Giáo án toán chương 3 hệ phương trình tuyến tính

Hướng dẫn giải tập – Chương Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I.Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm: Ví dụ: Xét xem hệ phương trình sau có nghiệm:  ax + by = e có nghiệm  cx + dy = f Hướng dẫn: Nếu ad − bc ≠ , tức hạng ma trận hệ số 2, hệ có nghiệm Nếu ad - bc = có số a, b, c, d khác để hệ có nghiệm ta phải có af − ce = bf − de = Trường hợp a = b = c = d = để hệ có nghiệm ta phải có e = f = - Sinh viên cho ví dụ minh họa Bài 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm:  ax + y + z = a   x + by + z = b  x + y + cz = c  Hướng dẫn: Dựa vào định lý Cronecker Capelli để suy điều kiện có nghiệm hệ Bài 2: y +z =m  mx +  Cho hệ phương trình 2 x + (1 + m) y + (1 + m) z = m − x + y + mz =1  Tìm giá trị m để hệ có nghiệm Hướng dẫn: - Nếu m = hệ có vô số nghiệm - Nếu m ≠ 1, m ≠ −2 hệ có nghiệm II Giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Cramer: Ví dụ: Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer:  x1 + x2 − x3 = 6;  a )  x1 + x2 − x3 = 16; 5 x + x + x = 16  Hướng dẫn Kiểm tra hệ phương trình hệ Cramer: Xét ma trận hệ số hệ phương trình trên: Đại số Tuyến tính 35 Hướng dẫn giải tập – Chương 1 −2  A =  −7    Ta có: detA = Đây hệ Cramer Áp dụng phương pháp Cramer ta có:  −2   −2  1      A1 = 16 −7  ; A2 =  16 −7  ; A3 =  16  16   16  5 16  Khi hệ phương trình có nghiệm det A1   x1 = det A = =  det A2  = =1  x2 = det A  det A3 −2   x3 = det A = = −1  Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x1 + x2 − x3 = 6;  a) 2 x1 + 3x2 − x3 = 10; 5 x + x + x = 16  7 x1 + x2 + x3 = 15;  b) 5 x1 − x2 + x3 = 15; 10 x − 11x + x = 36   x1 + x2 + x3 = 1;  c) 2 x1 − x2 + x3 = 4;  x + x + x =  3 x1 + x2 + x3 = 5;  d) 2 x1 + 3x2 + x3 = 1;  x + x + 3x = 11   x1 + x2 + x3 + x4 = 2;  x + x + 3x + x = 2;  e)  x + x + x + x = 2;   x1 + x2 + x3 + x4 =  x1 + x2 + x3 + x4 = 5;  x + x − x − x = −1;  f)  x + x − x + x4 = 2;   x1 + x2 + x3 − x4 =  x1 + x2 + x3 + x4 = 5;  x + x + 3x + x = 3;  g)   x1 + x2 + x3 + x4 = 7; 3 x1 + x2 + x3 + x4 = 2;  x1 + x2 − x3 + x4 = 2;  x + 3x − x + x = 3;  h)  8 x1 + x2 − x3 + x4 = 6; 3 x1 + x2 − x3 + x4 = 3; Hướng dẫn: Sinh viên làm tương tự ví dụ Đại số Tuyến tính 36 Hướng dẫn giải tập – Chương Bài Kiểm tra xem hệ phương sau có phải hệ Cramer hay không? Giải hệ phương trình  x1 + x2 + x3 + x4 = 5;  x + x − x − x = −1;   3 x1 + x2 − x3 + x4 = 8;  x1 + x2 + x3 − x4 = Hướng dẫn Xét ma trận hệ số hệ phương trình ta có: 2  B :=  3 2  4  -3 -4  -2 1 2 -3 Ta có: detB = -192 Suy ra, hệ Cramer Áp dụng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình trên: 5  -1 B1 :=   2  2 5 4 2    4 -1 -3 -4  1  B2 :=  B3 :=  -3 -4 3 -2 1 3    2 -2 1 2 2 -3  2 -3 4 2   -1 -4  B4 :=  3 1  2 2 -3  5  -3 -1   -2 8 2 2 Khi hệ phương trình có nghiệm sau: det B1 −96   x1 = det B = −192 =   x = det B = −204 = 17  det B −192 16   x = det B3 = −36 =  det B −192 16  det B −96  x4 = = = det B −192  PP.khử Gauss: Hướng dẫn: Đại số Tuyến tính 37 Hướng dẫn giải tập – Chương Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình dạng bậc thang rút gọn, sau áp dụng định lý Cronecker Capelli để tìm trường hợp nghiệm hệ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:  x1 + x2 + x3 + x4 = 2;  x + x + 3x + x = 2;    x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2;  x1 + x2 + x3 + x4 = Hướng dẫn Xét ma trận hệ số mở rộng hệ trên, dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận dạng bậc thang rút gọn Ta có: 1  A= 2  1 1 2 1    0  → 0 2    0 0 0 0 −2   9 −6   1  Khi đó, hệ phương trình có nghiệm là:  x1 = −2 x =    x3 = −6  x4 = Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss:  x1 + x2 + x3 + x4 = 2;  x + x + 3x + x = 2;  a)   x1 + 3x2 + x3 + x4 = 2;  x1 + x2 + x3 + x4 =  x1 + x2 + x3 + x4 = 5;  x + x − x − x = −1;  b)  3 x1 + x2 − x3 + x4 = 8;  x1 + x2 + x3 − x4 =  x1 + x2 + x3 + x4 = 5;  x + x + 3x + x = 3;  c)   x1 + x2 + x3 + x4 = 7; 3 x1 + x2 + x3 + x4 = 2;  x1 + x2 − x3 + x4 = 2;  x + 3x − x + x = 3;  d)  8 x1 + x2 − x3 + x4 = 6; 3 x1 + x2 − x3 + x4 = 3; Đại số Tuyến tính 38 Hướng dẫn giải tập – Chương  x1 + x2 + x3 + x4 = 5;  x + x + 3x + x = 3;    x1 + 3x2 + x3 + x4 = 8;  x2 + x3 + x4 = −2 2 x1 + x2 − x3 + x4 = 2; 4 x + x − x + x = 3;  f ) 6 x1 + x2 − x3 + x4 = 6; 3x1 + x2 − x3 + x4 = 3; e) Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x1 + x2 + x3 + x4 = 2;   x1 + x2 + 3x3 + x4 = 2;  x + 3x + x + x = 2  III Giải hệ phương trình nhất: Hướng dẫn: Hệ phương trình có hai trường hợp nghiệm: có nghiệm tầm thường có vô số nghiệm Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  − x1 + x2 + x3 + x4 = 0;  x − x + x + x = 0;    x1 + x2 − x3 + x4 = 0;  x1 + x2 + x3 − x4 = Hướng dẫn: Xét ma trận hệ số hệ phương trình trên: -1 1 1   -1 1  A :=    1 -1 1  1 -1   Thực phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A dạng bậc thang rút gọn sau: 1 0 A= 0  0 0 0 0  0  1 Khi đó, hệ phương trình có nghiệm tầm thường (0, 0, 0, 0) Nhận xét: Đại số Tuyến tính 39 Hướng dẫn giải tập – Chương Sinh viên kiểm tra hệ Cramer detA = -16 nên áp dụng phương pháp Cramer ta có hệ phương trình có nghiệm tầm thường Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x1 − x2 = 0;  − x + x − x = 0;   − x2 + x3 − x4 = 0;   − x3 + x4 − x5 = 0;  − x4 + x5 − x6 = 0;   − x5 + x6 = Hướng dẫn Xét ma trận hệ số hệ phương trình trên:  -1 0 0   -1 -1 0 0  -1 -1 0 B :=   0 -1 -1 0    0 -1 -1  0 0 -1 2 Ta có: detB = 7, nên hệ Cramer Suy hệ phương trình có nghiệm tầm thường Chú ý: Đối với hệ phương trình hạng ma trận hệ số r