Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính” cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Cholesky, chuẩn, hệ phương trình ổn định và số điều kiện,… Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

� Ta có ● k(A) = 3.01 x 401 = 1207.01 >> Vậy hệ khơng ổn định Ví dụ : Tính số điều kiện k(A) theo chuẩn Ta có ● k(A) = ||A||1||A-1||1=6 x 20/13 = 9.2308 VI PHƯƠNG PHÁP LẶP : Ta chuyển hệ pt dạng x = Tx + c Với T ma trận vng cấp n c vector Để tìm nghiệm gần đúng, với vector ban đầu x(0), ta xây dựng dãy lặp theo công thức x(m) = Tx(m-1)+ c, ∀m=1,2,… Ta cần khảo sát hội tụ dãy {x(m)} Ta có định lý sau Định lý : Nếu ||T|| < dãy lặp x(m) hội tụ nghiệm x hệ pt, với vector ban đầu x(0) Ta có cơng thức đánh giá sai số : Phương pháp lặp Jacobi : Ta phân tích A=D+L+U Phương trình Ax = b ⇔ (D+L+U)x = b ⇔ Dx = -(L+U)x + b ⇔ x = -D-1(L+U)x + D-1b ⇔ x = Tx + c với T = -D-1(L+U) c = D-1b pp lặp theo phân tích gọi pp lặp Jacobi Bây ta tìm điều kiện để pp lặp Jacobi HT Định nghĩa : Ma trận A gọi ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt thỏa điều kiện sau : Nhận xét : Nếu A ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt detA ≠ aii ≠ ∀i=1,n Định lý : Nếu A ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt, pp lặp Jacobi hội tụ với vector ban đầu x(0) A ma trân đường chéo trội nghiêm ngặt nên ⇒ pp lặp hội tụ x(m) = Tx(m-1)+ c, ∀m=1,2,… Thay vao, ta có cơng thức lặp Jacobi Ví dụ : Cho hệ phương trình a Tìm nghiệm gần x(5) với vector ban đầu x(0) =0 b Tính ma trận T c c Tính sai số nghiệm x(5) theo công thức hậu nghiệm ... nên Phương pháp lặp Gauss-Seidel : Ta phân tích A=D+L+U phần trước Phương trình Ax = b ⇔ (D+L+U)x = b ⇔ (D+L)x = -Ux + b ⇔ x = -( D+L )-1 Ux + (D+L )-1 b ⇔ x = Tx + c với T = -( D+L )-1 U c = (D+L )-1 b... giá sai số : Phương pháp lặp Jacobi : Ta phân tích A=D+L+U Phương trình Ax = b ⇔ (D+L+U)x = b ⇔ Dx = -( L+U)x + b ⇔ x = -D-1(L+U)x + D-1b ⇔ x = Tx + c với T = -D-1(L+U) c = D-1b pp lặp theo phân... lặp hội tụ x(m) = Tx(m-1)+ c, ∀m=1,2,… Thay vao, ta có cơng thức lặp Jacobi Ví dụ : Cho hệ phương trình a Tìm nghiệm gần x(5) với vector ban đầu x(0) =0 b Tính ma trận T c c Tính sai số nghiệm x(5)