HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHI.Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm: Ví dụ: Xét xem khi nào hệ phương trình sau có nghiệm: ax by e Hướng dẫn: Nếu ad bc 0, tức là hạng của ma tr
Trang 1Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
I.Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm:
Ví dụ:
Xét xem khi nào hệ phương trình sau có nghiệm:
ax by e
Hướng dẫn:
Nếu ad bc 0, tức là hạng của ma trận hệ số bằng 2, thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu ad - bc = 0 và có ít nhất một trong 4 số a, b, c, d khác 0 thì để hệ có nghiệm ta phải có
0
af ce bf de
Trường hợp a b c d 0thì để hệ có nghiệm ta phải có e f 0
- Sinh viên cho ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm:
ax y z a
x by z b
x y cz c
Hướng dẫn:
Dựa vào định lý Cronecker Capelli để suy ra điều kiện có nghiệm của hệ
Bài 2:
Cho hệ phương trình
+
1
Tìm giá trị của m để hệ trên có nghiệm.
Hướng dẫn:
- Nếu m = 1 hệ có vô số nghiệm
- Nếu m1,m2 hệ có nghiệm duy nhất
II Giải hệ phương trình tuyến tính
1 Phương pháp Cramer:
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
Hướng dẫn
Kiểm tra hệ phương trình là hệ Cramer:
Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên:
Trang 21 1 2
A
Ta có: detA = 2.
Đây là hệ Cramer
Áp dụng phương pháp Cramer ta có:
Khi đó hệ phương trình có nghiệm
1 1
2 2
3 3
3
1
1
A
x
A A x
A A x
A
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
2;
f)
g)
5;
h)
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự như trong ví dụ
Trang 3Bài 2 Kiểm tra xem hệ phương sau có phải là hệ Cramer hay không? Giải hệ phương trình
đó
Hướng dẫn
Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên ta có:
:=
B
2 1 5 4
1 1 -3 -4
3 6 -2 1
2 2 2 -3
Ta có: detB = -192.
Suy ra, đây là hệ Cramer
Áp dụng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình trên:
:=
B1
5 1 5 4
-1 1 -3 -4
8 6 -2 1
2 2 2 -3
:=
B2
2 5 5 4
1 -1 -3 -4
3 8 -2 1
2 2 2 -3
:=
B3
2 1 5 4
1 1 -1 -4
3 6 8 1
2 2 2 -3
:=
B4
2 1 5 5
1 1 -3 -1
3 6 -2 8
2 2 2 2 Khi đó hệ phương trình có nghiệm sau:
1
2
3
4
B
x
B B x
B B
x
B B x
B
2 PP.khử Gauss:
Hướng dẫn:
Trang 4Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình
về dạng bậc thang rút gọn, sau đó áp dụng định lý Cronecker Capelli để tìm các trường hợp nghiệm của hệ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
2;
Hướng dẫn
Xét ma trận hệ số mở rộng của hệ trên, dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận này về dạng bậc thang rút gọn
Ta có:
A
Khi đó, hệ phương trình trên có nghiệm là:
1
2
3
4
2
9
6
1
x
x
x
x
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
a)
2;
b)
c)
5;
d)
Trang 5e)
5;
)
f
Hướng dẫn: Làm tương tự như ví dụ.
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
2;
III Giải hệ phương trình thuần nhất:
Hướng dẫn:
Hệ phương trình thuần nhất chỉ có hai trường hợp nghiệm: có nghiệm tầm thường hoặc có
vô số nghiệm
Bài 1: Giải hệ phương trình thuần nhất sau:
0;
0;
0;
0
Hướng dẫn:
Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên:
:=
A
-1 1 1 1
1 -1 1 1
1 1 -1 1
1 1 1 -1
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang rút gọn sau:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A
Khi đó, hệ phương trình trên có nghiệm tầm thường (0, 0, 0, 0)
Nhận xét:
Trang 6Sinh viên có thể kiểm tra đây là hệ Cramer do detA = -16 nên áp dụng phương pháp
Cramer ta có hệ phương trình thuần nhất có nghiệm tầm thường
Bài 2: Giải hệ phương trình thuần nhất sau:
Hướng dẫn
Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên:
:=
B
2 -1 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0
0 -1 2 -1 0 0
0 0 -1 2 -1 0
0 0 0 -1 2 -1
0 0 0 0 -1 2
Ta có: detB = 7, nên đây là hệ Cramer
Suy ra hệ phương trình có nghiệm tầm thường
Chú ý: Đối với hệ phương trình thuần nhất khi hạng của ma trận hệ số là r <n với n là số
ẩn của hệ thì hệ sẽ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số
Ví dụ
Giải hệ phương trình thuần nhất sau:
Hướng dẫn
Xét ma trận hệ số của hệ phương trình trên có:
2
d d d
Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số:
Trang 72
3
0
x
Bài 3: Giải các hệ phương trình thuần nhất sau:
0
IV Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính.
Hướng dẫn:
Dùng phương pháp Gauss để giải và biện luận các trường hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính dựa vào định lý Cronecker Capelli
Bài 1 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số:
2
1;
Hướng dẫn
a) Lập ma trận hệ số mở rộng của hệ pt và dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận này
về dạng bậc thang
1 2 1
3 3 2
2
2 2
d d d
d d d
Ta có m2 m 2 0 m 1 m2
Nếu m =1 thì
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
A
Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:
Trang 81 1 2
1
Nếu m = -2 thì
A
hệ pt vô nghiệm
Nếu m ≠ 1 và m ≠ -2 thì hệ có nghiệm duy nhất
2 1
2
2 3
2
2 1 2
x
m m
x
m
m
x
m
b) Lập ma trận hệ số mở rộng và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta có:
3 3 1
3 3 2
4 4 2
2 4
1
d d d
d d d
d d d
d d d
A
Nếu 0 thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số
1
2
3
Nếu 0thì hệ vô nghiệm
Bài 2: Xét hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng sau
m m A
m m
a) Giải hệ pt với m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
Trang 9Hướng dẫn:
a)
Với m = 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số:
1
b) Làm tương tự như ví dụ
Bài 3: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
2
1;
;
b)
2
3
1;
;
;
c)
4;
3;
d)
;
;
e)
f)
1;
1;
1;
1
g)
h)
2
k)
2
1;
l)
2 1;
m)
n)
3 3;
5
o)
p)
q)
1;
Hướng dẫn:
Trang 10Làm tương tự như các ví dụ
V Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:
Bài 1 Cho a ijlà các số nguyên Giải hệ phương trình sau:
1
2
1
2
1
2
n n
n n
Hướng dẫn
Hệ phương trình đã cho tương đương với
n n
n n
Giả sử A nlà ma trận hệ số của hệ phương trình trên khi đó:
det
n n n
A
Vì các hệ số a ijlà các số nguyên nên các phần bù đại số của các số này A n ij cũng là các số nguyên, do đó nếu khai triển định thức theo dòng cuối ta có
1
n n
Suy ra, detA n detA n12llà một số chẵn, detA n,detA n1có cùng tính chẵn lẻ, mặt khác
detA 2a 1là số lẻ nên detA 0(vì 0 là số chẵn)
Vậy hệ trên là hệ Cramer có ma trận hệ số khác 0 nên có nghiệm tầm thường
Bài 2: Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thích hợp
;
;
;
x y z t a
x y z t b
x y z t c
x y z t d
Sinh viên tự giải như bài tập nhỏ
III Ứng dụng của hệ pttt:
Trang 11Bài 1: Tìm tam thức bậc hai f(x) biết: f(1) = -1; f(-1) = 9; f(2) = -3.
Bài 2: Tìm đa thức bậc ba g(x) biết: g(-1) = 0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16
Hướng dẫn
1) Giả sử tam thức bậc hai f x( )ax2bx c Theo giả thiết đề bài thì a, b, c cần tìm thỏa
hệ phương trình:
2) Giả sử đa thức bậc ba có dạng: g x( )ax3bx2cx d
Theo giả thiết đề bài thì a, b, c, d cần tìm thỏa hệ pt:
0 4
a b c d
a b c d
Giải hệ pt này bằng pp Gauss
3 1 1
2 1 2
3 3 2
8
6
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1 4 0 2 0 2 4 0 2 0 2 4
8 4 2 1 3 8 4 2 1 3 0 12 6 9 3
27 9 3 116 3 3 3 2 7 0 0 6 1 7
1 1 1 1 0
0 2 0 2 4
0 0 6 3
0 0 6 1
A
4 4 3
1 1 1 1 0
0 2 0 2 4
23 0 0 6 3 23
7 0 0 0 4 30
dd d
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
3
2
11
2
1
12
30
4
a
b
c
d
Bài 3: Xét mặt phẳng tọa độ Oxy
a) Tìm điều kiện cần và đủ để 3 điểm M x y M x y1( ; );1 1 2( ; );2 2 M x y3( ; )3 3 cùng nằm trên đường thẳng
b) Tìm điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng:
Trang 121 1 1
0 0 0
a x b y c
a x b y c
a x b y c
cắt nhau tại một điểm
Hướng dẫn:
a) Ba điểm M x y M x y1( ; );1 1 2( ; );2 2 M x y3( ; )3 3 nằm trên một đường thẳng ax + by + c= 0 khi
và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ax iby i c 0,i1, 2,3 có nghiệm tầm thường
b) Một họ đường thẳng các nhau tại một điểm khi và chỉ khi hệ phương trình của các đường thẳng đó có duy nhất nghiệm
2
Bài 4: Cho hệ phương trình:
Hai người lần lượt điền các hệ số vào dấu * Chứng minh rằng người đi đầu bao giờ cũng
có thể làm cho hệ phương trình có nghiệm tầm thường Người thứ hai có đạt được điều đó không?
Hướng dẫn: Người đi đầu điền các hệ số a a a a a11, 13, 22, 31, 33
a a a a a a Khi đó, đưa hệ về dạng:
11
'
0
a y a z
Vì a a11, '22 0, nên chỉ cần chọn a33sao cho ' ' ' '
Người thứ 2 không đạt được điều đó nếu người thứ nhất chọn các hệ số đều bằng 0
BÀI TẬP CỦNG CỐ:
1) Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
b)
1 1 1
c)
1 1 1 1
d)
2
3
1
2) Giải hệ phương trình:
Trang 131 2
1
1
1
n n n n n
n n
3) Chứng minh rằng hệ phương trình
n n
n n
Trong đó a ij a ji và n lẻ có nghiệm khác 0.
4) Xét hệ phương trình:
6
a) Tìm điều kiện của m để hệ pt trên là hệ Cramer
b) Với điều kiện m tìm được của câu a, hãy giải hệ pt trên bằng pp Cramer
5) Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b Trong đó, A là ma trận vuông cấp n hệ số
nguyên, và b n
a) Chứng minh rằng nếu | |A 1thì hệ có nghiệm nguyên
b) Ngược lại, nếu với mọi b n hệ pt tương ứng đều có nghiệm nguyên thì | |A 1