x2   x3 , x1   x3 ; x3 tùy ý m 5m 5m 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 22 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.6 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Ví dụ 4.10 Giải hệ phương trình 2 x1  x2  x3  x4   4 x1  x2  x3  x4  3x  x  x  x   a11 x1  a12 x2   a1n xn  a x  a x   a x   21 22 2n n   am1 x1  am x2   amn xn  Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường x1   x n  Vế sau hệ phương trình ln khơng thay đổi ta giải hệ theo phương pháp khử Gauss Vì để giải hệ phương trình ta cần biến đổi ma trận hệ số hệ 10/07/2017  x3  c 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nhận xét 4.2 c  c 1 a  1 1   A   b   0 3 b  2a   0 3 b  2a        0 5a  2b  c  1 c  0 5 a  c   x1  40a  16b  9c 1 0 40a  16b  9c  Vậy hệ   0 13a  5b  3c  phương trình  x2  13a  5b  3c   có nghiệm  x  5a  2b  c 5a  2b  c  0  Ta nghiệm x '1, , x ' p phụ thuộc x ' p 1, , x 'n 2 4  A 2 1  Ví dụ 4.6 Xét hệ phương trình  2 x1  x2  3x3  b hệ p phương trình 23  3 3 2   3 3 2  1 A   7 5 6    7 5 6           5 4 4  1 2 1 2  1 2 1 2  1 2 1 2  1  0 1   0 1   0      0 1 2  0 0  0  x1  3x3  x4   x2  x3  x4 10/07/2017 2 1 2  3 3 2   7 5 6  3  1   0  x3 , x4 tùy ý 24 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định lý 4.5 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình  a11x1  a12 x2   a1n xn   a11 a12 a x  a x   a x  a a22  21 22 2n n A   21      a a am1x1  am x2   amn xn   m1 m a1n  a2 n      amn  b) Nếu r(A)  p  n tập hợp nghiệm hệ phương trình khơng gian véc tơ n  p chiều n 10/07/2017 không gian 3 có chiều dimW2    25 Ví dụ 4.12 Đặt V1, V2 tập hợp nghiệm hệ phương trình (I) hệ phương trình (II) 4 x1  x2  x3  3x4   ( I ) 3 x1  x2  x3  x4  5 x  x  x 0  26 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hệ phương trình (I) Định lý 4.6  2  1 8  1 8  1 8   4   3 4   0 30 25  0 5           1 3 0 12 10  0 0   x1  x3  x4 v  (8 x3  x4 , 6 x3  x4 , x3 , x4 )  v  ( x1, x2 , x3 , x4 ) V1   x3 (8, 6,1,0)  x4 (7,5,0,1)  x2  6 x3  x4 V1   x3 (8, 6,1,0)  x4 (7,5,0,1) x3 , x4   4 x1  x2  x3  3x4  V2  x3 (3,1,1,0)  x4 (2, 2,0,1) x3 , x4   3x  x  x  x   V1  V2 không gian nghiệm hệ phương trình 5 x  x  x 0   Giải hệ phương trình ta nghiệm: x1  x2  x3  x4   x1   x2  x3  x4 ; x4 tùy ý 4 x1  x2  x3  x4  V1  V2  x4 (1, 1,1,1) x4    dimV1  V2   3x1  x2  x3  x4    Giả sử ( x1, , xn ) nghiệm phương trình khơng (*) a11x1  a12 x2   a1n xn  b1 a21x1  a22 x2   a2 n xn  b2  (*) a x  a x   a x  b mn n m  m1 m 2 Khi ( x1, , xn ) a11x1  a12 x2   a1n xn  a x  a x   a2 n xn  nghiệm phương trình  (**)  21 22 tương ứng (**)  am1x1  am x2   amn xn  ( x1  x1, , xn  xn ) nghiệm hệ phương trình (*)  10/07/2017 27 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giải biện luận theo tham số a, b hệ phương trình Hệ có nghiệm riêng x1  1, x2  0, x3  Theo ví dụ 4.12 khơng gian nghiệm hệ phương trình tương ứng có chiều có dạng  x1  ax2  a x3    x1  bx2  b x3  1 a a   1 b b  Ma trận hệ số A   t  D1, D2 , D3  t  D1  a a2 b b2 Do  ab(b  a) D2  a2 b2 1 a a  A  1 b b   (a  b)(b  a) D3  a ba b  ab, (a  b),1 nghiệm khác khơng hệ phương trình x2 , x3 tùy ý Trường hợp a  b: r(A)  2, khơng gian nghiệm hệ phương trình có chiều 10/07/2017 28 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  Trường hợp a  b: r(A)  1, hệ phương trình tương đương với phương trình có vơ số nghiệm x1   ax2  a x3 2 x1  3x2  3x3  x4   ( II ) 4 x1  x2  x3  x4  3x  x  x  x   10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ 4.12 a) Hệ phương trình có nghiệm tầm thường r(A)  n   Tập W2  u  ( x, y, z )  x  y  z  Ví dụ 4.11 29  x1  abt  x   abt  x  t ; t    x  t ; t   Nghiệm hệ  Nghiệm   x2  (a  b)t x   ( a  b)t hệ cho 10/07/2017 BÀI TẬP 30 ... x3 , x4 ) V1   x3 (8, 6,1,0)  x4 (7,5,0,1)  x2  6 x3  x4 V1   x3 (8, 6,1,0)  x4 (7,5,0,1) x3 , x4   4 x1  x2  x3  3x4  V2  x3 (3,1,1,0)  x4 (2, 2,0,1) x3 , x4   3x... CHƢƠNG 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ 4. 2 4. 2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM Định lý 4. 1: (Kronecker-Capelli) Hệ phương trình (5.1) có nghiệm ~ 2 x1  x2  x3  x4   4 x1  3x2  x3  x4  8... 3) , v4  (1, 2 ,4) ; b  (4, 6,12) b  span  v1, ,  Hệ phương trình viết dạng véc tơ: x1 (2, 4, 8)  x2 (2,3,5)  x3 (1, 1, 3)  x4 (1, 2, 4)  (4, 6,12) 10/07/2017 10/07/2017 CHƢƠNG 4: HỆ