Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp

Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 132-176. Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 4 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac0 132 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 133 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe . t`uy ´y c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . 143 4.3 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t . . 165 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . ckh´ac 0 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh trˆen tru . `o . ng sˆo ´ P d u . o . . cgo . il`ahˆe . Cramer 1 nˆe ´ usˆo ´ phu . o . ng tr`ınh b˘a ` ng sˆo ´ ˆa ’ nv`ad i . nh th´u . ccu ’ a ma trˆa . nco . ba ’ n (ma trˆa . nhˆe . sˆo ´ )cu ’ ahˆe . l`a kh´ac khˆong. 1 G. Cramer (1704-1752) l`a nh`a to´an ho . c Thu . yS˜ı. 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 133 Hˆe . Cramer c´o da . ng a 11 x 1 + a 12 x 2 + ···+ a 1n x n = h 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ···+ a 2n x n = h 2 , . . . . . . a n1 x 1 + a n2 x 2 + ···+ a nn x n = h n          (4.1) hay du . ´o . ida . ng ma trˆa . n AX = H (4.2) trong d ´o A =       a 11 a 12 . a 1n a 21 a 22 . a 2n ··· . . . . . . . . . a n1 a n2 . a nn       ,X=       x 1 x 2 . . . x n       ,H=       h 1 h 2 . . . h n       ho˘a . c       a 11 a 21 . . . a n1       x 1 +       a 12 a 22 . . . a n2       x 2 + ···+       a 1n a 2n . . . a nn       x n =       h 1 h 2 . . . h n       . 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n V`ı detA =0nˆentˆo ` nta . i ma trˆa . n nghi . ch da ’ o A −1 . Khi d´ot`u . (4.2) ta thu d u . o . . c A −1 AX = A −1 H ⇒ EX = X = A −1 H. Vˆa . yhˆe . nghiˆe . m duy nhˆa ´ tl`a X = A −1 H. (4.3) Tuy nhiˆen viˆe . c t`ım ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o n´oi chung l`a rˆa ´ tph´u . cta . pnˆe ´ u cˆa ´ pcu ’ a ma trˆa . n A l´o . n. 134 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer Nghiˆe . m duy nhˆa ´ tcu ’ ahˆe . Cramer du . o . . c x´ac d i . nh theo cˆong th´u . c Cramer: x j = det(A j ) detA ,j= 1,n (4.4) trong d ´o A j l`a ma trˆa . nthudu . o . . ct`u . ma trˆa . n A b˘a ` ng c´ach thay cˆo . t th´u . j bo . ’ icˆo . t c´ac hˆe . sˆo ´ tu . . do H, v`a c´ac cˆo . t kh´ac gi˜u . nguyˆen. 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss Nˆo . i dung chu ’ yˆe ´ ucu ’ aphu . o . ng ph´ap Gauss (hay thuˆa . t to´an Gauss) l`a khu . ’ liˆen tiˆe ´ p c´ac ˆa ’ ncu ’ ahˆe . . Thuˆa . t to´an Gauss du . . a trˆen c´ac ph´ep biˆe ´ n d ˆo ’ iso . cˆa ´ p hˆe . phu . o . ng tr`ınh. D ´o l`a c´ac ph´ep biˆe ´ ndˆo ’ i: 1 + Nhˆan mˆo . tphu . o . ng tr`ınh n`ao d ´ocu ’ ahˆe . v´o . imˆo . tsˆo ´ kh´ac 0. 2 + Thˆem v`ao mˆo . tphu . o . ng tr`ınh n`ao d ´ocu ’ ahˆe . mˆo . tphu . o . ng tr`ınh kh´ac nhˆan v´o . imˆo . tsˆo ´ t`uy ´y. 3 + Dˆo ’ ichˆo ˜ hai phu . o . ng tr`ınh cu ’ ahˆe . . D - i . nh l´y. Mo . iph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ p thu . . chiˆe . ntrˆen hˆe . phu . o . ng tr`ınh (4.1) d ˆe ` udu . ad ˆe ´ nmˆo . thˆe . phu . o . ng tr`ınh m´o . itu . o . ng d u . o . ng. Viˆe . c thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ ptrˆenhˆe . phu . o . ng tr`ınnh (4.1) thu . . cchˆa ´ t l`a thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ p trˆen c´ac h`ang cu ’ a ma trˆa . nmo . ’ rˆo . ng cu ’ ahˆe . . Do d ´o sau mˆo . tsˆo ´ bu . ´o . cbiˆe ´ nd ˆo ’ itathudu . o . . chˆe . (4.1) tu . o . ng d u . o . ng v´o . ihˆe . tam gi´ac b 11 x 1 + b 12 x 2 + ···+ b 1n x n = h 1 b 22 x 2 + ···+ b 2n x n = h 2 . . . b nn x n = h n          T`u . d ´or´ut ra x n ,x n−1 , .,x 2 ,x 1 . 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 135 C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. Gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh sau b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 1) x 1 + x 2 + x 3 =4, x 1 +2x 2 +4x 3 =4, x 1 +3x 2 +9x 3 =2.      (4.5) 2) 3x 1 +2x 2 − x 3 =1, x 1 + x 2 +2x 3 =2, 2x 1 +2x 2 +5x 3 =3.      (4.6) Gia ’ i. 1) Ta k´yhiˆe . u A =    111 124 139    ,X=    x 1 x 2 x 3    ,H=    4 4 2    . Khi d ´ophu . o . ng tr`ınh (4.5) c´o da . ng AX = H. V`ı detA =2=0nˆenA c´o ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o v`a do vˆa . yhˆe . (4.5) c´o nghiˆe . m duy nhˆa ´ t: X = A −1 H. Dˆe ˜ d`ang thˆa ´ yr˘a ` ng A −1 =      3 −31 − 5 2 4 − 3 2 1 2 −1 1 2      v`a do d ´o    x 1 x 2 x 3    =      3 −31 − 5 2 4 − 3 2 1 2 −1 1 2         4 4 2    . 136 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh Thu . . chiˆe . n ph´ep nhˆan ma trˆa . no . ’ vˆe ´ pha ’ itathud u . o . . c x 1 =3· 4 − 3 · 4+1· 2=2, x 2 = − 5 2 · 4+4· 4 − 3 2 · 2=3, x 3 = 1 2 · 4 − 1 · 4+ 1 2 · 2=−1. 2) Viˆe ´ t ma trˆa . n A cu ’ ahˆe . v`a t`ım A −1 : A =    32−1 11 2 22 5    ⇒ A −1 =    1 −12 5 −117−7 0 −21    . T`u . d ´o suy r˘a ` ng    x 1 x 2 x 3    =    1 −12 5 −117−7 0 −21       1 2 3    =    −8 12 −1    t´u . cl`a x 1 =8,x 2 =12,x 3 = −1.  V´ı du . 2. ´ Ap du . ng quy t˘a ´ c Cramer, gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh 1) x 1 +2x 2 +3x 3 =6, 2x 1 − x 2 + x 3 =2, 3x 1 − x 2 − 2x 3 =2.      (4.7) 2) x 1 − 2x 2 +3x 3 − x 4 =6, 2x 1 +3x 2 − 4x 3 +4x 4 =7, 3x 1 + x 2 − 2x 3 − 2x 4 =9, x 1 − 3x 2 +7x 3 +6x 4 = −7.          (4.8) Gia ’ i. 1) ´ Ap du . ng cˆong th´u . c (4.4) x j = det(A j ) detA ,j= 1, 3 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 137 trong d´o detA =        12 3 3 −11 31−2        =30= 0; detA 1 =        62 3 2 −11 21−2        = 30; detA 2 =        16 3 22 1 32−2        = 30; detA 3 =        126 2 −12 312        =30. T`u . d ´o suy ra x 1 =1,x 2 =1,x 3 =1. 2) T´ınh d i . nh th´u . ccu ’ ahˆe . : detA =          1 −23−1 23−44 31−2 −2 1 −37 6          =35. V`ı detA =0nˆen hˆe . c´o nghiˆe . m duy nhˆa ´ t v`a nghiˆe . md u . o . . c t`ım theo cˆong th´u . c (4.4). Ta t´ınh c´ac d i . nh th´u . c det(A 1 )=          6 −23−1 −73−44 91−2 −2 −7 −37 6          =70, 138 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh det(A 2 )=          16 3−1 2 −7 −44 39−2 −2 1 −77 6          = −35, det(A 3 )=          1 −26−1 23−74 31 9−2 1 −3 −76          =0, det(A 4 )=          1 −23 6 23−4 −7 31−29 1 −37−7          = −70. Do d ´o x 1 = det(A 1 ) detA =2,x 2 = det(A 2 ) detA = −1, x 3 = det(A 3 ) detA =0,x 4 = det(A 4 ) detA = −2.  V´ı du . 3. ´ Ap du . ng phu . o . ng ph´ap Gauss gia ’ ic´achˆe . phu . o . ng tr`ınh 1) x 1 − 2x 3 = −3, −2x 1 + x 2 +6x 3 =11, −x 1 +5x 2 − 4x 3 = −4. 2) 2x 1 − x 2 +3x 3 − x 4 =9, x 1 + x 2 − 2x 3 +4x 4 = −1, 3x 1 +2x 2 − x 3 +3x 4 =0, 5x 1 − 2x 2 + x 3 − 2x 4 =9. 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 139 Gia ’ i. 1) Lˆa . p ma trˆa . nmo . ’ rˆo . ng v`a thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i:  A =    10−2   −3 −21 6   11 −15−4   −4    h 2 +2h 1 → h  2 h 3 + h 1 → h  3 −→    10−2   −3 01 2   5 05−6   −7    −→ h 3 − 5h 2 → h  3    10 −2   −3 01 2   5 00−16   −32    . T`u . d ´o suy ra x 1 − 2x 3 = −3 x 2 +2x 3 =5 −16x 3 = −32      ⇒ x 1 =1,x 2 =1,x 3 =2. 2) Lˆa . p ma trˆa . nmo . ’ rˆo . ng v`a thu . . chiˆe . n c´ac ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ iso . cˆa ´ p:      2 −13−1   9 11−24   −1 32−13   0 5 −21−2   9      h 1 → h  2 h 2 → h  1 −→      11−24   −1 2 −13−1   9 32−13   0 5 −21−2   9      −→ h 2 − 2h 1 → h  2 h 3 − 3h 1 → h  3 h 4 − 5h 1 → h  4      11−24   −1 0 −37 −9   11 0 −15 −9   3 0 −711−22   14      h 2 → h  3 h 3 → h  2 −→ 140 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh −→      11−24   −1 0 −15 −9   3 0 −37 −9   11 0 −711−22   14      h 3 − 3h 2 → h  3 h 4 − 7h 2 → h  4 −→      11 −24   −1 0 −15−9   3 00 −818   2 00−24 41   −7      −→ h 4 − 3h 3 → h  4      11−24   −1 0 −15 −9   3 00−818   2 00 0−13   −13      T`u . d ´o suy ra r˘a ` ng x 1 =1,x 2 = −2, x 3 =2,x 4 =1.  B ` AI T ˆ A . P Gia ’ i c´ac hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh sau 1. x 1 − x 2 +2x 3 =11, x 1 +2x 2 − x 3 =11, 4x 1 − 3x 2 − 3x 3 =24.      .(D S. x 1 =9,x 2 =2,x 3 =2) 2. x 1 − 3x 2 − 4x 3 =4, 2x 1 + x 2 − 3x 3 = −1, 3x 1 − 2x 2 + x 3 =11.      .(D S. x 1 =2,x 2 = −2, x 3 =1) 3. 2x 1 +3x 2 − x 3 =4, x 1 +2x 2 +2x 3 =5, 3x 1 +4x 2 − 5x 3 =2.      .(D S. x 1 = x 2 = x 3 =1) [...]... , α2 , , αn ) du.o.c goi l` nghiˆm ıa a o.ng ´ ’ e a a cua hˆ (4.9 ) nˆu khi thay x = α1 , x = α2 , , x = αn v`o c´c phu e o.ng tr`nh cua (4.9 ) tro th`nh ˜ ´ ’ ’ a ı tr` cua (4.9 ) th` hai vˆ cua mˆ i phu ınh ’ ı e ’ o ` ´ o a dˆng nhˆt ´ Chu.o.ng 4 Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ e ı e ınh 144 ´ ´ o ı e o ıt a e a 2+ Hˆ (4.9 ) du.o.c goi l` tu.o.ng th´ch nˆu c´ ´ nhˆt mˆt nghiˆm v` e a o.ng... , x2 = − , x3 = , x4 = 0, x5 = 0) 5 5 5 ´ 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a ınh e ınh 4.2 143 ´ ınh e ınh Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a ´ ` Ta x´t hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´nh gˆm m phu.o.ng tr` v´.i e e u ´ a ınh e ı o ınh o ’ n ˆn a  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1 ,    a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 ,  (4.9 )     am1x1 + am2x2 + · · · +... khˆng tˆm thu.`.ng ` ’ ’ o a e o a Gia su ’ ` n`o d´ cua hˆ (4.1 0) Nghiˆm n`y c´ thˆ xem nhu mˆt h`ng gˆm n a o ’ e e a o e o a o ` phˆn tu a ’ e1 = (α1 , α2 , , αn ) Khi d´ theo dinh ngh˜ h`ng λe1 = (λα1 , , λαn ) c˜ng l` nghiˆm o ıa, a u a e h`ng ’ ’ ’ cua (4.1 0) Gia su a e2 = (β1, β2 , , βn ) ’ ´ e ınh l` mˆt nghiˆm kh´c cua (4.1 0) Khi d´ h`ng tˆ ho.p tuyˆn t´ a o e a ’ o a o def... nghiˆm cua (4.1 0) T` d´: moi tˆ ho.p tuyˆn t´ c´c nghiˆm u a e u o e ınh a e o ` ´ ’ e ’ o cua hˆ thuˆn nhˆt (4.1 0) c˜ng l` nghiˆm cua n´ a a u a e - ´ a a o e Dinh ngh˜ 1 1+ C´c h`ng e1 , e2, , em du.o.c goi l` phu thuˆc tuyˆn ıa a ’ ` ´ ` ´ o o o a t´nh nˆu c´ thˆ t`m du.o.c c´c sˆ γ1 , γ2 , , γm khˆng dˆng th`.i b˘ng 0 ı e o e ı a o sao cho γ1 e1 + γ2 e2 + · · · + γm em = 0 (4.1 1) ’... λ = 1 hˆ khˆng tu.o.ng th´ch) e o ı x1 = 4.3 1 + x4 ; 4 x2 = ´ ınh thuˆn ` ınh tuyˆn t´ e a Hˆ phu.o.ng tr` e ´ nhˆt a ´ ` ´ ´ ´ ınh e ı a a e o Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´nh du.o.c goi l` hˆ thuˆn nhˆt nˆu sˆ hang tu e a e o.ng tr` dˆu b˘ng 0 ˜ ’ do cua mˆ i phu o e ` ınh ` a ` ´ Hˆ thuˆn nhˆt c´ dang e a a o  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = 0,  (4.1 0)   am1x1 + am2x2 + · · · + amn... 9 o e ı Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 3 Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch ’ a Ta chon dinh th´.c con co so l` u 1 −5 1 ∆= 2 4 0 2 1 3 ’ ’ a v` ∆ = 36 = 0 v` r(A) = 3 v` c´c ˆn co so l` x1, x2, x3 ı a a a a ´ 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a ınh e ınh 147 ınh a o e 2 Hˆ phu.o.ng tr` d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ e  x1 − 5x2 + x3 = 12,   = −6, 2x1 + 4x2   2x1 + x2 + 3x3 = 3 ` ´ ’ ´ ´ ’... nˆn dˆ cho tiˆn ta dˆi chˆ e a o.ng tr` dˆu v` thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng ınh ` hai phu a a e x1 − x2 + x3 4x1 + 2x2 + x3 2x1 + 3x2 − 3x3 4x1 + x2 − x3  = −2,   = 7,  = 11,     = 7 ´ 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a ınh e ınh ´ ´ ’ ’ o Tiˆp theo ta biˆn dˆi ma trˆn mo rˆng e e o a   1 −1 1 −2 4 2 1 7  h2 − 4h1 → h2   A=  2 3 −3 11  h3 − 2h1 → h3 7 h4 − 4h1... − x5 , 2 −5 − x5 4 + 2x5 x3 = , x4 = · 6 3 x1 = ’ e ınh V´ du 5 Giai hˆ phu.o.ng tr` ı  x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 1,  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5 = 2,   2x1 + 11x2 + 12x3 + 25x4 + 22x5 = 4 ´ 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a ınh e ınh ´ ’ ´ ’ ’ e a e e o a e a a Giai Ta thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so cˆp trˆn c´c h`ng cua ma rˆng: ’ trˆn mo o a   1 3 5 7 9 1   A = 1... + x3 = λ,   x1 + x2 + λx3 = λ2 ’ u ’ e a Giai Dinh th´.c cua hˆ b˘ng ` λ 1 1 D = 1 λ 1 = (λ − 1)2 (λ + 2) 1 1 λ ´ ´ Nˆu D = 0 ⇔ λ1 = 1, λ2 = −2 th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt Ta t´nh e ı e o e a ı ´ 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a ınh e ınh Dx1 , Dx2 , Dx3 : Dx1 1 1 1 = λ λ 1 = −(λ − 1)2 (λ + 1), λ2 1 λ Dx 2 λ 1 1 = 1 λ 1 = (λ − 1)2 , 1 λ2 λ λ 1 1 Dx3 = 1 λ λ = (λ − 1)2 (λ + 1)2 1... chı khi 21 detA = 0 ⇔ λ = , µ t`y y u ´ 2 ’ ’ ’ 2+ Dˆ hˆ vˆ nghiˆm dˆu tiˆn n´ phai thoa m˜n e e o e ` a e o a 21 detA = 0 ⇔ λ = · 2 21 Khi λ = th` detA = 0 v` do vˆy ı a a 2 r(A) < 3  3  2 µ ´ 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ e u ´ a ınh e ınh 155 1 2 V` dinh th´.c ı u = −7 = 0 nˆn: e 3 −1 r(A) = 2 khi λ = 21 · 2 Theo dinh l´ Kronecker-Capelli hˆ d˜ cho vˆ nghiˆm khi v` chı khi y e a . Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 132-176. Từ khoá: Hệ phương trình. khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài